第二十三章旋轉（知識歸納題型突破）（八大題型134題）-九年級數學上冊單元速記巧練（人教版）

第二十三章旋轉(知識歸納+題型突破)調標要求重要題型重要題型應點到旋轉中心距離相等，兩組對應點分別與旋轉中心連線所成的角相等.2.了解中心對稱、中心對稱圖形的概念，探索它們的基本性質；過對稱中心，且被對稱中心平分.3.探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對稱性質.把一個平面圖形繞著平面內的一點O轉動一個角度。(旋轉中心：O點，旋轉角：轉動的角度)①對應點到旋轉中心的距離相等②對應點到旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角③旋轉前后的圖形全等3、中心對稱把一個圖形繞著某一點O旋轉180度，如果它能夠與另一個圖形重合，這兩個圖形關于這個點對稱或中心4、性質①對稱點所連線段都經過對稱中心，且被對稱中心所平分②中心對稱的圖形是全等圖形把一個圖形繞著某一點o旋轉180度后能與原圖形重合，主體：一個圖形，而中心對稱指的是兩個4、關于原點對稱的坐標P(x,y)→P(-x,-y)題型一旋轉三要素題型一旋轉三要素【例1】如圖，△ABC和△ADC都是等邊三角形.(1)△ABC沿著所在的直線翻折能與△ADC重合；(2)如果△ABC旋轉后能與△ADC重合，則在圖形所在的平面上可以作為旋轉中心的點是;(3)請說出2中一種旋轉的旋轉角的度數【答案】(1)AC;(2).點A、點C或者線段AC的中點；(3)60°【分析】(1)因為△ABC和△ADC有公共邊AC,翻折后重合，所以沿著直線AC翻折即可；(2)將△ABC旋轉后與△ADC重合，可以以點A、點C或AC的中點為旋轉中心；(3)以點A、點C為旋轉中心時都旋轉60°,以AC中點旋轉時旋轉180°【詳解】(1)∵△ABC和△ADC都是等邊三角形，∴△ABC和△ADC是全等三角形，(2)將△ABC旋轉后與△ADC重合，則可以以點A為旋轉中心逆時針旋轉60°或以點C為旋轉中心順時針旋轉60°,或以AC的中點為旋轉中心旋轉180°即可；(3)以點A、點C為旋轉中心時都旋轉60°,以AC中點旋轉時旋轉180°.【點睛】此題考查平移的對稱軸確定的方法、旋轉中心確定的方法，依照平移、旋轉的性質來確定即可鞏固訓練：1.(2023·全國·九年級專題練習)如圖，在正方形網格中，圖中陰影部分的兩個圖形是一個經過旋轉變換得到另一個的，其旋轉中心可能是()【答案】B【分析】根據旋轉的性質，作兩組對應點所連線段的垂直平分線，交點即為旋轉中心，即可得.【詳解】解：如圖所示，兩組對應點所連線段的垂直平分線的交點B即為旋轉中心，【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是掌握旋轉的性質.2.(2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期末)如圖，在7×5方格紙中，格點三角形甲經過旋轉后得到格點三角形乙，則其旋轉中心是()A.點M則秋千旋轉的角度為()A.50°B.60°C.80°解題的關鍵.5.(2023-江蘇·八年級假期作業(yè))如圖，如果將正方形甲旋轉到正方形乙的位置，可以作為旋轉中心的點有乙甲【分析】根據旋轉的性質，即可得出，分別以A,B,C為旋轉中心即可從正方形甲旋轉到正方形乙的位置.【詳解】解：如圖，繞A點逆時針旋轉90°,可到正方乙的位置；繞C點順時針旋轉90°,可到正方乙的位置；繞AC的中點B旋轉180°,可到正方乙的位置；【點睛】本題考查了旋轉的性質：旋轉前后的兩個圖形全等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等；特別注意容易忽略點B.6.(2023春·江蘇·八年級專題練習)如圖，若正方形EFGH由正方形ABCD繞某點旋轉得到，則可以作為旋轉中心的是()【答案】A【詳解】試題分析：若以M為旋轉中心，把正方形ABCD順時針旋轉90°,A點對應點為H,B點對應點為E,C點對應點為F,D點對應點為G,則可得到正方形EFGH;若以O為旋轉中心，把正方形ABCD旋轉180°,A點對應點為G,B點對應點為H,C點對應點為E,D點對應點為F,則可得到正方形EFGH;若以N為旋轉中心，把正方形ABCD逆時針旋轉90°,A點對應點為F,B點對應點為G,C點對應點為H,D點對應點為E,則可得到正方形EFGH.故選A.7.(2023春山東濱州·八年級統(tǒng)考期末)如圖，在正方形網格中，ABC繞某點旋轉一定的角度得到A'B'℃",則旋轉中心的坐標是.【分析】根據旋轉的性質可知，對應點到旋轉中心的距離相等，則對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心.旋轉中心)是解題的關鍵.【分析】根據旋轉性質，對應點的連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心，據此可求解.標為A(-3,4),B(-4,2),C(-2,1),ABC繞原點逆時針旋轉90°,得到△A,BC,△AB?C向右平移6個單位，再向上平移2個單位得到△A?B?C?.(2)P(a,b)是ABC的AC上一點，ABC經旋轉、平移后點P的對應點為P,則點P?的坐標是.(3)對應點連線的垂直平分線的交點即為旋轉中心.【詳解】(1)解：根據旋轉的性質得到△A?B?C,(2)解：由(1)坐標變換規(guī)律得：P(-b,a),P?(-b+6,a+2);(1)請寫出旋轉中心的坐標是,旋轉角是度；(2)以(1)中的旋轉中心為中心，分別畫出AA?C?逆時針旋轉90°、180°后的三角形；(3)設Rt△ABC兩直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c,利用變換前后所形成的圖案證明勾股定理.(2)見解析(2)根據旋轉的性質畫出旋轉圖形即可求解；【詳解】(1)解：如圖所示，即旋轉角是90度.(2)畫出的圖形如圖所示.設Rt△ABC兩直角邊BC=a,AC=b,斜邊AB=c,【點睛】本題考查了勾股定理，找旋轉中心，旋轉角，畫旋轉圖形，勾股定理的證明，熟練掌握旋轉的性【例2】(2022秋湖北荊州·九年級統(tǒng)考期中)如圖，ABC中，∠B=15°,∠ACB=25°,AB=4cm,ABC逆時針旋轉一定角度后與VADE重合，且點C恰好成為AD的中點.(1)指出能轉中心，并求出旋轉的度數；【答案】(1)旋轉中心為點A,旋轉的度數為140°(2)∠BAE=80°,AE=2【分析】(1)根據圖形可得旋轉中心為點A,根據三角形的內角和定理求出∠BAC,結合旋轉的性質即可得出旋轉角的度數；【詳解】(1)解：∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-15°-25°=140°,即∠BAD=140°,所以旋轉中心為點A,旋轉的度數為140°;(2)解：∵ABC逆時針旋轉一定角度后與VADE重合，∵點C恰好成為AD的中點，【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，解題的關鍵是掌握旋轉前后對應邊相等，對應角相等，對應邊連線的夾角等于旋轉角.