系統(tǒng)的頻域分析及其應用

1傅里葉分析是將任意信號分解為無窮多項不同頻率的虛指數(shù)函數(shù)之和系統(tǒng)的頻域分析及其應用2系統(tǒng)的頻域分析及其應用

連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應

連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析

無失真系統(tǒng)與理想低通抽樣與抽樣定理調(diào)制與解調(diào)

離散時間系統(tǒng)的頻域分析3

連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應基本信號ejwt(-

<t<

)通過系統(tǒng)的響應任意非周期信號通過系統(tǒng)的響應系統(tǒng)頻響H(jw)的定義與物理意義H(jw)與h(t)的關系求H(jw)的方法41、基本信號ejwt(-

<t<

)通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應其中稱為頻率響應函數(shù)52、任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應

若信號f(t)的Fourier存在，則可由虛指數(shù)信號ejwt(-

<t<

)的線性組合表示，即

由系統(tǒng)的線性時不變特性，可推出信號f(t)作用于系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)。62、任意非周期信號通過連續(xù)系統(tǒng)的零狀態(tài)響應由積分特性由均勻性即Yf(jw)73、連續(xù)系統(tǒng)的頻率響應H(jw)的定義與物理意義幅度響應相位響應H(jw)的物理意義：H(jw)反映了系統(tǒng)對輸入信號不同頻率分量的傳輸特性。H(jw)稱為系統(tǒng)的頻率響應，定義為或Yf(jw)=H(jw)F(jw)8求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應頻域分析的步驟9周期信號通過系統(tǒng)的傅里葉級數(shù)法104、H(jw)與h(t)的關系即H(jw)等于系統(tǒng)沖激響應h(t)的Fourier變換由H(jw)的定義，顯然有115、求H(jw)的方法(1)由微分方程求，對微分方程兩邊取傅里葉變換(2)由電路直接求出12解：利用Fourier變換的微分特性，微分方程的頻域表示式為由定義可求得例1

已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=f(t)，求系統(tǒng)的頻率響應H(jw)。13例2

已知某LTI系統(tǒng)的沖激響應為

h(t)=(e-t-e-2t)u(t)，求系統(tǒng)的頻率響應H(jw)。解：利用H(jw)與h(t)的關系14例3圖示RC電路系統(tǒng)，激勵電壓源為f(t)，輸出電壓y(t)為電容兩端的電壓vc(t)，電路的初始狀態(tài)為零。求系統(tǒng)的頻率響應H(jw)和沖激響應h(t)。解：RC電路的頻域(相量)模型如圖，由Fourier反變換，得系統(tǒng)的沖激響應h(t)為由電路的基本原理有15RC電路系統(tǒng)的幅度響應

隨著頻率的增加，系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|不斷減小，說明信號的頻率越高，信號通過該系統(tǒng)的損耗也就越大。由于|H(j(1/RC))|=0.707，所以把wc=1/RC稱為該系統(tǒng)的3db截頻。低通濾波器16

連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析正弦信號通過系統(tǒng)的響應任意周期信號通過系統(tǒng)的響應17一、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析1.已知描述系統(tǒng)的微分方程方程兩邊進行Fourier變換，并利用時域微分特性，有解此代數(shù)方程即可求得零狀態(tài)響應的頻譜Yf(jw)。18一、連續(xù)非周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析2.已知系統(tǒng)的頻域響應對Yf(jw)進行Fourier反變換，可得

系統(tǒng)零狀態(tài)響應頻域分析方法與卷積積分法的關系：1)

兩種分析方法實質(zhì)相同，只不過是采用單元信號不同。2)分析域不同，卷積積分法——時域，

頻域分析法——頻域。Fourier變換的時域卷積定理是聯(lián)系兩者的橋梁。19例1

已知某LTI系統(tǒng)的動態(tài)方程為

y"(t)+3y'(t)+2y(t)=3f

'(t)+4

f(t)，系統(tǒng)的輸入激勵f(t)=e-3tu(t)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)。解：由于輸入激勵f(t)的頻譜函數(shù)為系統(tǒng)的頻率響應由微分方程可得故系統(tǒng)的零狀態(tài)響應yf(t)的頻譜函數(shù)Yf(jw)為20二、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析1.正弦信號通過系統(tǒng)的響應由Euler公式可得

