3.1不等式的基本性質(zhì)（六大題型）（原卷版）

3．1不等式的基本性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、通過(guò)具體情景，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量不等關(guān)系．掌握不等式的性質(zhì)；2、會(huì)用不等式的性質(zhì)證明簡(jiǎn)單的不等式．3、培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、辨析、運(yùn)用的綜合思維能力，體會(huì)化歸與轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理能力.1、邏輯推理：運(yùn)用不等式的性質(zhì)證明不等式；2、數(shù)學(xué)運(yùn)算：運(yùn)用不等式的性質(zhì)求解證明不等式；3、直觀想象：在幾何圖形中發(fā)現(xiàn)不等式；4、數(shù)學(xué)建模：能夠在實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建不等關(guān)系，解決問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語(yǔ)言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：；③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語(yǔ)言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語(yǔ)言：，．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③．對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識(shí)點(diǎn)詮釋：這三個(gè)式子實(shí)質(zhì)是運(yùn)用實(shí)數(shù)運(yùn)算來(lái)比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小關(guān)系．它是本章的基礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)．【即學(xué)即練1】若，，則、、從小到大的排列為．知識(shí)點(diǎn)02不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．【即學(xué)即練2】已知，則下列命題正確的是（

）A． B．C． D．知識(shí)點(diǎn)03比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大小．①；②；③．中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．【即學(xué)即練3】設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.題型一：用不等式（組）表示不等關(guān)系【典例11】（2024·高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）某高速公路要求行駛的車輛的速度v的最大值為120km/h，同一車道上的車間距d不得小于10m，用不等式表示為（

）A．且 B．或C．且 D．或【典例12】（2024·高一·廣東深圳·階段練習(xí)）公司運(yùn)輸一批木材，總重600噸，車隊(duì)有兩種貨車，A型貨車載重量30噸，型貨車載重量24噸，設(shè)派出A型貨車輛，型貨車輛，則運(yùn)輸方案應(yīng)滿足的關(guān)系式是（

）A． B．C． D．【方法技巧與總結(jié)】將不等關(guān)系表示成不等式（組）的思路（1）讀懂題意，找準(zhǔn)不等式所聯(lián)系的量．（2）用適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)連接．（3）多個(gè)不等關(guān)系用不等式組表示．【變式11】（2024·高一·新疆·期中）某校新生加入乒乓球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)多于加入籃球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)，加入籃球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)多于加入足球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)，加入足球協(xié)會(huì)學(xué)生人數(shù)的3倍多于加入乒乓球協(xié)會(huì)和加入籃球協(xié)會(huì)的學(xué)生人數(shù)之和，若該校新生每人只能加入其中一個(gè)協(xié)會(huì)，則該校新生中加入這三個(gè)協(xié)會(huì)的總?cè)藬?shù)至少為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【變式12】（2024·高一·貴州遵義·階段練習(xí)）持續(xù)的高溫干燥天氣導(dǎo)致某地突發(fā)山火，現(xiàn)需將物資運(yùn)往滅火前線．從物資集散地到滅火前線共，其中靠近滅火前線的山路崎嶇，需摩托車運(yùn)送，其他路段可用汽車運(yùn)送．已知在可用汽車運(yùn)送的路段，運(yùn)送的平均速度為，設(shè)需摩托車運(yùn)送的路段平均速度為，為使物資能在1小時(shí)內(nèi)到達(dá)滅火前線，則x應(yīng)該滿足的不等式為（

）．A． B．C． D．【變式13】（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）王老師是高三的班主任，為了更好地督促班上的學(xué)生完成作業(yè)，王老師特地組建了一個(gè)學(xué)習(xí)小組的釘釘群，群的成員由學(xué)生、家長(zhǎng)、老師共同組成．已知該釘釘群中男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)，女學(xué)生人數(shù)多于家長(zhǎng)人數(shù)，家長(zhǎng)人數(shù)多于教師人數(shù)，教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù)．則該釘釘群人數(shù)的最小值為（