【例3】如圖1,在等腰Rt△ABC中，AB=BC=8,∠B=90°,D、E分別為AB、BC上的點，且BD=BE=6,將DBE繞B點逆時針旋轉α(0°<α≤180°).(1)如圖2,當0°<α<90°時，求證：AD=CE;(2)若α=60°,求AD的長；(3)在DBE旋轉過程中，直接寫出CD的最大值.【分析】(1)利用旋轉的性質得出角度相等，再證明ABD≌CBE即可；(2)添加輔助線，構造直角三角形，再由勾股定理即可求解；(3)判斷出點D在CB的延長線上時，CD最大，即可得出結論.【詳解】(1)證明：由旋轉的性質可知，∠ABD=∠CBE,(2)過點D作DF⊥AB于點F,當α=60°,即∠ABD=60°,(3)如圖，∴當點D、點B、點C三點共線時，CD最大，最大值為BC+BD=8+6=14【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，旋轉的性質，判斷出ABD≌CBE是解本題的關鍵.鞏固訓練B'在線段BC的延長線上，則∠B的度數為()A.40°【答案】A【分析】由旋轉的性質可得∠BAB'=100°,AB=AB',由等邊對等角的性質可得∠B=∠AB'B,即可求解.【詳解】解：∵將ABC繞點A按逆時針方向旋轉100°,A.(0,2)B.(-2,0)c.(0,√2)D.(-2√2,0)旋轉，得到矩形AEFG.點B的對應點E落在CD上，且DE=EF.則AB的長為()【答案】A【分析】由旋轉的性質得到EF=AD=3,?D90,AB=AE,由DE=EF得到DE=3,根據勾股定理得【詳解】∵將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉，得到矩形AEFG,,AB=AE,故選：A【點睛】此題考查了旋轉的性質、矩形的性質、勾股定理等知識，熟練掌握旋轉的性質和勾股定理計算是解決本題的關鍵.繞點C逆時針旋轉得到△A'B'℃,此時點A'恰好在邊AB上，AB'與BC交于點D,則BD長為()A.2【分析】首先證明ACA'是等邊三角形，再證明CDA'是直角三角形，求出A'D即可解決問題.【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=1,∠B=30°,∵將ABC繞點C逆時針旋轉得到A'B'℃,∴ACA是等邊三角形，【點睛】本題考查直角三角形30度角的性質、勾股定理、等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型.5.(2023-寧夏·統(tǒng)考中考真題)如圖，在ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BC=2.點D在BC上，且BD:CD=1:3.連接AD,將線段AD繞點A順時針旋轉90°得到線段AE,連接BE,DE.則BDE的面【答案】B【分析】證明△ADC≌△AEB,得到BE=CD,∠ABE=∠C,推出DBE為直角三角形，利用BDE的面積等于,進行求解即可【詳解】解：∵∠BAC=90°,AB=AC,∵將線段AD繞點A順時針旋轉90°得到線段AE,在△ADC和△AEB中，∴BDE的面積等于【點睛】本題考查旋轉的性質，等腰三角形的性質，全等三角形的判定和性質.熟練掌握旋轉的性質，得到三角形全等是解題的關鍵.本題蘊含手拉手全等模型，平時要多歸納，多總結，便于快速解題.6.(2023春-河北保定·八年級保定市第十七中學校聯考期末)在《數學知識PK賽》上，天逸同學給競爭對手拋出了一道旋轉題，做為觀賽選手，請大家都來挑戰(zhàn)一下：如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉70°,得到VADE,若點D在線段BC的延長線上，則∠B的大小是()A.45°B.55°C【答案】B【分析】根據旋轉的性質得AB=AD,∠BAD=70°,再利用等邊對等角以及三角形內角和定理即可求解.【詳解】解：由旋轉的性質得AB=AD,∠BAD=70°,【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊對等角，三角形內角和定理，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵.點A逆時針旋轉得到△QAC,則PQ的長等于()【答案】B【分析】根據等邊三角形的性質推出AC=AB,∠CAB=60°,根據旋轉的性質得出CQA≌BPA,推出AQ=AP,∠CAQ=∠BAP,求出∠PAQ=60°,得出△APQ是等邊三角形，即可求出答案.【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∵將PAB繞點A逆時針旋轉得到△QAC∴CQ4≌BPA,【點睛】本題考查了等邊三角形的性質和判定，全等三角形的性質和判定，旋轉的性質等知識點，關鍵是每個角都等于60°.8.(2022秋廣東深圳九年級校考開學考試)如圖，正方形ABCD的邊長為6,點E、F分別在AB,AD上，【答案】A【分析】將CDF繞點C逆時針旋轉90°到CBM,易證△CEF與CEM全等得到EF=EM,利用勾股定理求出BE=3,則AE=3,設DF=x,利用勾股定理建立方程求解x,再通過勾股定理求算CF.將CDF繞點C逆時針旋轉90°到CBM,如圖∴E、B、M三點共線，∴CEF≌CEM(SAS),在Rt△CBE中，由勾股定理得BE=√CE2-BC2=3,設DF=BM=x,則EF=ME=x+3,AF=6-x,在RtAEF中，由勾股定理得：AE2+AF2=EF2,【點睛】本題考查正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的性質與判定、勾股定理等等.正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵.【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°,∵菱形ABCD繞點A順時針旋轉30°得到菱形ABCD,∴A,DC,C三點共線，又∵∠ACB=30°【點睛】本題考查了菱形的性質，旋轉的性質，關鍵是靈活運用這些性質解決問題10.(2023·全國·九年級專題練習)如圖，將ABC繞點A逆時針旋轉得到VADE,點C和點E是對應點，若【答案】A【分析】根據旋轉的性質可得∠EAC=∠DAB=90°,AD=AB,進而勾股定理即可求解.【詳解】解：將ABC繞點A逆時針旋轉得到VADE,∠CAE=90°,【點睛】本題考查了旋轉的性質，勾股定理，根據旋轉的性質得出∠EAC=∠DAB=90°,AD=AB,題的關鍵.11.(2023春·天津北辰·九年級?？茧A段練習)如圖，將ABC繞點C順時針旋轉得到DEC,是A.ABIEBB.CA=CDC.BC=CED.∠A=∠EBC【答案】A【分析】利用旋轉的性質得AC=CD,BC=EC,∠ACD=∠BCE,再根據等腰三角形的性質即可得出∠A=∠EBC,再根據∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=180°-∠ACB即可求解.【詳解】解：∵ABC繞點C順時針旋轉得到DEC,;∴選項B、C正確，∵∠EBA=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=180°-∠ACB不一定等于90°,∴選項A不一定正確；【點睛】本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等.