專題2.12第24章圓單元測試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）-2022-2023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍

20222023學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.12第24章圓單元測試（培優(yōu)強(qiáng)化卷）注意事項(xiàng)：本試卷滿分120分，試題共26題，其中選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（2022·江蘇·南通市啟秀中學(xué)九年級階段練習(xí)）已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，則此點(diǎn)可能在（）A．⊙O內(nèi) B．⊙O外C．⊙O上 D．以上都有可能【答案】B【分析】根據(jù)點(diǎn)到圓心O的距離大于半徑，可判定出點(diǎn)在圓外，即可得到答案．【詳解】解：∵⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點(diǎn)到圓心O的距離為5，5>3，∴此點(diǎn)可能在⊙O外．故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握若點(diǎn)與圓心的距離d，圓的半徑為，則當(dāng)d>r時(shí)，點(diǎn)在圓外；當(dāng)d=r時(shí)，點(diǎn)在圓上；當(dāng)d＜r時(shí)，點(diǎn)在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·河北唐山·九年級期中）若一個(gè)正多邊形的邊長與半徑相等，則這個(gè)正多邊形的中心角是（

）A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】B【分析】根據(jù)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角，由已知邊長與半徑相等，可知一邊所對的圓心角為60°，即得答案．【詳解】解：如圖所示的正多邊形中，∵AB∴ΔABO∴∠AOB∴這個(gè)正多邊形的中心角為60°．故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查正多邊形的中心角概念，正確理解題意與中心角概念相結(jié)合是解此題的關(guān)鍵．3．（2021·河北唐山·九年級期中）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，若∠ACB=20°，則∠AOB的度數(shù)為（

）A．40° B．50° C．60° D．20°【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理即可求解．【詳解】根據(jù)題意可知∠AOB=2∠ACB=2×20°=40°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理．熟練掌握圓周角定理“同?。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角等于它所對的圓心角的一半”是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，⊙O的直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)P，且P為半徑OB的中點(diǎn)，若CD＝6，則直徑AB的長為（）A．23 B．6 C．43 D．63【答案】C【分析】根據(jù)垂徑定理可知AB垂直平分CD，連接OC，根據(jù)勾股定理即可求出半徑OC，最后求出直徑即可．【詳解】解：如圖，連接OC，∵AB為⊙O的直徑，AB⊥CD，∴CP=1設(shè)⊙O的半徑為r，∵點(diǎn)P為OB中點(diǎn)，∴OP=1在RtΔOPC種，由勾股定理可得：即：(r2)2+32=r∴直徑為43故選∶C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理和勾股定理，熟練掌握“垂直于弦的直徑平分弦”并構(gòu)建直角三角形求解是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江金華·一模）已知一個(gè)底面半徑為3cm的圓錐，它的母線長是5cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（

）cmA．15π B．45π C．30π D．20π【答案】A【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面積的公式：底面周長×母線長÷2，進(jìn)行計(jì)算即可得．【詳解】解：圓錐的側(cè)面積：2π×3×5÷2=15π（cm2故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐側(cè)面積的公式．6．（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）在ΔABC中，AB=AC，BC=6，已知⊙O是ΔABC的外接圓，且⊙O的半徑為5，則AB的長為（A．10 B．310 C．10或310 D．10或【答案】C【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，連接OB，根據(jù)垂徑定理，構(gòu)建直角三角形進(jìn)行求解．【詳解】解：如圖1：當(dāng)∠BAC為銳角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD=12BC∵⊙O半徑為5，∴OB=OA=5，∴OD=O∴AD=OA+OD=4+5=9，∴AB=B如圖2：當(dāng)∠BAC為鈍角時(shí)，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，連接OB，∵AD⊥BC，BC=6，∴BD=12BC∵⊙O半徑為5，∴OB=OA=5，∴OD=O∴AD=OAOD=54=1，∴AB=B故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的外接圓，垂徑定理以及勾股定理，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2021·福建·格致中學(xué)鼓山校區(qū)九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，點(diǎn)D是半徑為2的⊙A上一動點(diǎn)，點(diǎn)M是CD的中點(diǎn)，則BM的最大值是（

