新高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)+題型專項(xiàng)千題百練(新高考適用)專題14數(shù)列求和綜合必刷100題(原卷版+解析)

專題14數(shù)列求和綜合必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．3．?dāng)?shù)列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99項(xiàng)和為（）A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－994．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，.則使得的值為（）A． B． C． D．5．已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（）A．3 B．2 C．1 D．06．正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．7．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B．C． D．8．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B．C． D．9．等比數(shù)列中，，，數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則的值為（）A． B． C． D．10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，．則使得成立的的最大值為（）A．17 B．18 C．19 D．20第II卷（非選擇題）二、填空題11．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)其前項(xiàng)和為，則使成立的最小的自然為_(kāi)_________.13．已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和________．14．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則___________.15．設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和是________．16．設(shè)，則__________.17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，且，則___________.18．在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.19．已知數(shù)列，……，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)_________．20．已知數(shù)列滿足且，數(shù)列的前項(xiàng)為，則不等式最小整數(shù)解為_(kāi)_______.三、解答題21．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，點(diǎn)在直線上.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.22．已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，且，，依次成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的值.23．在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．24．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在（①；②；③三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解，如果多寫(xiě)按第一個(gè)計(jì)分）25．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.26．已知是等比數(shù)列，，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．27．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．28．已知數(shù)列滿足，，．?dāng)?shù)列滿足，，其中為數(shù)列是前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：．29．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求證：．30．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列．等差數(shù)列{}滿足，．（1）求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列的前9項(xiàng)之和為（）A．32 B．43 C．34 D．352．?dāng)?shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．3．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．4．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B．C． D．5．?dāng)?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列滿足，且（），則（）A． B． C． D．7．設(shè)數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為（）A． B．1010 C． D．10119．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．10．?dāng)?shù)列滿足﹐若，則的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．11．已知等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知數(shù)列滿足，設(shè)，且，則數(shù)列的首項(xiàng)的值為（）A． B． C． D．13．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A． B．C． D．14．正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題15．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為_(kāi)__________.16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)都成立，則的取值范圍是___________.17．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.18．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項(xiàng)的和等于___________.19．已知，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，，則實(shí)數(shù)t的最大值是________.20．?dāng)?shù)列且，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.21．用表示正整數(shù)所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：的因數(shù)有，，，則，的因數(shù)有，，，，則．計(jì)算________．22．已知數(shù)列滿足，則___________；若，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.23．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則______________．24．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上．若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的的最大值為_(kāi)_______．25．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，設(shè)，則數(shù)列前項(xiàng)和的取值范圍為_(kāi)________．26．已知數(shù)列滿足：，，(且)，等比數(shù)列公比，令，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.27．已知數(shù)列與前n項(xiàng)和分別為，，且，，則________．三、解答題28．?dāng)?shù)列中，為的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.29．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，.設(shè)數(shù)列滿足，證明：.30．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答.問(wèn)題：已知，___________，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）31．在①，；②公差為2，且，，成等比數(shù)列；③；三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．問(wèn)題：已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求的值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．32．在①②這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充在下面橫線處，并解答下列問(wèn)題．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是數(shù)列的前項(xiàng)和是，__________．