也考查了等腰三角形的性質.∠DAC=60°,∠BAE=100°,BC、DE相交于點F,BC、AD相交于點G,則∠DAB的度數為的關鍵.落在邊BC上的A處，再將四邊形CDEA繞點A逆時針旋轉90°得到四邊形C?D?E?A則△EFC的面積為.【答案】2∴四邊形ABAE是正方形，∴AB=BA?=AE=AE=3,且A?BE是等腰直角三角形，∴四邊形ACDE是矩形，∵將四邊形CDEA繞點A逆時針旋轉90°得到四邊形C?D?E?A,故答案為：2.【點睛】本題主要考查矩形與折疊，等腰三角形的性質的綜合，掌握矩形的性質，折疊的性質，正方形的性質，等腰直角三角形的性質的綜合運用是解題的關鍵.14.(2022秋-河北保定·九年級校聯考期中)如圖，將Rt△ABC繞點A按順時針旋轉一定角度得到Rt△ADE,點B的對應點D恰好落在BC邊上.【分析】(1)根據旋轉的性質，即可達到答案；(2)根據旋轉的性質得AD=AB,由∠B=60°,于是可判斷ADB為等邊三角形，根據等邊三角形的性質【詳解】解：(1)由旋轉的性質，可知：AD=AB,故答案為：是；【點睛】本題考查了旋轉的性質，解題的關鍵是掌握旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角.也考查了等邊三角形的判定與性質.逆時針旋轉90°得△AEF,點D,C分別對應點E,F,連接CF,若∠BAC=62°,則∠CFE的度數為°.【分析】由等腰三角形的性質可得BD=CD,∠ACB=∠ABC=59°,ADIBC,由旋轉的性質可得AF=AC,【詳解】解：∵AB=AC,D是BC的中點，∠BAC=62°,故答案為：14.則AC=.【分析】如圖，設CH=x,延長AB,交DC延長線與E,根據等腰直角三角形的性質旋轉的性質及三角【詳解】如圖，延長AB,交DC延長線與E,設CH=x,∵ABC繞點B順時針旋轉120°,點A,C的對應點分別為A',C',∴BE=2BH=2x,HE=√BE2-BH2=√3x,【點睛】本題考查旋轉的性質、等腰直角三角形的性質、三角形外角性質、含30°角的直角三角形的性質及勾股定理，熟練掌握旋轉的性質及30°角所對直角邊等于斜邊一半的性質是解題關鍵.BE=2,DF=3,則AH的長為.【答案】6最后利用勾股定理解答即可.【詳解】解：由旋轉的性質可知：ABG≌ADF,∵四邊形ABCD是正方形，∴EAG≌EAF(SAS),設正方形的邊長為x,則EC=x-2,FC=x-3,∴在RtEFC中，EF2=EC2+FC2,解得：x?=6,x?=-1(舍去),故答案為：6.【點睛】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理，掌握正方形的性質及旋轉的性質是解題的關鍵.角度后得矩形A'BC'D',A'B交CD于點E,且CE=A'E,則CE的長為.【答案】3【分析】設CE=AE=x,則BE=8-x,在RtBCE中，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程即可得到答案.【詳解】解：設CE=A'E=x,∵AB=8,AD=4,將矩形ABCD繞點B旋轉一定角度后得矩形A'BC'D',∴CE的長為：3,故答案為：3.【點睛】本題主要考查了矩形的性質、旋轉的性質、勾股定理，熟練掌握矩形的性質、旋轉的性質，是解題的關鍵.(1)將兩三角形按圖1放置(點A,D,C在同一條直線上),連接線段BD,CE,求線段CE的長；(2)將VADE繞點A逆時針旋α,如圖2所示，直線BD,CE相交于點F,連接AF.求證：時，直接寫出線段CE的長度.(2)分別過點A作ANIBD于點N,AM⊥EC于點M,先證明△ABD≌△ACE,得到CE=BD,【詳解】(1)∵AC=6,AD=3,ABC和VADE是兩個等邊三角形，(2)如圖2,分別過點A作AN⊥BD于點N,AM⊥EC事分別求出事,在利用勾股定理∴AF平分∠BFE,如圖，當B,D,E共線時，過點A作AH⊥DE于點H,∵VADE為等邊三角形，AD=3,由(2)同理，△ABD≌△ACE,如圖，當B,D,E共線時，同理，可得，【點睛】本題是幾何旋轉變換綜合題，考查了等邊三角形的性質，全等三角形判定和性質、勾股定理以及分類思想，解答關鍵是利用數形結合思想，找到條件之間關聯.20.(2023秋山西陽泉·九年級?？计谀?把兩個全等的等腰直角三角板ABC和EFG(其直角邊均為4)疊放在一起(如圖1),且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合，現將三角板EFG繞點O按順時針方向旋轉(旋轉角α滿足條件：0°<α<90°),四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角形的重疊部分(如圖2).在上述旋轉過程中.(1)BH與CK有怎樣的數量關系?(2)四邊形CHGK的面積有何變化?請證明你的發(fā)現，【答案】(1)BH=CK(2)四邊形CHGK的面積在旋轉過程中沒有變化，始終為4,證明見解析【分析】(1)先由ASA證出△CGK≌△BGH,再根據全等三角形的性質得出BH=CK.(2)四邊形CHGK的面積不變，面積為4.利用全等三角形的性質證明即可.【詳解】(1)解：結論：BH=CK.理由：∵點O是等腰直角三角板ABC斜邊中點，由旋轉的性質，知∠BGH=∠CGK,(2)四邊形CHGK的面積不變，面積為4.【點睛】此題是幾何變換的綜合題，主要考查了全等三角形的判定，解答本題的關鍵是掌握旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變.21.(2023秋山東濟南·八年級統(tǒng)考期末)如圖1,等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,點D是AB邊上的一點，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°得到線段CE,連結BE,AE.圖1圖2(1)①填空：線段BD與AE的數量關系是,位置關系是②證明上述結論成立.(2)如圖2,F是AD的中點，連結CF交BE于H,若BC=4,BD=√2時，求CF的長.【答案】(1)①相等(或BD=AE);垂直(或BD⊥AE);②見解析此即可證明結論成立；∠CAF=∠FDT,,在Rt△CMT中，根據勾股定理求解即可.【詳解】(1)解：①相等(或BD=AE);垂直(或BD⊥AE)②證明上述結論成立.∴ACE≌BCD(SAS),即BD⊥AE;(2)解：如圖中，延長CF到T,使得FT=CF,連接DT并延長，與BC交于M.在△AFC和DFT中，在Rt△CMT中，根據勾股定理：【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰直角三角形的性質，旋轉的性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題.22.(2023秋·陜西安康·九年級統(tǒng)考期末)如圖，四邊形ABCD是正方形，點F是BA延長線上一點，連接DF,將△ADF繞點A旋轉一定角度后得到ABE.