利用虛指數(shù)信號ejwt作用在系統(tǒng)上響應的特點及系統(tǒng)的線性特性，可得零狀態(tài)響應yf(t)為21二、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析1.正弦信號通過系統(tǒng)的響應同理

結(jié)論：正、余弦信號作用于線性時不變系統(tǒng)時，其輸出的零狀態(tài)響應y(t)仍為同頻率的正、余弦信號。

輸出信號的幅度y(t)由系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|確定

輸出信號的相位相對于輸入信號偏移了22例2

某LTI系統(tǒng)的|H(jw)|

和如圖解：解法1：用傅里葉變換23例2

某LTI系統(tǒng)的|H(jw)|

和如圖解：解法2：用三角傅里葉級數(shù)利用前頁的公式24二、連續(xù)周期信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析2.任意周期信號通過系統(tǒng)的響應將周期為T0的周期信號f(t)用Fourier級數(shù)展開為利用虛指數(shù)信號ejwt作用在系統(tǒng)上響應的特點及線性特性可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為若f(t)、h(t)為實函數(shù)，則有25例3求圖示周期方波信號通過系統(tǒng)H(jw)=1/(a+jw)的響應y(t)。解：對于周期方波信號，其Fourier系數(shù)為可得系統(tǒng)響應y(t)為由26優(yōu)點：求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應時，可以直觀地體現(xiàn)信號通過系統(tǒng)后信號頻譜的改變，解釋激勵與響應時域波形的差異，物理概念清楚。不足：

（1）只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，系統(tǒng)的零輸入響應仍按時域方法求解。（2）若激勵信號不存在傅里葉變換，則無法利用頻域分析法。（3）頻域分析法中，傅立葉反變換常較復雜。解決方法：采用拉普拉斯變換系統(tǒng)響應頻域分析小結(jié)27系統(tǒng)的頻域分析及其應用

連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析

無失真系統(tǒng)與理想低通抽樣與抽樣定理調(diào)制與解調(diào)

離散時間系統(tǒng)的頻域分析28

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)與理想濾波器無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)理想濾波器的頻響特性理想低通濾波器沖激響應階躍響應29一、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)

若輸入信號為f(t)，則無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的輸出信號y(t)應為K為常數(shù)，td是輸入信號通過系統(tǒng)后的延遲時間。

時域特性

頻域特性其幅度響應和相位響應分別為302)

系統(tǒng)的相位響應

在整個頻率范圍內(nèi)應與

成正比。一、無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的幅度和相位響應

無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)應滿足兩個條件：1)

系統(tǒng)的幅頻響應|H(jw)|在整個頻率范圍內(nèi)應為常數(shù)K，即系統(tǒng)的帶寬為無窮大；31

系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|為常數(shù)，但相位響應不是w的線性函數(shù)，所以系統(tǒng)不是無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(1)求系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|和相位響應，并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)

當輸入為f(t)=sint+sin3t(-

<t<

)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。例1

已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應為解：(1)因為所以系統(tǒng)的幅度響應和相位響應分別為(2)32例1

已知一LTI系統(tǒng)的頻率響應為(1)求系統(tǒng)的幅度響應|H(jw)|和相位響應f(w)，并判斷系統(tǒng)是否為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。(2)

當輸入為f(t)=sint+sin3t(-

<t<

)時，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應。解：顯然，輸出信號相對于輸入信號產(chǎn)生了失真。輸出信號的失真是由于系統(tǒng)的非線性相位引起的。輸入和輸出信號的波形33失真的有關概念線性系統(tǒng)引起的信號失真由兩方面因素造成幅度失真：各頻率分量幅度產(chǎn)生不同程度的衰減；相位失真：各頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，使響應的各頻率分量在時間軸上的相對位置發(fā)生變化。線性系統(tǒng)的失真----幅度、相位變化，不產(chǎn)生新的頻率成分。非線性系統(tǒng)產(chǎn)生非線性失真----產(chǎn)生新的頻率成分34二、理想濾波器的頻響特性