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)證明：33．在①；②；③，，成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．問(wèn)題：數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．34．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.35．已知為等比數(shù)列，，記數(shù)列滿足，且.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求的前項(xiàng)的和.36．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.37．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，且（1）求；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：.38．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式以及；（2）求使不等式成立的最小值n．39．設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，，（）.（1）求出通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.40．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，（），則數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為（）A． B．C． D．2．已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．設(shè)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，為可能取到所有值的個(gè)數(shù)，是數(shù)列前n項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)的有（1）（2）是數(shù)列中的項(xiàng)（3）（4）當(dāng)時(shí)，取最小值A(chǔ)．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．45．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積，記，求的取值范圍是（）．A． B． C． D．6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，若，（其中），則的最小值是（）A． B．4 C． D．20187．?dāng)?shù)列滿足，（且），數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，且，則（）．A． B． C．4851 D．49508．已知數(shù)列中，，若，設(shè)，若，則正整數(shù)的最大值為（）A．1009 B．1010 C．2019 D．20209．已知數(shù)列滿足…，設(shè)數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．10．艾薩克·牛頓（1643年1月4日——1727年3月31日）英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，英國(guó)著名物理學(xué)家，同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn)，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列：滿足，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)（）有兩個(gè)零點(diǎn)，，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，已知，，的前項(xiàng)和為，則等于A． B． C． D．11．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，記，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（）A．2017 B．2018 C．2019 D．202012．設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知數(shù)列中，，且，若，則整數(shù)A．99 B．100 C．101 D．102第II卷（非選擇題）二、填空題13．已知數(shù)列滿足：，，(且)，等比數(shù)列公比，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.15．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，成等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，則_________.16．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為_(kāi)_____________17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，且．若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)___________．18．已知函數(shù)若對(duì)于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖象恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______.19．?dāng)?shù)列滿足，，則的整數(shù)部分是___________.20．設(shè)表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)字,記,M是的前4038項(xiàng)的和,函數(shù),若函數(shù)滿足,則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為_(kāi)_______.21．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)__________．22．已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)__________.23．設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則_____.24．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，當(dāng)取最小值時(shí)，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________．三、解答題25．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前n項(xiàng)和，且.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.26．已知數(shù)列是正項(xiàng)等差數(shù)列，，且.數(shù)列滿足，數(shù)列前項(xiàng)和記為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和記為，試比較與的大小.27．已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，且.數(shù)列滿足：(b1+b2.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，證明：.28．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前項(xiàng)之積為，且．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．（3）設(shè)，若數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．29．已知函數(shù).（1）若，求a的值；（2）證明：.30．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足：，，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.專題14數(shù)列求和綜合必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，利用累加法得出.【詳解】由題意可得，所以，，…，，上式累加可得，又，所以.故選：B.2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)已知條件求得，然后求得，利用裂項(xiàng)求和法求得正確答案.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.所以，兩式相減得：，且，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以，故，所以，則.故選：B3．?dāng)?shù)列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99項(xiàng)和為（）A．2100－101 B．299－101 C．2100－99 D．299－99【答案】A【分析】由數(shù)列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，結(jié)合分組求和法即可求解．【詳解】由數(shù)列可知an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，所以，前99項(xiàng)的和為S99＝(2－1)＋(22－1)＋…＋(299－1)＝2＋22＋…＋299－99＝－99＝2100－101．故選：A4．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，.則使得的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，求得，得到，結(jié)合裂項(xiàng)法求和，即可求解.