【分析】(1)利用旋轉的性質可得∠ABE=∠ADF=20°,根據三角形外角和可求出結果；(2)根據勾股定理即可解得.【詳解】(1)解：∵ABE是由△ADF旋轉得到，【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、三角形外角和以及勾股定理，熟練掌握知識點是解題的關鍵.內一點，連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉90°,得到線段AE,連接BD、CE.求證：BD=CE.【答案】見解析【分析】首先根據旋轉的性質，判斷出∠DAE=90°,AD=AE,進而判斷出∠BAD=∠CAE;然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△ABD≌△ACE,即可判斷出BD=CE.【詳解】解：由旋轉的性質，可得：∠DAE=90°,AD=AE,在△ABD和△ACE中，【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質的應用，旋轉的性質和應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①對應點到旋轉中心的距離相等.②對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角.③旋轉前、后的圖形全等.BC分別交于點0、F.(2)若∠BAC=72°,∠DAC=32°,求∠EFC的大小.【答案】(1)10【分析】(1)根據旋轉的性質分析求解；(2)根據旋轉的性質及對頂角相等分析求解.【詳解】(1)解：由旋轉性質可得AB=AD=6,AC=AE=8,又∵ABC的周長為24,∴BC的長為24-AB-AC=24-6-8=10;(2)解：由旋轉性質可得∠BAC=∠DAE=72°,∠E=∠C又∵∠AOE=∠COF,【點睛】本題考查旋轉的性質，理解旋轉前后圖形的對應邊相等，對應角相等是解題關鍵.點C按順時針方向旋轉60°得△ADC,連接OD.(2)當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；(3)直接寫出α為多少度時，△AOD是等腰三角形?【答案】(1)△COD是等邊三角形，詳見解析∴BOC≌ADC,∠OCD=60°,∴BOC≌ADC,∠OCD=60°,∴BOC≌ADC,∠OCD=60°,當∠DAO=∠DOA時，解得：α=140°,當∠AOD=∠ADO時，解得：α=125°,解得：α=110°,【點睛】本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，直角三角形的判定，等腰三角形的判定，掌握旋轉的性質及等邊三角形的判定與性質是解題的關鍵.26.(江西省贛州市2022-2023學年九年級上學期期末數學試題)(1)觀察發(fā)現如圖1,ABC和CDE都是等邊三角形，且點B、C、E在一條直線上，連接BD和AE相交于點P填空：①線段BD與AE的數量關系是;②∠DPE的度數為(2)深入探究逆時針旋轉一定的角度，其他條件與(1)中相同，(1)中的結論是否仍然成立，請說明理由.(3)拓展應用如圖3,四邊形ABCD中，AB=BC,∠ABC=60°,∠ADC=30°,AD=6,BD=10,求邊CD的長度.【答案】(1)①BD=AE;②60°;(2)(1)中結論仍然成立，理由見解析；(3)8ACE≌BCD,由此即可得到BD=AE;②由全等三角形的性質可得∠AEC=∠BDC,再由三角形外角的②∵ACE≌BCD(2)(1)中的結論仍然成立，理由如下：∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠ACE=∠BCD.∴(1)中的結論仍然成立；DE=√DB2-BE2=√102-62=8,【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理，旋轉的性質，三角形外角的性質等等，熟練掌握手拉手模型證明三角形全等是解題的關鍵.NMNM(1)將圖①中的直角三角板AOB繞點O順時針旋轉一定的角度得到圖②,使邊OA恰好平分∠NOD,問OB是否平分∠MOD?請說明理由.(2)如果將圖①中的直角三角板AOB繞點O順時針旋轉一定的角度得到圖③.①使邊OB在∠COD內部，那么∠AOC與∠BOD之間存在怎樣的數量關系?請說明理由.②若繼續(xù)旋轉三角板AOB,直到OB與OM重合，請直接寫出∠COD與∠BOD之間的數量關系.【答案】(1)OB平分∠MOD,見解析(2)①∠AOC-∠BOD=45°,見解析；②∠AOC-∠BOD=45°或∠BOD-∠AOC=45°【分析】(1)根據平角的性質可得，∠AOB=90°,∠MOB+∠AOB+∠AOC=180°,根據互余的性質可得(2)①根據圖示可得，∠BOC=90°-∠AOC,∠BOC=45°-∠BOD由此即可求解；②OB與OM重合，分類討論：第一種情況：OB在MO的延長線上；第二種情況，OB在CO的延長線上；根據互余，互補的性質，圖形結合分析即可求解.【詳解】(1)解：OB平分∠MOD,理由如下：∴OB平分∠MOD.(2)解：①∠AOC-∠BOD=45°,理由如下：∴90°-∠AOC=45°-∠BOD,②第一種情況：OB在MO的延長線上，如圖所示，第二種情況，OB在CO的延長線上，如圖所示，綜上所述，∠AOC-∠BOD=45°或∠BOD-∠AOC=45°.【點睛】本題主要考查幾何圖形的變換與角度的和差倍分關系，角平分線的性質，互余，互補的性質的綜合運用，掌握以上知識的綜合是解題的關鍵.繞點C逆時針旋轉得到CDE.在旋轉過程中：(1)旋轉中心是什么,∠DCE為多少度?(2)與線段AC相等的線段是哪一條?(3)CDE的面積是多少?【分析】(1)根據旋轉中心的定義、旋轉的性質即可求得答案.(2)根據旋轉前后的圖形全等，即可直接求得答案.(3)根據旋轉前后的圖形全等，即可求得答案.【詳解】(1)觀察圖形可知，旋轉中心為C.∵旋轉前后的圖形全等，即DCE≌BCA,故答案為：C,45°;(2)∵旋轉前后的圖形全等，即DCE≌BCA,(3)∵旋轉前后的圖形全等，即DCE≌BCA,故答案為：2cm2.【點睛】本題主要考查旋轉的性質，即旋轉前后的圖形全等，牢記旋轉的性質是解題的關鍵.題型三題型三圖形旋轉的規(guī)律探究【例4】(1)(2022秋·全國·九年級專題練習)等邊三角形(三條邊都相等的三角形是等邊三角形)紙板ABC在數軸上的位置如圖所示，點A、B對應的數分別為2和1,若△ABC繞著頂點逆時針方向在數軸上連續(xù)翻轉，翻轉第1次后，點C所對應的數為0,則翻轉2023次后，點C所對應的數是()A.-2021B.-2022C.-2023【答案】B【分析】作出草圖，不難發(fā)現，每3次翻轉為一個循環(huán)組依次循環(huán)，用2023除以3,根據余數為1可知點C在數軸上，然后進行計算即可得解.【詳解】解：如圖，每3次翻轉為一個循環(huán)組依次循環(huán)，∴翻轉2023次后點C在數軸上，∴點C對應的數是0-674×3=-2022.【點睛】本題考查了數軸，根據翻轉的變化規(guī)律確定出每3次翻轉為一個循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關鍵.