四邊形中的折疊問題專項(xiàng)訓(xùn)練（20題）-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

四邊形中的折疊問題（20題）一．選擇題（共5小題）1．如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，點(diǎn)E在BC邊上，將菱形紙片ABCD沿DE折疊，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，且DC′是AB的垂直平分線，則∠DEC的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進(jìn)而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：連接BD，如圖所示：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB＝AD，∵∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵DC′是AB的垂直平分線，∴P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．故選：D．2．如圖，將正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在邊AB上的D'處，點(diǎn)C落在C'處，若∠AD'M＝50°，則∠MNC'的度數(shù)為（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】折疊后，四邊形CDMN與四邊形C′D′MN關(guān)于MN對(duì)稱，則∠DMN＝∠D′MN，同時(shí)∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，所以∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°，根據(jù)四邊形內(nèi)角和360°即可求得∠MNC'的度數(shù)．【解答】解：四邊形CDMN與四邊形C′D′MN關(guān)于MN對(duì)稱，則∠DMN＝∠D′MN，且∠AMD′＝90°﹣∠AD'M＝40°，∴∠DMN＝∠D′MN＝（180°﹣40°）÷2＝70°由于∠MD′C′＝∠NC′D′＝90°，∴∠MNC'＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°故選：B．3．如圖，已知矩形ABCD，將△BCD沿對(duì)角線BD折疊，記點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C'，若∠ADC'＝20°，則∠BDC的度數(shù)為（）A．55° B．50° C．60° D．65°【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠BDC＝∠BDC′，故∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，根據(jù)∠ADB+∠BDC＝90°，列方程求∠BDC．【解答】解：由折疊的性質(zhì)，得∠BDC＝∠BDC′，則∠ADB＝∠BDC′﹣∠ADC′＝∠BDC﹣20°，∵∠ADB+∠BDC＝90°，∴∠BDC﹣20°+∠BDC＝90°，解得∠BDC＝55°．故選：A．4．如圖，AC為矩形ABCD的對(duì)角線，將邊AB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)M處，將邊CD沿CF折疊，使點(diǎn)D落在AC上的點(diǎn)N處，易證四邊形AECF是平行四邊形．要使四邊形AECF是菱形，則∠BAE的度數(shù)是（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】證出∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，即可解決問題．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：∠BAE＝∠CAE，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACE，∵四邊形AECF是菱形，∴AE＝CE，∴∠CAE＝∠ACE，∴∠BAE＝∠CAE＝∠DAC，∴∠BAE＝×90°＝30°，故選：A．5．如圖，將三角形紙片△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)F處，且DE∥BC，下列結(jié)論中，一定正確的個(gè)數(shù)是（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BC；③四邊形ADFE是菱形；④∠BDF+∠FEC＝2∠A．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)菱形的判定和等腰三角形的判定，采用排除法，逐條分析判斷．【解答】解：①∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠EDF＝∠BFD，又∵△ADE≌△FDE，∴∠ADE＝∠EDF，AD＝FD，AE＝CE，∴∠B＝∠BFD，∴△BDF是等腰三角形，故①正確；同理可證，△CEF是等腰三角形，∴BD＝FD＝AD，CE＝FE＝AE，∴DE是△ABC的中位線，∴DE＝BC，故②正確；∵∠B＝∠BFD，∠C＝∠CFE，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠B+∠BFD+∠BDF＝180°，∠C+∠CFE+∠CEF＝180°，∴∠BDF+∠FEC＝2∠A，故④正確．而無(wú)法證明四邊形ADFE是菱形，故③錯(cuò)誤．所以一定正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有3個(gè)，故選：C．二．填空題（共7小題）6．如圖1，在一張長(zhǎng)方形紙片ABCD上畫一條線段MN，將紙片沿線段MN折疊（如圖2），當(dāng)∠1＝70°時(shí)，∠KNC＝40°（注：長(zhǎng)方形紙片對(duì)邊平行，即：CD∥AB，AD∥BC）．