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，適合上式，所以，則，所以.故選：B.5．已知數(shù)列{an}滿足：an+1=an-an-1（n≥2，n∈N*），a1=1，a2=2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2021=（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式得出數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，利用周期性即可求解.【詳解】∵an+1=an-an-1，a1=1，a2=2，∴a3=1，a4=-1，a5=-2，a6=-1，a7=1，a8=2，…，故數(shù)列{an}是周期為6的周期數(shù)列，且每連續(xù)6項(xiàng)的和為0，故S2021=336×0+a2017+a2018+…+a2021=a1+a2+a3+a4+a5=1+2+1+（-1）+（-2）=1.故選：C.6．正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】對(duì)化簡(jiǎn)可得，從而可得數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為3，求出通項(xiàng)，則可得，然后利用裂項(xiàng)求和法計(jì)算【詳解】，，，，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為3，.，.故選：B.7．化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】用錯(cuò)位相減法求和．【詳解】，（1），（2）（2）－（1）得：．故選：D．8．已知數(shù)列中，，求數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得到，得到數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求得，結(jié)合等比數(shù)列和等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，，可得，即，且，所以數(shù)列構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，則數(shù)列的前項(xiàng)和.故選：C.9．等比數(shù)列中，，，數(shù)列，的前項(xiàng)和為，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出，從而可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求出【詳解】由題意得，所以，所以.故選：B10．已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，．則使得成立的的最大值為（）A．17 B．18 C．19 D．20【答案】C【分析】根據(jù)求通項(xiàng)公式，注意討論、并判斷是否可合并，再應(yīng)用裂項(xiàng)法求，最后根據(jù)不等式求的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而也符合，∴，.又，∴，要使，即，得且，則的最大值為19.故選：C.第II卷（非選擇題）二、填空題11．?dāng)?shù)列是首項(xiàng)和公差都為1的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，若是數(shù)列的前n項(xiàng)和，則______【答案】/.【分析】首先寫(xiě)出等差數(shù)列前n項(xiàng)和，則有，再應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】由題意：，故，于是，∴.故答案為：.12．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，設(shè)其前項(xiàng)和為，則使成立的最小的自然為_(kāi)_________.【答案】14【分析】先利用其通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算公式求出．再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解不等式即可求出對(duì)應(yīng)的自然數(shù)．【詳解】解：因?yàn)椋裕蚀鸢笧椋?4．13．已知數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和________．【答案】95【分析】利用分組求和法以及等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，所以所以，故答案為：95.14．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，則___________.【答案】【分析】化簡(jiǎn)數(shù)列的遞推關(guān)系式，得到，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求得，可得，利用裂項(xiàng)法，即可求解.【詳解】由題意，正項(xiàng)數(shù)列滿足，，可得，因?yàn)?，可得，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，則所以故答案為：.15．設(shè)數(shù)列滿足，，，則數(shù)列的前50項(xiàng)和是________．【答案】1300【分析】利用累加法可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再并項(xiàng)求和求解前50項(xiàng)和即可.【詳解】因?yàn)?，，且，故時(shí)，，，…，，累加可得，，滿足上式，即，故的前50項(xiàng)和，即．故答案為：1300.16．設(shè)，則__________.【答案】【分析】根據(jù)題意求出，然后結(jié)合倒序相加即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)…………（1），則…………（2），（1）+（2）得，即，故，故答案為：.17．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，且，且，則___________.【答案】【分析】由求得，又可得，根據(jù)，求出，又因?yàn)?，代入?shù)據(jù)求解即可．【詳解】由，又，得故答案為：18．在數(shù)列中，，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)_________.【答案】【分析】將已知數(shù)列的遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，通過(guò)累加法和等差數(shù)列的求和公式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法求和即可．【詳解】，，即，，，…，將以上各式累加，可得，將代入，可得，，則，數(shù)列的前項(xiàng)和為.故答案為：.19．已知數(shù)列，……，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(kāi)_________．【答案】【分析】由題意得出此數(shù)列的通項(xiàng)公式，將通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)相消的求和方法即可求出前n項(xiàng)和，進(jìn)一步就可以求前10項(xiàng)的和.【詳解】由題意可知此數(shù)列分母為以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，由公式可得：，求和得：.所以前10項(xiàng)的和為：.故答案為：.20．已知數(shù)列滿足且，數(shù)列的前項(xiàng)為，則不等式最小整數(shù)解為_(kāi)_______.【答案】5【分析】先由題意可得，，然后驗(yàn)證當(dāng)n＝1時(shí)也成立，從而求得an與2nan，再利用錯(cuò)位相減法求得Sn，代入不等式Sn≥30an中，求得滿足題意的n即可．【詳解】由可得：兩式相減得：，即又a1＝1，可得：1＝a2﹣1，解得：a2＝2，∴∴∴an＝n，2nan＝n?2n，又Sn＝1×21+2×22+3×23+…+n?2n，2Sn＝1×22+2×23+…+（n﹣1）?2n+n?2n+1，兩式相減得：﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣n?2n+1＝整理得：Sn＝（n﹣1）?2n+1+2，由Sn≥30an可得：（n﹣1）?2n+1+2≥30n，即∵當(dāng)n＝1，2，3，4時(shí)，；當(dāng)n＝5時(shí)，，∴滿足不等式Sn≥30an最小整數(shù)解為5，故答案為：5．三、解答題21．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，若，點(diǎn)在直線上.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【分析】（1）將點(diǎn)代入整理可得，由等差數(shù)列的定義即可得出答案.（2）根據(jù)與的關(guān)系求出，進(jìn)而得出，再由錯(cuò)位相減法即可求解.（1）∵點(diǎn)在直線上，∴同除以，則有：數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)也成立，∴.∵，∵∴即

