高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊階段檢測試卷6

高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊階段檢測試卷6

第I卷（選擇題）

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一、單選題

1.過點尸作拋物線C：/=2y的切線4，切點分別為N,若APA/N的重心坐

標(biāo)為（1,1）,且。在拋物線上，則。的焦點坐標(biāo)為（）

2.已知點尸為拋物線丁=叔的焦點，”（-1,0）,點N為拋物線上一動點，當(dāng)船[最

小時，點N恰好在以M,尸為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的漸近線的斜率的平方為

（）

A.3+275B.2+2夜C.D.2而'

24

3.在平面直線坐標(biāo)系中，定義"（A,8）=0^{%-司,卜，1-必|}為兩點

A&,yj、B&,%）的“切比雪夫距離”，乂設(shè)點P及/上任意一點Q,稱。（尸，Q）的最

小值為點P到直線/的“切比雪夫距離"記作"（尸，/），給出下列四個命題：（）

①對任意三點A、B、C,都有d（C,A）+d（GB）Nd（A,B）：

4

②已知點P（3,l）和直線上2x-y-l=0,則d（P,/）=/

③到原點的“切比雪夫距離'’等于1的點的軌跡是正方形；

④定點耳（-c,0）、瑪（c,0）,幼點P（x,y）滿足W（F，K）-d（H5）卜2a（2c>2心0）,則

點P的軌跡與直線y=k[k為常數(shù)）有且僅有2個公共點.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

4.已知點A是拋物線/=4〉，的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，點尸為拋物線的焦點，點。在拋

物線上且滿足|削=〃”尸目，若切取最大值時，點產(chǎn)恰好在以A尸為焦點的雙曲線上，

則雙曲線的離心率為

A.6+1B.五+1C.四D.克巴

22

2

5.已知點A是橢圓工+曠=1的上頂點，耳鳥分別是橢圓左右焦點，直線

2

，=雙+"”>0）將三角形分割為面積相等兩部分，則6的取值范圍是（）

A.（0,1）B.[1一冬目

。&11口-

I23」[32）

6.如圖，在圓錐SO中，A,8是O。上的動點，89是O。的直徑，M,N是S3的

兩個三等分點，NAO8=，（0"v乃），記二面角N-QA-8,M—4y-8的平面角分

別為。，P,若a<夕，則。的最大值是（）

二、多選題

7.已知雙曲線C：'夕=1（">0/>0）與橢圓]+:=1有公共焦點，C的左、右焦

點分別為E，尸2,且經(jīng)過點?。ê?,則下列說法正確的是（）

A.雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/-y2=[

B.若直線y=/U與雙曲線c無交點，則囚>1

C.設(shè)4（&』），過點見0,1）的動直線與雙曲線C交于尸，。兩點（異于點A）,若直線

心與直線AQ的斜率存在，且分別記為匕，J則勺+匕=Q

D.若動直線/與雙曲線C恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M,

N,則“MN（。為坐標(biāo)原點）的面積為定值1

8.在棱長為1的正方體ABC。-A4GA中，尸為側(cè)面8CG旦（不含邊界）內(nèi)的動點，

。為線段4。上的動點，若直線4尸與A片的夾角為45。，則下列說法正確的是（）

試卷第2頁，共6頁

A.線段AP的長度為近

B.*AQ+PQ的最小值為i

C.對任意點尸，總存在點Q,便得01Q_LCP

D.存在點P,使得直線AP與平面4OAA所成的角為60。

第II卷(非選擇題)

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三、填空題

9.已知點P(2,0)和圓0：/+丁=36上兩個不同的點M,N,滿足/MAW=90。，。是

弦MN的中點，

給出下列四個結(jié)論：

①IMP|的最小值是4；

②點。的軌跡是一個圓；

③若點A(5,3),點8(5,5),則存在點Q,使得ZAQB=90。；

@AMPN面積的最大值是18+2/萬.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

10.參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時，籃球的斜上

方燈泡照過來的光線使得籃球在地面上留下的影子有點像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過的橢圓，但他

自己還是不太確定這個想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想

是沒有問題的，而且通過學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(切點)就是影子橢圓的

焦點.他在家里做了個探究實驗：如圖所示，桌面上有一個籃球，若籃球的半徑為1個單

位長度，在球的右上方有一個燈泡產(chǎn)(當(dāng)成質(zhì)點)，燈泡與桌面的距離為4個單位長度，

燈泡垂直照射在平面的點為A,影子橢圓的右頂點到A點的距離為3個單位長度，則這

個影子橢圓的離心率e=.

