特訓(xùn)13第4-6章壓軸題（2023新題數(shù)形結(jié)合與分類討論思想專練）

特訓(xùn)13第46章壓軸題（2023新題，數(shù)形結(jié)合與分類討論思想專練）一、解答題1．（2023下·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）任意一個(gè)無理數(shù)介于兩個(gè)整數(shù)之間，我們定義，若無理數(shù)：，（其中為滿足不等式的最大整數(shù)，為滿足不等式的最小整數(shù)），則稱無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為，如，所以的麓外區(qū)間為．(1)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是_________；(2)若其中一個(gè)無理數(shù)的“麓外區(qū)間”為且滿足，其中是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，求值．(3)實(shí)數(shù)x，y，m滿足關(guān)系式：，求的算術(shù)平方根的“麓外區(qū)間”．【答案】(1)(2)1或37(3)【分析】（1）只需要估算出的取值范圍即可得到答案；（2）由是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，得到是一個(gè)完全平方數(shù)，，再由，可得滿足題意的m、n的值為：或，由此代入方程中進(jìn)行求解即可；（3）先根據(jù)，，得出，進(jìn)而得出，，兩式相減可得，再根據(jù)“麓外區(qū)間”的定義即可求解．【解析】（1）解：∵，，∴，∴，∴無理數(shù)的“麓外區(qū)間”是，故答案為：（2）解：由題意得，m、n是兩個(gè)相鄰的正整數(shù)，∵是關(guān)于x，y的二元一次方程的一組正整數(shù)解，∴是一個(gè)完全平方數(shù)，，∵，∴滿足題意的m、n的值為：或，當(dāng)時(shí)，則，∴，∴；當(dāng)時(shí)，則，∴，∴，綜上所述，C的值為1或37；（3）解：∵，∴，，∴，∴，∴，∵∴，，兩式相減，得，∴，∴的算術(shù)平方根為，∵，∴，∴的算術(shù)平方根的“麓外區(qū)間”是．【點(diǎn)睛】本題主要考查了算術(shù)平方根、無理數(shù)的估算，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，題目較為新穎，解題的關(guān)鍵是理解題目中“麓外區(qū)間”的定義．2．（2023下·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，對(duì)于任意圖形及直線，給出如下定義：將圖形先沿直線翻折得到圖形，再將圖形沿直線翻折得到圖形，則稱圖形是圖形的伴隨圖形．例如：點(diǎn)的[x軸，y軸]伴隨圖形是點(diǎn)．(1)點(diǎn)的[x軸，y軸]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為；(2)若直線的解析式為：，則點(diǎn)的[軸，]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為；(3)已知，，，直線經(jīng)過點(diǎn)．①當(dāng)，且直線與軸平行時(shí)，點(diǎn)A的[軸，]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為；②當(dāng)，點(diǎn)的[軸，]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為，求直線的解析式；③當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，的[軸，]伴隨圖形上只存在兩個(gè)與軸的距離為1的點(diǎn)，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)①；②；③或【分析】（1）將點(diǎn)先沿軸翻折，再沿軸翻折得出的坐標(biāo)即可；（2）將點(diǎn)先沿軸翻折，再沿軸翻折得出的坐標(biāo)即可；（3）①先得出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線的解析式，然后翻折得出的坐標(biāo)即可；②先求出點(diǎn)沿軸翻折后的坐標(biāo)，在得出翻折后的點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)的坐標(biāo)的中點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出直線的解析即可；③先求出直線的解析式，再求出的[軸，]伴隨圖形上各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)只存在兩個(gè)與軸的距離為1的點(diǎn)列不等是求解即可．【解析】（1）解：將點(diǎn)沿軸翻折得到，再沿軸翻折得到的坐標(biāo)為，點(diǎn)的[x軸，y軸]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：將點(diǎn)沿軸翻折得到，再沿直線翻折得到的坐標(biāo)為，點(diǎn)的[軸，]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；（3）解：①當(dāng)時(shí)，，直線與軸平行，且直線經(jīng)過點(diǎn)，直線的解析式為，將點(diǎn)沿軸翻折得到，再沿直線翻折得到的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的[軸，]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：；②當(dāng)時(shí)，，將沿軸翻折得到，點(diǎn)的[軸，]伴隨圖形點(diǎn)的坐標(biāo)為和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，直線過點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，將和代入解析式得，，解得：，直線的解析式為，故答案為：；③直線經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)，直線的解析式為，由題意知，三點(diǎn)沿軸翻折點(diǎn)坐標(biāo)依次表示為，，，再沿直線翻折點(diǎn)坐標(biāo)依次表示為：，，，的[軸，]伴隨圖形上只存在兩個(gè)與軸的距離為1的點(diǎn)，或，解得：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，直角坐標(biāo)系中中點(diǎn)的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，解不等式，解題的關(guān)鍵在于正確地將翻折后的點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來．3．（2023上·重慶九龍坡·八年級(jí)重慶市育才中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，且，將線段向右平移5個(gè)單位得到線段，其中點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D．

