高考練習(xí)解三角形綜合練習(xí)題

解三角形綜合講義

前言…..........................................................02

近七年全國(guó)I卷高考真題...........................................06

第1講解三角形基礎(chǔ).............................................10

1.1正余弦定理...............................................10

1.2面積....................................................11

1.3判斷三角形形狀..........................................11

1.4解的個(gè)數(shù)問(wèn)題............................................12

1.5證明恒等式...............................................13

1.6實(shí)際應(yīng)用.................................................14

第2講最值（范圍）.............................................17

2.1一般最值.................................................17

2.2結(jié)合均值定理............................................18

2.3幾何法（旋轉(zhuǎn)大法等）....................................19

第3講正余弦定理的綜合應(yīng)用....................................20

第4講解三角形與其它知識(shí)綜合.................................26

1

前言

【高考命題規(guī)律】

年份題號(hào)題型考查內(nèi)容思想方法分值

2011年理17解答題利用正弦定理邊化角，轉(zhuǎn)化為函函數(shù)思想方程思12分

數(shù)求最值想

文15填空題三角形面積，公式選擇不一樣，方程思想5分

突破口就不同，可正弦，可余弦

2012年理17解答題齊次式結(jié)構(gòu)，消元，兩角和差以消元思想12分

及面積公式

文17解答題齊次式結(jié)構(gòu)，兩角和差以及面積數(shù)形結(jié)合思想12分

公式

2013年理17填空題角的轉(zhuǎn)化，以及正余弦定理方程思想12分

文10選擇題二倍角公式，余弦定理轉(zhuǎn)化與劃歸5分

2014年理16填空題齊次式結(jié)構(gòu)數(shù)形結(jié)合5分

文16填空題實(shí)際應(yīng)用，以及仰角俯角的概念方程思想5分

2015年理16填空題可用極限極限，數(shù)形結(jié)合5分

文17解答題齊次式結(jié)構(gòu)特殊化12分

2016年理17解答題齊次式結(jié)構(gòu)，射影定理數(shù)形結(jié)合12分

文4選擇題余弦定理5分

2017年理17解答題齊次式，面積+余弦定理轉(zhuǎn)化與劃歸12分

文11選擇題兩角和差+正弦定理消元5分

從全國(guó)I卷近七年的考試題來(lái)看，文理卷都是各出一個(gè)題，或選填，或解答題第?題，

整體來(lái)說(shuō)難度不大?？疾榈闹R(shí)點(diǎn)方面，齊次式結(jié)構(gòu)類型居多，往往利用正弦定理轉(zhuǎn)化邊角后,

求出其中一個(gè)角或者得到一個(gè)新的關(guān)系式，從而進(jìn)行下一步的運(yùn)算。不要輕易約分，不要輕易

約分，不要輕易約分。另外，利用三角形內(nèi)角和為1800進(jìn)行消元轉(zhuǎn)化乜是常用手段，至于消

誰(shuí)，就看誰(shuí)好消了。這一節(jié)內(nèi)容跟前面所學(xué)兩角和差以及輔助角公式等內(nèi)容結(jié)合較為緊密，學(xué)好

前面內(nèi)容是學(xué)好這一節(jié)的基礎(chǔ)。另外，如果碰到較難的題目，可用給予條件較多的的三角形突破,

有時(shí)要有方程（不等式）思想，建立未知量間的等量（不等）關(guān)系從而解決問(wèn)題。當(dāng)然，將三

角形建系坐標(biāo)化有時(shí)也不失為一種好方法。備考方面，穩(wěn)固基礎(chǔ)，多去嘗試，從不同的角度去

看待理解問(wèn)題，比較不同思考角度間的優(yōu)劣，該如何去做選擇。

備注：本教案編寫時(shí)為年級(jí)統(tǒng)一之方便，添有解的個(gè)數(shù)及證明恒等式等內(nèi)容，高考一般不

做要求，高三復(fù)習(xí)時(shí)可刪去不做講解。另涉及均值不等式內(nèi)容方面，單獨(dú)分離，高二新學(xué)