(2)(2023·全國·九年級專題練習)如圖是一個裝飾連續(xù)旋轉閃爍所成的四個圖形，照此規(guī)律閃爍，第2021次閃爍呈現出來的圖形是()第一次第二次第三次第四次【答案】A【分析】觀察圖形的變化易得每旋轉一次的度數，根據陰影所處的位置可得相應選項.【詳解】解：觀察圖形的變化可知：每旋轉一次，旋轉角為90°,即每4次旋轉一周，.2021÷4=505...1,即第2021次與第1次的圖案相同.【點睛】此題考查了圖形的變換規(guī)律問題，解題的關鍵是找到圖形旋轉的規(guī)律周期.鞏固訓練規(guī)律從左向右第四個圖形是()【答案】D【分析】根據圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時針旋轉圖形，據此即可求解.【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時針旋轉圖形，∴第四個圖形是D.【點睛】本題考查了旋轉的性質，根據三個圖形找出旋轉的規(guī)律是解題關鍵.2.(2022秋·全國·九年級專題練習)有兩個完全重合的矩形，將其中一個始終保持不動，另一個矩形繞其對稱中心O按逆時針方向進行旋轉，每次均旋轉45°,第1次旋轉后得到圖①,第2次旋轉后得到圖②,...則第2021次旋轉后得到的圖形與圖①-④中相同的是()圖②A.圖①B.圖②C.圖③D.圖④確定即可.3.(2023·全國·九年級專題練習)如圖，矩形ABCD中AB是3cm,BC是2cm,一個邊長為1cm的小正方形正方形箭頭的方向是()次翻轉，而每翻轉4次，它的方向重復1次，故回到起始位置時它的方向是向下.【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律題，關鍵是得出小正方形共翻轉10次回到起始位置.第四次：作點A,關于x軸的對稱點A?.,A.(-3,2)B.(-2,3)C.(-2,-3)知每4個點的坐標為一周期循環(huán)，據此可得.∵2021÷4=2020余1,定義和性質，并找出規(guī)律.后，骰子朝下一面的點數是3;則連續(xù)完成2020次翻折后，骰子朝下一面的點數是()【詳解】由平面圖形可知：1與6是對面，2與5是對面，3與4是對面，這是一個正方體，完成1次翻轉時骰子朝下一面的點數是2,完成5次翻轉后朝下一面的點數還是2,故每形.在圖2中，若正方形的邊長為2,則所得正八邊形的面積為.【分析】根據題意，可以發(fā)現正n邊形繞其中心最少旋轉所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；旋轉后的正八變形相當于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，設等腰直角三角形的邊長為x,則的面積即可.【詳解】解：由題意得：正n邊形繞其中心最少旋轉所得圖形與原圖的重疊部分是正2n邊形；則將一個正六邊形繞其中心最少旋轉所得圖形與原圖的重疊部分是正多邊形；由題意得：旋轉后的正八變形相當于將正方形剪掉了的4個全等的等腰直角三角形，設等腰直角三角形的邊長為x,則正八邊形的邊長為√2x∴正八邊形的面積為：【點睛】本題考查了旋轉變換、圖形規(guī)律以及勾股定理等知識，根據題意找到旋轉規(guī)律是解答本題的關鍵.后逆時針轉動一個角度，每次轉動的角度增加10°.第一次直走5m后轉動10°,第二次直走5m后轉動20°,第三次直走5m后轉動30°,如此下去.那么它在移動過程中第二次面向西方時一共走了米.南【答案】45【分析】根據走路規(guī)律，求出走的次數即可解得.【詳解】解：設第n次轉動面向西方，第二次面向西方時一共轉了360?90?450,一共走了9×5=45(米);故答案為：45.【點睛】此題考查了行程規(guī)律問題，解題的關鍵時根據規(guī)律列式求出走的次數.點P依次落在點P,P,P…P2020的位置，【答案】(2020,0)【分析】根據圖形的翻轉，分別得出P、P、P…的橫坐標，再根據規(guī)律即可得出各個點的橫坐標，進一步得出答案即可.【詳解】解：由題意可知P、P?的橫坐標是1,P的橫坐標是，P、P的橫坐標是4,P的橫坐標是5.5..故答案為(2020,0).【點睛】本題考查翻折變換，等邊三角形的性質及坐標與圖形性質得出規(guī)律是解答此題的關鍵.圖①位置，第二次旋轉至圖②位置，..,則正方形鐵片連續(xù)旋轉2019次后，則點P的坐標為.【答案】(6058,1)【分析】首先求出P?~P?的坐標，探究規(guī)律后，利用規(guī)律解決問題.【詳解】解：第一次P?(5,2),第二次P?(8,1),第三次P?(10,1),第四次P?(13,2),第五次P?(17,2),發(fā)現點P的位置4次一個循環(huán)，P2019的縱坐標與P?相同為1,橫坐標為12×504+10=6058,故答案為(6058,1).【點睛】本題考查坐標與圖形的變化、規(guī)律型：點的坐標等知識，解題的關鍵是學會從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型.題型四坐標系內的圖形旋轉題型四坐標系內的圖形旋轉點坐標為()A.(6,2)B.(2,6)C.(2,4)【答案】A形的性質可得OC=DA=4,OA=DB=2,結合點B在第一象限，即可獲得B點坐標.【詳解】解：過點B作BD⊥x軸于點D,如下圖，根據題意，將線段AC繞點A順時針旋轉90°到AB,∴OAC≌DBA(AAS),∴B點坐標為(6,2).【點睛】本題主要考查了坐標與圖形、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質等知識，利用數形結合的思想分析問題是解題關鍵.【例6】(2023春·江蘇·八年級專題練習)在平面直角坐標系中，點A,B的坐標分別是A(3,0),B(0,4),把線段AB繞點A旋轉后得到線段AB',使點B的對應點B'落在x軸上，則點B'的坐標是()【分析】直接利用勾股定理得出AB的長，再利用旋轉的性質得出OB的長，進而得出答案.注意題目中未說明點B'落在x軸正半軸還是負半軸，所以要分類求解.當點B'落在x軸的負半軸時，OB'=2,【點睛】本題主要考查了勾股定理以及坐標與圖形變換的性質，正確得出AB'的長是解題的關鍵，同時要注意這類題的易錯點——忽略分類討論，導致漏解.鞏固訓練P,再將點P繞原點旋轉90°得到點P,則點P的坐標是()【點睛】此題主要考查了坐標與圖形——平移和旋轉的變化，正確利用圖形分類討論是解題關鍵.交于點P,將平行四邊形AOBC繞點O順時針旋轉90°,旋轉后點P的坐標為()【答案】C【分析】過點A作AD⊥OB于點D,過點P作PE⊥OB于點E,過點P'作P'E⊥OB'于點E',根據度角所對的直角邊等于斜邊一半，得到DO=1,利用勾股定理求得AD=√3,得到A(1,√3),再根據平行四邊形的性質，利用中點坐標公式，得到點P的坐標為然后利用旋轉的性質，即可得到旋轉后點P的坐標.【詳解】解：如圖，平行四邊形AOBC旋轉后得到平行四邊形A'OB'℃',過點A作AD⊥OB于點D,過點P∵四邊形AOBC是平行四邊形，∴AP=BP,即點P為AB中點，事事**;由旋轉的性質可知，OP=OP',∠POP'=∠BOB'=90°,在△POE和P'OE'中，∴POE≌POE'(AAS),事,*事,*∵點P'在第四象限，∴P'的坐標為【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，中點坐標公式，旋轉的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關鍵.3.