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)；(2)線段與y軸交于點(diǎn)E，線段上是否存在一動(dòng)點(diǎn)P，使得，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，沿y軸以每秒0.5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向上運(yùn)動(dòng)，連接直線交四邊形的邊長(zhǎng)于點(diǎn)F，當(dāng)直線將四邊形的面積分成兩部分時(shí)，求點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【答案】(1)，，，(2)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)二次根式有意義的條件求出a、b的值，然后再根據(jù)平移求出C、D點(diǎn)的坐標(biāo)即可；（2）先求出，，設(shè)點(diǎn)，則，求出m的值即可；（3）根據(jù)直線將四邊形的面積分成兩部分，求出這兩部分的面積，分情況畫出圖形，由面積關(guān)系列出方程，解方程即可．【解析】（1）解：∵要想有意義，∴，解得：，∴，解得：，∴，，∵將線段向右平移5個(gè)單位得到線段，∴，；（2）解：存在；點(diǎn)P的坐標(biāo)為；根據(jù)題意可知，，，，∴，，設(shè)點(diǎn)，則，解得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為；

（3）解：如圖，直線將四邊形的面積分成兩部分，此時(shí)與四邊形的面積之比為，

∵，∴，即，解得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線的解析式為：，把代入得：，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：（秒）；如圖，直線將四邊形的面積分成兩部分，此時(shí)與四邊形的面積之比為，

∵，∴，即，解得：，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴直線的解析式為：，把代入得：，∴此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，∴此時(shí)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：（秒）；綜上分析可知，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或秒．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，坐標(biāo)與圖形，求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．4．（2023上·北京東城·八年級(jí)北京一七一中?？计谥校┢矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，等邊的頂點(diǎn)A在軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C都在軸上，給出如下定義：若點(diǎn)P為軸上一點(diǎn)，且點(diǎn)P與的一個(gè)頂點(diǎn)的距離恰好等于的邊長(zhǎng)，則稱點(diǎn)P為的友好點(diǎn)，這個(gè)距離稱為點(diǎn)P和的友好距離，記作．