【分析】由折疊的性質(zhì)可得∠1＝∠NMK＝70°，由平行線的性質(zhì)可求∠MNK＝∠1＝70°，∠CNM＝110°，即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠MNK＝∠1＝70°，由折疊的性質(zhì)可得：∠1＝∠NMK＝70°，∵CN∥BM，∴∠CNM+∠KMN＝180°，∴∠CNM＝110°，∴∠KNC＝40°，故答案為：40°．7．如圖，D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，將此三角形沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)P處．若∠CDE＝50°，則∠APD等于50°．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和中位線定理得出結(jié)論．【解答】解：由折疊得：∠PDE＝∠CDE＝50°，∵D，E分別為△ABC的AC，BC邊的中點(diǎn)，∴DE∥AB，∴∠APD＝∠PDE＝50°，故答案為：50°．8．如圖，CD是Rt△ABC斜邊AB上的高，將△BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則∠A等于30度．【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得到EC＝AE，從而得到∠A＝∠ACE，再由折疊的性質(zhì)及三角形的外角性質(zhì)得到∠B＝2∠A，從而不難求得∠A的度數(shù)．【解答】解：∵在Rt△ABC中，CE是斜邊AB的中線，∴AE＝CE，∴∠A＝∠ACE，∵△CED是由△CBD折疊而成，∴∠B＝∠CED，∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝2∠A，∴∠B＝2∠A，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝30°．故答案為：30．9．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊CO、OA分別在x軸、y軸上，點(diǎn)E在邊BC上，將該矩形沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在邊OC上的F處．若OA＝6，AB＝10，則點(diǎn)E的坐標(biāo)是（10，）．【分析】根據(jù)題意AF＝AB＝10，由勾股定理可以得到OF，進(jìn)而得CF的長(zhǎng)度，設(shè)CE＝a，則EF＝BE＝6﹣a，由勾股定理列出a的方程求得a的值，便可求得E點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：設(shè)CE＝a，則BE＝6﹣a，由題意可得，EF＝BE＝6﹣a，由對(duì)折知，AF＝AB＝10，∴，∴CF＝OC﹣OF＝10﹣8＝2，∵∠ECF＝90°，∴a2+22＝（6﹣a）2，解得，a＝，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，），故答案為（10，）．10．如圖，把長(zhǎng)方形紙片OABC放入平面直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸、y軸上，連接AC，將紙片OABC沿AC折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)D的位置，AD與y軸交于點(diǎn)E，若B（2，4），則OE的長(zhǎng)為．【分析】由四邊形OABC是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△AEC是等腰三角形，然后在Rt△AEO中，利用勾股定理求得AE，OE的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形OABC是矩形，∴OC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，根據(jù)題意得：∠CAB＝∠CAD，∠CDA＝∠B＝90°，∴∠ECA＝∠EAC，∴EC＝EA，∵B（2，4），∴AD＝AB＝4，設(shè)OE＝x，則AE＝EC＝OC﹣OE＝4﹣x，在Rt△AOE中，AE2＝OE2+OA2，即（4﹣x）2＝x2+4，解得：x＝，∴OE＝，故答案為：．11．如圖，在矩形紙片ABCD中，邊AB＝12，AD＝5，點(diǎn)P為DC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D，C重合），將紙片沿AP折疊，則CD′的最小值為8．【分析】連接AC，當(dāng)點(diǎn)D'在AC上時(shí)，CD'有最小值，根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)解答即可．【解答】解：連接AC，當(dāng)點(diǎn)D'在AC上時(shí)，CD'有最小值，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝12，AD＝5，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，∴AC＝，由折疊性質(zhì)得：AD＝AD'＝5，∠AD'P＝∠D＝90°，∴CD'的最小值＝AC﹣AD'＝13﹣5＝8，故答案為：8．12．如圖，矩形ABCD沿AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，如果∠BAF＝60°，則∠AEF＝75°．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)可以求得∠AEF的度數(shù)，本題得以解決．【解答】解：∵∠BAF＝60°，∠BAD＝90°，∴∠FAD＝30°，由折疊的性質(zhì)可得，∠FAE＝∠DAE，∠D＝∠AFE＝90°，∴∠FAE＝∠DAE＝∠FAD＝15°，∴∠AEF＝∠AFE﹣∠FAE＝90°﹣15°＝75°，故答案為：75°．三．解答題（共8小題）13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為BC上一點(diǎn)，CE＝2BE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接DF，則線段DF的長(zhǎng)度是多少？【分析】利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出AE的長(zhǎng)，進(jìn)而求出EN的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出FN的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DF即可．