11.拋物線/=除與雙曲線上一點=工的有共同的焦點，制,兩曲線在第一象

限的交點為斜(/“舞)，且導(dǎo)到焦點■的距離為5,則雙曲線的離心率公=.

12.已知圓P:(x—5『+(y-2)2=2,直線/:y=如，點M(5,2+VI),點A(s』).給出下

列4個結(jié)論：

①當(dāng)。=0時，直線/與圓尸相離；

2

②若直線/是圓P的一條對稱軸，則，=(;

③若直線/上存在點A,圓尸上存在點N,使得NM4N=90。，則"的最大值為不；

④N為圓尸上的一動點，若NMW=90。，則f的最大值為+K

4

其中所有正確結(jié)論的序號是.

四、解答題

13.平面直角坐標(biāo)系直為中，0為坐標(biāo)原點，拋物線。：^=2〃彳5>0)的焦點為尸，

點W在拋物線C上，且|/卬|=2|。*,|0卬|=6.「關(guān)于原點的對稱點為尸'，圓尸的半

徑等于4，以Z為圓心的動圓過/且與圓〃相切.

(1)求動點Z的軌跡曲線￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形A5CD內(nèi)接于曲線E,點A8分別在x軸正半軸和y軸正半軸上，設(shè)直線

4(7,8。的斜率分別是4￡,且伏=；.

(i)記直線4c,8。的交點為G,證明：點G在定直線上；

(ii)證明：AB//CD.

14.如圖，在直角AABC中，A=],角A,B,C所對的邊長分別為。，b,c.

AC邊的中線BO所在直線方程為x+7y+2=0；45邊的中線CE所在直線方程為

13x+16y+1=0.

試卷第4頁，共6頁

y

(1)若A點坐標(biāo)為(1,Y),求“3C外接圓的方程;

(2)若a=10君,求的面積S.

15.己知橢圓?+/1,過動點M(0,〃z)(m>0)的直線/交工軸于點N,交橢圓于點A,

尸(點尸在第一象限)，且M是線段PN的中點，過點尸作x軸的垂線交橢圓于另一點Q,

延長。歷交橢圓于點8.點丁瓜號在橢圓上.

(1)求橢圓的焦距；

k’

(2)設(shè)直線PM的斜率為A，直線QM的斜率為A，證明：7為定值；

k

(3)求直線A8傾斜角的最小值.

16.已知拋物線C：y2=2〃x(p>0)的焦點為尸，過點尸的直線，交拋物線C于A,B兩

點，當(dāng)/_Lx軸時，|4q=2.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若直線/交y軸于點。，過點。且垂直于)，軸的直線交拋物線。于點P,直線PF

交拋物線C于另一點Q.

①是否存在定點M,使得四邊形AQBM為平行四邊形？若存在，求出定點M的坐標(biāo)；

若不存在，請說明理由.

②求證：S&QAF,S4QBF為定值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案

1.A

【分析】

由已知設(shè)切點坐標(biāo)為羨)，"卜苧)利用導(dǎo)數(shù)寫出切線4,,的方程，聯(lián)立求出交

點尸坐標(biāo)X=土產(chǎn)，y=竽，代入重心坐標(biāo)公式利用已知條件可求出產(chǎn)的坐標(biāo)為(LT),

再代入拋物線。：丁2=〃a方程，求出機，進(jìn)而求o的焦點坐標(biāo).

【詳解】

設(shè)切點坐標(biāo)為MX,i,N,

<2)\2)

2

由f一2y,得),=5,所以V=1，

故直線乙的方程為y-￡=K(XTj,即5=中-1~，

同理直線12的方程為y=x2x-^,

聯(lián)立4,4的方程可得“=土產(chǎn)，丁=竽，

X

r1rI.+8I2.

設(shè)AMW的重心坐標(biāo)為(/,%),則丫_122_1，、，_2,22_1，

%=5=,%=3=]

X+x,=2[x=2/、

即22_人所以:，則尸的坐標(biāo)為(LT)，

將月點坐標(biāo)代入拋物線力：/=〃吟得到(T)2=z"xl,解得加=1,

故O的焦點坐標(biāo)為(go).

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了直線與拋物線的相切問題，三角形重心的坐標(biāo)公式以及拋物線的性質(zhì)，考查

了推理能力與計算能力，屬于難題.