）A．3 B．3.5 C．7+1 D．【答案】B【分析】如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理求出BN，MN，再利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問題．【詳解】解：如圖，取AC的中點(diǎn)N，連接MN，BN．∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵AN＝NC，∴BN＝12AC＝5∵AN＝NC，DM＝MC，∴MN＝12AD＝1∴BM≤BN+NM，∴BM≤1+52∴BM≤72∴BM的最大值為72故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)，三角形的中位線定理，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，屬于中考?？碱}型．8．（2022·福建省福州第八中學(xué)九年級階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2，3)，圓P的半徑為2，下列說法正確的是（

）A．圓P與x軸有一個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有兩個(gè)公共點(diǎn)B．圓P與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，與y軸有一個(gè)公共點(diǎn)C．圓P與x軸、y軸都有兩個(gè)公共點(diǎn)D．圓P與x軸、y軸都沒有公共點(diǎn)【答案】B【分析】點(diǎn)P到x軸的距離是3，到y(tǒng)軸的距離為2，圓P的半徑是2，所以可判斷圓P與x軸相交，與y軸相切，從而確定答案即可．【詳解】解：∵P（2，3），圓P的半徑為2，2=2，3＜2，∴以P為圓心，以2為半徑的圓與x軸的位置關(guān)系是相交，與y軸的位置關(guān)系是相切，∴該圓與x軸的交點(diǎn)有2個(gè)，與y軸的交點(diǎn)有1個(gè)．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和圓的位置關(guān)系，一般是利用圓心到直線的距離與半徑比較來判斷．若圓心到直線的距離是d，半徑是r，則①d＞r，直線和圓相離，沒有交點(diǎn)；②d=r，直線和圓相切，有一個(gè)交點(diǎn)；③d＜r，直線和圓相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．9．（2022·江西省石城二中八年級階段練習(xí)）如圖，已知⊙O上的兩條弦AC和BC互相垂直于點(diǎn)C，點(diǎn)D在弦BC上，點(diǎn)E在弦AC上，且BD=AE，連接AD和BE，點(diǎn)P為BE中點(diǎn)，點(diǎn)Q為AD中點(diǎn)，射線QP與線段BC交于點(diǎn)N，若∠A=30°，NQ=26，則DQ的長為（

A．6 B．5 C．52 D．【答案】D【分析】連接AB，OP，OQ，由題意并結(jié)合中位線定理可知PO=QO，且PO⊥QO，進(jìn)而可知△OPQ為等腰直角三角形，然后計(jì)算∠DNQ=45°，過Q作QM垂直于BC，在Rt△MNQ中由勾股定理計(jì)算出MQ=23，再在Rt△DMQ中由勾股定理計(jì)算DQ【詳解】解：連接AB，OP，OQ，如圖，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，∴AB為⊙O直徑，∵P為BE的中點(diǎn)，Q為AD的中點(diǎn)，∴OP∥AC且OP=12AE∴OP⊥OQ，∴∠POQ=90°，∵BD=AE，∴OP=OQ，∴∠OPQ=∠OQP=45°，∵∠A=30°，∴∠CDA=90°-∠CAD=60°，∴∠NDQ=180°-∠CDA=120°，∴∠OQA=∠NDQ=120°，∴∠NQD=180°-∠OQA-∠OQP=15°，∠DNQ=180°-∠NQD-∠NDQ=45°，過點(diǎn)Q作QM⊥BC交BC于M，∴∠MQN=90°-∠DNQ=45°，∴∠MQN=∠MNQ，∴MN=MQ，∵NQ=26∴在Rt△MNQ中，由勾股定理可知MQ2+M解得MQ=23在Rt△DMQ中，∠MDQ=60°，∴∠MQD=90°-∠MDQ=30°，∴DM=1由勾股定理可知DM2+M整理，得DQ解得DQ=4．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理、中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識，能夠構(gòu)造適合的輔助線是解決此題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·寧波市鄞州區(qū)中河街道宋詔橋初級中學(xué)九年級期末）在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠BAD、∠ADC的角平分線交于點(diǎn)E，過E作直線MN平行于BC，與AB、CD交于M、N，則總有MN＝(

