高中數(shù)學(xué) 第一章 1.5.3定積分的概念同步檢測 新人教A版選修2-2

1.5.3定積分的概念一、基礎(chǔ)過關(guān)1．下列命題不正確的是 ()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2?eq\o\al(a,0)f(x)dxC．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且恒正，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx>0D．若f(x)在[a，b]上連續(xù)且?eq\o\al(b,a)f(x)dx>0，則f(x)在[a，b]上恒正2．定積分?eq\o\al(3,1)(－3)dx等于 ()A．－6 B．6C．－3 D．33．已知?eq\o\al(t,0)xdx＝2，則?eq\o\al(0,－t)xdx等于 ()A．0 B．2C．－1 D．－24．由曲線y＝x2－4，直線x＝0，x＝4和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是 ()A．?eq\o\al(4,0)(x2－4)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o\al(4,0)x2－4dx))C．?eq\o\al(4,0)|x2－4|dxD．?eq\o\al(2,0)(x2－4)dx＋?eq\o\al(4,2)(x2－4)dx5．設(shè)a＝?eq\o\al(1,0)xeq\f(1,3)dx，b＝?eq\o\al(1,0)x2dx，c＝?eq\o\al(1,0)x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是 ()A．c>a>b B．a(chǎn)>b>cC．a(chǎn)＝b>c D．a(chǎn)>c>b6．若?eq\o\al(a,－a)|56x|dx≤2016，則正數(shù)a的最大值為 ()A．6 B．56C．36 D．2016二、能力提升7．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是S＝________.8．計算定積分?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－4x2)dx＝________.9．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，若?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝1，?eq\o\al(2,0)f(x)dx＝－1，則?eq\o\al(2,1)f(x)dx＝________.10．利用定積分的定義計算?eq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx的值，并從幾何意義上解釋這個值表示什么．11．用定積分的意義求下列各式的值：(1)?eq\o\al(3,0)(2x＋1)dx；(2)?eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx.12．eq\o(lim,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,1＋\f(1,n)21＋\f(2,n)2…1＋\f(n,n)2)等于 ()A．?eq\o\al(2,1)ln2xdx B．2?eq\o\al(2,1)lnxdxC．2?eq\o\al(2,1)ln(1＋x)dx D．?eq\o\al(2,1)ln2(1＋x)dx三、探究與拓展13．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3，x∈[－2，2,2x，x∈[2，π,cosx，x∈[π，2π]))，求f(x)在區(qū)間[－2,2π]上的積分．

答案1．D2．A3．D4．C5．B6．A7．－?eq\o\al(0,－π)sinxdx8．π9．－210．解令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間[1,2]等分為n個小區(qū)間[1＋eq\f(i－1,n)，1＋eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、作和取ξi＝1＋eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，則Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(1＋eq\f(i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[－(1＋eq\f(i,n))2＋2(1＋eq\f(i,n))]·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)[(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq\f(2,n2)[(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]＝－eq\f(1,n3)[eq\f(2n2n＋14n＋1,6)－eq\f(nn＋12n＋1,6)]＋eq\f(2,n2)·eq\f(nn＋1＋2n,2)＝－eq\f(1,3)(2＋eq\f(1,n))(4＋eq\f(1,n))＋eq\f(1,6)(1＋eq\f(1,n))(2＋eq\f(1,n))＋3＋eq\f(1,n)，(3)取極限?eq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))[－eq\f(1,3)(2＋eq\f(1,n))(4＋eq\f(1,n))＋eq\f(1,6)(1＋eq\f(1,n))(2＋eq\f(1,n))＋3＋eq\f(1,n)]＝eq\f(2,3)，?eq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx＝eq\f(2,3)的幾何意義為由直線x＝1，x＝2，y＝0與曲線f(x)＝－x2＋2x所圍成的曲邊梯形的面積．11．解(1)在平面上，f(x)＝2x＋1為一條直線，?eq\o\al(3,0)(2x＋1)dx表示直線f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3與x軸圍成的直角梯形OABC的面積，如圖(1)所示，其面積為S＝eq\f(1,2)(1＋7)×3＝12.根據(jù)定積分的幾何意義知?eq\o\al(3,0)(2x＋1)dx＝12.(2)由y＝eq\r(1－x2)可知，x2＋y2＝1(y≥0)圖象如圖(2)，由定積分的幾何意義知?eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx等于圓心角為120°的弓形CED的面積與矩形ABCD的面積之和．S弓形＝eq\f(1,2)×eq\f(2,3)π×12－eq\f(1,2)×1×1×sineq\f(2,3)π＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),4)，S矩形＝|AB|·|BC|＝2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)，∴?eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(3),2)eq\r(1－x2)dx＝eq\f(π,3)－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(π,3)＋eq\f(\r(3),4).12．B13．解由定積分的幾何意義知?eq\o\al(2,－2)x3dx＝0，?eq\o\a