此節(jié)內(nèi)容時(shí)未有學(xué)及，可刪去。

2

【基礎(chǔ)知識(shí)】

一、正弦定理

適用范圍：任意三角形:

本質(zhì)：邊和角的關(guān)系；

基本概念］作用：邊和角的互換；

公式："=1=「=2R（2R為外接圓的直徑）（會(huì)證明）

sinAsinBsinC

變形：a=sinA-2/?,sinA=JL;

I2R

大邊對(duì)大角：在中，67>Z?<z>sinA>sinB<=>A>B

解三角形（任意三角形）：a,b,c和A,用C六個(gè)元素中，根據(jù)已知的元素，求未知：

f已知三角形兩角和任意一邊，求其它邊角；

正弦定理可解決的兩類解三角形問(wèn)題《

〔已知三角形兩邊和其中一邊對(duì)角，求其它邊角;

信息挖掘

CA+RC

Isin,cos=sin;

解三角形隱含的信息《2-2—2

sinC=sin［k（A+8）］=sin（A+J?）,cosC=-cos（A+B）;

l三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊;

1、正弦定理的主要作用是方程和分式中的邊角互化。其原則為關(guān)于邊.或是角的正弦值是

否具備齊次的特征。如果齊次則可直接進(jìn)行邊化角或是角化邊，否則謹(jǐn)慎處理

例如：（1）sin2A+sin2B-sinAsinB=sin2C<^>a1+b1-ab=^

（2）bcosC+ccosB=6/=>sinBcosC+sinCeosB=sinA（恒等式）

（3）he_sinBsinC

ersin2A

2、角平分線定理（熟悉）

ARDE）

如圖，設(shè)AO為AABC中N84。的角平分線，則二—二—

ACCD

簡(jiǎn)單證明：

法1：過(guò)。作。E〃AC交于E,然后利用相似即可

法2：正弦定理，自己書(shū)寫

3、射影定理：〃=6cosC+ccos6（熟悉）（其實(shí)，就是個(gè)齊次加兩角和差，畫(huà)圖更直觀）

3

二、余弦定理

余弦定理的內(nèi)容（向量證明）

cr=b1+（T-2hccosA

已知三邊，求其三角

運(yùn)用余弦定理可解決兩類三角形問(wèn)題

已知兩邊和其夾角，求第三邊和其它兩個(gè)角

1、變式：

,、.Z?2+c2-a2

（1）cosA=---------

2bc

①此公式通過(guò)邊的大小（角兩邊與對(duì)邊）可以判斷出4是鈍角還是銳角

當(dāng)從+。2>〃2時(shí)，cosA>0,即A為銳角；

當(dāng)"+，2=〃2（勾股定理）時(shí)，cosA=0,即A為直角；

當(dāng)時(shí)，cosA<（）,即A為鈍角

②觀察到分式為齊二次分式，所以已知ahc的值或者。：:c均可求出cosA

（2）a?=（0+c）2—2bc（l+cosA）此公式在己知力+c和be時(shí)不需要計(jì)算出兒c的值,

進(jìn)行整體代入即可

2、中線長(zhǎng)定理（了解）A

三角形中線定理：如圖，設(shè)AO為A4BC的一條中線，

則AB2+AC2=2（AO2+BZ）2）//\

三、面積公式

基本公式：S=_absinC=_bcsinA=_acsinB

（1、根贏度直接求出：C=kA-BfsinC

重要技巧：求第三個(gè)角的正弦值《

[2、根據(jù)公式:sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

三角形其他面積公式:

3S=—ah（。為三角形的底，〃為對(duì)應(yīng)的高）

（2）S=—（?+b+c）〃（r為三角形內(nèi)切圓半徑）

2

S=—=2/?2sinAsinBsinC（R為三角形外接圓半徑）（由正弦定理可推，不記）

4R

4

(3)海倫-秦九韶公式：s=…)(i)(p_c)/=；a+Hc)

(4)向量方法：S=(其中a,b為邊a,b所構(gòu)成的向量，方向任意)