)A．BM+DN B．AM+CN C．BM+CN D．AM+DN【答案】D【分析】在NM上截取NF＝ND，連接DF，AF，由A，B，C，D四點(diǎn)共圓，得出∠ADC+∠B＝180°，由MN∥BC，得出∠AMN+∠ADN＝180°，可得到A，D，N，M四點(diǎn)共圓，可得∠MND+∠MAD＝180°再由AE，DE分別平分∠BAD，∠CDA，A，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共圓，由∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，可得出MA＝MF，即得出MN＝MF+NF＝MA+ND．【詳解】解：如圖，在NM上截取NF＝ND，連接DF，AF∴∠NFD＝∠NDF，∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠ADC+∠B＝180°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN＝∠B，∴∠AMN+∠ADN＝180°，∴A，D，N，M四點(diǎn)共圓，∴∠MND+∠MAD＝180°，∵AE，DE分別平分∠BAD，∠CDA，∴∠END+2∠DFN＝∠END+2∠DAE＝180°，∴∠DFN＝∠DAE，∴A，F(xiàn)，E，D四點(diǎn)共圓，∴∠DEN＝∠DAF，∠AFM＝∠ADE，∵∠MND+∠MAD＝180°，∴∠MAF+∠DAF+∠MND＝180°∴∠MAF＝180°﹣∠DAF﹣∠MND＝180°﹣∠DEN﹣∠MND＝∠EDN＝∠ADE＝∠AFM，∴MA＝MF，∴MN＝MF+NF＝MA+ND．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四點(diǎn)共圓，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用四點(diǎn)共圓求解．第II卷（非選擇題）二、填空題11．（2022·浙江紹興·一模）木工師傅可以用角尺測量并計(jì)算出圓的半徑．如圖，用角尺的較短邊緊靠⊙O于點(diǎn)A，并使較長邊與⊙O相切于點(diǎn)C．記角尺的直角頂點(diǎn)為B，量得AB=8cm，BC=16cm，則⊙O的半徑等于_________cm．【答案】20【分析】設(shè)圓的半徑為rcm，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D．利用勾股定理，在Rt△AOD中，得到r2=r-8【詳解】解：設(shè)圓的半徑為rcm，如圖，連接OC、OA，作AD⊥OC，垂足為D，∵∠ADC=∠DCB=∠B=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=8cm，AD=BC=16cm，∴OD=（r8）cm，在Rt△AOD中，O即r2解得：r=20，即該圓的半徑為20cm．故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，根據(jù)切線的性質(zhì)，利用圖形得到直角三角形，然后用勾股定理計(jì)算求出圓的半徑．12．（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)南苑學(xué)校九年級）如圖，半徑為3的⊙O中，弦AB∥CD，∠AOC=90°，設(shè)AB=a，CD=b，則a【答案】36【分析】過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，證明△AMO≌△ONC，可得OM=CN=12b【詳解】解：如圖，過點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N，∵AB∥CD，OM⊥∴ON⊥CD，∴∠CON+∠OCN=90°，∴AM=12AB=∵∠AOC=∠AMO=∠CNO=90°，∴∠AOM+∠CON=90°，∴∠AOM=∠OCN，在△AMO和△ONC中，∵∠AMO=∠ONC，∠AOM=∠OCN，AO=CO，∴△AMO≌△ONC（AAS），∴OM=CN=12∵OA∴32∴a2故答案為：36【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．13．（2022·廣西·南寧市三美學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD是邊長為12的正方形，曲線DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圓心角所對的弧組成的．其中，弧DA1的圓心為A，半徑為AD；弧A1B1的圓心為B，半徑為BA1；弧B1C1的圓心為C，半徑為CB1；弧C1D1的圓心為D，半徑為【答案】2022π【分析】根據(jù)題意可得后一段弧的半徑總比前一段弧的半徑長12，又因?yàn)锳A1的半徑為12，可知任何一段弧的弧長都是12的倍數(shù)，根據(jù)圓心以A，B，C，D四次一個(gè)循環(huán)，可得弧CnD【詳解】解：根據(jù)題意可得，DA1的半徑AAA1B1的半徑BBB1C1C1D1D1A2A2B2B2C2C2D2???以此類推可知，弧CnDn即弧C2022D2022∴弧C2022D2022故答案為：2022π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長的計(jì)算及圖形變化的規(guī)律，根據(jù)題意得出圖形的變化規(guī)律應(yīng)用弧長的計(jì)算方法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．14．