2.B

【分析】

作出圖形，可知與拋物線相切時，踹取得最小值，求出點N的坐標(biāo)，利用雙曲線定

答案第1頁，共24頁

義求出2m結(jié)合c=l,可求得工，再利用《-1求得結(jié)果.

aa~\a)

【詳解】

由拋物線的對稱性，設(shè)N為拋物線第??象限內(nèi)點，如圖所示：

故點N作NB垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點&由拋物線的定義知IN尸|二|NB|,易知N8//X軸,

可得ZNMF=NBNM

\NB\

J一J一L=cosNBNM=cosZNMF

|W|\NM\

當(dāng)NNM廠取得最大值時，踹取得最小值，此時NM與拋物線V=4x相切，

設(shè)直線NM方程為：y=k(x+\),

聯(lián)立八，整理得標(biāo)丁+(2公一4卜十二=0,

)，二火(3+1)'

其中△=-16父+16=0,解得：4=±1,由N為拋物線第一象限內(nèi)點，則攵=1

2

貝ijx+(2-4)%+1=0,解得：x=\,此時丁=4,卬y=2或〉，=一2

所以點N的坐標(biāo)且N(l,2)

由題意知，雙曲線的左焦點為"(T,0),右焦點為F(LO)

設(shè)雙曲線的實軸長為2m則2a=||NM|—|N尸||=2血一2,.”=近7,

又c=l則￡==x/2+l

a

故漸近線斜率的平方為「=4^=仔)-1=(應(yīng)+1)2-1=2+2應(yīng)

故選：B

【點睛】

答案第2頁，共24頁

方法點睛：本題考查求雙曲線的漸近線斜率，方法如下：

①直接求出從而求出2；②構(gòu)造出〃的齊次式，求出2；③采用漸近線的定義以及圓

aa

錐曲線的定義來求解；④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解.

3.A

【分析】

①討論4,8,C三點共線，以及不共線的情況，結(jié)合圖象和新定義，即可判斷；

②設(shè)點Q是直線y=2x—l上一點，且Qx,2x-1),可得d(P，O)=/Mx{|x-3|,|2-2x|},討論

Ix-3|,|2-2洲的大小,可得距離d,再由函數(shù)的性質(zhì)，可得最小值；

③運用新定義，求得點的軌跡方程，即可判斷；

④討論尸在坐標(biāo)軸上和各個象限的情況，求得軌跡方程，即可判斷.

【詳解】

解：①對任意三點A、B、C,若它們共線，設(shè)4%,%)、B(x2fy2)t

C(&，H)，如右圖，結(jié)合三角形的相似可得d(C,A),d(C,B),或A8)

為AN,CM,AK,或CN,BM,BK,則d(C,A)+d(C,B)=d(A,B)；

若B,C或A,C對調(diào)，可得d(C,A)+J(C,3)>d(A,B).

若A，B,。不共線，且三角形中C為銳角或鈍角，由矩形CMVK或矩形BMVK,

d(CtA)+d(CfB)；

則對任意的三點A,B,C,都有d(C,A)+d(C,8)..d(A,B).故①正確；

設(shè)點。是直線y=2x—l上一點，且。(兒標(biāo)-1),

可得d(HO=/nax{|x-3|,|2-2,r|),

答案第3頁，共24頁

由|4-3|…|2-2幻，解得-1瓢即有或P.。)#-3|,

當(dāng)X5時，取得最小值(4；

由IX—3142—2x1,解得x>|或X<T,即有d(P?=2x—2|,

44

"(P，Q)的范圍是(3,+oo)U(§,+oo)=(-,+QO).無最值，

綜上可得，P,。兩點的“切比雪夫距離”的最小值為;.

故②正確；

③由題意，到原點的“切比雪夫距離”等于1的點設(shè)為(xy),則〃的{凡3}=1，

若1訓(xùn).」川,Mlyhi；若3V」I,則1*1=1,故所求軌跡是正方形,則③正確:

④定點式(-c,0)、乃9,0),動點P(x,y)

滿足|d(P，F(xiàn)J-d(P,F2)\=2a(2c>2a>O)t

可得尸不了軸上，尸在線段斗鳥叵成立，

可得x+c_(c7)=2a,解得x=a,

由對稱性可得'=-堞也成立，即有兩點產(chǎn)滿足條件；

若尸在第一象限內(nèi)，滿足MP,G-d(P，5)l=2a,

即為x+c-y=2a,為射線，

由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,

則點尸的軌跡與直線)=&(攵為常數(shù))有且僅有2個公共點.

