考研數(shù)學(xué)二第一部分高等數(shù)學(xué)章節(jié)練習(xí)

考研數(shù)學(xué)二第一部分高等數(shù)學(xué)章節(jié)練習(xí)

第一下函數(shù)、極限、連續(xù)

第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

第三節(jié)一元函數(shù)積分學(xué)

第四節(jié)微分學(xué)多元函數(shù)

第五節(jié)二重積分

第六節(jié)常微分方程

第一節(jié)函數(shù)、極限、連續(xù)

1、［畢選/知外-2］二二7=〃X0,則

A.k=l,a=-1.

B.k=l,a=l.

C.k=2,a=-l.

D.k=2,a=l.

正確答案：C

參考解析：

由limcos21—cos2/，cos2工［，cos2z-1」

lim'co。2/-1_］jm，1-Zsin27—1

Lt)JC*X-0Z*

-1-(-2sin2x)_2

=lim------；-----=lim-=aQ

_r-*0J*t-0J*

可知k=2,a=-l.

2、［卓逸邀/設(shè)函數(shù)g(x)在x=a點(diǎn)處連續(xù)，f(x)=|x-a|g(x)在x=a點(diǎn)

處可導(dǎo)，則g(a)滿足

A.g(a)=a.

B.g(a)Wa.

C.g(a)=0.

D.g(a)WO.

正確答案：C

參考解析：

因?yàn)?(J)=IJC-a|g(x)在工=a點(diǎn)處可導(dǎo)?所以

［./(a+-)—/(a)i-AI/,Iv

lim1-------：---1---=lim七一喑(a+h)

shion

存在.而函數(shù)g(z)在/=a點(diǎn)處連續(xù),limg(a+A)=g(a).lim=±1?所以4(a)=0.

A-Oi士h

3、［國選圖設(shè)f(x)=ax~6ax2+b在區(qū)間［T,2］上的最大值是3,最

小值是-29,且a>0,則

A.a=2,b=-29.

B.a=3,b=2.

C.a=2,b=3.

D.以上都不對.

正確答案：C

參考解析：

令f'(x)=3ax2T2ax=3ax(x-4)=0得Xi=O,X2=4(舍去)，f(0)=b,

f(-l)=-7a+b,f(2)=-16a+b,由于a>0,所以f(0)是最大值，f(2)

是最小值，f(0)=b=3,f(2)=-16a+b=-29得b=3,a=2

4、［畢選初設(shè)f(x)在(1-5,1+5)內(nèi)存在導(dǎo)數(shù)，f'(x)單調(diào)減少，

且f(l)=f'(1)=1,貝I

A.在(1-5,1)和(1,1+6)內(nèi)均有f(x)〈x.

B.在(1-5,1)和(1,1+3)內(nèi)均有￡&)”.

C在(1-5,1)內(nèi)有f(x)〈x,在(1,1+8)內(nèi)有f(x)>x.

D.在(1一3,1)內(nèi)有f(x)>x,在(1,1+6)內(nèi)有f(x)〈x.

正確答案：A

參考解析：

f'(x)在(1一5,1+5)嚴(yán)格單調(diào)減少ff(x)在(1一6,1+6)是凸的一

在此區(qū)間上，y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l))即(1,1)處的切線y-l=f'(l)(xT)

即y=x在此曲線上方(除切點(diǎn)外)。因此f(x)<x(x￡(1-8,1+8),

xWl)。

5、［畢選初考察下列敘述：

①設(shè)f2(X)在X=X0連續(xù)，則f(X)在X=Xo連續(xù).

②設(shè)f(X)在X=Xo連續(xù)，則|f(x)I在X=Xo連續(xù).

③設(shè)|f(x)|在［a,b］可積，則f(x)在［a,b］可積.

④設(shè)f(x)在［a,b］有界，只有有限個間斷點(diǎn)，則|f(x)|在［a,b］可

積，即在［a,b］存在定積分.我們可知

A.只有①，②正確.

B.只有②，③正確.

C.只有②，④正確.

D.只有③，④正確.

正確答案：C

參考解析：

由題目的設(shè)置可知，這四個命題中有兩個是正確的，兩個是錯誤

的.

由“若lim/Xi)=a.則limI|=Iu,"可得“若Iim/(z)=則

lim|/(x)JXx)”，因此,若八外在E=了，連續(xù)?則I/(工)在/了連續(xù)?即②正確.

由八在［a.句有界，只有有限個間斷點(diǎn),則|/(x)在［a"］也有界，也只有有限個間斷

點(diǎn)(因/(.r)的連續(xù)點(diǎn)必是/(/)|的連續(xù)點(diǎn)).因而/(.r)|在可積即④正確,選(C).

方法？①是不正確的,例如。.在/=0間斷.但r(.r)=1在x=

I—1?工40

0連續(xù).③也是錯的.例如/(.r)=L；'”?呼.則「/⑺必不存在(易構(gòu)造兩個積分

-1.1為尢理數(shù)J“

和有不同的極限).但I(xiàn)/(工)=1在%㈤可積.因此.只能是②,④正確.選(C).

6、I單選題]

4

設(shè)F(4)=(ln(1+/)dr)d〃?則曲線y=F(JT)

A.在(-8,o)是凹的,在(o,+8)是凸的.

B.在(-8,0)是凸的，在(0,+8)是凹的.

C.在(-8,+8)是凹的.

D.在(-8,+8)是凸的.

正確答案：B

參考解析：

先求

V2

F(x)=ln(l+/)df

0f>0,x>0

再求Flz)=2zln(1+/')<=0,x=0

<0,x<0

=>y=F(x)在(-8.0)是凸的，在(0,+8)是凹的.因此，選(B).

7、I單選題]當(dāng)x-0時，下列無窮小中，哪個是比其他三個更高階

的無窮小().

A.x2

B.1-cosx

C.'71-x'-1

D.x-tanx

正確答案：D

參考解析：

當(dāng)工-0時,1-co&r?]"l-3-1因?yàn)閔m匚警=礴匕孝^=

所以x-tanx是比其他三個無窮小階數(shù)更高的無窮小，選(D).

8、I單選題]

設(shè)/(x)一階連續(xù)可導(dǎo).且/(0)=0,/'(0)=1.則lim[l=().

A.e'

B.e

C.e2

D.e3

正確答案：B

參考解析：

lim[l+/(x)]^=lim][l+f(z)]河L=e'‘’=e"°)=e,選(B).

x-*0'

9、I單選題］

設(shè)/（x）二階連續(xù)可導(dǎo)，且I叮二4=-1，則（）.

氏￡（0）是￡（口的極小值'?'

8.蟲0）是￡6）的極大值

C.（0,f（0））是曲線y=f（x）的拐點(diǎn)

D.x=0是f（x）的駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)

正確答案：C

參考解析：

【解】，，

因?yàn)?（工）二階連續(xù)可導(dǎo),且lim2山=一1,所以lim/"（工）=0,即*0）=0.又

■r—OTr-?6

lim匚出=—1V0,由極限的保號性,存在6>0.當(dāng)0V|工|V3時,有上2V0,即

,一。JCJC

當(dāng)76（一6.0）時./'（才）>0,當(dāng)ze（0花）時./"（工）<0,所以（0,/（0））為曲線

y=f（i）的拐點(diǎn),選（C）.

10、［畢逸題下列為奇函數(shù)的是（）.

pr,I工|>1,

仆）=11.0<x<1,

A.1.-1<.1?<（）

仔，I?r|21,

x）=->1?0&/V1?

B,-1.-1<J-<0

e'?z）0,

g（z）=41/八

------VO

C.e,

Ie,?h>0.

/l（X）=5011=0?

D.e'..r<0

正確答案：D

參考解析：

因?yàn)閔（-x）=-h（x）,所以h（x）為奇函數(shù),應(yīng)選（D）.

\\、I單選題］

設(shè)/⑺連續(xù).且滿足吧目=】，又設(shè)

ck?/?(J,)=

ln(14-/')

則當(dāng)x—0時,g(x)是11&)的().

A.高階無窮小

B.低階無窮小

C.同階但不等價(jià)的無窮小

D.等價(jià)無窮小

正確答案：C

參考解析：

1

當(dāng)zf。時，ln（l+z）?z,+z—1.Z.利用洛必達(dá)法則得

2

（力

，f

2d

（）Joln(l-Fz)In(1+T

limgH=lim不lim

1oA(x)jr-*Ojt-O

a,./(￡)d//(sinz)

0y/1+r_1，1+sin^jt-1

=4lim/(z).si。Z1

3

乙x-*0x/(sinx)2"

所以，當(dāng)R?0時"與“外是同階但不等價(jià)的無窮小.故選（C）.

12、［畢選邀7y=|x-x（）|在點(diǎn)*（）處（）.

A.不存在極限，也不連續(xù)

B.不存在極限，但連續(xù)

C.存在極限，但不連續(xù)

D.存在極限，且連續(xù)

正確答案：D

參考解析：

由于limy=limIx-x=0,可知y=Iz-z在點(diǎn)孔處存在極限，因此排

除

記&r=x-Xo,則limAy=limIArI=0,因此知丁=z-I在.r（處連續(xù)，故排除（C）?選（D）.

Ax-*0Ar-*fl

\3、\單選題］

設(shè)a=H（cosG—1），,=--------./=---.則當(dāng)z-?0+時.這3個無窮小

1水1+36）］（1+/山

量按照從低階到高階的排列次序是（,）.

A.a,B,y

B.y,B,a

C.B,Y,a

D.B,a,y

正確答案：C

參考解析：

當(dāng)z-*0?時，由cos丘—1?一y-j?ln(1+3G)—3\[x，可知

1-1*.

a-----五12P----T"，

又由R+X2-1?!工,(工-?0").可得lim-=~lim77----------=?.即7?!工.

3-3^￡(l+/)ld/3e3e

因此,這3個無窮小量按照從低階到高階的排列次序應(yīng)是⑶八a.故選(C).

\4、\單選題］

設(shè)/(x)是以2為周期的連續(xù)函數(shù).G(_r)=2p/(/)d/-x'/(，)山.則().

A.G(x)是以2為周期的周期函數(shù)，G'(x)也是以2為周期的周期函數(shù)

B.G(x)是以2為周期的周期函數(shù)，G'(x)不是以2為周期的周期函數(shù)

C.G(x)不是以2為周期的周期函數(shù)，G'(x)是以2為周期的周期函數(shù)

D.G(x)不是以2為周期的周期函數(shù)，G'(x)也不是以2為周期的周期

函數(shù)

正確答案：A

參考解析：

因?yàn)閷θ我獾膞,有

f2第一項(xiàng)中產(chǎn)f2

G(x+2)=2|/(z)dz-(.r+2)|/(z)dz2J,/(?+2)dw-(-r+2)J/(')也

=2f/(M)d?+2f'/(u)dM-.rp/(z)d/-zf/(/)dz

J-2J。J0J0

=G(.r)+2/(w)d?—2f/(z)d/=G(x)?

-3J0

所以G(.r)是以2為周期的周期函數(shù).又

Gz(x)=2/(x)一『八/)山.

顯然,G'a)也是以2為周期的周期函數(shù).故選擇(A).

15、1單選題］

設(shè)/(彳,了)=二e(金),y力0,記L=lim1|/(?r,y)cLr?/2=f則().

A.l1>I2

B.I.<I2

C.Il=l2

D.L與L的大小關(guān)系不確定

正確答案：A

參考解析：

=-lim(e_7)=-Jlim(e3-1)=J,

Z0Lyf。w

而

/,=fIlimmd(,)'dz=OcLr=0,

JoLx*°y」Jo

故h>I2.

cos(sin<z)—cos/_

參考解析：

]_

T

【解析】

limc°s(sin之一cosz=〔而一s?S(sin」一刀(拉格朗日中值定理)

X-0X一。X

=上

"一T

這里lim包，=1.這是由于S介于sin/與/之間?則sin《介于sin(sin.r)與sinx之間?又

LOx

limsin(sinx)=1Uimsinx=1

x-?oZT

17、l填空題]

lim(:[H-----+…H..............-)sin—=.

―8\n4-1〃+Zn-----------------

參考解析：

nln2

【解析】

lini(—H---jH-----1----)sin—

ft-oc\W1〃十/〃十〃

，-十???+」_)三

〃+2〃+〃/〃

lim—(

7t4-+…+

n4-1〃+2n+n

=7rlim-―i----1-----1----h…H----i—

n—8n

1+-1H---1H——-

nnn

1

=?！猟r=xln2

Jo1+J*

18、l填空題］

設(shè)八z)滿足「/a-z)d，=-4+er—1,則曲線y=/(x)的斜漸近線方程為

JoZ

參考解析：

y=x

【解析】

令r—〃?則1/(z—x)d/=

J0J-*

/(w)dw——―-|-e—1

上式兩端對z求導(dǎo)相

/(一?r)=~x-e~J

從而f(x)=工一1

又limd=lim------=1=a

?ff_8JTJC

limE/(x)—ar1=lim(—eJ)=0=6

則y=彳是該曲線的一條以漸近線.

或者由/(x)=1一e，且J：m(-eO=0.則y=①是該曲線的一條斜漸近線,

19、1填空題+=]巴(方+--=------------.

參考解析：

]_

T

【解析】

^^7

=1皿卜x!x一上嗎（/X9x（一多）=!+彘=}.

這是求8—00型的極限,先轉(zhuǎn)化為t型極限,然后再用洛必達(dá)法則.

/=lim(力6+工5一%f—1r5)=lim

?-limO二(1二，二=lim佶(1+,/+4(11)?)

…+t7166/

1L1_1

663,

20、、填空題/=!叫(1=---------------

參考解析：

【解析】

這是8。型極限，先作恒等變形

/=lim（e',（1+0）），=e）

x-?oe\、e*，';r-*oo

又

Hm與n(1+9)筋:%（不亍）=照方

L8x'ef因子替換e

8.imI=0

洛必達(dá)法則IL”2xe

其中l(wèi)n（l+三F）?三y（x-*oo）

zx

\e'e

因此，

7=e?e0=e

61、、簡答題］

設(shè)/（工）在（a,6）內(nèi)連續(xù),且limf（x）=-8,lim/（J）=-8.證明：/（工）在（a.A）

內(nèi)有最大值.

參考解析：

依題意./（H）在（a.。）內(nèi)有最大值,從幾何上易理解，證明的關(guān)鍵是找到一點(diǎn)

66(1?/，)，利用最大值的定義證明/(?)為最大值.

由lim/(x)=-8,lim/(x)=-8及極限定義,知對于乂=/(父/)，存在這樣的c

a

和4,aVcV；卜Vd<6.當(dāng)a〈a《c,或d&工<6時，都有/(J)<M.

又八外在(a,6)內(nèi)連續(xù),所以/(工)在［c,d］U(a,力上連續(xù),由最大值定義知.存在EG

3力?使/(f)>/(x),.r6［一刃.特別有f9)/'(貸勺.

下證/(S)為(u“)內(nèi)的最大值：

(I)

當(dāng)工€(a,c)或工￡(J.6)時.有/(x)

(II)當(dāng)x￡［c,d］時,有f(x)Wf(g).

綜上所述，f(&)為f(x)在(a,b)內(nèi)的最大值.

，幾1,.z，C、工場用

設(shè)為=51rM=］：+工“(”=1,2.…).求極限

62、、簡答題］

參考解析：

依題意,｛0｝是正項(xiàng)數(shù)列?由已知

111="+/”=X.(1+X.)>X.1

所以(N.｝單調(diào)增加I?則=4#0?故-單調(diào)減少,且!!；有下界0,故lim1?存在.

LIJI工?I?-?<?］.

令lim」?=A.又由N1rH=+1)?知

一‘Nr

記111

Xj+1x2+1二+1

在①式兩邊同時取極限?有l(wèi)im—---=A—A.則lim.r.=8,故A=lim—=0.

N.I1N***eo11g

再由②式.得limS.=lim(2...-)=2—A=2.

Alf］

［笥宏邀7設(shè)%:?，⑺i=1.2.…)?證明：

63、l簡答題」…

(I)OWO<an；

(II)

lima.=lim6=0.

滲:考解析:

(I)

在［0，1二上.sin工2Otsin^x>0,故d=jsinwxclr20.令

/(x)=sinx"-sin\r(O4/&】，〃=1,2,…)，

則j(x)=nr1^cosx*一心由二一?cosx.

而z￡［0,1］?有工)sin。?故》sin^lx》0.又04I，《1《1〈百?故

cosx"》CO§X>0.所以/(x)^0,/(x)在［0,1］上單調(diào)增加.

又/(0)=0,所以/(z)>0?故sinx"2sin"x&1)?于是

wR

aw=|sinxcLr》Jsinxdx=b.N0?

即0式瓦Va..

(ID

nriii

由04sin/〈r(04?r〈l),得04sinydrddz'=-------,由于lim--------=

JoJo勿+1-n+1

。,故由夾逼準(zhǔn)則，有l(wèi)ima.=limsini"dI=0.

w-*oo?—>ooj0

又由(I),知0《6&a”?則lim6=0.即lima.=lim-=0.

64、［海咨邀7設(shè)f(x)在［a,b］匚可導(dǎo)，且|f「(x)|〈l；當(dāng)x￡［a,b］

1

時，有a〈f(x)〈b,F(x)=2［x+f(x)］,證明：

(1)存在**￡心，b),使得F(x*)=x*；

(ID

對No6［a,〃1?數(shù)列｛z.)滿足國TH=F(x,)(n=0,1.2,…)，有l(wèi)imz.=x'.

參考解析：

(I)

令G(i)=F(x)-x=1［/(工)一工］.貝1］。㈠)>0,G(6)V0,由零點(diǎn)定

理，存在才.€Q,b),使rG(z?)=0,即F(x*)=x\

(II)

由已知條件,±o￡a,6J.x.=F(NI)6由"］，故伴”)有界.又

F\x)=>0(因|/(x)|<1).

由拉格朗日中值定理，得

X.—/I=F(?r-)—F(/T)=尸(S)(Ni一工…)(￡介于工1與之間)，

由上式可知，當(dāng)與>x0時.數(shù)列｛4｝單調(diào)增加，當(dāng)力<x時，數(shù)列《工,單調(diào)減少.故lim，

存在,由(1)知limz”=jr'.

65、［簡答題產(chǎn)'Cr2arcsin2jr),

參考解析：

(11\..arcsin2x—x2..arcsin'x—x2

hmI71.2)—hm>.211m7

/

LO\?rarcsinxLOZ.arcstnxl。T

..arcsinx+xarcsiar—x..arcsirtr—x

=hm------------?------------=2olim-------------

LOXXJt-0X

21.y/\—X2—121.2X1

-1imJ-1］imj-?

3jr-*OJT*3J-H)I3

66、l簡答題］

設(shè)/(x)=lim--”是連續(xù)函數(shù),求a".

參考解析：

【解】

axz4-bx.I1|V1,

1/x,JT|>1.

/(x)=H(a因?yàn)?(.r)是連續(xù)函數(shù).所以

2

—(a+6+1),x=1?

J

/(—1—0)=—1=1)=~(a—A—!)=/(—1-|-O)=a—〃,

/(I—0)=a4-Z>=/(l)=-y(a+4+l)=f(l+0)=l?

解得a=0?6=1.

67、［篦咨邀7求極限：

(1)

XCOSJ:-sinj-

x-ojr

(2)_____

..+JC+A/1—JC―2

11m--------------------------------------------------

參考解析:

(1)方法一

由當(dāng)JCf0時*COSX=1—y:---FO(J:')?sinx=X—---Fo(l3),得

Z!J!

NCOSH-sim=——+o(J)

?1

xcosx-sinr1

故lim—^—————=——

￡-0X33,

xcosx—sinx..cosx-xsinr—cosx1..sinz1

方法二lim------：-----=lim-----------；--------=——lim=--

X-0Tx-*o3才"3x-*ox3

(2)方法一

-

由當(dāng)n＞。時，(l+i)"=l+a/+~~9]—+o(J-2)得

乙I

+Z=1+-1-X---2+O(72),yi—jr=1卜2+。(z2),

ZoZo

于是，1+z+y/1—x-2=—\-x'4-o(x2)------2,

44

+z+-\/l-x-21

故lim

4

11

—x-2..2，1+￡25/1—x

方法二lim

0=%------亞------

=1lim—?—?^^一4^

4工

=±lim^LEZz^I±Z

4x-ox

2LO—工+/］+￡4

68、［篦夸懣7求由方程x2+yLxy=0確定的函數(shù)在x>0內(nèi)的極值，并指

出是極大值還是極小值.

參考解析：

根據(jù)隱函數(shù)求導(dǎo)數(shù)法，得/=產(chǎn)線-.

3丁一x

令令=,=0,得丫=2］，再將丫=2才代入原方程得工.函數(shù)值為

3y2-x84

，，(1/-2)(3『一h)—(1y-2z)(6yy'—1)311，八/4A”徂

y=--------------7T-^-------------------，將工=/，?=7，y=0代入y得

(3y—x)o4

y.=-32VO,所以z=［為函數(shù)的極大值點(diǎn),且極大值為y=J.