22．已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，且，，依次成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出，即可求出通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用裂項(xiàng)相消法求出，再解方程即可；（1）解：設(shè)公差為，由，，依次成等比數(shù)列，可得，即，解得，則.（2）解：由（1）可得，即有前項(xiàng)和為解得.23．在等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即得；（2）由題可得，再利用裂項(xiàng)相消法即得.（1）法1：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以公差，所以．?：設(shè)等差數(shù)列的公差為，聯(lián)立得解得所以．（2）由（1）知，所以，，所以．24．已知數(shù)列滿足，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.在（①；②；③三個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在第（2）問(wèn)中，并對(duì)其求解，如果多寫(xiě)按第一個(gè)計(jì)分）【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）答案不唯一，見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)遞推公式兩邊同時(shí)取倒數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行運(yùn)算證明即可；（2）選①：運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可；選②：運(yùn)用分類討論方法進(jìn)行求解即可；選③：運(yùn)用分組求和法，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.（1）顯然，由，兩邊同時(shí)取倒數(shù)得：，即，所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列.故，即.（2）選①：，由已知得，，故數(shù)列的前項(xiàng)和，選②：，由已知得，，故數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故選③：，由已知得，，故數(shù)列的前項(xiàng)和25．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由，利用疊加，裂項(xiàng)相消法即可證明.（1）∵，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，有，∴，∴，∵，∴∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，偶數(shù)項(xiàng)是以3為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，，∴.（2），所以得，從而，從而可得26．已知是等比數(shù)列，，且，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【分析】（1）求得公比，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用分組求和法求得.（1），，，，，.（2），.27．已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，且成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式，可得，根據(jù)，即可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，代入可得，利用裂項(xiàng)相消求和法，即可得的表達(dá)式，即可得證.（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，則，又，所以，又，所以，所以.（2）由（1）可得，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.28．已知數(shù)列滿足，，．?dāng)?shù)列滿足，，其中為數(shù)列是前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，并證明：．【答案】（1）；（2）；證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等比數(shù)列的定義可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用累和法可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法，結(jié)合的單調(diào)性證明即可.（1）由，可得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為3的等比數(shù)列，所以，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）可得，所以①，②，②－①得，所以．，，所以遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以．因此，．29．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求證：．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用與的關(guān)系可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；利用累加法可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）問(wèn)結(jié)論求出，然后利用裂項(xiàng)相消求和法，求出的和即可證明原不等式.（1）解：由，得，所以又由，得，滿足，所以，而，所以，所以；（2）證明：因?yàn)椋?30．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，成等差數(shù)列．等差數(shù)列{}滿足，．（1）求數(shù)列{}，{}的通項(xiàng)公式;（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n，證明：【答案】（1），；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；（2）用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解證明即可.【詳解】（1）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列{}的公差為，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，因?yàn)?，所以（舍去），因此，，由，所以；?）因?yàn)?，所以，于是有，因?yàn)?，所?任務(wù)二:中立模式(中檔)1-40題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，且，則該數(shù)列的前9項(xiàng)之和為（）A．32 B．43 C．34 D．35【答案】C【分析】討論為奇數(shù)、偶數(shù)的情況數(shù)列的性質(zhì)，并寫(xiě)出對(duì)應(yīng)通項(xiàng)公式，進(jìn)而應(yīng)用分組求和的方法求數(shù)列的前9項(xiàng)之和.【詳解】，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則數(shù)列是常數(shù)列，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，.故選：C2．?dāng)?shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用遞推關(guān)系，確定數(shù)列是遞增數(shù)列，把遞推關(guān)系變形得出，便于用裂項(xiàng)相消法求得和，再由計(jì)算數(shù)列的前幾項(xiàng)，最終得出，從而估計(jì)出的范圍．【詳解】因?yàn)椋?，所以，即，是遞增數(shù)列，，，，所以，，，，，所以，，．故選：B．3．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，且.記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意，，則的最小值為（）A．3 B． C．2 D．【答案】B【分析】由已知得.再求得，從而有數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用分組求和的方法，以及等比數(shù)列求和公式求得，從而求得得答案.【詳解】解：由，得，∴.又由，得，又，∴.所以，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則，∴，∴，∴.∴.∵對(duì)任意，，∴的最小值為.故選：B.4．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，從而可求的通項(xiàng)，故可求.【詳解】因?yàn)椋剩?，故，故為等比?shù)列且為等比數(shù)列，公比均為.而，故，.所以，故選：B.5．?dāng)?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前項(xiàng)和（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式，在代入，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，公比設(shè)為，由，可得，，解得，，則．則，則前項(xiàng)和．故選：A.6．?dāng)?shù)列滿足，且（），則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，利用累加法求得，進(jìn)而得到，利用裂項(xiàng)相消法求解.【詳解】∵，，…，，∴，即，∴，．∵符合上式，∴．∴，，，．故選：A．7．設(shè)數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)的遞推關(guān)系求出的通項(xiàng)公式，代入的表達(dá)式中，求出的通項(xiàng)，即可求解的前項(xiàng)和【詳解】由可得,∵,∴,則可得數(shù)列為常數(shù)列，即,∴∴,∴.故選:D8．已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則數(shù)列的前2019項(xiàng)和為（）A． B．1010 C． D．1011【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)特征，得到，再將該式子用于求和.【詳解】因?yàn)?，所以，?記數(shù)列的前項(xiàng)和，又，所以.所以.故選：A.9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，且，．