坐標(biāo)表示：a=(x,y),Z?(x,y),則5=」1丁-xy|

1221

11222

四、其他

1、熟記一些特殊角

sinl5°=cos75°=4",sin750=cosl50=痣十"

44

tan150=2-A/3,tan75°=2+有

2、兩角和差的正余弦公式：

sin(A±B)=sinAcosB±sinBcosA

cos(A±8)=cosAcosB孑sinAsinB

3、輔助角公式：〃sinA+8cosB=尸防丁sin(A+e),其中tan外_

a

4、在AABC中，sin2A=sin2B=>2A=2Bor2A+2B=7r

5

【近七年全國(guó)I卷高考真題】

(2017理17)△的內(nèi)角4氏。的對(duì)邊分別為瓦。，已知A的面積為a2

ABCABC---------

3sinA

(I)求sin8sinC

(II)若6cosBcosC=1,4=3,求AA8C的周長(zhǎng)

文的內(nèi)角的對(duì)邊分別為已知

(201711)AABCA,B,Ca,b,c.a=2,C=\/2,

sinB+sinA(sinC-cosC)=0,則C=()

(2016理17)

\ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c

(I)求。

(II)若c=J7,AA8C的面積為3百，求AABC的周長(zhǎng)

2

2

(2016文4)\ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知〃=J^,c=2,cos4二,

則/?=()

(A)y/2(B)y/3(C)2(D)3

6

(2015理16)在平面四邊形A5c。中，ZA=ZB=ZC=75°,BC=2,則A8的取值

范圍是_________

(2015文17)已知分別是MBC內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊，sin2B=2sinAsinC

(I)若a=b,求cos8

(II)若8=90°,且a=&求A4BC的面積

(2014理16)已知a,Ac分別為A45C的三個(gè)內(nèi)角48,。的對(duì)邊，a=2t

且(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,則\ABC面積的最大值為

(2014文16)如圖，為測(cè)量山高M(jìn)N,選擇A和另一座山的山頂C為測(cè)量觀測(cè)點(diǎn).從A點(diǎn)

測(cè)得M點(diǎn)的仰角NMAN=60°,。點(diǎn)的仰角NC4B=45°,以及NMAC=75°；從C點(diǎn)

測(cè)得ZMCA=60°.已知山高BC=100/n,則山高M(jìn)N=m

7

(2013理17)如圖，在A4BC中，ZABC=90°,AB4,8c=1,P為AABC內(nèi)一

點(diǎn).NBPC=96

(I)若P8=l?，求PA

2

(II)若NAPB=150°,求tanNPBA

(2013文10)已知銳角A4BC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,

23cos*A+cos2A=0,〃=7,c=6則力=()

(A)10(B)9(C)8(D)5

(2012理17)已知a,b.c分別AABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，

acosC+y/3asinC-b-c=0

(I)求A

(H)若a=2,AABC的面積為求

8

(2012文17)已知。，"c分別為AABC三個(gè)內(nèi)角力,氏。的對(duì)邊，c=JSasinC-ccosA<,

(I)求A

(II)若〃=2,AABC的面積為用，求b,c

(2011理16)在A43C中，B=60\AC=>/3,則43+23C的最大值為

(2011文15)AA8C中，8=120°,AC=7,AB=5,則A4BC的面積為

9

第1講解三角形基礎(chǔ)

1.1正余弦定理

1、（2017.12上海虹口區(qū)一模）在AA8C中，所對(duì)的邊分別是a,0,c,若

a:b:c=2:3:4,貝UcosC=___

2、（2017吉林二調(diào)）在AA8C中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若。=不,b=3,c=2,

則角A=（）

n7t7t冗

（A）-（B）—（C）—（D）—

6432

3、（2017.5北京豐臺(tái)測(cè)試）在A43C中，角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,且

nB=bcosA,則角A的大小為

4、（2018屆安徽六校一聯(lián)）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,瓦c,已知b=1,B=Z

4

cosA=一則。=()