故④正確；

綜上可得，真命題的個數(shù)為4個，

故選:A.

答案第4頁，共24頁

【點睛】

本題考查新定義的理解和運用，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難

題.

4.B

【詳解】

過P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N,則由拋物線的定義可得|PN|二|PB|,

1\PN\

V|PA|=m|PB|,J|PA|二m|PN|:.-=,

in|PA\

設(shè)PA的傾斜角為。，則sina='，

m

當(dāng)m取得最大值時，sina最小，此時直線PA與拋物線相切，

設(shè)直線PA的方程為y=kx-1,代入x?=4y,可得x?=4(kx-1),x2-4kx+4=0,

.,.△=16k2-16=0,Ak=±l,AP(2,1),

2

???雙曲線的實軸長為PA-PB=2(V2-1),???雙曲線的離心率為弓正_])=夜+1

故選B.

點睛：本題的關(guān)鍵是探究m的最大值，先利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化|刑=〃伊用得到

答案第5頁，共24頁

—=T^7T=sina,m取得最大值時，sina最小，此時直線PA與拋物線相切，得到△=0,

得到k的值.轉(zhuǎn)化是高中數(shù)學(xué)很重要的一個數(shù)學(xué)思想，在解題過程中要注意靈活運用.

5.B

【分析】

由題意，A(0,l),￡(-1,0),6(1,0),先求出直線尸妝+從々>0)與工軸的交點為“,，0}

由-2<o,可得點M在射線。片上.再求出直線y=ar+b(a>0)和A居的交點N的坐標(biāo),

a

分三種情況討論：①若點M和點E重合，求得b=；；②若點”在點。和點耳之間，求得

③若點M在點片的左則，求得1—立</,<!?.求并集即可得力的取值范圍.

3223

【詳解】

解：因為點A是橢圓］+丁=1的上頂點，0尸2分別是橢圓左右焦點，

所以02=2，從=1,從而有/==1,

所以A(0,l),￡(T0),瑪(LO),

由題意，三角形A匕尸2的面積為:?月6.04=1,

設(shè)直線產(chǎn)”+。(a>0)與x軸的交點為加'3,。)，由直線y=or+b(cr>0)將三角形至人

分割為面積相等的兩部分，可得6>0,所以-gcO,故點M在射線上.

1藍(lán)可得點N的坐標(biāo)為l-ba+b

設(shè)直線y=or+力和"2的交點為N,則由

a+1'a+1

①若點M和點"重合，如圖:

答案第6頁，共24頁

把1、N兩點的坐標(biāo)代入直線y=ar+b,求得a=b=g.

②若點M在點0和點-之間，如圖：

此時點N在點尸2和點A之間，

由題意可得三角形NMF】的面積等于;，即2."鳥.％=：,

即1x[l+2]?巴號=1,可得4=—>0,求得b<；,

2\a)a+\2l-2b2

故有:vb<g.

③若點M在點耳的左側(cè)，

則人<:，由點M的橫坐標(biāo)-2<-i,求得〃〉公

3a

y=ax+b(1-ba-b

設(shè)直線y=ax+b和AF的交點為P.則由，求得點P的坐標(biāo)為

｝y=x+l\a-la-I

此時，由題意可得，三角形APN的面積等于s即ga-3扁-小i=g,

即g(l-b)：怖一W=：,化簡可得2(1-bp=|a2-1|.

由于此時g>b>a>0,所以2(1-32=,2一"=]_〃2

兩邊開方可得應(yīng)(l-b)=jr^<l,所以1-方〈喪化簡可得b>l-立,

2

故有1--</><-.

23

答案第7頁，共24頁

綜上，人的取值范圍應(yīng)是（1-4，.

V.7

故選：B.

【點睹】

關(guān)鍵點點睛：本題的解題關(guān)鍵是，由題意分析得直線y=or+A（。＞0）與x軸的交點M在射

線。后上，然后分三種情況進(jìn)行討淪:①若點M和點「重合;②若點M在點0和點耳之間；

③若點M在點耳的左側(cè).

6.B

【分析】

設(shè)底面圓的半徑為，"OS=a,以夕8所在直線為x軸，以垂直于夕8所在直線為軸，以QS所

在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各個點的坐標(biāo).利用法向量求得二面角N-Q4-3與

M-A9-8夾角的余弦值.結(jié)合。三尸即可求得。的取值范圍，即可得6的最大值.

