勾股定理01講核心（原卷版）

勾股定理的簡單應(yīng)用1．勾股定理的適用范圍勾股定理只適用于直角三角形．或一個三角不是直角三角形，必須添加輔助線構(gòu)造直角三角形才能用勾股定理．2．勾股定理簡單應(yīng)用形式（1）已知直角三角形任意兩邊，求第三邊；（2）已知直角三角形任意一邊，確定另外兩邊的數(shù)量關(guān)系；（3）構(gòu)造方程或方程組計算與直角三角形有關(guān)的長度、高度、距離、面積等問題；（4）證明含有平方關(guān)系的幾何問題；1.已知中，，若，，則的面積為（）A.9 B.18 C.24 D.362.如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊cm，cm，將折疊使點B與點A重合，折痕為，則的長為（）A. B. C. D.3.如圖直線上有三個正方形，若的面積分別為5和11，則的面積為（）A.16 B.6 C.4 D.54.如圖，已知中，，，，P、Q是邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿方向運動，且速度為每秒，點Q從點B開始沿方向運動，且速度為每秒，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求的長；（2）當(dāng)點Q在邊上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，能形成等腰三角形？（3）當(dāng)點Q在邊上運動時，求能使成為等腰三角形的運動時間．【練經(jīng)典】5.如圖，中，，，則的長為（）A.2 B. C. D.6.如圖，在中，，，的面積為90，則AC的長是（）A.9 B.12 C. D.247.如圖，在中，，，，平分，則的長度是______．8.如圖，中，，，若動點P從點C開始，按C→A→B→C的路徑運動，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時間為t秒．（1）出發(fā)2s后，求的周長；（2）求出t為何值時，為等腰三角形；（3）當(dāng)點P運動到任意一條角平分線上時（不與頂點A，B，C重合），直接寫出t的值．【練易錯】易錯點：沒有明確斜邊與直角邊導(dǎo)致錯誤9.在中，已知兩邊長為3、4，則斜邊的長為______勾股定理逆定理的簡單應(yīng)用1．勾股定理逆定理適用范圍以數(shù)判形，由三角形三邊的長度來判斷三角形的形狀；2．勾股定理逆定理應(yīng)用步驟（1）首先確定最大邊（如）．（2）驗證與是否具有相等關(guān)系．若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形．備注：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊．3．勾股定理逆定理應(yīng)用形式（1）已知三角形三邊的長度，判斷三角形的形狀；（2）在圖形中尋找與已知兩點構(gòu)成直角三角形的點；（3）在網(wǎng)格中判斷直角或直角三角形；（4）求某些不規(guī)則圖形的面積；10.已知三條邊分別為a，b，c，下列條件不能判斷是直角三角形的是（）A. B.C. D.11.如圖所示，在的正方形網(wǎng)格中，的頂點都在格點上，下列結(jié)論錯誤的是（）A. B. C. D.12.如圖是由單位長度均為1的小正方形組成的網(wǎng)格，A，B，C，D都是網(wǎng)格線的交點，由其中任意三個點連接而成的三角形是直角三角形的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個13.若一個三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為___________..14.如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為______．15.已知：如圖，四邊形中，，求四邊形的面積．練經(jīng)典】16.下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長的是（）A.1，2，3 B.6，8，10 C.，， D.4，5，617.如圖，在以下四個正方形網(wǎng)格中，各有一個三角形，不是直角三角形的是（）A. B. C. D.18.如圖，在由25個邊長為1的小正方形拼成的網(wǎng)格中以為邊畫，使點C在格點上，滿足這樣條件的點C共_____個．19.在中，，，上的高長為，則的面積為______．20.筆直的河流一側(cè)有一旅游地點，河邊有兩個漂流點、，且點到點的距離等于點到點的距離．近階段由于點到點的路線處于維修中，為方便游客決定在河邊新建一個漂流點（點在同一條直線上），并新建一條路，測得，，．（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求原路線的長．【練易錯】易錯點：使用勾股定理逆定理時，沒有考慮最長邊而導(dǎo)致對直角作出錯誤判斷．