3

4(B)3

(A)-(C)-(D)y/2

334

5、(2017.12百校聯(lián)盟)在&4BC中，角A,氏。的對(duì)邊分別為a,b,c,若sinA=3sinB,

c=&且cosC=三，則a=()

(A)272(B)3(C)30(D)4

6、（2017.12化州二模）己知?Ac分別是AABC內(nèi)角4,氏C的對(duì)邊，。=4/=5,c=6,

則sin（A+8）=

sin2A

7、（2017.12上海崇明區(qū)一模）在A4BC中，8c邊上的中垂線分別交8cAe于點(diǎn).若

AEBC=6,\AB\=2,則AC=

8、（2018屆廣東中山等七校一聯(lián)）在△ABC中，點(diǎn)。在邊AB上，CD1BC,AC=5y/3t

CD=5,BD=2AD,則的長(zhǎng)為

io

1.2面積

1、（2017.12上海寶山區(qū)一模）半徑為4的圓內(nèi)接三角形ABC的面枳是1_,角ABC所

16

對(duì)應(yīng)的邊依次為a力,c,則abc的值為

2、（2017.04重慶二診）設(shè)AA8c中，角A,8,C所對(duì)的邊分別為〃，仇c,若A46C的面積

旅+廿-d

為------7=---，則C=___________

4#

3、（2017.08廣東七校一聯(lián)）在銳角A4BC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若

sinA=29,〃=2,S，則b的值為（）

3AAffC

（A）b（B）36（O2>/2（D）2&

2

4、（2017.12上海虹口區(qū)一模）已知丁二$皿不和y二（：0§工的圖像的連續(xù)的三個(gè)交點(diǎn)4、B、

。構(gòu)成三角形AABC,則AABC的面積等于

1.3判斷三角形形狀

例1、在A4BC中，bcosA=acosB,試判斷A4BC的形狀

例2、在AA8C中，acosB+bcosA=ccosC,試判斷A4BC的形狀

11

1、（2015馬鞍山模擬）在AA8C中，內(nèi)角A,8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,若

c-acosB=（2a-b）cosA,則A4BC的形狀為（）

（A）等腰三角形（B）直角三角形

（C）等腰直角三角形（D）等腰或直角三角形

2、（2012上海）在人43。中，若$訪24+41123<5m2。，則&48。的形狀是（）

（A）鈍角三角形（B）直角三角形

（C）銳角三角形（D）不確定

3、（2010上海）若A48C的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA:sin6:sinC=5:11:13,則MBC（）

（A）一定是銳角三角形（B）一定是直角三角形

（C）一定是鈍角三角形（D）可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

4、（2012湖北荊州模擬）在AABC中,SigsinA-1gcosB-1gsinC=1g2,則AABC的

形狀是（）

（A）直角三角形（B）等腰直角三角形（C）等邊三角形（D）等腰三角形

5、（2013東北三校二聯(lián)）在A48C中，。g,c分別是角A,8,C的對(duì)邊，且cos?2=

22c

則A4BC是（）

（A）直角三角形（B）等腰三角形或直角三角形

（C）正三角形（D）等腰直角三角形

1.4解的個(gè)數(shù)問(wèn)題

1、已知匕和A,求B：有一解；

「左T一.14為銳角，有兩解；

2、已知〃=力和A,求

A為直角或鈍角，無(wú)解；

處理多解問(wèn)題〈（卜,〃sinA:兩解

IA為銳角<a=bsin4:一解

3、已知a<方和A,求8<|八.，年初

[avbsinA:無(wú)解

1A為直角或鈍角，無(wú)解；

HI

1、在A43C中，己知。=2,6=痣A=45°,則滿足條件的三角形有（）

(A)1個(gè)(B)2個(gè)（C）0個(gè)（D）無(wú)法確定

12

2、在A48C中，。=80/=100,A=45°,則此三角形解的情況是（）

（A）一解（B）兩解（C）一解或兩解（D）無(wú)解

3、在&48C中，ZA=60°,。=遍，b=3,則A4BC解的情況為

（A）有兩解（B）有一解（C）無(wú)解（D）不能確定

4、已知下列三角形中的兩邊及其中一邊的對(duì)角，判斷三角形是否有解，并指出有幾解？

（1）。=7力=8,4=105°

（2）a=10,b-20,A—80o

（3）b=10,c=5^,C=60

（4）〃=2島=6,A=30°

1.5證明恒等式

cos2Acos2511

1、在&4BC中，證明:

erb2〃b2

MBCa2-b2_sin(A-B)

