2023-2024學(xué)年甘肅省會寧二中高三第二次（5月）質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷

2022-2023學(xué)年甘肅省會寧二中高三第二次（5月）質(zhì)量檢測試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知傾斜角為的直線與直線垂直，則（）A． B． C． D．2．是拋物線上一點，是圓關(guān)于直線的對稱圓上的一點，則最小值是（）A． B． C． D．3．下圖所示函數(shù)圖象經(jīng)過何種變換可以得到的圖象（）A．向左平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向右平移個單位4．正項等差數(shù)列的前和為，已知，則=（）A．35 B．36 C．45 D．545．已知復(fù)數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則（）A．23 B．25 C．28 D．297．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．28．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球，當(dāng)有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當(dāng)無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，9．設(shè)為非零向量，則“”是“與共線”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件10．設(shè)命題：，，則為A．， B．，C．， D．，11．已知定義在上的奇函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，恒有．則不等式的解集為（）．A． B．C．或 D．或12．集合，，則=()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角的對邊分別為，且．若為鈍角，，則的面積為____________．14．已知兩動點在橢圓上，動點在直線上，若恒為銳角，則橢圓的離心率的取值范圍為__________．15．已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍為__________．16．有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機(jī)地排成一行，用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，則對應(yīng)的排法有______種；______；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，為過焦點且垂直于軸的拋物線的弦，已知以為直徑的圓經(jīng)過點.（1）求的值及該圓的方程；（2）設(shè)為上任意一點，過點作的切線，切點為，證明：.18．（12分）設(shè)點，動圓經(jīng)過點且和直線相切.記動圓的圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線與曲線交于、兩點，且直線與軸交于點，設(shè)，，求證：為定值.19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標(biāo)原點為極點、軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）若點在直線上，求直線的極坐標(biāo)方程；（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.20．（12分）△ABC的內(nèi)角的對邊分別為,已知△ABC的面積為(1)求;(2)若求△ABC的周長.21．（12分）已知.（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ），，，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=4，.（1）求A的余弦值；（2）求△ABC面積的最大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

傾斜角為的直線與直線垂直，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出結(jié)果.【詳解】解：因為直線與直線垂直，所以，.又為直線傾斜角，解得.故選：D.【點睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.2．C【解析】

求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出圓關(guān)于直線的對稱圓的方程，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最小值，由此可得出，即可得解.【詳解】如下圖所示：設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為點，則，整理得，解得，即點，所以，圓關(guān)于直線的對稱圓的方程為，設(shè)點，則，當(dāng)時，取最小值，因此，.故選：C.【點睛】本題考查拋物線上一點到圓上一點最值的計算，同時也考查了兩圓關(guān)于直線對稱性的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.3．D【解析】

根據(jù)函數(shù)圖像得到函數(shù)的一個解析式為，再根據(jù)平移法則得到答案.【詳解】設(shè)函數(shù)解析式為，根據(jù)圖像：，，故，即，，，取，得到，函數(shù)向右平移個單位得到.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)圖像求函數(shù)解析式，三角函數(shù)平移，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識的綜合應(yīng)用.4．C【解析】

由等差數(shù)列通項公式得，求出，再利用等差數(shù)列前項和公式能求出.【詳解】正項等差數(shù)列的前項和，，，解得或（舍），，故選C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，屬于中檔題.解等差數(shù)列問題要注意應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)（）與前項和的關(guān)系.5．D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.6．D【解析】

由可求，再求公差，再求解即可.【詳解】解：是等差數(shù)列，又，公差為，，故選：D【點睛】考查等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，是基礎(chǔ)題.7．B【解析】

首先根據(jù)題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據(jù)平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側(cè)面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關(guān)幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關(guān)特征求得結(jié)果.8．B【解析】

分別求出兩個隨機(jī)變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【點睛】離散型隨機(jī)變量的分布列的計算，應(yīng)先確定隨機(jī)變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機(jī)變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.9．A【解析】

根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若，則與共線，且方向相同，充分性；當(dāng)與共線，方向相反時，，故不必要.故選：.【點睛】本題考查了向量共線，充分不必要條件，意在考查學(xué)生的推斷能力.10．D【解析】

直接利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以，命題：，，則為：，.故本題答案為D.【點睛】本題考查命題的否定，特稱命題與全稱命題的否定關(guān)系，是基礎(chǔ)題.11．D【解析】

先通過得到原函數(shù)為增函數(shù)且為偶函數(shù)，再利用到軸距離求解不等式即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則由題可知，所以在時為增函數(shù)；由為奇函數(shù)，為奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)；又，即即又為開口向上的偶函數(shù)所以，解得或故選：D【點睛】此題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)構(gòu)造原函數(shù)，偶函數(shù)解不等式等知識點，屬于較難題目.12．C【解析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點睛】本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較小．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