21.已知中，，，（n為大于2的整數(shù)），則∠_____．勾股定理與折疊問題1．折疊問題的解題思路環(huán)節(jié)2．最短路徑問題的方法①解決立體圖形中最短距離問題的關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題后，借助“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”，進(jìn)而構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理求解．②平面圖形的最短路徑通常是作軸對稱變換，轉(zhuǎn)化為“兩點之間線段最短”的模型來解決問題．3．最短路徑常見的模型常見的有圓柱體的展開、長方體的展開、樓梯的展開、繞繩的展開和將軍飲馬模型、“造橋選址”模型、費馬點等，2．折疊問題中常見的幾何模型22.如圖，在長方形中（），點E在邊上，且，將沿折疊，若點C的對應(yīng)點落在矩形的邊上，，則的長度為_____．23.如圖，中，，，，點D在上，將沿折疊，點A落在點處，與相交于點E，則的最大值為（）A. B. C. D.24.如圖1，分別以長方形的邊，所在直線為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，已知點B的坐標(biāo)為（1）直接寫出=_________；=____________;（2）如圖2，點E在線段上，以直線為軸，把翻折，點O的對應(yīng)點D恰好落在線段上．直接寫出的長，并求出點E的坐標(biāo)；（3）P是x軸上的一動點，是否存在以A，P，E為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【練經(jīng)典】25.如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，點落在點處，則重疊部分的面積為（）

A. B. C. D.26.如圖，的紙片中，，點D在邊上，以為折痕將折疊得到，與邊交于點，若為直角三角形，則的長為______________．27.如圖，將長方形紙片沿直線折疊，使點C落在邊的中點處，點B落在點處，其中，求的長．勾股定理與最短路徑問題1．最短路徑問題的解題思路環(huán)節(jié)28.如圖，正方體的棱長為，A是正方體的一個頂點，B是側(cè)面正方形對角線的交點，一只螞蟻在正方體的表面上爬行，從點A爬到點B的最短路徑長是（）A. B. C. D.29.圓柱的底面圓的周長是12，高是8，螞蟻從下底面的點A沿側(cè)面爬到點B，最短路徑的長是（）A.6 B.7 C.9 D.1030.如圖，在等腰中，，平分，平分分別為射線上的動點，若，則的最小值為（）A.4 B.6 C.8 D.1031.如圖，長方形中，，線段在邊上左右滑動，若，則最小值為_______．【練經(jīng)典】32.如圖，長方體的底面邊長分別為和，高為．如果用細(xì)線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面繞一圈到達(dá)B點，那么所有的細(xì)線最短需要（）．A.10 B. C.14 D.1533.如圖，一個圓柱形花瓶上下底面圓上有相對的A，B兩點，現(xiàn)要用一根金色鐵絲裝飾花瓶，金色鐵絲沿側(cè)面纏繞花瓶一圈，并且經(jīng)過A，B兩點．若花瓶高16cm，底面圓的周長為24cm，則需要金色鐵絲的長度最少為（）A.20cm B. C. D.40cm34.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，BD平分∠ABC，點M，N分別是BD，BC上的動點，連接CM，MN，則CM+MN的最小值是()A.3 B.5C.4 D.2.4（2022·陜西·無八年級期中）35.如圖，臺階階梯每一層高，寬，長，一只螞蟻從A點爬到B點，最短路程是______．勾股定理與方向角問題（1）方向角問題的思路畫圖→標(biāo)出方向角→尋找或構(gòu)造直角三角形→用勾股定理求解．（2）方向角常見的模型36.如圖，在“慶國慶，手拉手”活動中，某小組從營地A出發(fā)，沿北偏東方向走了1200m到達(dá)B點，然后再沿北偏西方向走了500m到達(dá)目的地C點，此時A，C兩點之間的距離為（）A.1000m B.1100m C.1200m D.1300m【練經(jīng)典】37.海面上有兩個疑似漂浮目標(biāo)．A艦艇以12海里/時的速度離開港口O，向北偏西方向航行；同時，B艦艇在同地以16海里/時的速度向北偏東一定角度的航向行駛，如圖所示，離開港口5小時后兩船相距100海里，則B艦艇的航行方向是______．4、勾股定理與梯子移動問題（1）梯子移動問題的思路抓住梯子移動前后的兩個直角三角形，梯子的長度就是這兩個直角三角形的斜邊；（2）梯子移動常見模型38.