高等數(shù)學(xué) 函數(shù)連續(xù)與間斷

1.6函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)二函數(shù)的間斷點(diǎn)類型一函數(shù)的連續(xù)性三小結(jié)與思考判斷題高等數(shù)學(xué)◆函數(shù)的連續(xù)性(continuity)

當(dāng)時(shí)間變化很微小時(shí)，氣溫的變化也很微小，一般的，當(dāng)自變量改變很微小時(shí)，因變量也很微小，這個(gè)特性稱為連續(xù)性。定性的描述1.6.1、函數(shù)連續(xù)的定義

氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著，反映在函數(shù)關(guān)系上是函數(shù)的連續(xù)性。

連續(xù)函數(shù)在圖像上是一條連續(xù)無間斷點(diǎn)的曲線。1.函數(shù)的增量一、函數(shù)的連續(xù)性2.連續(xù)的定義例1證由定義2知3.單側(cè)連續(xù)定理定義3定義4例2解右連續(xù)但不左連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,例3證例4、判斷下列函數(shù)在x=1處是否連續(xù)，并畫出圖像xyo211xyo211xyo211二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其類型定義5間斷點(diǎn)分為第一類間斷點(diǎn)與第二類間斷點(diǎn).第一類間斷點(diǎn)如果在間斷點(diǎn)處左右極限存在,則稱點(diǎn)為的第一類間斷點(diǎn).第二類間斷點(diǎn)如果在間斷點(diǎn)處左右極限中至少有一個(gè)不存在,則稱點(diǎn)為的第二類間斷點(diǎn).特別地有:依據(jù)間斷的程度不同1.跳躍間斷點(diǎn)例4解2.可去間斷點(diǎn)例5特點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).例6解3.無窮間斷點(diǎn)：如果在點(diǎn)處左、右極限至少有一個(gè)為無窮大，則稱點(diǎn)為函數(shù)的無窮間斷點(diǎn).4振蕩間斷點(diǎn)：如果在點(diǎn)處無極限且函數(shù)值在某兩個(gè)最值間變動(dòng)無限多次，則稱為函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn).例7例8解例9

函數(shù)在點(diǎn)是否間斷?屬于那種類型?能否補(bǔ)充或改變函數(shù)在該點(diǎn)定義使之連續(xù)?解函數(shù)在點(diǎn)沒有定義,所以是函數(shù)的間斷點(diǎn).對(duì)于

,.因?yàn)?所以是第一類間斷點(diǎn).令,即可使函數(shù)在處連續(xù).對(duì)于,因?yàn)?所以是第二類間斷點(diǎn)且為無窮間斷點(diǎn).

解這是一個(gè)初等函數(shù)，其定義域?yàn)檎页龊瘮?shù)

的間斷點(diǎn)，并判別其類型。例而

所以，x=1是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；x=2是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)。1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無窮型,振蕩型.間斷點(diǎn)