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用與關(guān)系可求得，并推導(dǎo)得到，由此可確定為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，利用可得，進(jìn)而得到，利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【詳解】，，即，，又，．，，整理得：，又，，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，，，.故選：A.10．?dāng)?shù)列滿足﹐若，則的前項(xiàng)和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，所以可得數(shù)列是等差數(shù)列，得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和.【詳解】因?yàn)?，所以，所以?shù)列是公差為，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，所以，設(shè)的前項(xiàng)和為，所以①，②，①-②得，，得.故選：C11．已知等差數(shù)列的公差為2，前n項(xiàng)和為，且，，成等比數(shù)列.令，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，，成等比數(shù)列，所以，根據(jù)d=2，即可求得的值，即可求得，進(jìn)而可得，利用裂項(xiàng)相消法即可求得的表達(dá)式，分析即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，成等比?shù)列，所以所以，整理可得解得，所以，所以，所以=，因?yàn)閷?duì)于，不等式恒成立，所以，即，所以.故選：A12．已知數(shù)列滿足，設(shè)，且，則數(shù)列的首項(xiàng)的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可得,即,所以從而可得，得出答案.【詳解】若存在，由，則可得或，由可得，由可得所以中恒有由，可得所以，即所以所以，即所以，則，所以故選：C13．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由遞推式求出數(shù)列的首項(xiàng),當(dāng)時(shí)分為偶數(shù)和奇數(shù)求出,代入后分組,然后利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解.【詳解】由，當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，即.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，所以（為正奇數(shù)），當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以（為正偶數(shù)），所以，所以，所以，所以.因?yàn)?故選：A14．正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，設(shè)，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系得，再根據(jù)等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式、求和公式得，代入化簡(jiǎn)，最后利用分組求和法求結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，所以，則數(shù)列的前2020項(xiàng)的和.故選：C第II卷（非選擇題）二、填空題15．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.若，則數(shù)列的前2021項(xiàng)和為_(kāi)__________.【答案】【分析】先根據(jù)，求出的通項(xiàng)公式，再結(jié)合的通項(xiàng)公式進(jìn)行裂項(xiàng)相消法求和【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)為正，所以.當(dāng)時(shí)，，所以，所以，整理得.因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.易知，，所以，所以數(shù)列的前2021項(xiàng)和為.故答案為：16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意正整數(shù)都成立，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】先將因式分解，結(jié)合數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，推導(dǎo)出是等比數(shù)列，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；將數(shù)列的通項(xiàng)公式代入中，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；將數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)，求出數(shù)列的前項(xiàng)和為；然后判斷的單調(diào)性，求出的取值范圍，確定的取值范圍，最后求出的取值范圍.【詳解】數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)(舍去)數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.數(shù)列的前項(xiàng)和為,單調(diào)遞增，單調(diào)遞減單調(diào)遞增，又的取值范圍是故答案為：17．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足，，其中，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則___________.【答案】【分析】由累乘法可求，然后利用裂項(xiàng)相消法即求.【詳解】由，得，累乘，得，化簡(jiǎn)得，，，當(dāng)時(shí)，成立，，，，.故答案為：.18．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足且，令，則數(shù)列的前項(xiàng)的和等于___________.【答案】【分析】首先由遞推關(guān)系可得是等比數(shù)列，進(jìn)而可得、的通項(xiàng)公式，再利用乘公比錯(cuò)位相減，分組求和即可求解.【詳解】由可得，因?yàn)椋?，即，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，則的前項(xiàng)的和等于，令，前項(xiàng)的和為，則，，兩式相減可得：，所以，所以前項(xiàng)的和為，故答案為：.19．已知，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)于任意的，，則實(shí)數(shù)t的最大值是________.【答案】162【分析】將數(shù)列通項(xiàng)化為，裂項(xiàng)求和求得，又對(duì)于任意的，，分類參數(shù)t，得到關(guān)于n的表達(dá)式，借助基本不等式求得最值.【詳解】由題知，，則，又對(duì)于任意的，，則，即，由，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則實(shí)數(shù)t的最大值是162.

故答案為：16220．?dāng)?shù)列且，若為數(shù)列的前項(xiàng)和，則__________.【答案】【分析】由題意，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.然后根據(jù)分組求和法、裂項(xiàng)相消求和法及三角函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】解：數(shù)列且，①當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，②當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，則偶數(shù)項(xiàng)和為，所以，故答案為:.21．用表示正整數(shù)所有因數(shù)中最大的那個(gè)奇數(shù)，例如：的因數(shù)有，，，則，的因數(shù)有，，，，則．計(jì)算________．【答案】【分析】根據(jù)的定義得到，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，再令，再利用分組求和的方法，得到，然后利用累加法求解.【詳解】由的定義得：，且當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，設(shè)，則，，，，即，由累加法得：，又，所以，所以，故答案為：22．已知數(shù)列滿足，則___________；若，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.【答案】【分析】由得出：當(dāng)時(shí)，，兩邊作差得，即【詳解】∵，①∴當(dāng)時(shí)，，②①-②得，則.當(dāng)時(shí)，由①得，不滿足上式∴，，，又也滿足上式，∴.故答案為：；.23．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，則______________．【答案】【分析】由，推得，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求得和，進(jìn)而得到，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式，即可求解.【詳解】由數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，即，令，可得，解得，所以數(shù)列表示首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，則，所以，所以.故答案為：.24．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線上．若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則滿足的的最大值為_(kāi)_______．