X-T84

求lim

69、1簡答題］

參考解析：

1

由J\一［"一］?.,得］——工)-X

2

12L2

1——x221

于是limI=lim

jr-Ox1r—0.13

e-cosar—1)+(1-COSX)X2+-X2

70、I簡答題］

+2z)

140,

2cosx

求函數(shù)/(T)=<的間斷點(diǎn)，并判斷它們的類型.

x>0

參考解析：

對于函數(shù)f(x)的分段點(diǎn)x=0,因

lim/(J)=lim"與+2，)=0.lim/(x)—limsin-U~；=—sin1.

…，I，2cosx,_o-…°，r-1

故點(diǎn)x=0是函數(shù)/(z)的跳躍間斷點(diǎn).

當(dāng)工>0時,/(.r)=sin」~~；在h--1處沒有定義,且limsin/一j■振蕩不存在.故點(diǎn).r-1是

函數(shù)/(工)的振蕩間斷點(diǎn).

當(dāng)TV0時,/(1)=2r在點(diǎn)列工，=一4K-5■(4=0,1,2,…)處沒有定義,則這些點(diǎn)都

Zcosx2

是函數(shù)/(.r)的間斷點(diǎn).特別對點(diǎn),re,=一等.令/=工+￡.有

lim/(.r)=lim2尊：—―=-.

，T-2皿2

故點(diǎn)丁=一等是函數(shù)/⑺的可去間斷點(diǎn)；而點(diǎn)列4=一時一號(左=1,2,-)顯然是函數(shù)人工)的

無窮間斷點(diǎn).

第二節(jié)一元函數(shù)微分學(xué)

1、I單選題］

設(shè)g《z)有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，葭0)=0,^(0)=a我0,/(3)在點(diǎn)(0.0)的某鄰域內(nèi)連

jjf(jc,y)djcdy

續(xù),則lim3/飛///------=

一個g(產(chǎn))

A.a

/(0.0)

B.2u

「-/(O,o).

C.a

n券”。，。)?

D.la

正確答案：c

參考解析：

由積分中值定理知

JJ/(jr^)da-djz=nr2

其中(自砂為圓域上的一個點(diǎn),則

lim/($?n)=/(0?0)

10.

而lim-%、=lim石八=—.

一?！筭(產(chǎn))--2rg(廠)a

jj/(jr,y)ctrdy

lim--------=三八0,0)

…產(chǎn)&(廣)a

2、1單選題］

設(shè)/(1)=|Z'—1q(z),其中N(z)連續(xù)?則弁(1)=0是/(二)在z=l處可導(dǎo)的().

A.充分條件

B.必要條件

C.充分必要條件

D.非充分非必要條件

正確答案：C

參考解析：

設(shè)4(1)=0.f'.(1)=lim/)---)=lim---------1?(工。+1+1)g(1)=0,

…「x-I-「x—1

f+(1)=lim/°)----=lim(x'+z+1)g(x)=0.

11x-*l*

因?yàn)?'(1)=(1)=0.所以f(.x)在_r=l處可導(dǎo).

設(shè)/(/)在.r=1處可導(dǎo)，

f'_(1)=lim"")----)=lim----------y?(x2+z+l)g(x)=-3g(l),

LIz—1一廠x-1

/'+(1)=lim')*)---?1)=lim(x24-x+1)g(x)=3g(1),

,7+1-1*7+

因?yàn)?'(1)=/'+(1),所以g(D=0.

故8(1)=0為f(x)在z=l處可導(dǎo)的充分必要條件，應(yīng)選(C).

3、［學(xué)選題7設(shè)f(x)=x2e1貝IJ().

A.f(x)有一個極大值點(diǎn)，沒有極小值點(diǎn)

B.f(x)有一個極小值點(diǎn)，沒有極大值點(diǎn)

C.f(x)有一個極大值點(diǎn)，一個極小值點(diǎn)

D.f(x)沒有極大值點(diǎn)，也沒有極小值點(diǎn)

正確答案：C

參考解析：

令f'(x)=(2x-x2)e'x=0得x=0,x=2o

當(dāng)x<0時一，f'(x)〈O

當(dāng)0<x<2時,f'(x)>0

當(dāng)x>2時，f'(x)<0

則x=0為極小值點(diǎn)，x=2為極大值點(diǎn)，C正確。

4、［畢選初函數(shù)f(x)=x3-3x+k只有一個零點(diǎn)，則k的范圍為().