(2023.四川雅安·統(tǒng)考中考真題)在平面直角坐標系中.將函數y=x的圖象繞坐標原點逆時針旋轉90°,再向上平移1個單位長度，所得直線的函數表達式為()A.y=-x+1B.y=x+1【點睛】此題主要考查了圖形的旋轉變換，解題關鍵是準確找出對應點位置.【分析】先根據一次函數解析式求得點A,B的坐標，進而根據旋轉的性質可得AC=OA=2,CD=OB=3,∠OAC=90°,∠ACD=90°,進而得出CD//OA,結合坐標系，即可求解.∵將OAB繞著點A順時針旋轉90°得到CAD,∴CD//OA,【點睛】本題考查了一次函數與坐標軸交點問題，旋轉的性質，坐標與圖形，掌握旋轉的性質是解題的關坐標為()【點睛】本題主要考查了坐標與圖形變化——旋轉，正確找出旋轉后圖形點的坐標是解題的關鍵。逆時針旋轉，每秒旋轉45°,則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為()A.(1,1)B.(-1,1)c.(-【答案】C【分析】轉動前根據菱形的性質，可得D的坐標，根據旋轉的性質，可得轉動后D的坐標.每秒旋轉45°,則第60秒時一共轉了45°×60=2700°,∴OD與轉動前位置比，移動了半周，即相當于旋轉了180°【點睛】本題考查了旋轉的性質，菱形的性質，勾股定理，正確求出第60秒旋轉的總度數，利用旋轉的性質是解題的關鍵.7.(2023春廣東惠州·八年級校考期中)如圖，將含有30°角的直角三角板OAB按如圖所示的方式放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，若OA=4,將三角板繞原點O逆時針旋轉，每秒旋轉60°,則第2023秒時，點B的對應點B'的坐標為()【答案】A秒一循環(huán)，根據2023除以6的結果得到答案.【詳解】解：∵三角板每秒旋轉60°,∴點A的位置6秒一循環(huán).∴第2023秒時，點B的對應點B'的位置與第1s時，位置相同，如圖所示：根據旋轉可知，OA'=OA=4,∠A'OB′=∠AOB=30°,∠BOB'=60°,∴此時點A'在y軸上，∴B'的縱坐標為4,解得：負值舍去，∴此時點B'的坐標為【點睛】此題考查了坐標與圖形的變化中的旋轉以及規(guī)律型中點的坐標，勾股定理，含30度角直角三角形的性質，根據每秒旋轉的角度，找到點A的位置6秒一循環(huán)是解題的關鍵.的坐標是(0,4),頂點B的坐標是(2,0),對角線AC、BD的交點為M將正方形ABCD繞著原點O逆時針旋轉，每次旋轉45°,則第2023次旋轉結束時，點M的坐標為()A.(3,3)B.(-3,3)C.(0,3【答案】D7×45°=315°,,可知第2023次旋轉結束時和第7次旋轉結束時，點M的位置在x軸正半軸上，勾股定理求得OM的長，即可求解.過點D作DN⊥y軸，垂足為N,如解圖所示，則∠DNA=∠AOB=90°∵四邊形ABCD為正方形，∴點D的坐標為(4,6).由題意，可知正方形ABCD繞著原點O逆時針旋轉，每次旋轉45°,點M也繞著原點0逆時針旋轉，每次旋轉45°,則點M旋轉一周需要旋轉360°÷45°=8(次).又∵2023÷8=252……7,7×45°=315°,∴第2023次旋轉結束時和第7次旋轉結束時，點M的位置在x軸正半軸上，∴第2023次旋轉結束時，點M的坐標為(3故選：D.【點睛】本題考查坐標與旋轉規(guī)律，正方形性質，全等三角形的判定及性質，解題的關鍵是理解第2023次旋轉結束時和第7次旋轉結束時，點M的位置在x軸上.9.(2023·山東東營·校聯考一模)如圖，在直角坐標系中，邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點O逆時針旋轉75°,再沿y軸方向向上平移1個單位長度，則點B”的坐標為()A.(-√2,√6)B.(-√2,√6+1)C.(√2,-√6)D.(-√2,√6-1)【分析】過B'作B'D⊥y軸于D,連接OB,OB',根據邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點O逆時針旋轉75°,得∠BOB'=75;BOC=45,OBOB'22「,即知∠B'OD=30°,可得B'(-√2,√6),又再沿y軸方向向上平移1個單位長度，故點B”的坐標為(-√2,√6+1).【詳解】解：過B'作B'D⊥y軸于D,連接OB,OB',如圖，∵邊長為2個單位長度的正方形ABCO繞原點O逆時針旋轉75°∵再沿y軸方向向上平移1個單位長度，【點睛】此題考查了坐標與圖形變化-旋轉與平移，解題關鍵是掌握旋轉性質和坐標平移變化規(guī)律?！敬鸢浮?-4,-3)【分析】根據旋轉中心為點0,旋轉方向逆時針，旋轉角度90°,作出點A的對應點B,可得所求點的坐標.【詳解】解：由圖中可以看出點B的坐標為(-4,-3),【分析】首先根據題意畫出圖形得到A'(2,1),然后利用勾股定理求解.?？碱}型.△A'B'℃,設點A的坐標為(a,b),【詳解】解：根據題意，點A、A關于點C對稱，解得x=-a,y=-b-2,【點睛】本題考查了利用旋轉進行坐標與圖形的變化，根據旋轉的性質得出點A、A關于點C成中心對稱是解題的關鍵，還需注意中點公式的利用，也是容易出錯的地方.13.(2023春·廣東梅州·九年級?？奸_學考試)如圖，在平面直角坐標系中，點C的坐標為(-1,0),點A的EC=BF,即可解決問題.【詳解】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于E,過點B作BF⊥x軸于F.在AEC和CFB中，∴AEC≌CFB(AAS),【點睛】本題考查坐標與圖形變化-旋轉，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題.14.(2022秋·甘肅金昌·九年級統(tǒng)考期末)如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正方形OABC繞點0逆時針旋轉45°后得到正方形OAB?C,繼續(xù)旋轉至2019次得到正方形OA?019B?019C2019,則點B2019的坐標是.【分析】由題意依次寫出前幾個，找到規(guī)律，根據規(guī)律求即可.故周期為8,【點睛】本題考查了旋轉找規(guī)律，準確計算出每個點變化之后的坐標是解題關鍵.個頂點坐標分別是A(-3,-3),B(-1,-2),C(-2,-1).坐標.(2)計算ABC的面積.(2)利用面積公式進行求解即可.【點睛】本題考查坐標與旋轉.熟練掌握旋轉的性質，正確的作圖，是解題的關鍵.(3)直接寫出ABC的面積【分析】(1)結合直角坐標系可直接寫出A、B兩點的坐標；(2)旋轉180°也即是中心對稱，找到A、B、C三點關于C的中心對稱點，順次連接即可；(3)利用割補法求ABC的面積即可(3)解：故答案為：【點睛】此題考查了旋轉作圖，中心對稱的知識以及割補法求三角形面積，解答本題的關鍵是根據旋轉的三要素，中心對稱的性質，得到各點的對應點，難度一般.