【答案】13【分析】由題設(shè)易得，即可求，進(jìn)而得，討論為奇數(shù)、偶數(shù)求，結(jié)合已知不等關(guān)系求的最大值即可.【詳解】由題意知：，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；而，∴，，∴，∴，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，∴要使，即或，解得且.故答案為：13.25．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，設(shè)，則數(shù)列前項(xiàng)和的取值范圍為_(kāi)________．【答案】【分析】根據(jù)之間關(guān)系可得數(shù)列為等差數(shù)列并得到，然后得到，根據(jù)裂項(xiàng)相消可得數(shù)列前項(xiàng)和，最后進(jìn)行判斷即可.【詳解】由①，則②②-①化簡(jiǎn)可得：，又，所以當(dāng)時(shí)，所以符號(hào)，故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列所以，則所以令設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和所以所以，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，則且當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，則且綜上所述：故答案為：26．已知數(shù)列滿足：，，(且)，等比數(shù)列公比，令，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.【答案】【分析】依據(jù)題意可得，然后依據(jù)公式可得，然后根據(jù)遞推關(guān)系可得數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步得出，最后分組求和可得結(jié)果.【詳解】解：因?yàn)?，?且)，①可得時(shí)，，即，由等比數(shù)列的的公比為，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又(且)，②①﹣②可得，，即，化為，又，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差，則，所以，所以.故答案為：.27．已知數(shù)列與前n項(xiàng)和分別為，，且，，則________．【答案】【分析】由遞推關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入，根據(jù)裂項(xiàng)求和的辦法求得.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，兩式相減得：，整理得，，由知，，從而，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得或0（舍），則首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，則．所以，則．∴．故答案為：.三、解答題28．?dāng)?shù)列中，為的前項(xiàng)和，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）由與的關(guān)系可得為等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）由裂項(xiàng)相消法求解即可（1）當(dāng)，則，所以，當(dāng)時(shí)，得：，，整理得，所以為等差數(shù)列，，；（2）29．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，.設(shè)數(shù)列滿足，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由遞推關(guān)系構(gòu)造等差數(shù)列，求出通項(xiàng)后得，由求即可；（2）由遞推關(guān)系構(gòu)造等比數(shù)列，求出，對(duì)裂項(xiàng)后，利用相加相消求和即可得證.（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以?shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此即，當(dāng)時(shí)，，又符合上式，故，所以，即是等差數(shù)列.（2）由，得所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即.,裂項(xiàng)得30．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并作答.問(wèn)題：已知，___________，是否存在正整數(shù)，使得數(shù)列的前項(xiàng)和？若存在，求的最小值；若不存在，說(shuō)明理由.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析【分析】(1)根據(jù)給定條件求出等比數(shù)列的公比即可得解.(2)根據(jù)選擇的條件計(jì)算出等差數(shù)列的公差及前項(xiàng)和為，再用裂項(xiàng)相消法求出即可列式計(jì)算作答.（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由得：，，又，因此有，即，解得，(舍去)，則，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）若選①：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，，解得，于是得：，，則有，由，解得，而為正整數(shù)，則的最小值為，所以存在正整數(shù)滿足要求，的最小值為.若選②：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，，解得，于是得，，則有，由，解得，而為正整數(shù)，則的最小值為，所以存在正整數(shù)滿足要求，的最小值為.若選③：設(shè)等差數(shù)列公差為d，則，，解得，于是得：，，，令，得，顯然數(shù)列()是遞減的，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即由得，則的最小值為所以存在正整數(shù)滿足要求，的最小值為.31．在①，；②公差為2，且，，成等比數(shù)列；③；三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．問(wèn)題：已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，其中表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求的值．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【分析】選①（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式列方程組解得和后可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求出，然后求和．選②（1）由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得后可得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求出，然后求和．選③（1）利用和求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)定義求出，然后求和．（1）選①：設(shè)的公差為d，則由已知可得，解得，故的通項(xiàng)公式為選②：因?yàn)?，，，由題意得，解得，所以的通項(xiàng)公式為選③：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，符合所以的通項(xiàng)公式為（2）選①由知，，所以選②由知所以選③由知所以32．在①②這兩組條件中任選一組，補(bǔ)充在下面橫線處，并解答下列問(wèn)題．已知數(shù)列的前項(xiàng)和是數(shù)列的前項(xiàng)和是，__________．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)證明：【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）選條件①：由，，可得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；選條件②：由，，可得，利用迭代法可求，借助已知條件可得；（2）選條件①：利用錯(cuò)位相減求和法求和后即可證明；選條件②：利用裂項(xiàng)相消求和法求和后即可證明.（1）解：選條件①：由，可得，兩式相減可得，所以，在中，令，可得，所以，所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為；選條件②：由，可得兩式相減可得，即，所以，在中，令，可得，所以，所以由，，，所以，從而有，所以，，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）證明：選條件①：由（1）知，設(shè)，，兩式相減可得所以，即；選條件②：由（1）知，所以．33．在①；②；③，，成等差數(shù)列這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答．問(wèn)題：數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且______．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2），求數(shù)列的前n項(xiàng)和．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）條件選擇見(jiàn)解析，（2）【分析】（1）選①，利用及得出數(shù)列的遞推關(guān)系求得公比，從而得通項(xiàng)公式；選②，利用基本量法求得公比后可得通項(xiàng)公式；選③，利用基本量法及及等差數(shù)列的性質(zhì)求得公比后可得通項(xiàng)公式；（2）求出，然后分類討論，分組求和．（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為．選①當(dāng)時(shí)，，∴，∴，∴，又∵，∴．