2、在中，4、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，求證

sinC

13

1.6實(shí)際應(yīng)用

理解幾個(gè)角度概念

1.仰角與俯角

與目標(biāo)線在同一船垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，

目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角（如圖①）.

相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30°,北偏西45°

等.3.方位角

指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如8點(diǎn)的方位角為。（如圖②）.

例1:（2015湖北理13）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公

路北側(cè)一山頂。在西偏北30,的方向上，行駛600m后到達(dá)8處，測(cè)得此山頂在西偏北750的

方向上，仰角為30°,則此山的高度CD=

例2：（2010陜西理17）如圖，A,B是海面上位于東西方向相距5（3+我海里的兩個(gè)觀測(cè)

點(diǎn)；現(xiàn)位于4點(diǎn)北偏東45。，8點(diǎn)北偏西60。的。點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于8點(diǎn)南

偏西60。且與8點(diǎn)相距206海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小

時(shí)，該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？

14

1、（2017山西三區(qū)八校二模）為了豎一塊廣告牌，要制造三角形支架，如圖，要求

ZACB=60°,2C的長(zhǎng)度大于1米,且比人片長(zhǎng)0.5米，為了稔固廣告牌，要求AC

越短越好，則AC最短為（)

(A)(1+,米

(B)2米

(C)(1力)米(D)(2+6)米

2、（2017廣東佛山二模）某沿海四個(gè)城市A、B、C、。的位置如圖所示，其中N4BC=60°,

ZBCD=135°,AB=80nmile,^C=40+30^nmile,CD=250amile,D

位于A的北偏東75。方向.現(xiàn)在有一艘輪船從A出發(fā)以50nmile/h的速度向。直線航行，

60min后，輪船由于天氣原因收到指令改向城市。直線航行，收到指令時(shí)城市。對(duì)于輪船

的方位角是南偏西度，貝Usin生

3、（2016.01東莞高二期木質(zhì)檢）南沙群島自古以來(lái)都是中國(guó)領(lǐng)上。南沙海域有4、。兩

個(gè)島礁相距100海里，從4島碓望C島礁和B島礁成60°的視角，從B島礁望C島礁和

A島礁成75°的視角，我國(guó)蘭州號(hào)軍艦巡航在A島礁處時(shí)接B島礁處指揮部的命令，前

往C島礁處驅(qū)趕某國(guó)入侵軍艦，則我軍艦此時(shí)離C島礁距離是（）

（A）100（6+1）海里（B）50（—+1）海里（C）50』海里（D）50#海里

15

4、（2017.12青浦區(qū)一模）如圖，某大型廠區(qū)有三個(gè)值班室4、B、C.值班室A在值班

室B的正北方向2千米處，值班室C在值班室B的正東方向2千米處

（I）保安甲沿CA從值班室C出發(fā)行至點(diǎn)P處，此時(shí)PC=1,求PB的距離

（II）保安甲沿CA從值班室C出發(fā)前往值班室4,保安乙沿AB從值班室A出發(fā)前往值

班室3,甲乙同時(shí)出發(fā)，甲的速度為1千米/小時(shí)，乙的速度為2千米/小時(shí)，若甲乙兩人通

過(guò)對(duì)講機(jī)聯(lián)系，對(duì)講機(jī)在廠區(qū)內(nèi)的最大通話距離為3千米（含3千米），試問(wèn)有多長(zhǎng)時(shí)間兩