（2022·湖南·長沙市北雅中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AC=CD=BD，AB=8，M【答案】8【分析】作點(diǎn)C關(guān)于AB對稱點(diǎn)C'，連接C'D，C'D即為CM【詳解】解：如圖作點(diǎn)C關(guān)于AB對稱點(diǎn)C'，連接C則C'D即為∵AC=CD=BD，∴AC=AB的度數(shù)為：180°AC=CD∵對稱∴AC∴∠CC∴∠C∴C'∴C'∴CM+DM的最小值是：故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查等弦等弧等角，圓周角定理以及將軍飲馬問題．熟練掌握等弦等弧等角，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．遇到將軍飲馬問題，關(guān)鍵是作定點(diǎn)的對稱點(diǎn)，與另一個(gè)定點(diǎn)所連線段即為最短．15．（2021·浙江·溫州市實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級期中）如圖1，哥特式尖拱是由兩段不同圓心的圓弧組成的軸對稱圖形，叫做兩心尖拱．如圖2，已知P，Q分別是AC和BC所在圓的圓心，且均在AB上，若PQ＝2m，AB＝6m，則拱高CD的長為_____m．【答案】15【分析】如圖，連接CQ，然后求出PD、PC的長，最后利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，連接CQ．由題意CQ＝CP，CD⊥PQ，∴DQ＝DP＝12PQ＝1（m∵PA＝QB，∴AQ＝PB＝12（AB﹣PQ）＝2（m∴PC＝PA＝2+2＝4（m），∴CD＝PC2-PD2＝4故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理、垂徑定理等知識點(diǎn)，掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解答本題的關(guān)鍵．16．（2020·江蘇·淮安市淮陰區(qū)開明中學(xué)九年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，4)，以點(diǎn)A為圓心2為半徑作⊙A．點(diǎn)D為⊙A上的任一點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)C均在x軸上，且滿足OB＝OC，∠BDC＝90°，則線段BC的最小值為________．【答案】6【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到BC=2OD，所以當(dāng)OD最小時(shí)，BC最小．當(dāng)A,D,O三點(diǎn)共線時(shí)，可以確定OD的最小值，從而得解．【詳解】解：如圖，連接OD、AD、OA，則AD=2．∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,4)，∴OA=3∵OB=OC，∠BDC=90°，∴BC=2OD．∵當(dāng)A、D、O三點(diǎn)共線時(shí)，OD最小，∴OD的最小值為OA-AD=5-2=3，∴BC的最小值為2×3=6．故答案為6．【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出BC取最小值時(shí)點(diǎn)D的位置．17．（2022·全國·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，⊙O與△OAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B．將△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B，使點(diǎn)O′落在⊙O上，邊A'B交線段AO于點(diǎn)C．若∠A'=25°，則∠OCB=_______度．【答案】85【分析】如圖，連接OO'，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA=90°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷△OO'B為等邊三角形，從而得到∠OBO'=60°，所以∠ABA'=60°，然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算∠OCB．【詳解】解：如圖，連接OO'，∵⊙O與△OAB的邊AB相切，∴OB⊥AB，∴∠OBA=90°，∵△OAB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B，∴∠A=∠A'=25°，∠ABA'=∠OBO'，BO=BO'，∵OB=OO'，∴△OO'B為等邊三角形，∴∠OBO'=60°，∴∠ABA'=60°，∴∠OCB=∠A+∠ABC=25°+60°=85°．故答案為：85．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角定理．掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．18．（2020·浙江·義烏市賓王中學(xué)九年級期中）圖1是一種推磨工具模型，圖2是它的示意圖，已知AB⊥PQ，AP＝AQ＝20cm，AB＝120cm，點(diǎn)A在中軸線l上運(yùn)動，點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，OB長為半徑的圓上運(yùn)動，且OB＝35cm，（1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)B按逆時(shí)針方向運(yùn)動到B′時(shí)，A'B'⊥OB'（2）在點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，點(diǎn)P與點(diǎn)O之間的最短距離為_____cm．

