第2章《有理數(shù)及其運算》（原卷版）

20222023學年北師大版數(shù)學七年級上冊章節(jié)考點精講精練第2章《有理數(shù)及其運算》知識互聯(lián)網知識互聯(lián)網知識導航知識導航知識點01:有理數(shù)的相關概念1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：細節(jié)剖析：（1）用正數(shù)、負數(shù)表示相反意義的量；（2）有理數(shù)“0”的作用：作用舉例表示數(shù)的性質0是自然數(shù)、是有理數(shù)表示沒有3個蘋果用+3表示，沒有蘋果用0表示表示某種狀態(tài)表示冰點表示正數(shù)與負數(shù)的界點0非正非負，是一個中性數(shù)2．數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．細節(jié)剖析：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應的數(shù)總比左邊的點所對應的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．細節(jié)剖析：（1）一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．（2）求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．（3）多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結果為負．4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．數(shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．知識點02:有理數(shù)的運算1．法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即ab=a+(b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．細節(jié)剖析：“奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律:①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac知識點03:有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而?。?3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．知識點04:科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中1≤，是正整數(shù)），此種記法叫做科學記數(shù)法．例如：200000=．考點提優(yōu)練考點提優(yōu)練考點01：數(shù)軸1．（2022?路南區(qū)三模）如圖1，點A，B，C是數(shù)軸上從左到右排列的三個點，分別對應的數(shù)為﹣5，b，4，某同學將刻度尺如圖2放置，使刻度尺上的數(shù)字0對齊數(shù)軸上的點A，發(fā)現(xiàn)點B對應刻度1.8cm，點C對齊刻度5.4cm．則數(shù)軸上點B所對應的數(shù)b為（）A．3 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣32．（2022春?泗水縣期末）如圖，有一個直徑為1個單位長度的圓片，把圓片上的點放在數(shù)軸上﹣1處，然后將圓片沿數(shù)軸向右滾動一周，點A到達點A'位置，則點A'表示的數(shù)是（）A．﹣π+1 B． C．π+1 D．π﹣13．（2021秋?濟源期末）已知A，B，C是數(shù)軸上的三個點．點A，B表示的數(shù)分別是1，3，如圖所示，若BC＝AB，則點C表示的數(shù)是．4．（2021秋?東陽市期末）數(shù)軸上的三個點，若其中一個點與其它兩個點的距離滿足2倍關系，則稱該點是其它兩個點的“友好點”，這三點滿足“友好關系”．已知點A、B表示的數(shù)分別為﹣2、1，點C為數(shù)軸上一動點．（1）當點C在線段AB上，點A是B、C兩點的“友好點”時，點C表示的數(shù)為；（2）若點C從點B出發(fā)，沿BA方向運動到點M，在運動過程中有4個時刻使A、B、C三點滿足“友好關系”，設點M表示的數(shù)為m，則m的范圍是．5．（2022秋?射陽縣月考）數(shù)軸上有A，B，C三點，給出如下定義：若其中一個點與其它兩個點的距離恰好滿足2倍的數(shù)量關系，則稱該點是其它兩個點的“關聯(lián)點”．例如數(shù)軸上點A，B，C所表示的數(shù)分別為1，3，4，此時點B是點A，C的“關聯(lián)點”．（1）若點A表示數(shù)﹣2，點B表示數(shù)1，下列各數(shù)﹣1，2，4，6所對應的點分別是C1，C2，C3，C4，其中是點A，B的“關聯(lián)點”的是；（2）點A表示數(shù)﹣10，點B表示數(shù)15，P為數(shù)軸上一個動點：①若點P在點B的左側，且點P是點A，B的“關聯(lián)點”，求此時點P表示的數(shù)；②若點P在點B的右側，點P，A，B中，有一個點恰好是其它兩個點的“關聯(lián)點”，請直接寫出此時點P表示的數(shù)．