(1)若點(diǎn)P和的友好距離，寫出的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)______，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)______；(2)如圖，等邊的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為．①在，，中，的友好點(diǎn)是______；②已知點(diǎn)E坐標(biāo)為，點(diǎn)F坐標(biāo)為，若線段上恰有兩個(gè)的友好點(diǎn)，直接寫出的取值范圍是______．【答案】(1)(2)①，②且且【分析】本題為新定義類型的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系．（1）根據(jù)新定義的友好距離，得，再由等邊三角形的性質(zhì)即可；（2）①根據(jù)新定義即可判斷，②的友好點(diǎn)分別是點(diǎn)再根據(jù)題意列不等式組即可．本題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)．【解析】（1）解：點(diǎn)P與的一個(gè)頂點(diǎn)的距離恰好等于的邊長(zhǎng)，且，，等邊的頂點(diǎn)A在軸正半軸上，頂點(diǎn)B、C都在軸上，，，故答案為：；（2）解：①等邊的頂點(diǎn)B坐標(biāo)為，頂點(diǎn)C坐標(biāo)為，，即，，，故，是的友好點(diǎn)．，在中，，，在中，，故不是的友好點(diǎn)．故答案為：，；②由題意得：的友好點(diǎn)分別是點(diǎn)，解得：，當(dāng)或時(shí)，有三個(gè)友好點(diǎn)，且，故的取值范圍是且且，故答案為：且且．5．（2023上·山西晉中·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下面是小敏寫的數(shù)學(xué)日記的一部分，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．2023年9月22日天氣：晴無理數(shù)與線段長(zhǎng)．今天我們借助勾股定理，在數(shù)軸上找到了一些特殊的無理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，認(rèn)識(shí)了“數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)”這一事實(shí)．回顧梳理：要在數(shù)軸上找到表示的點(diǎn)，關(guān)鍵是在數(shù)軸上構(gòu)造線段．如圖1，正方形的邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以原點(diǎn)O為圓心，對(duì)角線長(zhǎng)為半徑畫弧與數(shù)軸上分別交于點(diǎn)A，，則點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．類似地，我們可以在數(shù)軸上找到表示，，…的點(diǎn)．拓展思考：如圖2，改變圖1中正方形的位置，用類似的方法作圖，可在數(shù)軸上構(gòu)造出線段與，其中O仍在原點(diǎn)，點(diǎn)B，分別在原點(diǎn)的右側(cè)、左側(cè)，可由線段與的長(zhǎng)得到點(diǎn)B，所表示的無理數(shù)！按照這樣的思路，只要構(gòu)造出特定長(zhǎng)度的線段，就能在數(shù)軸上找到無理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)！

任務(wù)：(1)在圖3中畫圖確定表示的點(diǎn)M．

(2)把5個(gè)小正方形按圖中位置擺放，并將其進(jìn)行裁剪，拼成一個(gè)大正方形．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出裁剪線，并在圖4中畫出所拼得的大正方形的示意圖．

(3)小麗想用一塊面積為的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為的長(zhǎng)方形紙片如圖5，使它的長(zhǎng)是寬的2倍．小麗能用這塊紙片裁出符合要求的紙片嗎？請(qǐng)你通過計(jì)算說明理由．

(4)在圖6中的數(shù)軸上分別標(biāo)出表示數(shù)以及的點(diǎn)，并比較它們的大?。?/p>

【答案】(1)見解析(2)見解析(3)不能，理由見解析(4)數(shù)軸見解析，【分析】（1）由，可作出單位長(zhǎng)度以3和1為長(zhǎng)和寬的矩形，其對(duì)角線即是，然后以原點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，即可解答；（2）設(shè)1個(gè)小正方形的面積為1，則5個(gè)小正方形的面積為5，即所拼成的大正方形的邊長(zhǎng)為，進(jìn)而即可畫出裁剪線和所拼得的大正方形；（3）由題意可求出正方形紙片的邊長(zhǎng)為．設(shè)長(zhǎng)方形紙片的寬為，則長(zhǎng)為，則可列出關(guān)于x的方程，再利用平方根解方程，即得出長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，最后比較即可；（4）由，可作出單位長(zhǎng)度以2和1為長(zhǎng)和寬的矩形，其對(duì)角線即是，然后以表示的點(diǎn)為圓心，以為半徑畫弧，與數(shù)軸右側(cè)的交點(diǎn)即為．再畫出表示的點(diǎn)，根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)比較即可．【解析】（1）解：如圖，點(diǎn)M即為所作；

（2）解：如圖所示；

（3）解：不能．理由：由題意可知這個(gè)面積為的正方形紙片的邊長(zhǎng)為，設(shè)面積為的長(zhǎng)方形紙片的寬為，則長(zhǎng)為，∴，解得：（舍去負(fù)值），∴長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為．∵，∴小麗不能用這塊紙片裁出符合要求的紙片；（4）解：在數(shù)軸上表示數(shù)和的點(diǎn)如圖，