答下列問題：(1)拋物線y,的頂點坐標;(2)陰影部分的面積S=;(3)若再將拋物線y?繞原點O旋轉180°得到拋物線y?,求拋物線y?的解析式.【分析】(1)根據拋物線的移動規(guī)律左加右減可直接得出拋物線y?的解析式，再根據y?的解析式求出頂點(3)先求出二次函數旋轉后的開口方向和頂點坐標，從而得出拋物線y?的解析式.【詳解】(1)解：解：∵拋物線y?=-x2+2向右平移1個單位得到的拋物線y?,∴拋物線y?的解析式是y?=-(x-1)2+2,頂點坐標為(1,2).(2)把陰影部分進行平移，可得到陰影部分的面積即為圖中兩個方格的面積=1×2=2;(3)由題意可得：拋物線y?的頂點與拋物線y?的頂點關于原O成中心對稱.【分析】(1)連接AD,CF,其交點就是對稱中心0;【詳解】(1)解；如圖所示，點O即為所求；(2)解：∵ABC和DEF關于點O成中心對稱，∴ABC≌DEF,∴DEF的周長=DE+DF+EF=6+5+4=15;答：DEF的周長為15.【點睛】本題主要考查了中心對稱，正確掌握中心對稱圖形的性質是解題關鍵.A.OA=OBB.△AOD≌△COBC.AD=BCD.SACp=SBCD【分析】依據△AOD與BOC關于點O成中心對稱，即可得到△AOD≌△COB,進而得到正確結論.【詳解】解：∵△AOD與BOC關于點O成中心對稱，∴△AOD≌△COB,故選項B不符合題意；而OA和OB不是對應邊，不一定相等，故選項A符合題意；【點睛】本題考查中心對稱，關于中心對稱的兩個圖形能夠完全重合；關于中心對稱的兩個圖形，對應點的連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分.掌握中心對稱的概念和性質是解題的關鍵.也考查了全等三角形的性質.2.(2023春·浙江·八年級專題練習)如圖，已知圖形ABCD和圖形AEFG中關于點A中心對稱，AB,CD都是線段，BC是一段圓弧.嘉琪對其進行測量后得到以下四個結論，其中一定錯誤的是()A.∠BAD=75°B.圖形ABCD的內角和是360°C.AB//CDD.∠D=∠G【答案】B【分析】根據中心對稱圖形的性質和平行線的判定分別判斷即可.【詳解】解：A、∠BAD可以等于75°,故不符合題意；B、圖形ABCD不是四邊形，故內角和不是360°,故符合題意；C、AB可以平行于CD,故不符合題意；D、∵圖形ABCD和圖形AEFG中關于點A中心對稱，∴∠D=∠G,故不符合題意.【點睛】本題考查了中心對稱圖形的性質和平行線的判定，熟練掌握中心對稱圖形的性質和平行線的判定是關鍵.B.BO=BO'【分析】根據中心對稱圖形的性質，逐項進行判斷即可.【詳解】解：∵ABC與A'B'℃'關于點O成中心對稱，∴點A與A是一組對稱點，OB=OB,∠AOB=∠A'OB',故A,B,C都不合題意.【點睛】本題主要考查了中心對稱的性質，熟練掌握成中心對稱的兩個圖形，對應點的連線被對稱中心平分，對應角相等，對應線段相等，是解題的關鍵.關于點B中心對稱，若將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與C重合，則點A的坐標是.【分析】根據對稱性得到點B為線段AC中點，由此得到將點B往左平移2個單位，再往下5個單位，則與A重合，即可得到點A的坐標.【詳解】解：∵點A,點C關于點B中心對稱，∴點B為線段AC中點，∵將點A往右平移4個單位，再往上10個單位，則與C重合，∴將點A往右平移2個單位，再往上5個單位，則與B重合，∴將點B往左平移2個單位，再往下5個單位，則與A重合，∴點A的坐標為(2-2,3-5),即(0,-2),【點睛】此題考查了中心對稱的性質，點的平移規(guī)律，正確理解中心對稱的性質是解題的關鍵.是對稱點；②BO=BO;③AB//AB;④∠ACB=∠CA'B'.其中正確結論的個數為個.【答案】3【分析】根據中心對稱的性質，逐項分析判斷即可求解.∴∠OBA=∠OB'A,點A與點A是對稱點，BO=BO,∠ACB=∠ACB故答案為：3.【點睛】本題考查了中心對稱的性質，熟練掌握中心對稱的性質是解題的關鍵.DE=2,則AB的長為.【分析】由中心對稱的性質推出△ABC≌△DBE,得到AB=BD,AC=DE=2,由銳角的正切求出AD的長，即可求出AB的長.【詳解】解：∵ABC與DBE關于點B成中心對稱，【點睛】本題考查中心對稱，直角三角形的性質，勾股定理，解題的關鍵是掌握中心對稱的性質.的中位線，已知BC=4,則E'D'=.【答案】2【分析】根據成中心對稱的兩個圖形全等可得△ABC≌△A'B'C,再根據全等三角形對應邊相等可得B'℃′=BC,然后根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得【詳解】解：∵ABC與A'B'C'成中心∵E'D'是A'B'℃'的中位線，故答案為：2.【點睛】此題主要考查了中心對稱圖形的概念：在同一平面內，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，還考查了三角形的中位線定理.8.(2023春·江蘇泰州·八年級?？计谥?如圖，邊長為8的正方形ABCD和邊長為12的正方形BEFG排放在一起，O?和O?分別是兩個正方形的對稱中心，則陰影部分的面積為.【答案】24【分析】根據正方形的性質求出BO、BO?,再根據正方形的中心在正方形對角線上可得∠O?BC=∠O?BC=45°,然后求出∠O?BO?=90°,然后利用直角三角形的面積公式列式計算即可得解.【詳解】解：∵O?和O?分別是兩個正方形的對稱中心，故答案是：24.【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，主要利用了正方形的中心在對角線上，熟記性質是解題的關鍵.則AE的長是.【答案】5【分析】根據中心對稱的性質以及勾股定理即可求解AE的長.【詳解】解：∵DEC與ABC關于點C成中心對稱故答案為：5.【點睛】本題主要考查中心對稱的性質以及勾股定理，熟練掌握成中心對稱的圖形對應邊相等，對應角相等的性質以及勾股定理是解決本題的關鍵.(1)畫出△BCD關于點D的中心對稱圖形；(2)求線段CD長的取值范圍.【分析】(1)由題知CD為中線，延長CD到E,只要使DE=CD,然后連接AE即可；(2)根據三角形三邊關系，先求出CE的取值范圍，即可求出CD的取值范圍.【詳解】(1)如圖，延長CD到E,使DE=CD,連接AE,VADE即為所求；AE-AC<CE<AE+AC,【點睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖和三角形三邊關系，熟練掌握作一條線段等于已知線段，三角形任意兩邊的差小于第三邊，任意兩邊的和大于第三邊，是解決問題的關鍵.僅用無刻度的直尺畫出ABC關于點O的中心對稱圖形.(2)如圖②,正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點，連接AF、DE,△ABF按順時針方向旋轉后圖②【答案】(1)見解析；(2)見解析.【分析】(1)作直線AD,交O于點D,則點D為點A的對稱點，同理可作出點B的對稱點E,點C的對稱點F,依次連接點D,E,F,則DEF為所求；(2)連接AC,BD,相交于點O,則點O為所求.【詳解】(1)如圖，DEF為所求.(2)如圖，點O為所求.