《復(fù)變函數(shù)積分》課件

第三章復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分的概念和計算柯西定理和柯西公式解析函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)公式第一節(jié)復(fù)積分正確理解復(fù)變函數(shù)積分的概念掌握復(fù)變函數(shù)積分的一般計算法有向曲線A(起點(diǎn))B(終點(diǎn))CCC若C為逐段光滑的簡單閉曲線正方向——觀察者順此方向沿C前進(jìn)一周，

C的內(nèi)部一直在觀察者的左邊1、復(fù)積分的定義２、復(fù)積分的計算3、復(fù)積分的基本性質(zhì)第二節(jié)柯西積分定理掌握并能運(yùn)用柯西定理和牛頓-萊布尼茲公式計算積分掌握復(fù)合閉路定理并能運(yùn)用其進(jìn)行積分在區(qū)域內(nèi)的一個解析函數(shù)沿閉曲線的積分，不因閉曲線在區(qū)域內(nèi)作連續(xù)變形而改變它的.——閉路變形原理第三節(jié)柯西公式掌握使用柯西公式進(jìn)行積分計算了解平均值公式及最大模原理—Cauchy定理一、柯西公式則有：公式說明：若一個函數(shù)在簡單閉曲線C的內(nèi)部解析，在C上連續(xù)，則函數(shù)在C內(nèi)部的值完全可由C上的值決定.定理中曲線C不必是簡單的！如下圖。DCz1z0C1C2DCC1C2z0z1二、平均值公式三、最大模原理定理4.2(高階導(dǎo)數(shù)公式)設(shè)D是以有限條簡單閉曲線C為邊界的有界區(qū)域。設(shè)f(z)在D及C所組成的閉區(qū)域上解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式：證明：先證明結(jié)論關(guān)于n=1時成立。設(shè)是D內(nèi)另一點(diǎn)。只需證明，當(dāng)h趨近于0時，下式也趨近于0

現(xiàn)在估計上式右邊的積分。設(shè)以z為心，以2d為半徑的圓盤完全在D內(nèi)，并且在這個圓盤內(nèi)取z+h，使得0<|h|<d，那么當(dāng)時設(shè)|f(z)|在C上的一個上界是M，并且設(shè)C的長度是L，于是我們有因此當(dāng)h趨近于0時，要證的積分趨于0。用數(shù)學(xué)歸納法完成定理的證明。設(shè)n=k時，結(jié)論成立。取z及z+h同上，那么有由此證明，當(dāng)h趨近于0時，上式的右邊趨于0；于是定理的結(jié)論當(dāng)n=k+1時成立。設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，那么f(z)在D內(nèi)有任意階導(dǎo)數(shù)。注解1、以上討論表明，函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)的解析性是很強(qiáng)的條件，和僅僅在一個點(diǎn)可導(dǎo)是有非常大的差異；注解2、任意階導(dǎo)數(shù)公式是柯西公式的直接推論；定理4.3設(shè)函數(shù)f(z)在以為邊界的閉圓盤上解析，那么其中證明：令是圓那么，由導(dǎo)數(shù)公式，有其中，n=0,1,2,…;0!=1。注解：2、如果在C上解析，那么我們稱它為一個整函數(shù)，例如等。1、上面的不等式稱為柯西不等式。定理4.4：有界整函數(shù)一定恒等于常數(shù)證明：f(z)是有界整函數(shù)，即存在使得，f(z)在上解析。由柯西公式，有令，可見從而f(z)在C上恒等于常數(shù)。

關(guān)于整函數(shù)，我們有下面重要的劉維爾定理莫勒拉定理：應(yīng)用解析函數(shù)有任意階導(dǎo)數(shù)，可以證明柯西定理的逆定理，定理5.1如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，并且對于D內(nèi)的任一條簡單閉曲線C，我們有那么f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析。證明：作以為z0心的圓盤在凸區(qū)域K內(nèi)，函數(shù)f(z)連續(xù)，并且對于K內(nèi)任何一個三角形的周界C，則可以證明f(z)在K內(nèi)有原函數(shù)F(z)，即于是F(z)在K內(nèi)解析。由4.1，f(z)在K內(nèi)，且在z0解析，從而有任意階導(dǎo)數(shù)。