3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程導(dǎo)學(xué)案高二上學(xué)期數(shù)學(xué)選擇性

第3章圓錐曲線與方程3.1橢圓3.1.1橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．了解圓錐曲線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2．經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、會(huì)求其標(biāo)準(zhǔn)方程．【溫顧·習(xí)新】一、橢圓的定義思考在畫板上取兩個(gè)定點(diǎn)F1和F2，把一條長(zhǎng)度為定值且大于F1F2的細(xì)繩的兩端固定在F1，F(xiàn)2兩點(diǎn)．如圖，用筆尖把細(xì)繩拉緊并使筆尖在畫板上移動(dòng)一周，畫出的軌跡是什么曲線？在這一過(guò)程中，移動(dòng)的筆尖(動(dòng)點(diǎn))滿足的幾何條件是什么？填空平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫作橢圓的．做一做思考辨析，判斷正誤(1)已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝4，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．()(2)已知點(diǎn)F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝2，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．()(3)已知點(diǎn)F1(0，－1)，F(xiàn)2(0，1)，動(dòng)點(diǎn)P滿足PF1＋PF2＝1，則點(diǎn)P的軌跡是橢圓．()(4)平面內(nèi)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個(gè)定點(diǎn)，“動(dòng)點(diǎn)M滿足MF1＋MF2為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的充要條件()【研討·拓展】二、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程思考1觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可能使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單？思考2能否根據(jù)你的設(shè)定推導(dǎo)橢圓的方程？思考3如圖，如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別是(0，－c)，(0，c)，a，b的意義同上，那么橢圓的方程是什么？填空橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)焦點(diǎn)圖形a，b，c的關(guān)系做一做已知橢圓4x2＋ky2＝4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，則實(shí)數(shù)k的值是()A．1B．2C．3D．4【例1】如圖所示，已知過(guò)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦點(diǎn)F2的直線AB交橢圓于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)1是橢圓的左焦點(diǎn)．求△AF1B的周長(zhǎng)．【變式11】()A．(0，＋∞)B．(0,2)C．(1，＋∞)D．(0,1)【變式12】已知橢圓C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,7)＝1的左焦點(diǎn)為F，A，B是C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且∠AFB＝90°，則△ABF的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【例2】分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0，2)和(1，0)．【變式21】．【變式22】求過(guò)點(diǎn)(eq\r(3)，－eq\r(5))，且與橢圓eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,9)＝1有相同的焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【例3】(1)已知P是橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,8)＝1上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為_(kāi)_______．(2)一個(gè)動(dòng)圓與圓Q1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓Q2：(x－3)2＋y2＝81內(nèi)切，試求這個(gè)動(dòng)圓圓心的軌跡方程．【變式31】已知x軸上一定點(diǎn)A(1，0)，Q為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上任一點(diǎn)，求線段AQ中點(diǎn)M的軌跡方程．【變式32】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝2，AC＝eq\f(3,2)，曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在曲線E上運(yùn)動(dòng)，且PA＋PB是定值．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求曲線E的方程．【變式33】．【變式34】(多選)()A．圓B．橢圓C．線段D．射線【例4】已知P為橢圓eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)．(1)若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面積．(2)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2的面積．【變式41】如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，△POF2是面積為eq\r(3)的正三角形，則b2的值為()A．eq\r(3)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(3)【變式42】已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上．若PF1＝4，則PF2＝________，∠F1PF2的大小為_(kāi)_______．【變式43】P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|·|PF2|＝12，則∠F1PF2的大小為()A．60°B．30°C．120°D．150°【變式44】已知橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上．若線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，則∠PF2F1＝________，PF1－PF2＝________．【變式45】已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－4)＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若在橢圓上存在點(diǎn)P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面積是2，則a＝________．【變式46】(多選)已知P是橢圓E：eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓E的左、右焦點(diǎn)，且△F1PF2的面積為3，則下列說(shuō)法正確的是()A．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為3B．∠F1PF2>eq\f(π,2)C．△F1PF2的周長(zhǎng)為4(eq\r(2)＋1)D．△F1PF2的內(nèi)切圓半徑為eq\f(3\r(2)－1,2)【例5】在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A(－3,0)和C(3,0)，頂點(diǎn)B在橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,2sinB)＝________．【例6】已知橢圓C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，點(diǎn)M與橢圓C的焦點(diǎn)不重合．若點(diǎn)M關(guān)于橢圓C的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在橢圓C上，則|AN|＋|BN|＝________．【例7】設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓eq\f