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文檔簡介
[全]高考高中數(shù)學(xué)?不等式歸納總結(jié)例題詳解
-:不等式的基本性質(zhì)
①(對稱性)a>bob>a;
②(傳遞性)a>/)力,>c:
③(可加性)a>/,oa+c>/7+c:
(同向可加性)a=>〃+c>〃+〃;
(異向可減性)a>0,cv〃=>a-c>b-d;
④(可積性)a>〃,c>()=>ac>be:
a>b,c<0=>(ic<be:
⑤(同向正數(shù)可乘性)a〉〃>0?c>〃>0=>aobd;
(異向正數(shù)可除性)〃>/,>(),Ove<4=>q>彳;
⑥(乘方法則)a>〃>0=>a”>bn(neN,WJI>1):
⑦(開方法則)。>b>0=>%>幅(〃£N,且〃>1):
⑧(倒數(shù)法則)4>/?>0=>—<1;。</?<()=>—>—
abah
二:幾個重要的不等式
①〃+〃22皿4,(當(dāng)且僅當(dāng)。=。時取"="
號)?
2,r2
變形公式:
②(基本不等式)年之日(&beR)(當(dāng)且僅當(dāng)
a=/?時取到等號).
I—(a+b\
變形公式:a+b>2yjab;ab<-----.
I2J
用基本不等式求最值時(積定和最小,和定積最大),要
注意滿足三個條件“一正、二定、三相等
③(三個正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式)
〃+/7+,
>^ahc(a.bfCGR)
3
(當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=。時取到等號);
@a24-/?2+c2>ab+be+ca(cbbeR)
(當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=c?時取到等號);
⑤rJ+/>3abe{a>(),/?>(),c>0)
(當(dāng)且僅當(dāng)a=/,=c,時取到等號);
?若ab〉0,則2+且22(當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號);
ab
若ah<0,則2+—2(當(dāng)僅當(dāng)e。時取等號):
ab
bb+mia
⑦一<-----<1<-------<-,
a。+加/?+〃h
其中(a>〃>(),機>(),〃>0);
規(guī)律:小于1同加則變大,大于1同加則變小.
⑧當(dāng)。>W},\x\>a<=>x2>a2<=>x<-a或v>a:
2
國vau>fva<z>一。<xv4
⑨絕對值三角不等式:同一同4\a土耳業(yè)|+\b\.
基本不等式是解決函數(shù)值域、最值、不等式證明、參數(shù)范圍問題的有效
工具,在高考中經(jīng)常考查,有時也會對其單獨考查.題目難度為中等偏
上.應(yīng)用時,要注意〃拆、拼、湊〃等技巧,特別要注意應(yīng)用條件,只
有具備公式應(yīng)用的三個條件時,才可應(yīng)用,否則可能會導(dǎo)致結(jié)果錯誤。
總結(jié):知識網(wǎng)絡(luò)
基本不等式成立的條件a>0,b>0
基本不等
式:等號成立的條件
當(dāng)且僅當(dāng)a=b
疝q
2時取等號.
a2-b'之2ab(a,bwR).
一十7N2(a,b同號).以上不等式等
幾個重要ab
號成立的條件
的不等式
J(dbsR)均為。=/?.
—;—之(a,bwR)
2I2J
設(shè)a>0./>0,則。,方的算術(shù)平均數(shù)為
算術(shù)平均
—,幾何平均數(shù)為J茄,基本不等式可
數(shù)與幾何2
敘述為兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們
平均數(shù)
的幾何平均數(shù).
如果積孫是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x-y時,
利用基本
入?+>有最小值2",(簡記:積定和最?。?/p>
不等式求
如果x+y是定值P,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y
最值問題
時,xy有最大值上.(簡記:和定積最大)
4
題型練習(xí)
例1.(教材改編)設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則處
的最大值為()
A.80B.77C.81D.82
【解析】x>0,>->0,
.??山2店,即町,”審)2=81,
2
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=9時,外取得最大值81.
故選C.
【答案】C
例2.a>0,h>()9ab—(a+b)=I,則a+b的最小
值是.
【解析】根據(jù)基本關(guān)系式帥式(—Y,
I2)
所以原式轉(zhuǎn)化為不等式(巴叱1_(〃+3>|,
設(shè)〃+Z?=r,所以『一4]一4之。,
解得壯2+2應(yīng),
所以最小值是2+2&.
【答案】2+2近
【小結(jié)】首先利用基本不等式一定要注意“一正、二定、
三相等”,其次用基本不等式解決一些簡單的最值問題
如第二題,出現(xiàn)。/"(。+))=1,求。+b的最值就保
留4+力,對他運用基本不等式,類似的也可求決?的
最值.
91
例3.己知x,1y為正數(shù),且x+y=2,則±+2■的最小
xy
值為()
A.2B.A+72
C.5/2D.2-V2
【解析】211z、/21、
+—=_(x+v)?(一+一)
Xv2xv
=—(3+——+-)之一(3+2^2)=—F
2xy22
當(dāng)且僅當(dāng)x+y=2且紅二±(x>0,y>0),
xy
即x=4—20,),=20-2時取等號.故選B.
例4.(2014?重慶高考文9)若log4(3〃+4。)=log,4cib,
則的最小值是()
A.6+26B.7+2J5
C.6+4>/5D.7+45/3
【解析】由題意,且3。+4〃>0,
所以〃>0點>0.
又Iog4(3a+4b)=log24ab,
43
所以3a+4〃=”/,,所
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