【點睛】本題考查作中心對稱圖形，掌握中心對稱圖形的概念是解題的關鍵.12.(2023春·河北滄州·八年級校考階段練習)一次函數y=kx+b的兩組x、y的對應值如圖，在平面直角坐標系中畫出了它的圖象為直線1(如圖14-1),王英為觀察k、b對圖象的影響，將上面函數中的k與b交換位置后得到另一個一次函數，設其圖象為直線I'.x1y4(1)求直線l的解析式；(2)直接寫出直線I'的表達式為,并在圖1中畫出直線I';(3)若P(m,0))是x軸上的一個動點，過點P作y軸的平行線，分別交直線1、I'于點M、N,當MN=3時，求m的值；其中兩點關于第三點對稱，直接寫出n的值V87V8765432f2【答案】(1)y=3x+1(2)y=x+3,圖見解析寸或7或【分析】(1)將變量對應值代入解析式，構造方程組，求出參數，確定解析式；(2)根據題意確定解析式，確定與坐標軸的交點，運用兩點法畫出圖象；;;(4)直線y=n與y=3x+1交點的橫坐標為與y=x+3交點的橫坐標為x=n-3;分三種情況：①當第三點在y軸上時，②當第三點在直線l上時，③當第三點在直線I'上時，根據中心對稱性質，分別構建方程求解，得n的值為或7或∴直線!的解析式為y=3x+1;X0y03畫出直線I'如圖：解得故答案為分三種情況：①當第三點在y軸上時，解得③當第三點在直線I'上時，,解得∴直線y=n與直線1,I'及y軸有三個不同的交點，且其中兩點關于第三點對稱，則n的值為或7或【點睛】本題考查待定系數法確定一次函數解析式，直角坐標系與點坐標，兩點法畫一次函數圖象，中心對稱的性質，根據題意構建方程是解題的關鍵.題型六中心對稱圖形題型六中心對稱圖形【例8】(2023秋山西大同·九年級統(tǒng)考期末)剪紙，作為中國傳統(tǒng)文化藝術，象征納福吉祥，寄托人們對美好生活的向往.下列剪紙圖案中，是中心對稱圖形的是()A.【分析】根據中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.【詳解】解：選項A、B、D中的圖形都不是中心對稱圖形，選項C中的圖形是中心對稱圖形，【點睛】本題考查了中心對稱圖形的概念，一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.鞏固訓練：【分析】根據中心對稱圖形的定義：一個圖形繞著某一點旋轉180°后與原圖形完全重合，那么這個圖形是中心對稱圖形，進行判斷.【詳解】選項A、B、C均不能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中選項D能找到一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形.【點睛】本題考查中心對稱圖形的定義，判斷是否是中心對稱圖形關鍵的是找到對稱中心.①三角形的一個外角大于它的任何一個內角②若一個三角形的三個內角度數的比為1:2:3,則這個三角形是直角三角③長方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形【分析】根據三角形外角性質，直角三角形的定義，中心對稱圖形以及軸對稱圖形的特點，進行判斷即可.【詳解】解：①三角形的一個外角大于它任何一個不相鄰的內角，原說法錯誤；②若一個三角形的三個內角度數的比為1:2:3,則這個三角形是直角三角形，原說法正確；③長方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形，原說法正確；綜上，正確的有②③④,3.(2023年陜西省中考數學試卷(A卷))下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A.兩部分重合.故選A個部分，由黑白棋子擺成的圖案是中心對稱的是()D故選B.蝴蝶曲線蝴蝶曲線心對稱圖形的是()D.既不是軸對稱圖形，又不是中心對稱圖形，故該選項不符合題意，【點睛】本題考查軸對稱圖形及中心對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后能完全重合；中心對稱圖形的關鍵是尋找對稱中心，圖形繞對稱中心旋轉180度后，兩部分能夠完全重合；熟練掌握定義是解題關鍵.都必須有對稱形式.”下面的圖形中，是中心對稱圖形的是()A.謝爾賓斯基三角形畢達盱拉斯樹【分析】根據中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞某一點旋轉180°,如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形可得答案.【詳解】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以不是中心對稱圖形，不符合題意；選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉180°后與原來的圖形重合，所以是中心對稱圖形，符合題意，【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，關鍵是找出對稱中心.題型七坐標系內的關于原點的對稱間題題型七坐標系內的關于原點的對稱間題A.(3,5)B.(-3,-5)C.(-3,5)D.(5,-3)【答案】C【分析】先利用算術平方根的非負性、偶次冪非負性求出a、b,進而得出N點坐標，再利用關于原點對稱點的性質得出答案.A.2則a=3,【分析】根據平移的規(guī)律可得到點T的坐標，根據關于原點對稱的點的坐標特征可得到點Q的坐標.【點睛】本題考查了坐標的平移、關于原點對稱的點的坐標，坐標的平移規(guī)律為：橫坐標，右移加，左移減，縱坐標，上移加，下移減；關于原點對稱的點的橫坐標互為相反數，縱坐標互為相反數，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵.則y?=.【分析】直接利用關于原點對稱點的性質得出x,y的值即可答案.故答案為：【點睛】此題主要考查了關于點對稱點的性質，正確記憶橫縱坐標的符號是解題關鍵?！痉治觥扛鶕嗀、B兩點的關系求出m和n,然后可以得解.【詳解】解：由題意可得：故答案為0.【點睛】本題考查冪的綜合應用，熟練掌握冪的意義及關于原點對稱的點的坐標關系是解題關鍵.值為.【答案】【分析】根據關于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數，進而求得a,b的值，即可求解解得：故答案為：【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，熟練掌握關于原點對稱的點的橫縱坐標互為相反數是解題的關鍵.10.(2023春·山東濱州·八年級統(tǒng)考期末)已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于平面直角坐標系中的【答案】(-1,-2)【分析】因為平行四邊形ABCD兩條對角線相互平分，所以點A與點C、點B與點D關于原點對稱，由于已知點A,B的坐標，故可求得C,D的坐標.【詳解】解：由題意知：點A與點C、點B與點D關于原點對稱，∴點C,D的坐標分別是(1,-3),(-1,-2),故答案為：(-1,-2).【點睛】本題考查平行四邊形的性質，解題