人不能通話？

5、（2017.4福建質(zhì)檢）如圖，有一碼頭戶和三個(gè)島嶼A,8,C,PC=30y/3nmile,

PB=90nmileAB=30nmileNPCB=120°,NABC=90°

（I）求兩個(gè)島嶼間的距離

（ID某游船擬載游客從碼頭尸前往這三:個(gè)島嶼游玩，然后返回碼頭尸.問(wèn)該游船應(yīng)按何路線

航行，才能使得總航程最短？求出最短航程

16

第2講最值

2.1一般最值問(wèn)題

例1：已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x,則x的取值范圍是()

(A)l<x<5(B)y/5<x<J\3(C)0<x<>/5(D)^<x<5

Ar

例2：(2009湖南卷文)在銳角AA3C中，BC=1,8=24則二二的值等于________,

cosA

AC的取值范圍為

13

例3：在AA8C中，若。=7g=8,cosC=C，則最大角的余弦值是()

14

(A)-1(B)-1(C)-1(D)-1

5678

1、(2017.10天一聯(lián)二測(cè))在A4BC中，角的對(duì)邊分別為,若

(2c-a)sinC=(b2+c2-a2),且匕=26，則A48C周長(zhǎng)的取值范圍為

2、(2017.03南通二調(diào))在AA5c中，已知AB=2,AC?-=6,則tanC的最大值

是_____

3、(2017安徽馬鞍山二模)在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊A3、47上分別取M、N兩

點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于線段MN的對(duì)稱點(diǎn)A'正好落在邊8c上，則AM長(zhǎng)度的最小值為

4、(2016.10天一聯(lián)二測(cè)文)在A4BC中，若3AB=2AC，點(diǎn)E,F分別是AC,AB的中

BE

點(diǎn)，則一的取值范圍是

5、(2017.12上海虹口區(qū)一模)已知RfAABC中，ZA=90°,48=4,AC=6.在三

角形所在的平面內(nèi)有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)M和N,滿足卜M卜2,MN=NC,則附|的取值

范圍是()

(A)[3&,廚(B)[4,6]

2________2_________

(C)[2Q4?(D)[_J63_12?_J63+12〃]

17

2.2結(jié)合均值不等式

1、（2017.03黃岡調(diào)研）已知在AABC中，N4CB=90°,BC=3,AC=4,P是線段A8

上的點(diǎn)，則P到AC,BC的距離的乘積的最大值為（）

（A）3（B）2（C）2-73（D）9

2、（2018.01河南鄭州一模）在AA8C中，角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分另!為ci,b,c,且

2ccosB=2a+b,若A4BC的面積為S=,則。6的最小值是

3、（2017江西上饒一模）已知A4BC外接圓半徑是2,BC=2?則A45C的面積最

大值為_(kāi)__________

4、（2017.08南昌一調(diào)）已知44BC的面積為2出,角4,8,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為。，瓦c,

71

A=,則。的最小值為

3

5、（2017.11福建泉州一中高二上期中考）在AA8C中，角A,8,C的對(duì)邊分別為ci,b,c,

tanA2c

已知。=3,1+--------=一，則6+c的最大值為

tanBb

6、（2017.03廣一模）在AABC中，^ACB=60\BC>l,AC=AB+L,當(dāng)AA6c的

2

周長(zhǎng)最短時(shí)，8C的長(zhǎng)是

18

2.3幾何法

平幾定理（如托勒密定理），旋轉(zhuǎn)大法，阿斯圓

1、凸四邊形ABC。中，AB=\,BC=yl3,AC±CD,AC=CD,當(dāng)N48C變化時(shí)，BD

長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_____________

2、在平面四邊形A8CD中，AB=\,BC=2,A4CD為正三角形，則ABC。面積的最大

值為_(kāi)______________

3、（2017.04廣二模）在平面四邊形ABCD中，連接對(duì)角線BD,已知=9,80=16,

4

ZBDC=90sinA=則對(duì)角線AC的最大佰為

5

乃

4、已知在8C=3,A=_,點(diǎn)。是BC邊上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，則A。的

3

最大值為_(kāi)_______________

5、（2008江蘇）滿足條件46=2,4。=同。的AA8C的面積的最大值為

19

第3講解三角形綜合

解三角形問(wèn)題，是高考考查的重點(diǎn)，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)