【答案】

30

2037-35【分析】（1）根據(jù)A'（2）當(dāng)B、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，OP的距離最短，即可求解．【詳解】解：（1）∵A'∴A'B'是圓∴A＝120+35﹣O＝155﹣35＝155﹣125，＝30，故答案為：30；（2）當(dāng)B、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，OP的距離最短，則OP＝BP﹣OB＝BA2+AP故答案為：2037【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定轉(zhuǎn)動后圖形上各個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系．三、解答題19．（2022·江蘇·灌南縣揚(yáng)州路實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，若M是⊙O中弦CD的中點(diǎn)，EM經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，并且CD=8m，EM=8m，求⊙O的半徑．【答案】⊙O的半徑為5m．【分析】根據(jù)垂徑定理得EM⊥CD，求出CM=DM=4，在Rt△COM中，由勾股定理得OC2=C【詳解】解：連接OC，如圖所示：∵M(jìn)是⊙O弦CD的中點(diǎn)，CD=8m，∴EM⊥CD，CM=DM=12CD=4m設(shè)⊙O的半徑為xm，在Rt△COM中，由勾股定理得：OC即x2解得：x=5，即⊙O的半徑為5m．【點(diǎn)睛】此題考查了垂徑定理，勾股定理等知識；熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．20．（2022·江蘇·南通市啟秀中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC平分∠BAD，若∠BAD=120°，求證：AC=AB+AD．【答案】證明見解析【分析】延長AD至E，使得DE=AB，先證明BC=CD，再證明△ABC?△EDC，進(jìn)而得△ACE為等邊三角形，從而可得AC=AE，由此即可得證．【詳解】證明：如圖，延長AD至E，使得DE=AB，∵AC平分∠BAD，∠BAD=120°，∴∠CAB=∠CAD=60°，∴BC=∴BC=CD，∵∠BAD=120°，∴∠BCD=180°-∠BAD=60°，∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠CDE=∠CBA，∴△ABC?△EDCSAS∴∠ACB=∠ECD,AC=CE，∴∠ACE=∠ECD+∠ACD=∠ACB+∠ACD=∠BCD=60°，∴△ACE是等邊三角形，∴AC=AE=AD+DE，∴AC=AB+AD．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，通過作輔助線，構(gòu)造全等三角形和等邊三角形是解題關(guān)鍵．21．（2022·福建·福州華倫中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，E是AC上一點(diǎn)，弦BE交AC于點(diǎn)F，弦AD⊥BE于點(diǎn)G，連接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．(1)求證：∠CAG＝∠ABE；(2)求證：CG＝CD；(3)若AB＝4，BC＝213，求GF的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)9【分析】（1）由BC為直徑得∠CAG＋∠BAG＝90°，根據(jù)AD⊥BE得∠ABE＋∠BAG＝90°，即可證得∠CAG＝∠ABE；（2）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠CGD＝∠CAG＋∠ACG，即可證得∠D＝∠CGD，進(jìn)而得到CG＝CD；

（3）連接AE，CE，由∠CEB＝∠BGD＝90°得到AG∥CE，根據(jù)CE＝CE推出∠EAC＝∠CBE=∠ACG，可得AE∥CG，推出四邊形AECG是平行四邊形，得到AF＝CF，在Rt△BAC中，勾股定理求出AC得到AF，在Rt△BAF中，勾股定理求出BF，根據(jù)等面積可知AG，再利用勾股定理求出GF．（1）證明：∵BC為直徑，∴∠CAB＝90°，∴∠CAG＋∠BAG＝90°，又∵AD⊥BE，∴∠ABE＋∠BAG＝90°，∴∠CAG＝∠ABE；（2）證明：∵AC＝AC，∴∠D＝∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，又∵∠CGD＝∠CAG＋∠ACG，∠CAG＝∠ABE，∠CBE＝∠ACG，∴∠D＝∠CGD，∴CG＝CD；（3）連接AE，CE，∵BC為直徑，∴∠CEB＝90°．∴∠CEB＝∠BGD．∴AG∥CE．又∵CE＝CE，∴∠EAC＝∠CBE．又∵∠CBE＝∠ACG，∴∠EAC＝∠ACG．