A.|k|<l

B.|k|>l

C.|k|>2

D.k<2

正確答案：C

參考解析：

當(dāng)x趨向于負(fù)無窮時，f(x)=-°°,

當(dāng)x趨向于正無窮時一，f(x)=+8,

令f'(X)=3X2-3=0,得乂=±1,f''(x)=6x,

由f"(-1)=-6<0,得x=-l為函數(shù)的極大值點(diǎn)，極大值為f(-l)=2+k,

由f”(1)=6>0,得x=l為函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為f(l)=-2+k,

因?yàn)閒(x)=x'-3x+k只有一個零點(diǎn),所以2+k<0或-2+k>0,故為|>2,

選(C).

5、［畢逸邀7設(shè)曲線y=x?+ax+b與曲線2y=xy3T在點(diǎn)(1,T)處切線相

同，貝11().

A.a=l,b=l

B.a=T,b=-l

C.a=2,b=l

D.a=~2,b=-l

正確答案：B

參考解析：

由y=z'+az+人得『=2/+a,

2y=xyA—1兩邊對x求導(dǎo)得2y"=》'+3］/』,解得yf=----------

Z-3xy

—l=l+a+6,.,

因?yàn)閮汕€在點(diǎn)(1?-1)處切線相同?所以1-1解得選(B).

2+a=------?=-1,

L-o

6、［畢選圖設(shè)f(x)連續(xù)，且f'(0)>0,則存在6>0,使得().

A.f(x)在(0,5)內(nèi)單調(diào)增加

B.￡&)在(-5,0)內(nèi)單調(diào)減少

C.對任意的x￡(-3,0),有f(x)>f(0)

D.對任意的x￡(0,8),有f(x)>f(0)

正確答案：D

參考解析：

FR小小/八、1?一八工)—/⑹、c

因?yàn)閒(0)=lim-------------------->0,

X—0JT

所以由極限的保號性.存在8>0,當(dāng)0VIXIV、時./8―八°)>0,

x

當(dāng)zW(-8,0)時,fGr)V/(0)；當(dāng)工6(0,6)時,/(z)選(D).

7、I單選題］

/(a+工)-f(a)_)

設(shè)了(工)在z=a處二階可導(dǎo).則lim-----------------------------------等于().

X-01

A.(a)

B.f〃(a)

C.2f”(a)

D.2f〃⑸

正確答案：D

參考解析：

/(a+工)一/(a)

..x..f(a+x)—/(a)—/(a)x

lim------------------------------------=hm------------------------------------

x-*OXx-*OX

=lim/儲+.，一〃")=l/*(a),選(D).

一。ZT7.

8、［畢逸邀7f(x)在x。處可導(dǎo)，則|f(x)|在刈處().

A.可導(dǎo)

B.不可導(dǎo)

C.連續(xù)但不一定可導(dǎo)

D.不連續(xù)

正確答案：C

參考解析：

f(X)在Xo處可導(dǎo)得If(x)I在Xo處連續(xù)，但|f(x)I在Xo處不一定可導(dǎo)，

如f(x)=x在x=0處可導(dǎo)，但|f(x)|=|x|在x=0處不可導(dǎo),選C。

9、［畢選初設(shè)f(x)在x=a的領(lǐng)域內(nèi)有定義，且f；(a)與￡(a)都存

在，則()

A.f(x)在x=a處不連續(xù)

B.f(x)在x=a處連續(xù)

C.f(x)在x=a處可導(dǎo)

D.f(x)在x=a處連續(xù)可導(dǎo)

正確答案：B

參考解析：

因?yàn)閒；(a)存在，所以x趨向于a*時,f(x)-f(a)/x-a存在，于是所

以x趨向于a*時,f(x)=f(a),即f(x)在x=a處右連續(xù)，同理由f-(a)

存在可得f(x)在x=a處左連續(xù)，故f(x)在x=a處連續(xù)

10>［畢遂邀7設(shè)f(x)在［a,+8)上二階可導(dǎo)，f(a)〈O,f'(a)=0,且

f〃(x)2k(k>0),則f(x)在(a,+8)內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù)為().