濾波器是指能使信號的一部分頻率通過，而使另一部分頻率通過很少的系統(tǒng)。

理想低通

理想高通

理想帶通

理想帶阻35三、理想低通濾波器截止角頻率幅頻響應|H(jw)|在通帶0~wc

恒為1，在通帶之外為0。相頻響應f(w)在通帶內(nèi)與

成線性關系36三、理想低通濾波器1.理想低通濾波器的沖激響應37三、理想低通濾波器1.理想低通濾波器的沖激響應

分析：1)

h(t)的波形是一個抽樣函數(shù)，不同于輸入信號d(t)的波形，有失真。

原因：理想低通濾波器是一個帶限系統(tǒng)，而沖激信號d(t)的頻帶寬度為無窮大。

減小失真方法：增加理想低通截頻wc。h(t)的主瓣寬度為2p/wc，wc越小，失真越大。當wc

時，理想低通變?yōu)闊o失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，h(t)也變?yōu)闆_激函數(shù)。38三、理想低通濾波器1.理想低通濾波器的沖激響應

分析：2)

h(t)主峰出現(xiàn)時刻t=td

比輸入信號d(t)

作用時刻t=0延遲了一段時間td

。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。3)

h(t)在t<0的區(qū)間也存在輸出，可見理想低通濾波器是一個非因果系統(tǒng)，因而它是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。39三、理想低通濾波器2.理想低通濾波器的階躍響應40三、理想低通濾波器2.理想低通濾波器的階躍響應

分析：1)階躍響應g(t)比輸入階躍信號u(t)延遲td

。td是理想低通濾波器相位特性的斜率。2)

階躍響應的建立需要一段時間。

階躍響應從最小值上升到最大值所需時間稱為階躍響應的上升時間tr。tr=2p/wc，即上升時間tr與理想低通截頻wc成反比。wc越大，上升時間就越短，當wc

時，tr

0。41三、理想低通濾波器2.理想低通濾波器的階躍響應

分析：3)存在Gibbs現(xiàn)象即在間斷點的前后出現(xiàn)了振蕩，其振蕩的最大峰值約為階躍突變值的9%左右，且不隨濾波器帶寬的增加而減小。42結(jié)論1.

輸出響應的延遲時間取決于理想低通濾波器的相位特性的斜率。2.

輸入信號在通過理想低通濾波器后，輸出響應在輸入信號不連續(xù)點處產(chǎn)生逐漸上升或下降的波形，上升或下降的時間與理想低通濾波器的通頻帶寬度成反比。3.

理想低通濾波器的通帶寬度與輸入信號的帶寬不相匹配時，輸出就會失真。系統(tǒng)的通帶寬度越大于信號的帶寬，則失真越小，反之，則失真越大。43例2求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-

<

t<

，通過線性相位理想低通濾波器的響應。解：因為利用Fourier變換的頻移特性，可得44例2求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-

<

t<

，通過線性相位理想低通濾波器的響應。解：y(t)=f(t-td)=Sa(t-td)cos[2(

t-td)]，-

<t<

2)

當wc

<1時，輸入信號的所有頻率分量都不能通過系統(tǒng)，即y(t)=0，-

<t<

1)

當wc

>3時，輸入信號的所有頻率分量都能通過系統(tǒng)，即45例2求帶通信號f(t)=Sa(t)cos2t，-

<

t<

，通過線性相位理想低通濾波器的響應。解：3)