有數(shù)軸可知：．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，數(shù)軸和利用平方根解方程．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．6．（2023上·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別在坐標(biāo)軸的正半軸上．

(1)如圖1，若滿足，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則點(diǎn)的坐標(biāo)是______；(2)如圖2，若，點(diǎn)是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以為直角頂點(diǎn)，為直角邊在第一象限作等腰直角，連接，求證：；(3)如圖3，設(shè)的平分線過點(diǎn)，請(qǐng)求出的值，并說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）由偶次方和絕對(duì)值的非負(fù)性得出，，則，，證明，得到，，，即可得解；（2）過作軸于，則，證明，得到，，，再證明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）過點(diǎn)作軸于，軸于，交的延長(zhǎng)線于，則，由角平分線的性質(zhì)可得，證明得到，同理證明得到，即可求解．【解析】（1）解：，，，，，，，，，，如圖，過點(diǎn)作軸于，則，，，，，，，，，，，，故答案為：；（2）證明：如圖，過作軸于，則，，，，是等腰直角三角形，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，，即，，是等腰直角三角形，，，，；（3）解：如圖，過點(diǎn)作軸于，軸于，交的延長(zhǎng)線于，，，平分，，，，，，同理可得：，，，，，，即．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、非負(fù)數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、證明三角形全等是解此題的關(guān)鍵．7．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京市第十三中學(xué)分校校考期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，我們將經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線記為直線，將經(jīng)過點(diǎn)且垂直于軸的直線記為直線．對(duì)于點(diǎn)給出如下定義，將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，再將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，稱點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”．對(duì)于圖形給出如下定義，將圖形關(guān)于直線對(duì)稱得到圖形，再將圖形關(guān)于直線對(duì)稱得到圖形，稱圖形為圖形關(guān)于的“對(duì)應(yīng)圖形”．已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，(1)如圖1，若點(diǎn)①由定義知，將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，再將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，得到點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．那么，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為．②已知點(diǎn)和點(diǎn)，若線段關(guān)于的對(duì)應(yīng)線段位于的內(nèi)部（不含三角形的邊），求的取值范圍．(2)若軸上存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊上，直接寫出點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】(1)①，；②(2)【分析】（1）①根據(jù)題目的新定義求解即可；②根據(jù)新定義表達(dá)出和，結(jié)合圖形即可作答；（2）設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊上，可得，問題得解．【解析】（1）①將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，再將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為，將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，再將點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得到點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為，故答案為：，；②解：由上述可得點(diǎn)關(guān)于的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為，點(diǎn)關(guān)于的“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”為．如圖，線段在內(nèi)部，此時(shí)只需在軸下方，在軸上方，即，解得；∴的取值范圍是：．（2）設(shè)點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在的邊上，結(jié)合圖形有：，∴，即的取值范圍：．【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系的新定義，軸對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，解決本題的關(guān)鍵是掌握“對(duì)應(yīng)點(diǎn)”的定義，結(jié)合軸對(duì)稱表示出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，是解答本題的關(guān)鍵．8．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)為，，，且滿足，線段交軸于點(diǎn)，，點(diǎn)是軸負(fù)半軸．上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．

(1)求點(diǎn)、、的坐標(biāo)．(2)問題探究：①如圖2，過點(diǎn)作，小明發(fā)現(xiàn)在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)為定值，為求出這個(gè)定值，小明過點(diǎn)作，請(qǐng)你幫他用表示出的度數(shù)，并說明理由；②如圖3，分別作，的平分線交于點(diǎn)，試問在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，的度數(shù)是否發(fā)生變化，若變化，請(qǐng)說明理由，若不變，請(qǐng)求出的度數(shù)．【答案】(1)A，B，C(2)①，理由見解析；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由見解析過程，【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)乘方、算術(shù)平方根、絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合坐標(biāo)的性質(zhì)分析，即可得到答案；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)，推導(dǎo)得，，結(jié)合余角的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案；②根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，；根據(jù)余角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)計(jì)算，即可得到答案．【解析】（1）解：，，，，，，；（2）解：①，，，，，，；②的度數(shù)不發(fā)生變化，理由如下：過點(diǎn)作，