6．（2021秋?連州市期末）如圖所示，在數(shù)軸上點A，B，C表示的數(shù)為﹣2，0，6．點A與點B之間的距離表示為AB，點B與點C之間的距離表示為BC，點A與點C之間的距離表示為AC．（1）求AB、AC的長；（2）點A，B，C開始在數(shù)軸上運動，若點A以每秒2個單位長度的速度向左運動，同時，點B和點C分別以每秒3個單位長度和4個單位長度的速度向右運動．請問：BC﹣AB的值是否隨著運動時間t的變化而變化？若不變，請求其值；若變化，請說明理由并判斷是否有最值，若有求其最值．考點02：絕對值7．（2021秋?海門市校級月考）設abc≠0，且a+b+c＝0，則+++的值可能是（）A．0 B．±1 C．±2 D．0或±28．（2021秋?椒江區(qū)期末）如圖，a，b是數(shù)軸上的兩個有理數(shù)，下面說法中正確的是（）A．a＞b B．b＞a C．|a|＞|b| D．|b|＞|a|9．（2021秋?綿竹市期末）代數(shù)式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是．10．（2021秋?碑林區(qū)校級期末）已知a，b，c的位置如圖，化簡：|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝．11．（2022秋?宜興市月考）閱讀下列材料：|x|＝，即當x＜0時，＝﹣1．用這個結論可以解決下面問題：（1）已知a，b是有理數(shù)，當ab＞0時，求的值；（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當abc＞0時，求的值；（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求的值．12．（2021秋?太康縣期末）已知|x|＝3，|y|＝7．（1）若x＜y，求x+y的值；（2）若xy＜0，求x﹣y的值．考點03：有理數(shù)的乘方13．（2022春?柯橋區(qū)期末）如圖，小明在3×3的方格紙上寫了九個式子（其中的n是正整數(shù)），每行的三個式子的和自上而下分別記為A1，A2，A3，每列的三個式子的和自左至右分別記為B1，B2，B3，其中值可以等于732的是（）A．A1 B．B1 C．A2 D．B314．（2021秋?無為市期末）下列各式結果相等的是（）A．﹣22與（﹣2）2 B．﹣12022與（﹣1）2021 C．（）2與 D．﹣（﹣3）與﹣|﹣3|15．（2021秋?單縣期末）一根1m長的繩子，第一次剪去繩子的，第二次剪去剩下繩子的，如此剪下去，第100次剪完后剩下繩子的長度是（）A． B． C． D．16．（2021秋?上思縣期末）將一張長方形的紙對折，可得到一條折痕，繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行，連續(xù)對折三次后，可以得到7條折痕，那么對折四次可以得到15條折痕，如果對折n次，可以得到條折痕．17．（2016秋?海淀區(qū)校級期中）《九章算術》是中國古代第一部數(shù)學專著，不僅最早提到分數(shù)問題，也首先記錄了盈不足等問題，在第七章“盈不足”中有這樣一個問題：“今有蒲生一日，長三尺；莞生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”其意思是“有蒲和莞兩種植物，蒲第一日長了3尺，莞第一日長了1尺，以后蒲每日生長的長度是前一日的一半，莞每日生長的長度是前一日的2倍，問幾日蒲、莞上漲的長度相等．”請計算出第三日后，蒲、莞的長度相差為尺．18．（2022?新華區(qū)校級一模）（1）將下列計算的結果直接寫成冪的形式：2÷2÷2＝（）1；2÷2÷2÷2＝；＝；（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）÷（﹣5）＝；（2）一般地，把n個a（a為有理數(shù)且a≠0，n為正整數(shù)）相除的結果記作a?，讀作“a的圈n次方”．計算：a?＝＝（其中a≠0，n為正整數(shù)）．請你嘗試用文字概括歸納a?的運算結果：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于；（3）計算：24÷（﹣）⑤+（﹣27）×3④．19．（2022春?攸縣期末）如果10b＝n，那么b為n的勞格數(shù)，記為b＝d（n），由定義可知：10b＝n與b＝d（n）所表示的b，n兩個量之間具有同一關系．（1）根據(jù)勞格數(shù)的定義，計算d（10）和d（10﹣2）的值；（2）若m，n為正數(shù)，則d（m?n）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．根據(jù)運算性質，填空：＝（a為正數(shù)）；若d（2）＝0.3010，則d（4）＝，d（5）＝，d（0.08）＝．（3）若表中與數(shù)x對應的勞格數(shù)d（x）有且僅有兩個是錯誤的，請找出錯誤的勞格數(shù)，并將其改正過來．