選②∵，，∴，∵解得，∴．選③由題意得，∴，∴，即，∵，∴，∴；（2），當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，綜上，．34．已知數(shù)列中，，.（1）求證：是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對(duì)一切恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【分析】（1）依題意可得，即可得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，從而求出的通項(xiàng)公式，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）依題意可得，再利用錯(cuò)位相減法求出，則，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)分奇偶兩種情況討論，即可求出參數(shù)的取值范圍；（1）解：因?yàn)?，，所以，所以，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以（2）解：因?yàn)?，所以，所以兩式相減得，所以，所以．令，易知單調(diào)遞增，若為偶數(shù)，則，所以；若為奇數(shù)，則，所以，所以．所以．35．已知為等比數(shù)列，，記數(shù)列滿足，且.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求的前項(xiàng)的和.【答案】（1），（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系判斷，再根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算和所給條件算出公比和首項(xiàng)，的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)與的關(guān)系可得的通項(xiàng)公式，（2）寫(xiě)出，根據(jù)的奇偶分類討論.（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，對(duì)任意的，則，則，所以，因?yàn)?，可得，因?yàn)椋瑒t，∴，所以，；（2）為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，36．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，若數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用時(shí)，得出的遞推關(guān)系式，確定是等差數(shù)列，從而得通項(xiàng)公式；（2）用裂項(xiàng)相消法求得和后根據(jù)的單調(diào)性證明不等式．（1）解：由題意得，當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，整理得，因?yàn)?，所以，，，故?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以.（2）證明：因?yàn)?，所以則，因?yàn)?，所以，又，所以單調(diào)遞增，所以，所以.37．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，且（1）求；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.證明：.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題意得，從而得到數(shù)列是以為首項(xiàng)?為公差的等差數(shù)列，即可得到答案；（2）求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和，結(jié)合不等式的放縮法，即可得到答案；（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為，所以由可得又因?yàn)?，所以，因此，?shù)列是以為首項(xiàng)?為公差的等差數(shù)列，所以.（2）因?yàn)槎?，所以所以?shù)列的前項(xiàng)和為故，命題得證.38．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求的通項(xiàng)公式以及；（2）求使不等式成立的最小值n．【答案】（1），；（2）5【分析】（1）由已知條件求等差數(shù)列的基本量，進(jìn)而寫(xiě)出等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式.（2）應(yīng)用裂項(xiàng)相消法求，根據(jù)不等式求n的范圍，即可知n的最小值.（1）在等差數(shù)列中，，∴，又，∴，易知：，∴，∴.（2），∴整理有，解得或，又n為正整數(shù)，∴，則n的最小值為5．39．設(shè)數(shù)列前項(xiàng)和為，，（）.（1）求出通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造等比數(shù)列求出即可得解；（2）分n為奇數(shù)偶數(shù)，分別利用相加相消求奇數(shù)項(xiàng)和，利用錯(cuò)位相減法求偶數(shù)項(xiàng)的前n項(xiàng)和，相加即可求出前2n的和.（1）由，得，即，所以.因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.所以當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，滿足上式，故.（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中奇數(shù)項(xiàng)的和為，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，有，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的偶數(shù)項(xiàng)的和為，所以，所以，上述兩式相減，得所以.故數(shù)列的前和.40．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【分析】（1）采用作差法，并驗(yàn)證是否滿足通項(xiàng)；（2）分為奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行分類討論，結(jié)合分組求和法，奇數(shù)項(xiàng)結(jié)合裂項(xiàng)法求和，偶數(shù)項(xiàng)采用錯(cuò)位相減法，即可得出答案.（1）因?yàn)棰?，所以②，?②得，即，又，當(dāng)時(shí)，，故，也滿足，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，奇數(shù)項(xiàng)作和可得：；當(dāng)時(shí)，，即，偶數(shù)項(xiàng)作和得③，④，③-④可得：，即，化簡(jiǎn)得，故的前項(xiàng)和為：.任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-30題一、單選題1．已知數(shù)列滿足，，（），則數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件求出與的通項(xiàng)，進(jìn)而求得即可求出數(shù)列的前2017項(xiàng)的和.【詳解】在數(shù)列中，，，，，則有，即，而，于是得，因此，，則，數(shù)列的前2017項(xiàng)的和為.故選：D2．已知數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和，數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用與關(guān)系可證得為等差數(shù)列，由此可求得，將進(jìn)行裂項(xiàng)后，前后相消可求得，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為；令，可證得為遞增數(shù)列，由此得到.【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得：或，又，；當(dāng)時(shí)，由得：，，整理可得：，，，即，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，；經(jīng)檢驗(yàn)：滿足；綜上所述：，，，由得：，令，則，為遞增數(shù)列，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.3．已知等比數(shù)列滿足，，若，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題首先可根據(jù)、得出，然后根據(jù)得出，再然后根據(jù)錯(cuò)位相減法求出，最后根據(jù)題意得出對(duì)任意不等式恒成立，根據(jù)即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，，所以，解得，，，因?yàn)椋?，，則，，，對(duì)任意不等式恒成立，即對(duì)任意不等式恒成立，因?yàn)?，所以，的取值范圍?故選：C.4．設(shè)為不超過(guò)x的最大整數(shù)，為可能取到所有值的個(gè)數(shù)，是數(shù)列前n項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確個(gè)數(shù)的有（1）（2）是數(shù)列中的項(xiàng)（3）（4）當(dāng)時(shí)，取最小值A(chǔ)．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4【答案】C【分析】先求得的結(jié)果，歸納推理得到個(gè)數(shù)的表達(dá)，即的值，由此對(duì)四個(gè)結(jié)論逐一分析，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，，，，，故.當(dāng)時(shí)，，，，故，共有個(gè)數(shù)，即，故（1）結(jié)論正確.以此類推，當(dāng)，時(shí)，，，故可以取的個(gè)數(shù)為，即，當(dāng)時(shí)上式也符合，所以；令，得，沒(méi)有整數(shù)解，故（2）錯(cuò)誤.，所以，故，所以（3）判斷正確.