【詳解】

設(shè)底面圓的半徑為JOS=〃,以￡8所在直線為x軸，以垂直于所在直線為了軸，以0s所

在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示：

則由乙408=。（0〈?！慈f）

可得。（0,0,0）,B（r,0,0）,S（0,0M）,A（rcose,rsine0）,81-r,0,0）

M,N是SB的兩個三等分點

所以次二(rcose,rsine,0),兩二|一,0:

、33

答案第8頁，共24頁

設(shè)平面NOA的法向量為加=(x，y,zj

叱：兩—品八代入可得卜"唁cos,0。,,撲rsin。,0)=0

Xj/-cos6+yrsin。=0

化簡可得

2色=o

33

cos02r

令玉=1,解得M=—------,Zi=

sin。------a

cos<92r\

所以I,

sin。

平面。4B的法向量為■二(0,0,1)

由圖可知，二面角N-O4-B的平面角。為銳二面角，所以二面角N-O4-8的平面角。滿

足

設(shè)二面角M—A2—3的法向量為1=(X2，y2，Z2)

B'A=(r+rcos0,rsin0,0),AM=1—~rcos0,-rsin0,—

(x2,y2,z2)-(r+rcos6,rsin6,0)=0

則h麗=0代入可得

⑸為，々〉0

A^/,+x>rcos^+y2rsin^=0

化簡可得，xr2az,

—2——xrcos6*-yrsma+-----=0

3223

人iAnzH-l_cos?2r

令占=?，解得九二——^—>z2=-----

sin"a

口-I、IZ八T-cos。2八

所以&=1，-r-7—?-----

\sinaa)

平面AB'B的法向量為萬=(0,0,1)

由圖可知，二面角M-A8-3的正面角￡為銳二面角，所以二面角M-A8-3的平面角￡

滿足

答案第9頁，共24頁

由二面角的范圍可知0?a4工

結(jié)合余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)可知8saNcos/

所以。＜”§

所以。的最大值是1

故選:B

【點睛】

本題考杳了空間直角坐標(biāo)系在求二面角中的綜合應(yīng)用，根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,

求得平面的法向量，即可求解.本題含參數(shù)較多,化簡較為復(fù)雜，屬于難題.

7.ACD

【分析】

對A,根據(jù)橢圓與雙曲線共焦點及雙曲線過點下建立方程組解出內(nèi)兒進(jìn)而得到答案；

對B,結(jié)合雙曲線的漸近線即可判斷B：

對C,設(shè)出動直線方程并代入雙曲線方程，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求得答案；

對D,考慮動直線斜率存在和不存在兩種情況，若斜率存在，設(shè)出直線的斜截式

），="+“（加工0）,并代入雙曲線方程，根據(jù)判別式為0得到太小間的關(guān)系，然后解出點M

的坐標(biāo)，求出|MN|和。到直線的距離，最后求出面積.

【詳解】

5,

對于A選項，由題意02+從=4-2=2,且a_W=|，聯(lián)立解得。=〃=1，所以雙曲線C的

標(biāo)準(zhǔn)方程為f-y2=[,故A正確；

答案第10頁，共24頁

對于B選項，因為雙曲線C的漸近線方程為），=枚，所以直線y=〃與雙曲線。無交點，則

UI>1,故B錯誤;

對于C選項，過點8的動直線斜率存在且不為0,故設(shè)該動直線為尸戊+1。00）.設(shè)P（x,,y）,

。仇,必），聯(lián)立『一廠”得（J/*1-『工（），

—21—2=0,所以解得/<2且

△=4/2+8（l-r2）>0,

2t-2

『工1且20,%+/=--,XyX=--7,則

I—，21-t

-4t262

tx+tx_2為再一"（百+一）_

y.-it21一廠1一1

—

%-夜y/o,X2~x/2x^2~x/2+x2）+2—22+2

1一〃\-t

-4t-2y/2t2

=x/2,故C正確;

-2y/2t-2t2

對于選項D,由于動直線/與雙曲線。恰有1個公共點，且與雙曲線C的兩條漸近線分別交

于點N,當(dāng)直線/的斜率不存在時，/：x=±l,|MN|=2,SA^=lxlx2=l；當(dāng)動

直線/的斜率存在時，且斜率女工±1時，不妨設(shè)直線八'=依+〃?（m=0）,故由

｛：二；二=（-2及一2〃心-/7.0,從而△=（一2〃次）2-4（1—A2）（T?2_]）=O,

化簡

2\m\\lk2+\

=-1-.1,,,又因為原點。到直線/：依-y+〃?=0的距離d=*=,所以

//ylk2+\

S.OMY=萬|"時"=仁國，又由爐=〃+],所以=不不|=1,故AOMN的面積為定

值1,故D正確.

