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第一章空間向量與立體幾何01空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算問(wèn)題導(dǎo)學(xué):平面向量的基本概念、基本運(yùn)算有哪些?空間向量的基本概念?線(xiàn)性運(yùn)算是什么?空間向量的共線(xiàn)定理、共面定理如何理解?知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念1.定義:在空間,具有大小和方向的量叫做空間向量2.長(zhǎng)度或模:向量的大小.3.表示方法:①幾何表示法:空間向量用有向線(xiàn)段表示;②字母表示法:用字母a,b,c,…表示;若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,也可記作eq\o(AB,\s\up6(→)),其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.4.幾類(lèi)特殊的空間向量名稱(chēng)定義及表示零向量長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量,記為0單位向量模為1的向量稱(chēng)為單位向量相反向量與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量,稱(chēng)為a的相反向量,記為-a共線(xiàn)向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相平行或重合,那么這些向量叫做共線(xiàn)向量或平行向量.規(guī)定:對(duì)于任意向量a,都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算加法a+b=eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(OB,\s\up6(→))減法a-b=eq\o(OA,\s\up6(→))-eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\o(CA,\s\up6(→))數(shù)乘當(dāng)λ>0時(shí),λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(PQ,\s\up6(→));當(dāng)λ<0時(shí),λa=λeq\o(OA,\s\up6(→))=eq\o(MN,\s\up6(→));當(dāng)λ=0時(shí),λa=0運(yùn)算律交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:a+(b+c)=(a+b)+c,λ(μa)=(λμ)a;分配律:(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.知識(shí)點(diǎn)三共線(xiàn)向量1.空間兩個(gè)向量共線(xiàn)的充要條件:對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.2.直線(xiàn)的方向向量:在直線(xiàn)l上取非零向量a,我們把與向量a平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)l的方向向量.知識(shí)點(diǎn)四共面向量1.共面向量:如圖,如果表示向量a的有向線(xiàn)段eq\o(OA,\s\up6(→))所在的直線(xiàn)OA與直線(xiàn)l平行或重合,那么稱(chēng)向量a平行于直線(xiàn)l.如果直線(xiàn)OA平行于平面α或在平面α內(nèi),那么稱(chēng)向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量,叫做共面向量.2.向量共面的充要條件:如果兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn),那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.拓展:對(duì)于空間任意一點(diǎn),四點(diǎn)共面(其中不共線(xiàn))的充要條件是(其中).三、類(lèi)型歸納類(lèi)型一、空間向量的基本概念類(lèi)型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算類(lèi)型三:空間向量線(xiàn)性運(yùn)算綜合問(wèn)題類(lèi)型四、空間共面向量定理四、類(lèi)型剖析題型一空間向量概念【例1】下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是(
)A.方向相反的兩個(gè)向量是相反向量B.空間中任意兩個(gè)單位向量必相等C.若向量滿(mǎn)足,則D.相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】相反向量指的是長(zhǎng)度相等,方向相反的向量,故A錯(cuò)誤;單位向量指的是模為1的向量,方向未定,故B錯(cuò)誤;向量不能比較大小,故C錯(cuò)誤;相等向量其方向必相同,故D正確;故選:D.【跟蹤訓(xùn)練1】下列說(shuō)法正確的是(
)A.任一空間向量與它的相反向量都不相等B.將空間向量所有的單位向量平移到同一起點(diǎn),則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓C.模長(zhǎng)為3的空間向量大于模長(zhǎng)為1的空間向量D.不相等的兩個(gè)空間向量的模可能相等【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的定義,從向量的大小和方向兩個(gè)方面依次判斷選項(xiàng);【詳解】對(duì)A,零向量的相反向量是本身,故A錯(cuò);對(duì)B,終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球,故B錯(cuò);對(duì)C,向量不能比較大小,故C錯(cuò);對(duì)D,相反向量是不相等向量,但它們的模長(zhǎng)相等,故D正確;故選:D題型二、空間向量的加減數(shù)乘運(yùn)算【例2】(2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末)如圖,在四面體OABC中,,,.點(diǎn)M在OA上,且滿(mǎn)足,N為BC的中點(diǎn),則(
)
A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)空間向量的加法和減法的三角形法則得到.【詳解】如圖,連接,
是的中點(diǎn),,,,.故選:.【跟蹤訓(xùn)練21】.(2023秋·北京大興·高二統(tǒng)考期末)空間向量(