）A．18 B．20 C．22 D．28題型二：作差法比較兩數(shù)（式）的大小【典例21】（2024·高一·上海·課堂例題）已知，求證：.【典例22】（2024·高一·上?！ふn堂例題）原有酒精溶液a（單位：g），其中含有酒精b（單位：g），其酒精濃度為.為增加酒精濃度，在原溶液中加入酒精x（單位：g），新溶液的濃度變?yōu)?根據(jù)這一事實(shí)，可提煉出如下關(guān)于不等式的命題：若，，則.試加以證明.【方法技巧與總結(jié)】作差法比較大小的步驟【變式21】設(shè)x是實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.【變式22】已知是實(shí)數(shù)，(1)求證：，并指出等號(hào)成立的條件；(2)求證：如果，那么.題型三：利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假【典例31】（2024·高一·安徽淮北·期中）已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【典例32】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（

）.A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【方法技巧與總結(jié)】運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷真假的技巧（1）首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．（2）解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．【變式31】（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，則下面有六個(gè)結(jié)論：①，②，③，④，⑤，⑥中，正確結(jié)論的序號(hào)是．【變式32】（2024·高一·廣東梅州·開學(xué)考試）若、、，，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．【變式33】（2024·高一·山東臨沂·階段練習(xí)）若，則下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式34】（2024·高三·廣西·學(xué)業(yè)考試）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則（

）A． B． C． D．題型四：利用不等式的性質(zhì)證明不等式【典例41】已知a、b為任意給定的正數(shù)，求證：，并指出等號(hào)成立的條件．【典例42】（1）已知，，求證：；（2）已知，，求證：．【方法技巧與總結(jié)】對(duì)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的說(shuō)明（1）不等式的性質(zhì)是證明不等式的基礎(chǔ)，對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b有；；．這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的依據(jù)，也是證明不等式的基礎(chǔ)．（2）利用不等式的性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵要對(duì)性質(zhì)正確理解和運(yùn)用，要弄清楚每一條性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件的加強(qiáng)和減弱、條件和結(jié)論之間的相互聯(lián)系．（3）比較法是證明不等式的基本方法之一，是實(shí)數(shù)大小比較和實(shí)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的直接應(yīng)用．【變式41】已知，．求證：．【變式42】（2024·高一·全國(guó)·專題練習(xí)），，，，設(shè)，證明：.【變式43】（2024·高一·福建泉州·階段練習(xí)）（1）已知，設(shè)，，比較與的大?。唬?）證明：已知，且，求證：.【變式44】（2024·高一·安徽·階段練習(xí)）（1），其中x，y均為正實(shí)數(shù)，比較a，b的大??；（2）證明：已知，且，求證：【變式45】（2024·高一·上?！ｎ}練習(xí)）（1）已知，求證：；（2）已知，求證：（3）已知，求證：題型五：利用不等式的性質(zhì)比較大小【典例51】（2024·高一·青海玉樹·期末）已知，則．（填“＞”“＜”或“＝”）【典例52】（2024·高二·陜西榆林·期中）設(shè)，，則，的大小關(guān)系為.【方法技巧與總結(jié)】注意點(diǎn)：①記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用；②應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則【變式51】（2024·高一·遼寧沈陽(yáng)·期中）若，，，則，的大小關(guān)系是.【變式52】（2024·高一·上海·課前預(yù)習(xí)）已知，有以下說(shuō)法：①若，則；②若，則；③若，則，其中正確的是．【變式53】（2024·高一·上海黃浦·階段練習(xí)）已知，有四個(gè)推理：①；②；③；④，其中正確的序號(hào)是．【變式54】已知a，，則下列選項(xiàng)中能使成立的是，能使成立的是（填上正確的序號(hào)）．①

