專練15（二次函數(shù)類壓軸題）（30）-2021年中考數(shù)學(xué)考點必殺500題（原卷版）

2021中考考點必殺500題專練15（二次函數(shù)類壓軸題）（30道）1．（2021·江西贛州市·九年級一模）規(guī)定：對于拋物線y＝ax2＋bx＋c，與該拋物線關(guān)于點M（m，n）（m＞0，n≥0）成中心對稱的拋物線為y′，我們稱拋物線y′為拋物線y的發(fā)散拋物線，點M稱為發(fā)散中心．已知拋物線y0＝mx2＋4x＋3經(jīng)過點（﹣1，0），頂點為A，拋物線y1與該拋物線關(guān)于點（1，0）成中心對稱．（1）m＝，點A的坐標是，拋物線y1的解析式是．（2）對于拋物線y0＝mx2＋4x＋3，如圖，現(xiàn)分別以y1的頂點A1為發(fā)散中心，得拋物線y2；再以拋物線y2的頂點A2為發(fā)散中心，得拋物線y3，…，以此類推．①求拋物線y0＝mx2＋4x＋3以A1為發(fā)散中心得到的拋物線y2的解析式；②求發(fā)散拋物線y4的發(fā)散中心A3的坐標；③若發(fā)散拋物線yn的頂點An的坐標為（3×2n﹣2，2n﹣1），請直接寫出AnAn﹣1的長度（用含n的式子表示）．2．（2021·江西九年級其他模擬）如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點，，點在拋物線上．（1）求點的坐標與拋物線的解析式；（2）將拋物線沿直線作次平移（為正整數(shù)），平移后拋物線分別記作，，…，，頂點分別為，，…，，頂點橫坐標分別為，，…，，與軸的交點分別為，，…，；①在，，…，中，是否存在一條拋物線，使得點恰好落在這條拋物線上？若存在，求出所有滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由；②若，過點作軸的平行線交于點，若由，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值；如圖2，是拋物線上的一動點，且保持在第四象限，直線關(guān)于直線的對稱直線交拋物線于點，點，到直線的距離分別為，，當點在拋物線上運動時，的值是否發(fā)生變化？如果不變，求出其值；如果變化，請說明理由．3．（2021·江西九年級二模）如圖，已知拋物線，與y軸交于點A，它的頂點為B．作拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線，與y軸交于點C，它的頂點為D．我們把稱為的對偶拋物線．若中任意三點都不在同一直線上，則稱四邊形為拋物線的對偶四邊形，直線為拋物線的對偶直線．（1）求證：對偶四邊形是平行四邊形．（2）已知拋物線，求該拋物線的對偶直線的解析式．（3）若拋物線的對偶直線是，且對偶四邊形的面積為10，求拋物線的對偶拋物線的解析式．4．（2021·江西九年級一模）如圖，已知拋物線C1：y1＝x2＋2x＋a＋1的頂點為A，與y軸交于點B，將拋物線C1平移后得到拋物線C2：y2＝（x﹣a）2＋2a＋1，拋物線C2的頂點為D，兩拋物線交于點C．（1）若a＝1，求點C的坐標．（2）隨著a值的變化，試判斷點A，B，D是否始終在同一直線上，并說明理由．（3）當2AB＝BD時，試求a的值．5．（2021·江西）如圖，已知二次函數(shù)L：y＝﹣4x﹣2，其中n為正整數(shù)，它與y軸相交于點C．（1）求二次函數(shù)L的最小值（用含n的代數(shù)式表示）．（2）將二次函數(shù)L向左平移（3n﹣4）個單位得到二次函數(shù)L1①若二次函數(shù)L與二次函數(shù)L1關(guān)于y軸對稱，求n的值；②二次函數(shù)L1頂點的縱坐標y與橫坐標x之間存在一個函數(shù)關(guān)系，求這個函數(shù)關(guān)系式．（3）在二次函數(shù)y＝﹣4x﹣2中，當n依次取1，2，3，…，n時，拋物線依次交直線y＝﹣2于點A1，A2，A3，…，An，頂點依次為B1，B2，B3，…，Bn．①連接CBn﹣1，Bn﹣1An﹣1，CBn，BnAn，求證：△CAn﹣1Bn﹣1∽△CAnBn；②求：：：…：的值．6．（2021·江西贛州市·九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，拋物線經(jīng)過，，三點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①點是拋物線的頂點，試判定的形狀，并加以證明；（3）如圖②在第一象限的拋物線上，是否存在點，使？若存在，請求點的坐標；若不存在，請說明理由．7．（2021·江西贛州市·九年級期末）如圖，已知拋物線與x軸交于兩點，與y軸交于點．將拋物線向右平移個單位得到拋物線與x軸交于D，E兩點（點D在點E的左側(cè)），與拋物線在第一象限交于點M．