當1<wc

<3時，只有1

wc范圍內(nèi)的頻率分量能通過系統(tǒng)，故由抽樣信號頻譜及Fourier變換的時域和頻域位移特性可得46系統(tǒng)的頻域分析及其應用

連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析無失真系統(tǒng)與理想低通

抽樣與抽樣定理

調(diào)制與解調(diào)離散時間系統(tǒng)的頻域分析147

連續(xù)時間信號的時域抽樣

信號抽樣的理論分析時域抽樣定理抽樣定理的工程應用信號重建實際應用舉例248連續(xù)時間信號的時域抽樣3

抽樣定理論述了在一定條件下，一個連續(xù)信號完全可以用離散樣本值表示。這些樣本值包含了該連續(xù)信號的全部信息，利用這些樣本值可以恢復原信號。可以說，抽樣定理在連續(xù)信號與離散信號之間架起了一座橋梁。為其互為轉(zhuǎn)換提供了理論依據(jù)。信號抽樣抽樣定理491、信號抽樣的理論分析所謂“抽樣”就是利用抽樣脈沖序列從連續(xù)信號f(t)中“抽取”一系列離散樣本值的過程。這樣得到的離散信號稱為抽樣信號fs(t)，它是對信號進行數(shù)字處理的第一個環(huán)節(jié)需要解決的問題：（1）Fs(jw)與F(jw)的關系（2）由fs(t)能否恢復f(t)A/D501、信號抽樣的理論分析A/D3511、信號抽樣的理論分析

若連續(xù)信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(jω)，則抽樣信號

理想抽樣信號的頻譜分析頻譜函數(shù)Fs(jw)為4521、信號抽樣的理論分析

理想抽樣信號的頻譜分析

抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關系：

過抽樣5531、信號抽樣的理論分析

理想抽樣信號的頻譜分析

抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關系：臨界抽樣6541、信號抽樣的理論分析

理想抽樣信號的頻譜分析

抽樣信號fs(t)頻譜與抽樣間隔T關系：

混疊(aliasing)7552、時域抽樣定理

若帶限信號f(t)的最高角頻率為ωm，則信號f(t)可以用等間隔的抽樣值唯一地表示。而抽樣間隔T需不大于1/2fm，或最低抽樣頻率fs不小于2fm。若從抽樣信號fs(t)中恢復原信號f(t)，需滿足兩個條件：fs

=

2fm

為最小抽樣頻率，稱為NyquistRate.(1)

f(t)是帶限信號，即其頻譜函數(shù)在|w|>wm各處為零；(2)

抽樣間隔T需滿足，

或抽樣頻率fs需滿足fs

2fm

（或ωs

2ω

m）

。856例1

已知實信號f(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計算對各信號f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)

f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。解：根據(jù)信號時域與頻域的對應關系得：最高頻率：

fm最小抽樣頻率：

2fm57例1

已知實信號f(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計算對各信號f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)

f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。解：根據(jù)信號時域與頻域的對應關系及抽樣定理得：最高頻率：

2fm最小抽樣頻率：

4fm58例1

已知實信號f(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計算對各信號f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)

f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。解：根據(jù)信號時域與頻域的對應關系及抽樣定理得：最高頻率：

fm最小抽樣頻率：

2fm59例1

已知實信號f(t)的最高頻率為fm

(Hz)，試計算對各信號f(2t)，f(t)*f(2t)，f(t)

f(2t)抽樣不混疊的最小抽樣頻率。解：根據(jù)信號時域與頻域的對應關系及抽樣定理得：最高頻率：

3fm最小抽樣頻率：

6fm603、抽樣定理的工程應用許多實際工程信號不滿足帶限條件

抗混低通濾波器613、抽樣定理的工程應用

混疊誤差與截斷誤差比較62思考題根據(jù)時域抽樣定理，對連續(xù)時間信號進行抽樣時，只需抽樣速率fs

2fm。在工程應用中，抽樣速率常設為fs

(3~5)fm，為什么？若連續(xù)時間信號f(t)的最高頻率fm未知，如何確定抽樣間隔T？634、抽樣定理的實際應用舉例A/DH(z)D/Af(t)f[k]y[k]y(t)利用離散系統(tǒng)處理連續(xù)時間信號

生物醫(yī)學信號處理

鐵路控制信號識別645、信號重建信號重建模型655、信號重建由抽樣信號fs(t)

恢復連續(xù)信號f

(t)hr(t)66系統(tǒng)的頻域分析及其應用

連續(xù)時間系統(tǒng)的頻率響應連續(xù)信號通過系統(tǒng)響應的頻域分析無失真系統(tǒng)與理想低通抽樣與抽樣定理

調(diào)制與解調(diào)離散時間系統(tǒng)的頻域分析67信號與系統(tǒng)頻域分析的應用

——調(diào)制解調(diào)

雙邊帶調(diào)幅(DSBAMSC)

同步解調(diào)單邊帶調(diào)幅(SSBAMSC)