專題1.6角的平分線-重難點(diǎn)題型（舉一反三）（北師大版）（原卷版）

專題1.6角的平分線重難點(diǎn)題型【北師大版】【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的作法】①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.

②分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.

③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型1角平分線的作法及應(yīng)用】【例1】（2020秋?曲靖校級(jí)月考）如圖所示，已知∠AOB，求作射線OC，使OC平分∠AOB，作法的合理順序是．（將①②③重新排列）①作射線OC；②以O(shè)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交OA、OB于D、E；③分別以D、E為圓心，大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，在∠AOB內(nèi)，兩弧交于點(diǎn)【變式11】（2020?連城縣模擬）如圖，已知∠MON，點(diǎn)B，C分別在射線OM，ON上，且OB＝OC．（1）用直尺和圓規(guī)作出∠MON的角平分線OP，在射線OP上取一點(diǎn)A，分別連接AB、AC（只需保留作圖痕跡，不要求寫作法）．（2）在（1）的條件下求證：AB＝AC．【變式12】（2020秋?沛縣期中）如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，且AD＝CD，（1）用直尺和圓規(guī)作∠BDC的平分線DE，交BC于點(diǎn)E（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，判斷DE與AC的位置關(guān)系，并寫出證明過程．【變式13】（2021秋?孟州市校級(jí)期中）數(shù)學(xué)課上，探討角平分線的作法時(shí)，李老師用直尺和圓規(guī)作角平分線，方法如下：根據(jù)以上情境，解決下列問題：作法：（如圖1）①在OA和OB上分別截取OD、OE，使OD＝OE．②分別以D、E為圓心，以大于12DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)C③作射線OC，則OC就是∠AOB的平分線．小聰只帶來(lái)直角三角板，他發(fā)現(xiàn)利用三角板也可以作角平分線（如圖2），方法如下：步驟：①利用三角板上的刻度，在OA和OB上分別截取OM、ON，使OM＝ON．②分別過M、N作OM、ON的垂線，交于點(diǎn)P．③作射線OP，則OP為∠AOB的平分線．小穎的身邊只有刻度尺，經(jīng)過嘗試，她發(fā)現(xiàn)利用刻度尺也可以作角平分線．①李老師用尺規(guī)作角平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是．②小聰?shù)淖鞣ㄕ_嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．③請(qǐng)你幫小穎設(shè)計(jì)用刻度尺作角平分線的方法．（要求：作出圖形，寫出作圖步驟，不予證明）【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)】角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.

【題型2角平分線的性質(zhì)的應(yīng)用】【例2】（2021春?畢節(jié)市期末）如圖，已知△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝10，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．9 B．5 C．10 D．不能確定【變式21】（2021春?漢壽縣期中）如圖，四邊形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，連接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，點(diǎn)P是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，則DP的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【變式22】（2020秋?增城區(qū)期末）如圖，已知△ABC的周長(zhǎng)是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分線交于點(diǎn)O，OD⊥BC于點(diǎn)D，若OD＝3cm，則△ABC的面積是（）cm2．A．24 B．27 C．30 D．33【變式23】（2021春?武侯區(qū)校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的角平分線，DF⊥AB于點(diǎn)F，且DE＝DG，S△ADG＝24，S△AED＝18，則△DEF的面積為（）A．2 B．3 C．4 D．6【題型3角平分線的性質(zhì)與等積法】【例3】（2020秋?云南期末）如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面積是152cm2，AB＝20cm，AC＝18cm，求DE的長(zhǎng)．【變式31】（2021春?浦江縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，若AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，求BD的長(zhǎng)．【變式32】（2020春?番禺區(qū)校級(jí)期中）點(diǎn)P為△ABC三內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，求：點(diǎn)P到三邊的距離．【變式33】（2020秋?渝水區(qū)校級(jí)期中）知識(shí)儲(chǔ)備：（1）如圖1，AD是△ABC的高，則△ABC的面積S△ABC=12BC?比例的性質(zhì)：若ba=d知識(shí)運(yùn)用：（2）如圖2，BE是△ABC的角平分線，運(yùn)用上述知識(shí)，求證：ABBC知識(shí)延展：如圖3，△ABC的角平分線BE平分△ABC的周長(zhǎng)，求證：△ABC是等腰三角形．【題型4角平分線的性質(zhì)與全等】【例4】（2020秋?肇源縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BE＝FC．求證：BD＝DF．【變式41】（2020秋?平山縣期中）如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由．【變式42】（2021春?鹽田區(qū)校級(jí)期中）已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，P是OC上的一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D、E，點(diǎn)F是OC上的另一點(diǎn)，連接DF，EF．求證：DF＝EF．【變式43】如圖，AB∥CD，以點(diǎn)A為圓心，小于AC長(zhǎng)為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于12EF長(zhǎng)為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點(diǎn)P，作射線AP，交CD于點(diǎn)（1）求證：AP平分∠CAB；（2）若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)；（3）若CN⊥AM，垂足為N，求證：△CAN≌△CMN．【知識(shí)點(diǎn)3角平分線的判定】角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：

若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB

【題型5角平分線的判定】【例5】（2020秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）如圖，l3與兩條平行公路l1，l2三條公路相交，若要在l1上確定某個(gè)位置，使其到另兩條公路的距離相等，這樣的位置有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)個(gè)【變式51】（2020秋?長(zhǎng)垣市月考）如圖為三條兩兩相交的公路，某石化公司擬建立一個(gè)加油站，計(jì)劃使得該加油站到三條公路的距離相等，則加油站的可選位置有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式52】（2020秋?夏津縣期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線OB，另一把直尺壓住射線OA并且與第一把直尺交于點(diǎn)P，小明說(shuō)：“射線OP就是∠BOA的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（）A．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上 B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等 C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等 D．以上均不正確【變式53】（2021春?道縣期末）如圖，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分線上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線上；④點(diǎn)P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點(diǎn)上．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．④ D．②③【題型6角平分線的性質(zhì)與判定綜合】【例6】（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，OD平分∠AOB，OA＝OB，P是OD上一點(diǎn)，PM⊥BD于點(diǎn)M，PN⊥AD于點(diǎn)N．求證：PM＝PN．【變式61】（2020秋?臨西縣期末）已知：如圖，BP、CP分別是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：PA平分∠MAN．【變式62】（2020秋?常熟市期中）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求∠