0個

A.1個

BC.

2個

D.3個

正確答案：B

參考解析：

因?yàn)?'(a)=0,且/"(1)NMk>0),所以f(x)=/(a)+//(a)(x-a)+

---(x-a/)/(a)+4(丁—a)?淇中f介于a與x之間.而lim/(a)+，Cr—a)2=+°°.

故lim/(工)=+8.再由/(a)VO得/(工)在(a,+8)內(nèi)至少有一個零點(diǎn).又因?yàn)?/p>

/'(a)=0,且/'(I)>0),所以/(x)>0(x>a).BP/(x)在［a,+8)單調(diào)增

加，所以零點(diǎn)是唯一的，選(B).

11、1單選題］

設(shè)》(丁)是微分方程」+(1-11=e，滿足初始條件1y(0)=0.v'(0)=1的解.則

Iim30().

—oJT

等

于1

等

A.于

BC.2

等

于

0

不

D.存

正確答案：A

參考解析：

微分方程y"+(2—1)，+1=e，中,令1=0,則y"(0)=2,

工日「4..y(x)—11..y(x)—v(0)1〃/八，、%一、

于是lim----z---=hm---n----=Thm:-------------=—(0)=1，選(A).

L0TolxLLOT2

12、、單選題］

設(shè)函數(shù)y=/(x)在工=0的某鄰域內(nèi)二階可導(dǎo)J(0)=3,/(0)=/(0)=1.

貝曲=().

A.-4

B.-2

1

c.T

1

D.T

正確答案：A

參考解析：

注意到半=1~r，所以

dyyj\JC)

d2xd/dz\d/cLr\drd「11dr

d_/dyIdjJdxxdy/dydxJdy"(z)了'

因?yàn)閥=fix)是1=0的某鄰域內(nèi)的連續(xù)單調(diào)函數(shù),所以當(dāng)y=3時,i=0.故

故選(A).

13、I單選題］

設(shè)函數(shù)/(7)=z”，則對于任意正整數(shù)”>lj(.r)在工=0處的”階導(dǎo)數(shù)/"<">(())=().

A.n(n-l)(ln2)n-2

B.n(n-2)(ln2)n-1

C.n(n+l)(ln2)n-2

D.n(n+2)(ln2)n-1

正確答案：A

參考解析：

設(shè)/(X)在7=0處的〃階泰勒展開式為

/(X)=V］￡+o(x").(*)

i/-0'Kb?!

另一方面,利用間接法展開得/（］）=比較對應(yīng)系數(shù)得

（0）=k\ak9k=0,1.2,…,兒

現(xiàn)在?利用指數(shù)函數(shù)的”階泰勒公式?有

2,=”2=1+zln2+…+了嗎：：_|_）,

（〃一2）!

所以

(In?)T

x22X=x24-(In2).r3+???+----+。(工”)，

(〃一2)!

與（*）式比較k的系數(shù)，得匕”=”2口,所以/"＞（0）=〃（〃一l）（In2）T.

14、［本選期設(shè)/⑺=（1-1）“-5出￡八則廣,（】）=（）,

A.（n-1）!

B.n!

C.n!+l

D.(n+1)!

正確答案：B

參考解析：

設(shè)z/(x)=(x—1)"?v(x)=x2nsin告工.則f(x)="(z)認(rèn)7),因

u(1)=〃'(1)=〃"⑴=…="(I)⑴=0.〃"，⑴=〃！?

故由萊布尼茨公式，得

+加+…+如'+M1)W>(1)

=v(1)w,n,(1)=〃！.

15^［畢選邀7設(shè)曲線y=x'+ax+b和3y=2x3-xy2-4在點(diǎn)(1,-2)處相切，

其中a,b是常數(shù)，貝1)().

A.a=2,b=-5

B.a=-5,b=2

C.a=-4,b=l

D.a=l,b=-4

正確答案：B

參考解析：

因?yàn)榍€y=r'+ar+占經(jīng)過點(diǎn)(1,-2),所以1+。+6=-2,即。+6=—3.

由1y=z3+or+6司>得，

，

y=(3/+a)=3+a.

1x-1

由3y=2x3—xy2-4可得，

6x2—y2_6—4

y=