故選：ACD.

【點睛】

本題的選項D比較狂雜，對于此類問題要注意兩個方面：①設(shè)直線方程（斜截式結(jié)構(gòu)簡單）

答案第II頁，共24頁

時一定要考慮直線的斜率是否存在；②思路一定要直接，既然求三角形的面積，那么最直接

的方法就是求出三角形的底和高.

8.ABC

【分析】

對選項A,直接通過建立空間直角坐標(biāo)系，表示出線段AP,即可求得;

對選項B,轉(zhuǎn)化*A。為是關(guān)鍵，然后通過坐標(biāo)表示出。尸-0我+1即可求得

+的最小值為1；

對選項c,通過A。，“關(guān)系建立方程，結(jié)合點尸的坐標(biāo)滿足a-i）'+（z「i）2=i,得到關(guān)

-^■+1z；+92

于馬的一元二次方程lu-n-J1T—^-24+1=0,再通過判別式即可判斷出對任

IMF

意點產(chǎn)，總存在點。，便得RQ_LCP；

對選項D，通過先求平面A。。A的法向量，然后根據(jù)直線AP與平面4。"A所成的角為60。

,故選項D錯誤.

建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-個z,根據(jù)題意，可得：。（0,0,0）,A（l,0,0）,

c(o,i,o),A(0,0,1),a。，。/)，4(LLi)，G(oji)

設(shè)點P（x/zJ,Q（孫%Z2），莊直線A?與的夾角為45,則有:

而=麗=(0,1,0)

答案第12頁，共24頁

7V

故有:cos—=

4I麗同I

解得：6-1)2+(z「1)2=1

Q為線段AC上的動點，則有.：4。=%而(0W2W1)

解得：。(1一4,41-2)

對選項A,則有：|平卜JaT)?+(z「l)2+l=0,故選項A正確；

對選項B,過點。作平面A8CQ的垂線，垂足為R

易知：與QA、="QR(由于sin/AGA,=第=*)

故坐4。十為2的最小值等價于求QPQR+1

研=T

22

[Q4=^(1-A-X1)+(A-1)*+(l-A-z1)

222222

故有：|^|=(1-2-^)+(2-1)+(1-2-21)>(2-1)=|^|

當(dāng)且僅當(dāng)N=4=l-2時成立，結(jié)合(x「l)2+(z「l)2=l,可得此時/=#

故選項B正確；

對選項C,若RQ_LCP,則有：而=。-44々)，方=(5,0,zJ

麗衣=內(nèi)(1-；1)-4/1=0,又(&_1)2+包_1)2=]

點。，便得AQ_LCP,故選項C正確:

對選項D,易知平面AQRA的法向量為7=(0,1,0),若直線AP與平面4。。必所成的角為

答案第13頁，共24頁

A

60°,即直線AP與平面ADRA的法向量成即，則有:

lAPIkl

解得：更=」=,矛盾，故選項D錯誤.

241

故選：ABC

【點睛】

解決立體幾何問題通常有兩種方法：

是建立空間直角坐標(biāo)系，運用空間向量的運算與性質(zhì)解決立體幾何的問題，將問題轉(zhuǎn)化為代

數(shù)運算，解題時應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需

向量；

二是通過傳統(tǒng)的幾何方法，需要較高的空間想象力.

9.①②④

【分析】

①可以通過設(shè)出圓的參數(shù)方程，進(jìn)行求解；②設(shè)出（x,y）,找到等量美系，建立方程，求出

點。的軌跡方程，即可說明；③轉(zhuǎn)化為兩圓是否有交點，說明是否存在點Q；④當(dāng)PM,PN

斜率分別為1和-1時，且點P,朋在y軸左側(cè)，此時面積最大，求出最大值.

