第一章空間向量與立體幾何夯實基礎(chǔ)-01空間向量的線性運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何01空間向量的線性運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)：平面向量的基本概念、基本運(yùn)算有哪些？空間向量的基本概念？線性運(yùn)算是什么？空間向量的共線定理、共面定理如何理解？知識構(gòu)建知識點(diǎn)一空間向量的概念1.定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量2．長度或模：向量的大?。?．表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.幾類特殊的空間向量名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做零向量，記為0單位向量模為1的向量稱為單位向量相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為－a共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量知識點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算空間向量的線性運(yùn)算加法a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))減法a－b＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(PQ,\s\up6(→))；當(dāng)λ<0時，λa＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(MN,\s\up6(→))；當(dāng)λ＝0時，λa＝0運(yùn)算律交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點(diǎn)三共線向量1．空間兩個向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.2．直線的方向向量：在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點(diǎn)四共面向量1．共面向量：如圖，如果表示向量a的有向線段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱向量a平行于平面α.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要條件：如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.拓展：對于空間任意一點(diǎn)，四點(diǎn)共面（其中不共線）的充要條件是（其中）．三、類型歸納類型一、空間向量的基本概念類型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算類型三：空間向量線性運(yùn)算綜合問題類型四、空間共面向量定理四、類型剖析題型一空間向量概念【例1】下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．方向相反的兩個向量是相反向量B．空間中任意兩個單位向量必相等C．若向量滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長度相等，方向相反的向量，故A錯誤；單位向量指的是模為1的向量，方向未定，故B錯誤；向量不能比較大小，故C錯誤；相等向量其方向必相同，故D正確；故選：D.【跟蹤訓(xùn)練1】下列說法正確的是（

）A．任一空間向量與它的相反向量都不相等B．將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓C．模長為3的空間向量大于模長為1的空間向量D．不相等的兩個空間向量的模可能相等【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的定義，從向量的大小和方向兩個方面依次判斷選項；【詳解】對A，零向量的相反向量是本身，故A錯；對B，終點(diǎn)構(gòu)成一個球，故B錯；對C，向量不能比較大小，故C錯；對D，相反向量是不相等向量，但它們的模長相等，故D正確；故選：D題型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【例2】（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四面體OABC中，，，．點(diǎn)M在OA上，且滿足，N為BC的中點(diǎn)，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和減法的三角形法則得到．【詳解】如圖，連接，

是的中點(diǎn)，，，，．故選：．【跟蹤訓(xùn)練21】.（2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末）空間向量（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】故選：D【跟蹤訓(xùn)練22】.（2024·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）在長方體中，等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)長方體，得到相等的向量，再利用空間向量的加法法則進(jìn)行計算.【詳解】如圖，可得，，所以.故選：B【跟蹤訓(xùn)練23】.已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，N為CD中點(diǎn)，如圖所示，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的加法運(yùn)算得答案.【詳解】連接，因為為的中點(diǎn)，所以，所以，故選：A.【跟蹤訓(xùn)練24】.在三棱錐中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】連接，根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡，即可求解.【詳解】連接，根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得.故選：B.【跟蹤訓(xùn)練25】.已知三棱錐分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，設(shè)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用空間向量線性運(yùn)算，結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因為分別是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，，則.故選：D.【跟蹤訓(xùn)練26】.（2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰谄叫辛骟w中，點(diǎn)M滿足．若，則下列向量中與相等的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】由點(diǎn)M滿足，所以M為中點(diǎn)，因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以M為中點(diǎn),所以，所以.故選：C題型三：空間向量線性運(yùn)算綜合問題【例3】.已知平行六面體，化簡下列向量表達(dá)式，并在圖中標(biāo)出化簡得到的向量：

(1)；(2)；(3).【答案】(1)，圖見解析(2)，圖見解析(3)，圖見解析【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算依次求解即可.【詳解】（1），向量如圖所示，

（2）；向量如圖所示，

（3），設(shè)是線段的中點(diǎn)，則.向量如圖所示，

【跟蹤訓(xùn)練3】如圖E，F(xiàn)分別是長方體的棱AB，CD的中點(diǎn)，化簡下列表達(dá)式：(1)； (2)； (3)； (4).【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】（1）（2）（3）（4）根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合長方體性質(zhì)可得.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）因為E，F(xiàn)分別是棱AB，CD的中點(diǎn)，所以.題型四、空間共面向量定理【例4】如圖1.19，已知平行四邊形，過平面外一點(diǎn)，作射線，，，，在四條射線上分別取點(diǎn)，，，，使．求證：，，，四點(diǎn)共面．師生活動：欲證，，，四點(diǎn)共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運(yùn)算由，，共面的表達(dá)式推得，，共面的表達(dá)式．證明：因為，所以，，，．因為四邊形是平行四邊形，所以．因此．由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點(diǎn)，從而，，，四點(diǎn)共面．選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運(yùn)算得出幾何元素的關(guān)系，是解決立體幾何問題的常用方法．【跟蹤訓(xùn)練4】.因為，，，所以，所以與、共面．五、素養(yǎng)提升：1．（2024·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末）在四面體中，是棱的中點(diǎn)，且，則的值為__________.【答案】0【分析】利用空間向量加減法法則，把用表示出來，即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示，因為是棱的中點(diǎn)，所以，則，所以，故答案為：0.2.已知四面體，空間的一點(diǎn)滿足，若，，，共面，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】由向量的線性運(yùn)算可知，再由共面定理可知，即可得解.【詳解】由，得，即，又，，，四點(diǎn)共面，即，，共面，所以存在唯一實數(shù)對，使，所以，解得，故答案為：.3．為空間任意一點(diǎn)，若，若，，，四點(diǎn)共面，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為：，利用四點(diǎn)共面定理可得，即可求解.【詳解】因為，所以，可化簡為：，即，由于，，，四點(diǎn)共面，則，解得：；故選：C六、隨堂檢測：1．下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則，的長度相等而方向相同或相反C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項的正誤.【詳解】對于A，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；對于B，只能說明，的長度相等而方向不確定，故B錯誤；對于C，向量作為矢量不能比較大小，故C錯誤；對于D，相等向量方向相同大小相等，故D正確.故選：D.2．在正方體中，與向量相反的向量是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【詳解】

如圖所示，可知是的相反向量.故選：A3．在空間四邊形中，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法則計算.【詳解】.故選：B.4．如圖：在平行六面體中，為的交點(diǎn)．若，則向量（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算求解即可.【詳解】因為,所以.故選：B.5．如圖，在斜棱柱中，與的交點(diǎn)為點(diǎn)M，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意，.故選：B6．如圖，平行六面體中，分別為的中點(diǎn).若，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用空間向量的線性運(yùn)算法，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】因為平行六面體中，分別為的中點(diǎn)，可得，又因為，可得，即.故選：A.二、多選題7．如圖所示，在正方體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是（）A．； B．；C．； D．．【答案】ABCD【分析】利用向量加法的運(yùn)算，對四個式子逐一計算出結(jié)果，由此得出正確選項.【詳解】對于A,；對于B，；對于C,；對于D,．故選：ABCD.8.（2024·高二課時練習(xí)）