（1）求拋物線的解析式，并求出其對稱軸；（2）①當時，直接寫出拋物線的解析式；②直接寫出用含m的代數(shù)式表示點M的坐標；（3）連接．在拋物線平移的過程中，是否存在是等邊三角形的情況？若存在，請求出此時m的值；若不存在，請說明理由．8．（2021·江西上饒市·九年級期末）已知拋物線和拋物線（為正整數(shù)）．（1）拋物線與軸的交點______，頂點坐標______；（2）當時，請解答下列問題．①直接寫出與軸的交點______，頂點坐標______，請寫出拋物線，的一條相同的圖象性質(zhì)______；②當直線與，相交共有4個交點時，求的取值范圍．（3）若直線（）與拋物線，拋物線（為正整數(shù)）共有4個交點，從左至右依次標記為點，點，點，點，當時，求出，之間滿足的關(guān)系式．9．（2021·江西贛州市·九年級期末）如圖1，拋物線y=x2﹣2x+k與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C（0，﹣3）．[圖2、圖3為解答備用圖]（1）k=，點A的坐標為，點B的坐標為；（2）設(shè)拋物線y=x2﹣2x+k的頂點為M，求四邊形ABMC的面積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在一點D，使四邊形ABDC的面積最大？若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；（4）在拋物線y=x2﹣2x+k上求點Q，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形．10．（2021·江西贛州市·九年級期末）我們給出如下定義：在平面直角坐標系xOy中，如果一條拋物線平移后得到的拋物線經(jīng)過原拋物線的頂點，那么這條拋物線叫做原拋物線的過頂拋物線．如下圖，拋物線F2都是拋物線F1的過頂拋物線，設(shè)F1的頂點為A，F(xiàn)2的對稱軸分別交F1、F2于點D、B，點C是點A關(guān)于直線BD的對稱點．（1）如圖1，如果拋物線y=x2的過頂拋物線為y=ax2+bx，C（2，0），那么①a=，b=．②如果順次連接A、B、C、D四點，那么四邊形ABCD為（）A．平行四邊形B．矩形C．菱形D．正方形（2）如圖2，拋物線y=ax2+c的過頂拋物線為F2，B（2，c－1）．求四邊形ABCD的面積．（3）如果拋物線的過頂拋物線是F2，四邊形ABCD的面積為，請直接寫出點B的坐標．11．（2021·江西九年級一模）如圖1，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在第一象限），點在的延長線上，且（為正整數(shù)）．過點，的拋物線，其頂點在軸上．（1）求的長；（2）①當時，拋物線的函數(shù)表達式為______；②當時，求拋物線的函數(shù)表達式；（3）如圖2，拋物線，經(jīng)過、兩點，頂點為，且、、三點在同一直線上，①求與的關(guān)系式；②當時，設(shè)四邊形的面積，當時，設(shè)四邊形的面積（，為正整數(shù)，，），若，請直接寫出值．12．（2021·江西九年級其他模擬）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，拋物線C：y＝ax2+bx+c與x軸相交于A、B兩點，頂點為D（0，4），AB＝，設(shè)點F（m，0）是x軸的正半軸上一點，將拋物線C繞點F旋轉(zhuǎn)180°，得到新的拋物線C'．（1）求拋物線C的函數(shù)表達式；（2）若拋物線C'與拋物線C在y軸的右側(cè)有兩個不同的公共點．①拋物線C'的解析式為（用含m的關(guān)系式表示）；②求m的取值范圍；（3）如圖2，P是第一象限內(nèi)拋物線C上一點，它到兩坐標軸的距離相等，點P在拋物線C'上的對應(yīng)點為P'，設(shè)M是C上的動點，N是C'上的動點，試探究四邊形PMP'N能否成為正方形，若能，求出m的值；若不能，請說明理由．13．（2021·江西九年級月考）如圖，已知二次函數(shù)：，其中為正整數(shù)，它與軸相交于點．（1）求二次函數(shù)的最小值（用含的代數(shù)式表示）．（2）將二次函數(shù)向左平移個單位得到二次函數(shù)．①若二次函數(shù)與二次函數(shù)關(guān)于軸對稱，求的值；②二次函數(shù)頂點的縱坐標與橫坐標之間存在一個函數(shù)關(guān)系，求這個函數(shù)關(guān)系式．（3）在二次函數(shù)中，當依次取1，2，3，…，時，拋物線依次交直線于點，，，…，，頂點依次為，，，…，．①連接，，，，求證：；②求的值．14．（2021·江西贛州市·九年級期末）如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點為B（4，0），另一個交點為A，且與y軸相交于C點．