【詳解】

點M在圓O：'+y2=36上,設(shè)“（6cos?,6sine）,則

|MP\=J（6cos?-2）2+（6sine）2=J40-24cos。,當(dāng)cos。=1時，IA/PI取得最小值，最小值

為4,①正確；

設(shè)點。（x,y）,則由題意得：PQ2=QM2=OM2-OQ2,則（工一2）2+），2=36—任+/），整

理得：（x-l）2+丁=17,所以點。的軌跡是一個圓，②正確；

為以AB為直徑的圓，圓心為（5,4）,半徑為1,方程為：（“—5）2+（丁-4）2=1,下面判斷此

圓與點。的軌跡方程"-1）2+丁=17是否有交點，由于J（5-1），+42=4&>如+1,兩圓

相離，故不存在點。，使得443=90。，③錯誤；

當(dāng)尸M,PN斜率分別為1和/時，且點p,M在y軸左側(cè)，此時△MPN為等腰直角三角形，

2

面積最大，此時尸Q=QM=QN=1+J17,（5mv）max=1x2x（l+Vi7）=18+2>/i7,④正

答案第14頁，共24頁

確.

故答案為：①②④

【點睛】

軌跡方程問題，i般處理思路，直接法，定義法，相關(guān)點法以及交軌法，要能結(jié)合題目特征

選擇合適的方法進(jìn)行求解.

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，解得圖中必。的橫坐標(biāo)，列方程組即可求得橢圓的。、C,進(jìn)而求

得橢圓的離心率.

【詳解】

4

以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系，則P(0,4),直線PR的方程為,二1］十4

7,

由M到直線PR的距離為1,得解之得〃=-］或〃=T（舍）

77

則M（-牙1）,6（--,0）

又設(shè)直線PN的方程為y=去+4

4+4-145

由M到直線PN的距離為1,得2整理得「公-2k+8=0

則攵#2=；|，又L=g，故**

Q1C

則直線PN的方程為y=^x+4,N（-學(xué)0）

^NQ=-—+-=4=a+c,RQ=-3+—=—=a-c

2222

答案第15頁，共24頁

a+c=4a=——

由1，解得:，故橢圓的離心率6=￡=等）

a-c——9c=-7a-"9

iI44

故答案為：三

【點睛】

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、

生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形

結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。

11.2

【詳解】

試題分析：拋物線面忸醞陽=%+勺/+2=5,「.%=3,「.%2=24,

_9__24=1

??{/h2~672=1,

a2+h2=4

力2=3,/.e=￡=2.

a

考點：1.拋物線與雙曲線的位置關(guān)系；2.雙曲線離心率.

【思路點晴】拋物線上的點到焦點距離等于到準(zhǔn)線距離，注意轉(zhuǎn)化思想的運用.利用拋物線

定義可以解決距離的最大和最小問題，該類問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).實現(xiàn)由

點到點的距離與點到直線的距離的轉(zhuǎn)化.（1）將拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦

點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”，使問題得解.（2）將拋物線上的點到焦點的距離

轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短''原理解決.

12.???

【分析】

對于①：a=0,/：y=0,圓心（5,2）,半徑直線/與圓P相離；對于②：若直線/圓P

的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，即可得到；對于③：由垂徑定理，NMQP=90。,設(shè)

=a.得到2NR4N2,但兩處等號無法同時取到，矛盾；對于④：N為圓。上的一個

動點.若NM4N=90。，設(shè)。（N，No），42MP=a,利用參數(shù)方程解決即可.

【詳解】

對于①：當(dāng)。=0時，直線/：y=0,圓心（5,2）,半徑0,直線/與圓P相離，故表述①正

答案第16頁，共24頁

確;

0.09

對于②：若直線/圓尸的一條對稱軸，則直線過圓的圓心，故"=曰=彳，故表述②正確:

5—05

本題的難點主要聚焦于③、④，如圖所示:

設(shè)MN的中點為Q,以MN為直徑作圓Q,連接P0QAPAPM.則

/M4N=90。=A在圓。上=QA=QM

對于③：由垂徑定理，NMQP=90。，設(shè)NQMP=a.

一方面，若ZM4/V=90。，則尸A4PQ+Q4=PQ+QM=V5sina+&cosaW2.

當(dāng)且僅當(dāng)a=45。，且P,Q,A三點共線時，等號成立，此時直線R4的斜率為T.

另一方面，當(dāng)。=王■時，直線/:20x—21y=0.

|20x5-21x2|

故點尸到直線/的距離4==2.此日寸E4N〃=2.

72024-212

當(dāng)且僅當(dāng)A為點P在直線/上的射影時等號成立，此時直線PA的斜率為-三.