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為，頂端距離地面，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面，那么小巷的寬度為（）A. B. C. D.【練經(jīng)典】39.如圖，將墻面和地平線的一部分分別標(biāo)記，，且．把長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻角6m．如果梯子的頂端下滑了2m，求梯子底部在水平方向滑動的距離BD．勾股定理逆定理的其它實際問題1．勾股定理與斷樹問題2、勾股定理與古代問題40.如圖，有一個水池，水面是邊長為8尺的正方形，在水池中央有一根蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度是（）A.7.5尺 B.8尺 C.8.5尺 D.9尺41.如圖，一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，如果梯子的頂端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向滑動了（）A.4米 B.6米 C.7米 D.8米42.如圖所示，一棵高的樹被風(fēng)刮斷了，樹頂落在離樹根處，則折斷處的高度為__．43.《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，匯集了我國歷代學(xué)者的勞動和智慧，被譽(yù)為人類科學(xué)史上應(yīng)用數(shù)學(xué)的“算經(jīng)之首”．其中記錄了這樣一個問題，原文：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．問折者高幾何？意思是：今有竹高10尺，末端被折斷而抵達(dá)地面，離竹根部有3尺，則竹的余高為_______尺．【練經(jīng)典】44.如圖，一根木桿在離地面處折斷，木桿頂端落在離木桿底端處，木桿折斷之前的高度是（）A. B. C. D.45.《九章算術(shù)》中有一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？【練易錯】易錯點：不構(gòu)造直角三角形直接用勾股定理導(dǎo)致錯誤．46.如圖，某小區(qū)有一塊四邊形的空地，物業(yè)計劃沿AC修一條筆直的小路(小路寬度不計)，并在三角形ABC和三角形ACD兩個區(qū)域內(nèi)分別種植牡丹花和杜鵑花以供觀賞．經(jīng)測量，米，米，米，求四邊形ABCD的面積．【新定義小練】47.我們規(guī)定：經(jīng)過三角形一個頂點且將三角形的周長分成相等的兩部分的直線叫做該三角形的“等周線”，“等周線”被這個三角形截得的線段叫做該三角形的“等周徑”．例如等邊三角形的邊長為，則它的“等周徑”長為．在中中，，，，若直線l為的“等周線”，請直接寫出的所有“等周徑”長為______．48.對于平面直角坐標(biāo)系中的線段及點Q，給出如下定義：若點Q滿足，則稱點Q為線段的“中垂點”；當(dāng)時，則稱點Q為線段的“完美中垂點”（1）如圖1，，下列各點中，線段的中垂點是．，，（2）如圖2，點A為x軸上一點，若為線段的“完美中垂點”，寫出線段的兩個“完美中垂點”是和，兩者的距離是．（3）如圖3，若點A為x軸正半軸上一點，點Q為線段的“完美中垂點”在y軸上，在線段上方畫出線段的“完美中垂點”M，求（用含m的式子表示）．并求出（寫出簡單思路即可）．【閱讀類小練】49.直角三角形三邊滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么銳角三角形或鈍角三角形的三邊是否也滿足這一關(guān)系呢？情況一：銳角三角形如圖①，在中，CD為斜邊AB邊上的高，在DC的延長線上取一點E，連接AE，BE，得到銳角三角形ABE，∵，∴．得出結(jié)論：銳角三角形夾銳角兩邊的平方和大于第三邊的平方．像這種不用進(jìn)行復(fù)雜的計算或推理，通過構(gòu)造圖形可以直觀得到結(jié)論的方法，我們稱之為“構(gòu)圖直觀法”．情況二：鈍角三角形你能借助上述“構(gòu)圖直觀法”，得到鈍角三角形三邊之間類似的關(guān)系嗎？請在圖②中畫出圖形，得出結(jié)論并說明理由．得出結(jié)論：_____________．方法應(yīng)用：下面我們用這種方法來研究其他問題：已知正方形ABCD，現(xiàn)作一個大正方形，使得正方形ABCD的四個頂點分別在大正方形的四條邊上，則大正方形和正方形ABCD的面積之間會有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（1）如圖③，作出一個滿足要求的大正方形EFGH，使得正方形ABCD的四個頂點分別在大正方形各邊中點上．過點A，B，C，D分別作大正方形的邊的平行線，恰好與正方形ABCD的兩條對角線所在直線重合，觀察圖形，則與的數(shù)量關(guān)系為：_______．（2）如圖④，任意作出一個滿足要求的大正方形MNPQ，若點A，B，C，D不是它各邊中點，它的面積是否