②

③

④在下列空格上填適當(dāng)?shù)牟坏忍?hào)：（1）若，則；（2）若，，則1；．題型六：利用不等式的基本性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍【典例61】（多選題）（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【典例62】（多選題）（2024·高一·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，則的取值可以為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【方法技巧與總結(jié)】利用不等式的性質(zhì)求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關(guān)系，最后利用一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，求得待求的范圍．如已知，要求的范圍，不能分別求出的范圍，再求的范圍，應(yīng)把已知的“”“”視為整體，即，所以需分別求出的范圍，兩范圍相加可得的范圍．“范圍”必須對(duì)應(yīng)某個(gè)字母變量或代數(shù)式，一旦變化出其他的范圍問(wèn)題，則不能再間接得出，必須“直來(lái)直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數(shù)量關(guān)系，然后去求．注意同向（異向）不等式的兩邊可以相加（相減），這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，如果在解題過(guò)程中多次使用這種轉(zhuǎn)化，就有可能擴(kuò)大其取值范圍．【變式61】（2024·高三·江蘇南通·階段練習(xí)）若變量x，y滿足約束條件，，則的最小值為（

）A．7 B．6 C．5 D．4【變式62】（2024·高一·河南鄭州·階段練習(xí)）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式63】（多選題）（2024·高一·河南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）設(shè)為實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【變式64】（多選題）（2024·高一·河北·階段練習(xí)）已知，則以下命題正確的是（

）A． B．C． D．【變式65】（多選題）（2024·高一·吉林延邊·階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x，y滿足，，則（）A． B．C． D．【變式66】（2024·高三·福建寧德·開學(xué)考試）已知，則的取值范圍是.1．（2024·高一·廣東佛山·階段練習(xí)）設(shè)，為實(shí)數(shù)，命題甲：，命題乙：，則命題甲是命題乙的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·高一·貴州·階段練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．（2024·高一·湖北隨州·階段練習(xí)）若，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．4．（2024·高三·山東濰坊·期末）若則下列不等式中一定成立的是（）A． B．C． D．5．（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．不等式和均不能成立B．不等式和均不能成立C．不等式和均不能成立D．不等式和均不能成立6．（2024·湖南衡陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）新高考改革后，生物，化學(xué)，政治，地理采取賦分制度：原始分排名前的同學(xué)賦分分．若原始分的最大值為，最小值為，令為滿足，的一次函數(shù)．對(duì)于原始分為的學(xué)生，將的值四舍五入得到該學(xué)生的賦分.已知小趙原始分，賦分；小葉原始分，賦分；小林原始分，他的賦分是（

）A． B． C． D．或7．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）記表示這3個(gè)數(shù)中最大的數(shù)．已知，，都是正實(shí)數(shù)，，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．（2024·高一·湖北恩施·期末）某商場(chǎng)計(jì)劃做一次活動(dòng)刺激消費(fèi)，計(jì)劃對(duì)某商品降價(jià)兩次，方案甲：第一次降價(jià)，第二次降價(jià).方案乙：第一次降價(jià).第二次降價(jià).方案丙：兩次均降價(jià)m+n2%，其中.那么兩次降價(jià)后價(jià)格最高的方案為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．無(wú)法判斷9．（多選題）（2024·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）下列命題敘述正確的是（

）A．，當(dāng)時(shí)，B．，當(dāng)時(shí)，C．，當(dāng)時(shí)，D．，當(dāng)時(shí)，10．（多選題）（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“＝”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“＜”和“＞”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若且，則11．（多選題）（2024·高一·江蘇南通·期末）若，，則（）A． B． C． D．12．（多選題）（2024·高一·四川成都·期中）下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則13．（2024·高一·上?！るS堂練習(xí)）下面四個(gè)條件中，使成立的充分而非必要的條件是（填寫序號(hào)）．①

②

③

④14．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，求的取值范圍為.15．（2024·高一·上?！て谥校┮阎瑒t的取值范圍是．16．（2024·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知x，y為實(shí)數(shù)，滿足，，則的最大值是，此時(shí).17．（2024·高一·河南駐馬店·開學(xué)考試）一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比不小于10%，而且這個(gè)比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗戶面積與地板面積的總和為，其中窗戶面積為20平方米，該公寓采光效果是否合格？(2)若同時(shí)增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光是變好了還是變壞了？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．（2024·高一·上海·隨堂練習(xí)）某網(wǎng)店的最新iPad商品計(jì)劃分兩次降價(jià)促銷，有三種方案：A：第一次降價(jià)百分率為m，第二次降價(jià)百分率為n．B