∴AE∥CG．∴四邊形AECG是平行四邊形，∴AF＝CF．∵在Rt△BAC中，AC2∴AC＝6．∴AF＝3．∴在Rt△BAF中，BF∴BF＝5．∴根據(jù)等面積可知AG＝125∴在Rt△AGF中，GF2∴GF＝95【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理，余角的性質(zhì)，勾股定理，三角形外角性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理和判定是解題的關(guān)鍵．22．（2021·福建省永春崇賢中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知△ABC為等腰三角形，AD⊥BC；(1)尺規(guī)作圖：作△ABC的外接圓⊙O（保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)若底邊BC=6，腰AB=5，求△ABC外接圓⊙O的半徑．【答案】(1)見解析(2)25【分析】（1）由于三角形的外心是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，已知AD是BC邊上的垂直平分線，再作△ABC的另一邊的垂直平分線，它于AD的交點(diǎn)即為△ABC的外接圓的圓心（設(shè)圓心為O）；以O(shè)為圓心、OB長為半徑作圓，即可得出△ABC的外接圓；（2）連接OB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得BD，然后勾股定理求得AD,最后利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．（1）解：如圖所示：如圖⊙O是所求作的ΔABC的外接圓（2）解：如圖：∵ΔABC是等腰三角形，底邊BC=6，腰AB=5∴OA⊥BC，BD=CD=∴在RtΔABD中，在RtΔBOD中，∴r=25【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形外接圓的作法、勾股定理等知識點(diǎn)，掌握垂直平分線找到圓心和利用勾股定理構(gòu)建方程是解答本題的關(guān)鍵．23．（2021·廣東·廣州市第二中學(xué)南沙天元學(xué)校九年級階段練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中有5個(gè)點(diǎn)：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2，﹣2），E（0，﹣3）．(1)畫出△ABC的外接圓⊙P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)D與⊙P的位置關(guān)系為，點(diǎn)E與⊙P的位置關(guān)系為；(2)若在x軸上有一點(diǎn)F，且∠AFB＝∠ACB，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)為．【答案】(1)（﹣1，0），點(diǎn)D在⊙P上，點(diǎn)E在⊙P外(2)（5-1，0）或（﹣5-1，【分析】（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出各點(diǎn)，畫出△ABC的外接圓，并指出點(diǎn)D、點(diǎn)E與⊙P的位置關(guān)系即可；（2）根據(jù)直徑對的圓周角是90°進(jìn)行解答即可．（1）解：如圖所示：△ABC外接圓的圓心為（﹣1，0），點(diǎn)D在⊙P上，點(diǎn)E在⊙P外；故答案為：（﹣1，0），點(diǎn)D在⊙P上，點(diǎn)E在⊙P外；（2）∵AC=4,BC=2,AB∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，AB=25∵∠ACB＝90°，∴AB是⊙P的直徑，半徑為12∵∠AFB＝∠ACB，且F在x軸上，P-1,0∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5-1，0）或（﹣5-1，故答案為：（5-1，0）或（﹣5-1，【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．24．（2022·湖南·長沙市中雅培粹學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．連接BD并延長交AC于點(diǎn)M．(1)求證：直線DE是⊙O的切線；(2)求證：AB=AM；(3)若ME=1，∠F=30°，求BF的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）連接OD，由∠ODA=∠OAD=∠DAC證明OD∥AC，得∠ODF=∠AED=90°，即可證明直線DE是（2）由線段AB是⊙O的直徑證明∠ADB=90°，再根據(jù)等角的余角相等證明∠M=∠ABM，則AB=AM；（3）由∠AEF=90°，∠F=30°可證明∠BAM=60°，則ΔABM是等邊三角形，所以∠M=60°，則∠EDM=30°，所以BD=MD=2ME=2，再證明∠BDF=∠F，得BF=BD=2（1）證明：連接OD，則OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD=∠DAC，∴∠ODA=∠DAC，∴OD∥∵DE⊥AC，∴∠ODF=∠AED=90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴∠ADM=180°-∠ADB=90°，∴∠M+∠DAM=90°，∠ABM+∠DAB=90°，∵∠DAM=∠DAB，∴∠M=∠ABM，∴AB=AM．