轉(zhuǎn)化為，利用二倍角公式可求解得，結(jié)合余弦定理可得b，再利用面積公式可得解.【詳解】因為，所以．又因為，且為銳角，所以．由余弦定理得，即，解得，所以故答案為：【點睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.14．【解析】

根據(jù)題意可知圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，恒為銳角，只需直線與圓相離，從而可得，解不等式，再利用離心率即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得，圓上任意一點向橢圓所引的兩條切線互相垂直，因此當(dāng)直線與圓相離時，恒為銳角，故，解得從而離心率.故答案為：【點睛】本題主要考查了橢圓的幾何性質(zhì)，考查了邏輯分析能力，屬于中檔題.15．【解析】

畫圖分析可得函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，利用偶函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性可解.【詳解】作出函數(shù)的圖如下所示，觀察可知，函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，故實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性及單調(diào)性解不等式.函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：(1)如果函數(shù)是偶函數(shù)，那么．(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．16．36；1.【解析】

的可能取值為0，1，2，3，對應(yīng)的排法有：.分別求出，，，，由此能求出.【詳解】解：有2名老師和3名同學(xué)，將他們隨機(jī)地排成一行，用表示兩名老師之間的學(xué)生人數(shù)，則的可能取值為0，1，2，3，對應(yīng)的排法有：.∴對應(yīng)的排法有36種；，，，，∴故答案為：36；1.【點睛】本題考查了排列、組合的應(yīng)用，離散型隨機(jī)變量的分布列以及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1），圓的方程為：.（2）答案見解析【解析】

（1）根據(jù)題意，可知點的坐標(biāo)為，即可求出的值，即可求出該圓的方程；（2）由題易知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，與拋物線聯(lián)立方程組，根據(jù)，求得，化簡解得，進(jìn)而求得點的坐標(biāo)為，分別求出，，利用向量的數(shù)量積為0，即可證出.【詳解】解：（1）易知點的坐標(biāo)為，所以，解得.又圓的圓心為，所以圓的方程為.（2）證明易知，直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，代入的方程，得.令，得，所以，解得.將代入的方程，得，即點的坐標(biāo)為.所以，，.故.【點睛】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的方程，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，利用聯(lián)立方程組、求交點坐標(biāo)以及向量的數(shù)量積，考查解題能力和計算能力.18．（1）；（2）見解析．【解析】

（1）已知點軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，由此可得曲線的方程；（2）設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元應(yīng)用韋達(dá)定理得，，由，，用橫坐標(biāo)表示出，然后計算，并代入，可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)動圓圓心，由拋物線定義知：點軌跡是以為焦點，直線為準(zhǔn)線的拋物線，設(shè)其方程為，則，解得．∴曲線的方程為；（2）證明：設(shè)直線方程為，，則，設(shè)，由得，①，則，，②，由，，得，，整理得，，∴，代入②得：．【點睛】本題考查求曲線方程，考查拋物線的定義，考查直線與拋物線相交問題中的定值問題．解題方法是設(shè)而不求的思想方法，即設(shè)交點坐標(biāo)，設(shè)直線方程，直線方程代入拋物線（或圓錐曲線）方程得一元二次方程，應(yīng)用韋達(dá)定理得，，代入題中其他條件所求式子中化簡變形．19．（1）（2）【解析】

（1）利用消參法以及點求解出的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化求解出直線的極坐標(biāo)方程；（2）將的坐標(biāo)設(shè)為，利用點到直線的距離公式結(jié)合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時對應(yīng)的值.【詳解】（1）消去參數(shù)得普通方程為，將代入，可得，即所以的極坐標(biāo)方程為（2）的直角坐標(biāo)方程為直線的直角坐標(biāo)方程設(shè)的直角坐標(biāo)為∵在直線上，∴的最小值為到直線的距離的最小值∵，∴當(dāng)，時取得最小值即，∴【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化公式：；（2）求解曲線上一點到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點的坐標(biāo)設(shè)為參數(shù)方程的形式，然后再去求解.20．(1)(2).【解析】試題分析：（1）由三角形面積公式建立等式，再利用正弦定理將邊化成角，從而得出的值；（2）由和計算出，從而求出角，根據(jù)題設(shè)和余弦定理可以求出和的值，從而求出的周長為.試題解析：（1）由題設(shè)得，即.由正弦定理得.故.（2）由題設(shè)及（1）得，即.所以，故.由題設(shè)得，即.由余弦定理得，即，得.故的周長為.點睛:在處理解三角形問題時，要注意抓住題目所給的條件，當(dāng)題設(shè)中給定三角形的面積，可以使用面積公式建立等式，再將所有邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，有時需將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系；解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角，求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角，再有另外一個條件，求面積或周長的值”，這類問題的通法思路是：全部轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，如，從而求出范圍，或利用余弦定理以及基本不等式求范圍；求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可.21．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）利用零點分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可；（Ⅱ）利用絕對值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】（