x1.5356891227d（x）3a﹣b+c2a﹣ba+c1+a﹣b﹣c3﹣3a﹣3c4a﹣2b3﹣b﹣2c6a﹣3b20．（2020秋?海安市月考）已知M（1）＝﹣2，M（2）＝（﹣2）×（﹣2），M（3）＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2），…，（n為正整數(shù)）．（1）求2M（2018）+M（2019）的值．（2）猜想2M（n）與M（n+1）的關系并說明理由．21．（2021秋?紅花崗區(qū)校級月考）某學習小組學習了冪的有關知識發(fā)現(xiàn)：根據(jù)am＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b，可以求m的值嗎？他們?yōu)榇诉M行了研究，規(guī)定：若am＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）計算：T（3，27）+T（﹣2，﹣32）；（3）探索T（2，3）+T（2，7）與T（2，21）的大小關系，并說明理由．考點04：有理數(shù)的混合運算22．（2022?工業(yè)園區(qū)校級自主招生）數(shù)整數(shù)部分的個位數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．以上都不是23．（2021秋?確山縣期末）定義運算“@”的運算法則為：x@y＝xy﹣y，如：3@2＝3×2﹣2＝4．那么（﹣3）@（﹣2）的運算結果是（）A．8 B．﹣3 C．4 D．﹣424．（2021秋?棲霞市期末）在數(shù)學課上，老師讓甲、乙、丙、丁，四位同學分別做了一道有理數(shù)運算題，你認為做對的同學是（）甲：9﹣32÷8＝0÷8＝0乙：24﹣（4×32）＝24﹣4×6＝0丙：（36﹣12）÷＝36×﹣12×＝16?。海ī?）2÷×3＝9÷1＝9A．甲 B．乙 C．丙 D．丁25．（2022?閔行區(qū)校級開學）用簡便方法計算24×32×53+326×0.1256×（﹣0.25）5+（）100×（）99＝．26．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級模擬）定義一種新運算（a，b），若ac＝b，則（a，b）＝c，例（2，8）＝3，（3，81）＝4．已知（4，8）+（4，7）＝（4，x），則x的值為．27．（2021秋?北侖區(qū)期末）“轉化”是一種解決問題的常用策略，有時畫圖可以幫助我們找到轉化的方法．例如借助圖①，可以把算式1+3+5+7+9+11轉化為62＝36．請你觀察圖②，可以把算式轉化為．28．（2022?黃岡開學）計算：（1）；（2）；（3）；（4）（﹣2）2×3+（﹣3）3÷9．29．（2021秋?巫溪縣期末）我們規(guī)定：求若干個相同的不為零的有理數(shù)的除法運算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記作（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把記作a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結果：2③＝，（﹣3）④＝，＝．（2）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，請嘗試把有理數(shù)的除方運算轉化為乘方運算，歸納如下：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于．（3）計算．30．（2021秋?雙牌縣期末）求若干個相同的不為零的有理數(shù)的除法運算叫做除方．如：2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．類比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記做2③，讀作“2的圈3次方”（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）記做（﹣3）④，讀作“﹣3的圈4次方”．一般地，把（a≠0）記做a?，讀作“a的圈n次方”．（1）直接寫出計算結果：（﹣）③＝，（﹣3）④＝，2⑤＝．（2）我們知道，有理數(shù)的減法運算可以轉化為加法運算，除法運算可以轉化為乘法運算，請嘗試將有理數(shù)的除方運算轉化為乘方運算，歸納如下：一個非零有理數(shù)的圈n次方等于．（3）計算：24÷23+（﹣8）×2③．考點05：近似數(shù)和有效數(shù)字31．（2021秋?姚安縣校級月考）對0.08049用四舍五入法取近似值，精確到0.001的是（）A．0.08 B．0.081 C．0.0805 D．0.08032．（2022?蕭山區(qū)二模）2019年11月，聯(lián)合國教科文組織正式宜布，將每年的3月14日定為“國際數(shù)學日”．國際數(shù)學日之所以定在3月14日，是因為“3.14”是圓周率數(shù)值最接近的數(shù)字．將圓周率“π”用四舍五入法取近似值3.14，是精確到（）A．個位 B．十分位 C．百分位 D．千分位33．（2020秋?北侖區(qū)期中）把a精確到百分位得到的近似數(shù)是5.28，則a的取值范圍是（）A．5.275＜a＜5