)A. B. C. D.【答案】D【詳解】故選:D【跟蹤訓(xùn)練22】.(2024·江蘇淮安·高二??茧A段練習(xí))在長(zhǎng)方體中,等于(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體,得到相等的向量,再利用空間向量的加法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】如圖,可得,,所以.故選:B【跟蹤訓(xùn)練23】.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,N為CD中點(diǎn),如圖所示,則()A. B.C. D.【答案】A【分析】直接利用向量的加法運(yùn)算得答案.【詳解】連接,因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以,故選:A.【跟蹤訓(xùn)練24】.在三棱錐中,為的中點(diǎn),則(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】連接,根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡(jiǎn),即可求解.【詳解】連接,根據(jù)向量的運(yùn)算法則,可得.故選:B.【跟蹤訓(xùn)練25】.已知三棱錐分別是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),設(shè),則(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用空間向量線(xiàn)性運(yùn)算,結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn),是的中點(diǎn),所以,,則.故選:D.【跟蹤訓(xùn)練26】.(2023秋·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)??计谀┰谄叫辛骟w中,點(diǎn)M滿(mǎn)足.若,則下列向量中與相等的是(
)A. B.C. D.【答案】C【詳解】由點(diǎn)M滿(mǎn)足,所以M為中點(diǎn),因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以M為中點(diǎn),所以,所以.故選:C題型三:空間向量線(xiàn)性運(yùn)算綜合問(wèn)題【例3】.已知平行六面體,化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量:
(1);(2);(3).【答案】(1),圖見(jiàn)解析(2),圖見(jiàn)解析(3),圖見(jiàn)解析【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算依次求解即可.【詳解】(1),向量如圖所示,
(2);向量如圖所示,
(3),設(shè)是線(xiàn)段的中點(diǎn),則.向量如圖所示,
【跟蹤訓(xùn)練3】如圖E,F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體的棱AB,CD的中點(diǎn),化簡(jiǎn)下列表達(dá)式:(1); (2); (3); (4).【答案】(1);(2);(3);(4).【分析】(1)(2)(3)(4)根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算,結(jié)合長(zhǎng)方體性質(zhì)可得.【詳解】(1);(2);(3);(4)因?yàn)镋,F(xiàn)分別是棱AB,CD的中點(diǎn),所以.題型四、空間共面向量定理【例4】如圖1.19,已知平行四邊形,過(guò)平面外一點(diǎn),作射線(xiàn),,,,在四條射線(xiàn)上分別取點(diǎn),,,,使.求證:,,,四點(diǎn)共面.師生活動(dòng):欲證,,,四點(diǎn)共面,只需證明,,共面.而由已知,,共面,可以利用向量運(yùn)算由,,共面的表達(dá)式推得,,共面的表達(dá)式.證明:因?yàn)椋?,,,.因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?,所以.因此.由向量共面的充要條件可知,,,共面,又,,過(guò)同一點(diǎn),從而,,,四點(diǎn)共面.選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締?wèn)題中的幾何元素,通過(guò)向量運(yùn)算得出幾何元素的關(guān)系,是解決立體幾何問(wèn)題的常用方法.【跟蹤訓(xùn)練4】.因?yàn)?,,,所以,所以與、共面.五、素養(yǎng)提升:1.(2024·遼寧鞍山·高二鞍山一中校聯(lián)考期末)在四面體中,是棱的中點(diǎn),且,則的值為_(kāi)_________.【答案】0【分析】利用空間向量加減法法則,把用表示出來(lái),即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn),所以,則,所以,故答案為:0.2.已知四面體,空間的一點(diǎn)滿(mǎn)足,若,,,共面,則實(shí)數(shù)的值為.【答案】【分析】由向量的線(xiàn)性運(yùn)算可知,再由共面定理可知,即可得解.【詳解】由,得,即,又,,,四點(diǎn)共面,即,,共面,所以存在唯一實(shí)數(shù)對(duì),使,所以,解得,故答案為:.3.為空間任意一點(diǎn),若,若,,,四點(diǎn)共面,則(
)A.1 B. C. D.【答案】C【分析】將化簡(jiǎn)為:,利用四點(diǎn)共面定理可得,即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,可化?jiǎn)為:,即,由于,,,四點(diǎn)共面,則,解得:;故選:C六、隨堂檢測(cè):1.下列關(guān)于空間向量的說(shuō)法中正確的是(
)A.單位向量都相等B.若,則,的長(zhǎng)度相等而方向相同或相反C.若向量,滿(mǎn)足,則D.相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì),即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A,單位向量長(zhǎng)度相等,方向不確定,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,只能說(shuō)明,的長(zhǎng)度相等而方向不確定,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,向量作為矢量不能比較大小,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,相等向量方向相同大小相等,故D正確.故選:D.2.在正方體中,與向量相反的向量是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)正方體的特征及相反向量的概念判定即可.【詳解】
如圖所示,可知是的相反向量.故選:A3.在空間四邊形中,(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)向量的加減法則計(jì)算.【詳解】.故選:B.4.如圖:在平行六面體中,為的交點(diǎn).若,則向量(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選:B.5.如圖,在斜棱柱中,與的交點(diǎn)為點(diǎn)M,,,,則(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的基本運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意,.故選:B6.如圖,平行六面體中,分別為的中點(diǎn).若,則(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意,利用空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算法,求得,進(jìn)而求得的值,即可求解.【詳解】因?yàn)槠叫辛骟w中,分別為的中點(diǎn),可得,又因?yàn)椋傻?,?故選:A.二、多選題7.如圖所示,在正方體中,下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的是()A.; B.;C.; D..【答案】ABCD【分析】利用向量加法的運(yùn)算,對(duì)四個(gè)式子逐一計(jì)算出結(jié)果,由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A,;對(duì)于B,;對(duì)于C,;對(duì)于D,.故選:ABCD.8.(2024·高二課時(shí)練習(xí))
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