對比發(fā)現(xiàn)，2NQ4N2,但兩處等號無法同時取到，矛盾.故表述③錯誤.

對于④：N為圓尸上的一個動點.若NM4N=90。，設(shè)Q（%,%）,NQMP二a,

則rW%+04=jo+V^cosa.

注意到%=2+PQsina=2+J5sii?a,

cosa-^8+5垃<8+5虛

itez<2+V2sin2a+\/2cos<z=-A/2j?

44

當(dāng)且僅當(dāng)a=60。且點A在點。正上方時，等號成立.故表述④正確.

故答案為：①②④.

答案第17頁，共24頁

【點睛】

木題考查直線與圓的位置關(guān)系變形，以及圓更深層次的定義，難度較大，能夠正確畫出示意

圖是解決問題的關(guān)鍵.

22

13.(1)—+^-=1:(2)⑴證明見解析；(ii)證明見解析.

43

【分析】

(1)由拋物線定義表示出I尸卬1,即可求出點卬的坐標(biāo)，由此求出。的值，進(jìn)而求出拋物線

的方程，然后求出點尸，尸的坐標(biāo)，利用橢圓的定義即可求出動點Z的軌跡方程；(2)(i)

設(shè)出點G的坐標(biāo)，然后分別設(shè)出直線AC,的方程，求出左，質(zhì)的關(guān)系式，利用已知

建立等式關(guān)系，再由48co為四邊形，即可證明；(ii)求出A,8的坐標(biāo)，即可求出直線A8

的斜率，設(shè)出直線C。的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及斜率公式表示出占&，

并令該關(guān)系式等于二，化簡求出直線8的斜率，由此即可證明.

【詳解】

解：(1)由題知：|尸卬|=^+%=〃，所以%=],%=〃，

所以|OW|=￥〃=75,解得〃=2,

所以拋物線O的標(biāo)準(zhǔn)方程為丁=4x,F(1,O),

設(shè)動圓Z的半徑為「，由題意知,產(chǎn)|二乙|ZF|二4-乙

所以|ZF|+|ZF[=4>|"1=2,

所以Z點的軌跡是以尸，尸為焦點的橢圓，其長軸長2。=4,焦距為2c=2,6=7?二

所以曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：《+￡=1.

43

(2)(i)設(shè)點G(x,y),因為y=&(x-2),所以仁二-2二，

x-2

因為y=&r+V5,所以右二2二回，

x

因為女的=]，所以—?上二叵=3，整理得(2)，一任)(2)，+逐一2、回)=0，

4x-2x4

因為A8CO為四邊形，所以2y+、取一2百工0,

所以點G在定直線JIr-2〉=0上；

答案第18頁，共24頁

（ii）由題知A（2,0）,6（0,1）,直線A8:.y=-^x+6,

設(shè)。（內(nèi),y）,0（/，必），直線8：）'=履+加，

將y="+/〃代入匕+2_=1得(3+4/+8^nx+4/n2-12=0,

43

g、i4"『-12

所以內(nèi)+“一二記

22

y二月一6%以一也必kx1x2+5(N+x2)+m-5/5(3+ni)

所以堆2=

%1-2馬（石一2）X2xix2-2X2

,2/4〃h一12、./8km、2R/8km、R

k(――—j-)+bn(--——y)+/n—y/3k(--——J-X)-5/3/M

3+4-3+4-3+4—2______

4m2-12△

-------2x,

3+4公2

期3」/-12&2+46>2加-3石〃2十月(3&+4F)蒼_3

4〃?2-12-2(3+4爐)."4

所以(16VJX+24公+]2辰+18)&+4>/5M4公一3)+36-48公=0,

146鬲屈('4+入24^3)++1326顯.4八+18=。0‘解得』G當(dāng)

所以

所以45//CQ.

（2）100

【分析】

（1）設(shè)點5坐標(biāo)為（一7%-2,%）,則E坐標(biāo)為（三歲，當(dāng)代入13x+16y+l=0可得點

〃的坐標(biāo)，同理可得點C的坐標(biāo)，求出BC的中點坐標(biāo)即為外接圓圓心，計算「=；忸。|,即

可得外接圓的方程；

22

（2）利用重心的性質(zhì)得到86=38。，CG=-CEtS_8c=3Sg「用平面向量的數(shù)量積

得到：BG.CG=-^t用到角公式求出lan/BGC=-，進(jìn)而得到sin/BGC=F