，，，，，，，、分別為，的平分線，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了直角坐標(biāo)系、乘方、算術(shù)平方根、絕對(duì)值、角平分線、平行線、三角形內(nèi)角和、余角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線、平行線、三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合完成求解．9．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)深圳外國(guó)語學(xué)校?？计谥校╅喿x材料并回答下列問題：當(dāng)m，n都是實(shí)數(shù)，且滿足，就稱點(diǎn)P為“燕南點(diǎn)”．例如：點(diǎn)E，令得，，所以E不是“燕南點(diǎn)”；F，令得，，所以F是“燕南點(diǎn)”．（1）點(diǎn)A，B是“燕南點(diǎn)”的是（2）點(diǎn)M是“燕南點(diǎn)”，請(qǐng)判斷點(diǎn)M在第幾象限？并說明理由；（3）若以關(guān)于x，y的方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)C是“燕南點(diǎn)”，求t的值．【答案】（1）B；（2）M，在第一象限；（3）．【分析】（1）根據(jù)“燕南點(diǎn)”的定義分別判斷即可；（2）直接利用“燕南點(diǎn)”的定義得出a的值再求出點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而得出答案；（3）直接利用“燕南點(diǎn)”的定義得出t的值進(jìn)而得出答案；【解析】（1）點(diǎn)A，令解得，A不是“燕南點(diǎn)“，點(diǎn)B，令解得，B是“燕南點(diǎn)”；故答案為：B；（2）根據(jù)題意,得，，，求得，所以，所以M，在第一象限；（3）方程組的解為∵點(diǎn)是“燕南點(diǎn)”，∴∴，∴，解得，∴t的值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組的解，點(diǎn)的坐標(biāo)的知識(shí)，同時(shí)考查了閱讀理解能力及遷移運(yùn)用能力．10．（2023上·北京西城·八年級(jí)北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，直線表示過且垂直于軸的直線，對(duì)某圖形上的點(diǎn)作如下變換：當(dāng)時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，稱為變換；當(dāng)時(shí)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，稱為變換，若某個(gè)圖形上既有作變換的點(diǎn)，又有作變換的點(diǎn)，則稱此圖形為雙變換圖形．例如，已知，，如圖所示，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)應(yīng)作，變換后為；點(diǎn)應(yīng)作變換，變換后為．(1)當(dāng)時(shí)，已知點(diǎn)，則作相應(yīng)變換后的坐標(biāo)為，若點(diǎn)作相應(yīng)變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，(2)已知，，若線段是雙變換圖形，則的取值范圍為，已知點(diǎn)在第四象限角平分線上，若及其內(nèi)部（點(diǎn)除外）組成的圖形是雙變換圖形，且變換后所得圖形記為，直接寫出所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積為．【答案】(1)；或．(2)或；【分析】（1）①由題意根據(jù)變換的定義求解即可；②根據(jù)題意分兩種情形：，，分別構(gòu)建不等式解決問題即可．（2）①由題意根據(jù)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)，判斷出的范圍即可；②由題意可知滿足條件的圖形是平行四邊形，變換后所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積．【解析】（1）解：①∵，，∴，∴相應(yīng)變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)是，故答案為：．②∵，直線為．若，則點(diǎn)作變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，且符合題意．