【解答】解：作FN⊥BC，F(xiàn)M⊥DC，垂足分別為N，M，連接BF，交AE于K，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，E為BC上一點(diǎn)，CE＝2BE，∴BE＝2，∴AE＝2，∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接DF，∴BF⊥AE，∴AB×BE＝BK×AE，∴KB＝KF＝，設(shè)EN＝x，則22﹣x2＝（）2﹣（2+x）2，解得：x＝，故FN＝＝，則DM＝6﹣＝，F(xiàn)M＝NC＝6﹣2﹣＝，則DF＝＝．14．如圖，將一張矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)A處，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，直接MN交BC于點(diǎn)M，交AD于點(diǎn)N．求證：四邊形AMCN是菱形．【分析】由矩形ABCD與折疊的性質(zhì)，易證得△CMN是等腰三角形，即CM＝CN，即可證得AM＝CM＝CN＝AN，即可得四邊形AMCN是菱形．【解答】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠NMC，由折疊的性質(zhì)，可得：∠ANM＝∠CNM，AM＝CM，AN＝CN，∴∠NMC＝∠CNM，∴CM＝CN，∴AM＝CM＝CN＝AN，∴四邊形AMCN為菱形．15．如圖，在三角形紙片ABC中，AD是△ABC的角平分線，把△ABC進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕與AB相交于E，與AC相交于F，求證：四邊形AEDF是菱形．【分析】由∠BAD＝∠CAD，AO＝AO，∠AOE＝∠AOF＝90°證△AEO≌△AFO，推出EO＝FO，得出平行四邊形AEDF，根據(jù)EF⊥AD得出菱形AEDF．【解答】證明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°在△AEO和△AFO中，，∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO，又∵A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，∴AO＝DO，∴EF、AD相互平分，∴四邊形AEDF是平行四邊形∵點(diǎn)A與點(diǎn)D關(guān)于直線EF對(duì)稱，∵EF⊥AD，∴平行四邊形AEDF為菱形．16．如圖：在梯形ABCD中，CD∥AB，將△ADC沿AC邊所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，連接CE．求證：四邊形AECD為菱形．【分析】先由△ADC≌△AEC，證得CD＝CE，∠DCA＝∠ACE，再根據(jù)CD∥AB，得到∠DCA＝∠CAE，則EA＝EC，根據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”行證明．【解答】證明：∵△ADC≌△AEC，∴CD＝CE，∠DCA＝∠ECA（2分），又梯形ABCD中，CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAE（3分）∴∠CAE＝∠ACE（4分）∴AE＝CE，∴CD＝AE（5分）∴四邊形AECD為平行四邊形，∵AE＝CE，∴四邊形AECD為菱形．（6分）17．小明嘗試著將矩形紙片ABCD（如圖①，AD＞CD）沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，折痕為AE（如圖②）；再沿過D點(diǎn)的直線折疊，使得C點(diǎn)落在DA邊上的點(diǎn)N處，E點(diǎn)落在AE邊上的點(diǎn)M處，折痕為DG（如圖③）．如果第二次折疊后，M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，求矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比值．【分析】連接DE，由翻折的性質(zhì)知，四邊形ABEF為正方形，∠EAD＝45°，而M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，則DE平分∠GDC，易證Rt△DGE≌Rt△DCE，得到DC＝DG，而△AGD為等腰直角三角形，得到AD＝DG＝CD．【解答】解：連接DE，如圖：∵沿過A點(diǎn)的直線折疊，使得B點(diǎn)落在AD邊上的點(diǎn)F處，∴四邊形ABEF為正方形，∴∠EAD＝45°，由第二次折疊知，M點(diǎn)正好在∠NDG的平分線上，∴DE平分∠GDC，∴∠GDE＝∠CDE，∵DG為折痕，∴∠DGE＝90°＝∠C，而DE＝DE，∴Rt△DGE≌Rt△DCE（AAS），∴DC＝DG，∵∠EAD＝45°，∠DGA＝90°，∴△AGD為等腰直角三角形，∴AD＝DG＝CD，∴矩形ABCD長(zhǎng)與寬的比值為，故答案為．18．如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，E是BC上的一點(diǎn)，將△ABE沿著AE折疊，點(diǎn)B剛好落在CD邊上點(diǎn)G處；點(diǎn)F在DG上，將△ADF沿著AF折疊，點(diǎn)D剛好落在AG上點(diǎn)H處，且CE＝BE．（1）求AD的長(zhǎng)；（2）求FG的長(zhǎng)．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AB＝AG＝15，AD＝AH，EB＝EG＝5x，∠B＝∠AGE＝90°，∠D＝∠AHF＝90°，由勾股定理可求CG＝3x，由余角的性質(zhì)可求∠AGD＝∠CEG，由銳角三角函數(shù)可得，即可求解；（2）由銳角三角函數(shù)可得，即可求解．【解答】解：（1）∵CE＝BE，∴BE＝5x，CE＝4x，由折疊的性質(zhì)可得：AB＝AG＝15，AD＝AH，EB＝EG＝5x，∠B＝∠AGE＝90°，∠D＝∠AHF＝90°，∴CG＝＝＝3x，∵∠EGC+∠GEC＝90°＝∠EGC+∠AGD，∴∠AGD＝∠CEG，∴sin∠CEG＝sin∠AGD＝，∴，∴AD＝9；（2）∵AD＝9，AG＝15，∴GH＝AG﹣AH＝6，