（1）求m的值及C點坐標；（2）P為拋物線上一點，它關(guān)于直線BC的對稱點為Q．①當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標；②點P的橫坐標為t（0＜t＜4），當t為何值時，四邊形PBQC的面積最大，請說明理由．15．（2021·江西贛州市·九年級期末）如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為(2，0)，OB=OA，且∠AOB=120°．（1）求直線AB的解析式；（2）經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△BOC的周長最小?若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．16．（2021·江西吉安市·九年級一模）已知拋物線l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點為M，與y軸的交點為N，我們稱以N為頂點，對稱軸是y軸且過點M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．（1）如圖，拋物線y=x2﹣2x﹣3的衍生拋物線的解析式是，衍生直線的解析式是；（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求這條拋物線的解析式；（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=x2﹣2x﹣3的頂點為M，與y軸交點為N，將它的衍生直線MN先繞點N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個單位得直線n，P是直線n上的動點，是否存在點P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．17．（2021·江西撫州市·九年級期末）定義：在平面直角坐標系中，拋物線y＝a+bx+c（a≠0）與直線y＝m交于點A、C（點C在點A右邊）將拋物線y＝a+bx+c沿直線y＝m翻折，翻折前后兩拋物線的頂點分別為點B、D．我們將兩拋物線之間形成的封閉圖形稱為驚喜線，四邊形ABCD稱為驚喜四邊形，對角線BD與AC之比稱為驚喜度（Degreeofsurprise），記作|D|＝．（1）圖①是拋物線y＝﹣2x﹣3沿直線y＝0翻折后得到驚喜線．則點A坐標，點B坐標，驚喜四邊形ABCD屬于所學(xué)過的哪種特殊平行四邊形，|D|為．（2）如果拋物線y＝m﹣6m（m＞0）沿直線y＝m翻折后所得驚喜線的驚喜度為1，求m的值．（3）如果拋物線y＝﹣6m沿直線y＝m翻折后所得的驚喜線在m﹣1≤x≤m+3時，其最高點的縱坐標為16，求m的值并直接寫出驚喜度|D|．18．（2020·江西南昌市·九年級二模）如圖，拋物線與軸交于兩點(點位于點的左側(cè))，與軸的負半軸交于點．求點的坐標．若的面積為．①求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)解析式．②在拋物線上是否存在一點使得？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．19．（2020·江西九年級二模）在平面直角坐標系中，我們將拋物線通過平移后得到，且設(shè)平移后所得拋物線的頂點依次為，這些頂點均在格點上，我們將這些拋物線稱為“繽紛拋物線”（k為整數(shù)）．（1）的坐標為____________，直接寫出平移后拋物線的解析式為____________（用k表示）；（2）若平移后的拋物線與拋物線交于點A，對稱軸與拋物線交于點B，若，求整數(shù)k的值．20．（2020·江西贛州市·九年級一模）如圖，頂點為M的拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1，0)，B兩點，與y軸交于點C，過點C作CD⊥y軸交拋物線于另一點D，作DE⊥x軸，垂足為點E，雙曲線y=(x＞0)經(jīng)過點D，連接MD，BD．（1）求拋物線的表達式；（2）點N，F(xiàn)分別是x軸，y軸上的兩點，當以M，D，N，F(xiàn)為頂點的四邊形周長最小時，求出點N，F(xiàn)的坐標；（3）動點P從點O出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OC方向運動，運動時間為t秒，當t為何值時，∠BPD的度數(shù)最大？21．