，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)取得最小值，故（4）正確.綜上所述，正確的有三個(gè)，故選C.5．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)積，記，求的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先由求出，再當(dāng)時(shí)，由得，兩式左右兩邊相除得，，得到數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而求出，，令，再判斷數(shù)列是遞增數(shù)列，從而可求出的范圍【詳解】解：令，則，得，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，即，，所以，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以，所以，令，所以，所以數(shù)列是遞增數(shù)列，，因?yàn)樗?，所以，綜上，，故選：D6．已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，且，若，（其中），則的最小值是（）A． B．4 C． D．2018【答案】B【分析】由，可得，，以上各式相加得可求得，結(jié)合，根據(jù)均值不等式，即可求得答案.【詳解】，，以上各式相加得，，，又，，即，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選：B．7．?dāng)?shù)列滿足，（且），數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，且，則（）．A． B． C．4851 D．4950【答案】D【分析】由數(shù)列為遞增數(shù)列，得到，進(jìn)而得出，又由數(shù)列為遞減數(shù)列，得到，得到，得出當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即可求解．【詳解】因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即，則，由題意，則由得，，因?yàn)閿?shù)列為遞減數(shù)列，所以，即，則，由題意得，，由，可得，，又，即，所以當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，．所以．故選：D．8．已知數(shù)列中，，若，設(shè)，若，則正整數(shù)的最大值為（）A．1009 B．1010 C．2019 D．2020【答案】B【分析】由可得,則.再結(jié)合,可化簡(jiǎn),從而可以求出正整數(shù)的最大值.【詳解】,∴,∴,即數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列,,即,,,,即,正整數(shù)的最大值為1010,故選:B.9．已知數(shù)列滿足…，設(shè)數(shù)列滿足：,數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出的通項(xiàng)，再求出的通項(xiàng)，從而可求，利用參變分離可求的取值范圍.【詳解】因?yàn)椤浴?，故即，其?而令，則，故，.，故，故恒成立等價(jià)于即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)?，?故選D.10．艾薩克·牛頓（1643年1月4日——1727年3月31日）英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng)，英國(guó)著名物理學(xué)家，同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有許多杰出貢獻(xiàn)，牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列：滿足，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)（）有兩個(gè)零點(diǎn)，，數(shù)列為牛頓數(shù)列，設(shè)，已知，，的前項(xiàng)和為，則等于A． B． C． D．【答案】C【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)1，2，，，則由題意，，，且，，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，則，.故選C11．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，數(shù)列滿足，，記，若表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則（）A．2017 B．2018 C．2019 D．2020【答案】A【詳解】由題意可得，∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即．∴，∴，，，，，以上各式累加可得．∴．∴====．∴．選A．12．設(shè)表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知數(shù)列中，，且，若，則整數(shù)A．99 B．100 C．101 D．102【答案】C【分析】由可得，從而，而，從而，由此可解出n的值.【詳解】因?yàn)?所以，故數(shù)列是遞增數(shù)列，且，又由可得，即，而，從而，所以[],又，所以[]，，故選C.第II卷（非選擇題）二、填空題13．已知數(shù)列滿足：，，(且)，等比數(shù)列公比，則數(shù)列的前項(xiàng)和___________.【答案】【分析】由遞推關(guān)系可得，解方程即可求出，代入遞推關(guān)系式可得，證明數(shù)列為等差數(shù)列，即可求解，根據(jù)錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】因?yàn)?，?且)，①當(dāng)時(shí)，，即，由等比數(shù)列的的公比為，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，即，解得，又(，且)，②①-②可得，，即，化為，又，所以為等差數(shù)列，且公差，則，所以，，上面兩式相減可得，所以.故答案為：.14．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，且，，成等差數(shù)列，數(shù)列滿足，數(shù)列的前項(xiàng)和，則______.【答案】【分析】根據(jù)條件可得，得，進(jìn)而得設(shè)，由和與項(xiàng)的關(guān)系可得，再由累加計(jì)算，利用錯(cuò)位相減即可得解.【詳解】各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)公比為，由，可得，即，得，，，成等差數(shù)列，所以，即，得.所以.設(shè),則.時(shí)，滿足.所以.所以.所以，，，……，累加得：.記，則，兩式作差得：，所以，即，因?yàn)樗?，所?故答案為：.15．已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，成等比數(shù)列，，數(shù)列滿足，前項(xiàng)和為，則_________.【答案】【分析】先根據(jù)條件求解出的通項(xiàng)公式，然后采用裂項(xiàng)相消的方法分奇偶進(jìn)行求和，由此可求解出，則可求.【詳解】設(shè)的公差為（）.由題意，，即，又，即，聯(lián)立解得，，所以.所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.所以.故答案為：.16．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為_(kāi)_____________【答案】2019【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，可得數(shù)列的公差，且，，，，，，求得，計(jì)算可得，分析比較，即可得到所求最大值時(shí)的值．【詳解】解：等差數(shù)列的公差設(shè)為，若，則，，所以公差，，即，，即，可得，即數(shù)列遞減，且，，，，，，，則，由，要使取最大值，可得取得最小值，顯然，而，可得時(shí)，取得最小值，故答案為：．17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，且．若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為_(kāi)___________．【答案】【分析】當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，由化簡(jiǎn)得，利用累乘法求得，進(jìn)而得，利用裂項(xiàng)求和法得，因此利用對(duì)，恒成立即可求解.【詳解】解析：當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，由，得．依據(jù)疊乘法（累乘法）可得．由，得，于是．由于對(duì)，恒成立，，故實(shí)數(shù)的最小值為．故答案為：18．已知函數(shù)若對(duì)于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖象恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和周期得到函數(shù)圖象，根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，則，再利用裂項(xiàng)相消法求和得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)周期為，畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示：與函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，故，故，數(shù)列的前n項(xiàng)和為.故答案為：.19．?dāng)?shù)列滿足，，則的整數(shù)部分是___________.【答案】1【分析】由，結(jié)合裂項(xiàng)法求出，可得.再由，判斷，求出，即可求得的整數(shù)部分.【詳解】由，可得，兩邊取倒數(shù)，得，，..又，若，則與矛盾，，又，，當(dāng)時(shí)，，，，，故的整數(shù)部分是.故答案為：1.20．設(shè)表示正整數(shù)n的個(gè)位數(shù)