∴．若，則點(diǎn)作變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)為，，且符合題意．∴．綜上，或．（2）解：①線段是雙變換圖形，，，∴，或．故答案為：或．②如下圖中，點(diǎn)E滿足條件的圖形是平行四邊形，對(duì)于直線，由題意，對(duì)于及其內(nèi)部的點(diǎn)（E除外），滿足，則它關(guān)于直線對(duì)稱的圖形為及其內(nèi)部的點(diǎn)；對(duì)于及其內(nèi)部的點(diǎn)（線段除外），滿足，則它關(guān)于y軸對(duì)稱的圖形為及其內(nèi)部（線段除外），∴所有圖形F所覆蓋的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅渭捌叫兴倪呅?，且它們的面積相等，等于平行四邊形的面積，變換后所有圖形所覆蓋的區(qū)域的面積．故答案為：【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查Ⅰ變換，Ⅱ變換，雙變換圖形的定義，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)構(gòu)建不等式解決問題，屬于中考創(chuàng)新題型．11．（2023上·廣東深圳·八年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）?？计谥校W(xué)完勾股定理的證明后發(fā)現(xiàn)運(yùn)用“同一圖形的面積不同表示方式相同”可以證明一類含有線段的等式，這種解決問題的方法我們稱之為等面積法．(1)【學(xué)有所用】如圖1，在等腰中，，其一腰上的高為h，M是底邊上的任意一點(diǎn)，M到腰、的距離、分別為、，小明發(fā)現(xiàn)，通過連接，將的面積轉(zhuǎn)化為和的面積之和，建立等量關(guān)系，便可證明，請(qǐng)你結(jié)合圖形來證明：；(2)【嘗試提升】如圖2，在中，，D是邊上一點(diǎn)，使，過上一點(diǎn)P，作，垂足為點(diǎn)E，作，垂足為點(diǎn)F，已知，，求的長(zhǎng)．(3)【拓展遷移】如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中有兩條直線，，若上的一點(diǎn)M到的距離是2，求的值．【答案】(1)見解析(2)6(3)或【分析】（1）連接AM，根據(jù)，結(jié)合三角形面積公式和即可證明；（2）根據(jù)勾股定理可求出，再根據(jù)，，，結(jié)合（1）所得結(jié)論即得出；（3）根據(jù)函數(shù)解析式可求得，，，從而可得，即為等腰三角形．再根據(jù)上的一點(diǎn)M到的距離是，則可分類討論：當(dāng)點(diǎn)M在邊上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，如圖，易得出，從而得出，從而可求出，，即得出；②當(dāng)點(diǎn)M在延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)P，則，易證，得出，從而可求出，即得出．【解析】（1）證明：連接AM，由題意得，，，∵，∴，∴，∵，∴；（2）∵，，，∴在中，．又∵，，，∴結(jié)合（1）可知；（3）解：對(duì)于，令，得：；令，得：，∴，．對(duì)于，令，得：，則．∵在中，，，∴，即為等腰三角形．∵上的一點(diǎn)M到的距離是，則點(diǎn)M在邊上或在延長(zhǎng)線上，分類討論：當(dāng)點(diǎn)M在邊上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)G，作于點(diǎn)H，如圖，由（1）知：，由題可知：，則，將，代入，解得：，∴，∴，，∴；②當(dāng)點(diǎn)M在延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)P，如圖，∴，又∵，，∴，∴．∵，∴，∴．綜上所述：的值為或．【點(diǎn)睛】本題考查等積法，勾股定理，一次函數(shù)的應(yīng)用，三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．12．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）小明根據(jù)函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，參照研究函數(shù)的過程與方法，對(duì)于函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究．