合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：第一步:

定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向；第二步：

定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化，注意齊次式結(jié)構(gòu)，一

般多根據(jù)正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角a=2RsinA,h=2/?sinB,c=2/?sinC,或是

A:Z?:c=sinA:sinB:sinC；

第三步：出結(jié)果，寫步驟

解決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)所給條件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)

題或角的問(wèn)題，利用三角中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面

積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等式的利用，特別求角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫出角

的大小

1、(2017.12百校聯(lián)盟)在A4BC中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

2^cos21=3sinA3sin：C=2sinAsinB

2cosC

(I)求A的大小

b

(n)求一的值

c

2、(2017.12化州二模)設(shè)AA8C三個(gè)內(nèi)角A,8,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為c,AA8C的面

積S滿足4屈=次+從一/

(I)求角C的值

(II)求sinB-cosA的取值范圍

20

3、(2017.12廣州調(diào)研)A48C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為且滿足。=2,

acosB=(2c-b)cosA

(I)求角A的大小

(II)求A48C周長(zhǎng)的最大值

4、(2017.12福建華安一中)\ABC的內(nèi)角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知

sin(A+C)=8sin2_

2

(I)求cosB

(II)若a+c=6,A4BC的面積為2,求b

乳

5、(2017.12福建華安一中月考)如圖，在Rt\ABC中，ZACBAC=3,BC=2,

2

P是AABC內(nèi)的一點(diǎn).

(I)若尸是等腰直角三角形PBC的直角頂點(diǎn)，求PA的長(zhǎng)

27r

(II)4BFC=_設(shè)NPC6=〃，求APBC的面積S(0的解析式,并求S(0的最

3

大值

21

6、(2017.04武漢調(diào)研)已知A48C的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且滿足

a=5/2T，3b—2c=7?A=6(X

(I)求b的值

(H)若AO平分NB4c交BC于點(diǎn)￡),求線段A。的長(zhǎng)

7、(2017.12福州質(zhì)檢)在四邊形ABC。中，AD//BCyAB=2,AD=ltA=_

3

(I)求sinNADB

24

(II)若NBDC=一求四邊形A3CD的面積

3

8、(2017.03安徽安慶二模)在AA8C中，角A,&C的對(duì)邊分別是a,b,c,其外接圓的半

徑是1,且滿足2(sii?4—sii?O=(瘋—b)sinB

(1)求角。的大小

(II)求A4BC的面積的最大值

22

9、（2017江西九江三模）在A4BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a/,c,且滿足

sin2B+sin2c=sin?A+2sinBsinCsin(B+C)

(I)求角A的大小

(I【)若。=2,求AABC面積的最大值

10、（2018.1湖北襄陽(yáng)調(diào)研）在A4BC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a,b,c,已知

.3

asinD—bcosA.cosB—_

5

（I）求cosC的值

（H）若。=15,。為48邊上的點(diǎn)，且24。=8。，求CO的長(zhǎng)

11、（2017.03廣一模）如圖，在△A5c中，點(diǎn)P在BC邊上,ZPAC=60\PC=2

AP±AC=4

(I)求ZACP

(II)若AAPB的面積是求sin/BAP

2

23

12、（2017.03蘇錫常鎮(zhèn)四市一凋）在AABC中，出"。分別為角A,氏C的對(duì)邊.若

acosB=3,bcosA=1,且A-3=_

6

(I)求邊c的長(zhǎng)

(n)求角B的大小

13、（2017.03南京鹽城二模）如圖，在MBC中，D為邊BC上一點(diǎn)、,

AD=6,BD=3,DC=2

(I)若AO_LBC,求NBAC的大小

71

(II)若ZABC=-,求AADC的面積

4

(圖2)

14、（2017云南師大附中月考）在MBC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知。二，

6ZCOS2竺+%OS2”3

22

（I）證明：AA8C為鈍角三角形

（H）若A45c的面積為3厲，求的值

24