（2020·江西吉安市·九年級其他模擬）如圖，已知二次函數(shù)：和二次函數(shù)：圖象的頂點分別為、，與軸分別相交于、兩點（點在點的左邊）和、兩點（點在點的左邊），（1）函數(shù)的頂點坐標為______；當二次函數(shù)，的值同時隨著的增大而增大時，則的取值范圍是_______；（2）判斷四邊形的形狀（直接寫出，不必證明）；（3）拋物線，均會分別經(jīng)過某些定點；①求所有定點的坐標；②若拋物線位置固定不變，通過平移拋物線的位置使這些定點組成的圖形為菱形，則拋物線應(yīng)平移的距離是多少？22．（2020·江西南昌市·九年級一模）如圖，Rt△FHG中，H=90°，F(xiàn)H∥x軸，，則稱Rt△FHG為準黃金直角三角形（G在F的右上方）.已知二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點E（0，），頂點為C（1，），點D為二次函數(shù)圖像的頂點.（1）求二次函數(shù)y1的函數(shù)關(guān)系式；（2）若準黃金直角三角形的頂點F與點A重合、G落在二次函數(shù)y1的圖像上，求點G的坐標及△FHG的面積；（3）設(shè)一次函數(shù)y=mx+m與函數(shù)y1、y2的圖像對稱軸右側(cè)曲線分別交于點P、Q.且P、Q兩點分別與準黃金直角三角形的頂點F、G重合，求m的值并判斷以C、D、Q、P為頂點的四邊形形狀，請說明理由.23．（2020·江西九年級二模）如圖1，已知直線l：y=﹣x+2與y軸交于點A，拋物線y=（x﹣1）2+m也經(jīng)過點A，其頂點為B，將該拋物線沿直線l平移使頂點B落在直線l的點D處，點D的橫坐標n（n＞1）．（1）求點B的坐標；（2）平移后的拋物線可以表示為（用含n的式子表示）；（3）若平移后的拋物線與原拋物線相交于點C，且點C的橫坐標為a．①請寫出a與n的函數(shù)關(guān)系式．②如圖2，連接AC，CD，若∠ACD=90°，求a的值．24．（2020·江西省南豐縣教育局教學(xué)研究室九年級一模）如圖，已知拋物線經(jīng)過原點，頂點，且與直線相交于和兩點．（1）求拋物線和直線的解析式；（2）求證：是直角三角形；（3）拋物線上存在點（點不與點重合），使，求出點的坐標；（4）若直線交軸于點，在拋物線的對稱軸上是否存在點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出點的坐標．若不存在，說明理由．25．（2020·江西南昌市·九年級其他模擬）定義：如圖，若兩條拋物線關(guān)于直線成軸對稱，當時，取在直線左側(cè)的拋物線的部分；當時，取在直線右側(cè)的拋物線的部分，則我們將像這樣的兩條拋物線稱為關(guān)于直線的一對兄弟拋物線．例如：拋物線與拋物線就是關(guān)于直線(軸)的一對兄弟拋物線．（1）求拋物線關(guān)于直線的“兄弟拋物線”所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)拋物線交軸于點，交直線于點．①當直線平行于軸時，求的值；②當是直角時．求拋物線關(guān)于直線的“兄弟拋物線”頂點的橫坐標；③已知點的坐標分別為，直接寫出拋物線及其關(guān)于直線的“兄弟拋物線”與矩形不同的邊有四個公共點時的取值范圍．26．（2020·江西九江市·九年級其他模擬）拋物線C：y＝x[a（x﹣1）+x+1]（a為任意實數(shù)）．（1）無論a取何值，拋物線C恒過定點，．（2）當a＝1時，設(shè)拋物線C在第一象限依次經(jīng)過的整數(shù)點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）為A1，A2，……An，將拋物線C沿著直線y＝x（x≥0）平移，將平移后的拋物線記為Cn，拋物線Cn經(jīng)過點An，Cn的頂點坐標為Mn（n為正整數(shù)且n＝1，2，…，n，例如n＝1時，拋物線C1經(jīng)過點A1，C1的頂點坐標為M1）．①拋物線C2的解析式為，頂點坐標為．②拋物線C1上是否存在點P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出點P的坐標，并判斷四邊形PM1M2A2的形狀；若不存在，請說明理由．③直接寫出Mn﹣1，Mn兩頂點間的距離：．27．（2020·江西宜春市·九年級一模）在平面直角坐標系中，正方形....按如圖的方式放置．點和點分別落在直線和軸上．拋物線過點,且頂點在直線上，拋物線過點，且頂點在直線上，...按此規(guī)律，拋物線,過點,且頂點也在直線上，其中拋物線交正方形的邊于點，拋物線交正方形的邊于點(其中且為正整數(shù))．（1）直接寫出下列點的坐標：，；（2）寫出拋物線的解析式，并寫出拋物線的解析式求解過程，再猜想拋物線的頂點坐標；（3）設(shè)，試判斷與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．28．（2020·江西吉安市·九年級其他模擬）已知拋物線：，其中．