(1)列表：下表列出了y與x的幾組對(duì)應(yīng)值，請(qǐng)寫出m，n的值：m=________，n=________；x…43211234……m2n2…描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點(diǎn)，如圖所示：(2)請(qǐng)把y軸左邊各點(diǎn)和右邊各點(diǎn)，分別用光滑的曲線順次連接起來；(3)觀察圖形并分析表格，解決下列問題：①自變量x的取值范圍是__________；②函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)___________中心對(duì)稱；③求證：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．【答案】(1)，(2)見詳解(3)①②③見詳解【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式即可求解；（2）用光滑的曲線順次連接起來，即可求解；（3）①由得，分母不為，即可求解；②由表格可得第一、三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，即可求解；③設(shè)，可得，，可求，，，，即可求解．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；故答案：，．（2）解：如圖，用光滑的曲線順次連接起來，

（3）①解：由得自變量x的取值范圍是，故答案：；②解：由表格得：與，與，與，，第一、三象限的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故答案：．③證明：設(shè)，，，，，，，，，，，故當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．【點(diǎn)睛】本題考查了通過作函數(shù)圖象，通過圖象來研究函數(shù)性質(zhì)：自變量取值范圍、對(duì)稱性、增減性，掌握函數(shù)增減性的證明方法是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·遼寧錦州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【模型構(gòu)建】如圖，將含有的三角板的直角頂點(diǎn)放在直線l上，過兩個(gè)銳角頂點(diǎn)分別向直線l作垂線，這樣就得到了兩個(gè)全等的直角三角形．由于三個(gè)直角的頂點(diǎn)都在同一條直線上，因此我們將其稱為“一線三直角”，這模型在數(shù)學(xué)解題中被廣泛使用．

【模型應(yīng)用】

(1)如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，①則_________；②C，D是正比例函數(shù)圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AD，BC，若，則AD的最小值是__________；(2)如圖2，一次函數(shù)的圖像與y軸，x軸分別交于A，B兩點(diǎn)．將直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線l，求直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；【模型拓展】(3)如圖3，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，，過點(diǎn)A作軸交直線于點(diǎn)B，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，Q是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若是以其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】(1)①；②(2)(3)或或或【分析】（1）①先根據(jù)函數(shù)解析式確定，進(jìn)而得到，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解答；②根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短，可得當(dāng)時(shí)，AD有最小值，然后判定可得，最后根據(jù)勾股定理求解即可；（2）先證可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)待定系數(shù)法即可解答；（3）分，點(diǎn)P在x軸上方或下方和點(diǎn)P在x軸上方或下方，四種情況，分別運(yùn)用全等三角形的判定與性質(zhì)和二元一次方程組解答即可【解析】（1）解：①∵與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴；故答案為；②∵A是定點(diǎn)，∴如圖：當(dāng)時(shí)，有最小值；

∵,∴，∵，∴，在和中，∴，∴在中，由勾股定理得：，∴，∴的最小值為．故答案為．（2）解：如圖，過點(diǎn)B作交直線l于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作軸．

∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．當(dāng)時(shí)，，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．∴．設(shè)直線l對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，將和代入，得

解得∴．（3）解：①當(dāng),,P在x軸的上方，如圖1：過P作軸，交于M，交y軸于N，∵，∴，又∵，∴，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∴，∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴；

②當(dāng),,P在x軸的下方，如圖2：

同①易證：，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∴,∴,即，①②聯(lián)立解得：，∴;

③當(dāng),,P在x軸的上方，如圖3：易證，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴；

④當(dāng),,P在x軸的下方，如圖：易證，∴；∵直線l：，∴設(shè)，∴，∴，∵，∴，①②聯(lián)立解得：，∴．

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與幾何的綜合、等腰直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)成為解答本題的關(guān)鍵．14．（2023上·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上：學(xué)?？萍夹〗M進(jìn)行機(jī)器人行走性能試驗(yàn)，在試驗(yàn)場(chǎng)地一條筆直的賽道上有A，B，C三個(gè)站點(diǎn)，A，B兩站點(diǎn)之間的距離是90米（圖1）．甲、乙兩個(gè)機(jī)器人分別從A，B兩站點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，向終點(diǎn)C行走，乙機(jī)器人始終以同一速度勻速行走．圖2是兩機(jī)器人距離C站點(diǎn)的距離y（米）出發(fā)時(shí)間t（分鐘）之間的函數(shù)圖像，其中為折線段．請(qǐng)結(jié)合圖像回答下列問題：

(1)乙機(jī)器人行走的速度是___________米/分鐘；(2)在時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，6分鐘后，甲機(jī)器人又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度．①圖2中m的值為___________．②請(qǐng)求出在時(shí)，甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或【分析】（1）根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，據(jù)此可求得乙機(jī)器人行走的速度；（2）①先求得甲機(jī)器人行走的總路程540米，再分段求得甲機(jī)器人行走的路程，根據(jù)速度、時(shí)間、路程的關(guān)系式求解即可；②分情況討論，一種是甲乙都在運(yùn)動(dòng)，第二種狀態(tài)是甲先到，靜止下來，乙在跑，以甲停止運(yùn)動(dòng)那一刻為分界點(diǎn)．【解析】（1）解：根據(jù)圖形知乙機(jī)器人9分鐘走完了450米，∴乙機(jī)器人行走的速度為(米/分)；故答案為：50．（2）①設(shè)甲機(jī)器人前3分鐘的速度為x米/分，依題意得：，解得，甲機(jī)器人行走的總路程為：(米)，甲機(jī)器人前4分鐘的速度為80米/分，甲行走路程：(米)，時(shí)，甲的速度變?yōu)榕c乙的速度相同，甲行走路程：(米)，∴，故答案為：．②∵6分鐘后甲機(jī)器人的速度又恢復(fù)為原來出發(fā)時(shí)的速度，∴6分鐘后甲機(jī)器人的速度是80米/分，當(dāng)時(shí)，甲乙兩機(jī)器人的距離為：（米），當(dāng)甲到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，（分），乙到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，（分）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，解得解得甲、乙兩機(jī)器人之間的距離為60米時(shí)時(shí)間的值為7或【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次方程中追擊問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．15．（2023下·北京朝陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)Q給出如下定義：若點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”．(1)①若點(diǎn)，點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“倍點(diǎn)”，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為___________；②當(dāng)P是直線與x軸的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為___________．(2)已知點(diǎn)，，，．①若對(duì)于直線上任意一點(diǎn)Q，在直線上都有點(diǎn)P，使得點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”，求n的值；②點(diǎn)P是直線上任意一點(diǎn)，若在四邊形的邊上存在點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”，且，直接寫出k的取值范圍．【答案】(1)①；②(2)①

②【分析】（1）①直接根據(jù)題中定義求解即可；②先求得與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)定義求解即可；（2）①先利用待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為．則，又，利用題中定義可求得n值；②先得出軸，，再求得直線的表達(dá)式為，設(shè)，則點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”，分點(diǎn)Q在邊上時(shí)、點(diǎn)Q在邊上時(shí)、點(diǎn)Q在邊上時(shí)、點(diǎn)Q在邊上時(shí)，求得，進(jìn)而可求解．【解析】（1）解：①根據(jù)定義，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，故答案為：；②由得，∴，∴點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為，故答案為：；（2）解：①設(shè)過點(diǎn)，的直線為，

解得∴直線的表達(dá)式為．．點(diǎn)P在直線上，．．②∵點(diǎn)，，，．∴軸，，設(shè)直線的表達(dá)式為，將代入，得，∴直線的表達(dá)式為．設(shè)，則點(diǎn)P的“n倍點(diǎn)”，若點(diǎn)Q在邊上時(shí)，則，即，∴，則；若點(diǎn)Q在邊上時(shí)，則，即，∴，則；若點(diǎn)Q在邊上時(shí)，則，即，∴，則；若點(diǎn)Q在邊上時(shí)，則，即，∴，則綜上，，又，∴．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標(biāo)與圖形、解不等式、算術(shù)平方根等知識(shí)，理解題中定義并正確求解是解答的關(guān)鍵．16．（2023下·福建廈門·八年級(jí)統(tǒng)考期末）“雙減”政策頒布后，各校重視了延時(shí)服務(wù)，并在延時(shí)服務(wù)中加大了體育活動(dòng)的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計(jì)劃購進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷售，其中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，他們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：商品進(jìn)價(jià)售價(jià)乒乓球拍（元/套）45羽毛球拍（元/套）52已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元．(1)求出a，b的值；(2)該店面根據(jù)以往的銷售經(jīng)驗(yàn)，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半．設(shè)購進(jìn)乒乓球拍x套，售完這批體育用品獲利y元．①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②該商品實(shí)際采購時(shí)，恰逢“618”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)每套降低了n元（），羽毛球拍的進(jìn)價(jià)不變．已知商店的售價(jià)不變，這批體育用品能夠全部售完．則如何購貨才能獲利最大？【答案】(1)a的值為35，b的值為40(2)①y與x的函數(shù)關(guān)系式為，x的取值范圍為：；②當(dāng)時(shí)，乒乓球拍