高考數(shù)學(xué)選填壓軸題型第13講立體幾何的動(dòng)態(tài)問題專題練習(xí)(原卷版+解析)

13/14第13講立體幾何的動(dòng)態(tài)問題一．方法綜述立體幾何的動(dòng)態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，問題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性.一般立體動(dòng)態(tài)問題形成的原因有動(dòng)點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等.動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口.求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍.對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題.具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證.二．解題策略類型一立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的角度問題例1.已知平行四邊形中，，，，沿對(duì)角線將折起到的位置，使得平面平面，如圖，若，均是線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上（包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則二面角的正弦值的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省新高考測評(píng)卷數(shù)學(xué)（第五模擬）【舉一反三】1．（2020·黑龍江牡丹江一中高三（理））如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．2．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．3.（2020·浙江臺(tái)州中學(xué)高三）如圖，已知正方體的上底面中心為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為的中點(diǎn)，分別記二面角，，的平面角為，則（）A． B． C． D．類型二立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的距離問題【例2】（2020·山西高三）設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)C1的最短距離是（）A． B． C．1 D．【舉一反三】1．（2020·四川高三（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離的最大值是（）A． B． C． D．2．已知四邊形是邊長為5的菱形，對(duì)角線（如圖1），現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點(diǎn)B達(dá)到點(diǎn)P的位置.棱，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，且四面體的外接球球心落在四面體內(nèi)部（不含邊界，如圖2），則線段長度的取值范圍為（）A． B．C． D．【來源】江西省鷹潭市2021屆高三高考二模數(shù)學(xué)（文）試題3（2020廣西柳州市?？迹┤鐖D，在正方體中，棱長為1，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的外接球表面為C．的最小值為D．當(dāng)時(shí)，平面類型三立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的面積、體積問題【例3】（2020·河南高三（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點(diǎn)，P是底面所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（）A． B． C． D．【舉一反三】1.（2020·四川高三期末）長方體中，，，，為該正方體側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．2．如圖，長方形中，，，點(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將沿折起為．設(shè)，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．3．（2020·重慶市松樹橋中學(xué)校高三）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：異面直線與間的距離為定值；三棱錐的體積為定值；異面直線與直線所成的角為定值；二面角的大小為定值．其中真命題有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)類型四立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的軌跡問題【例4】（2020南充高考一模）如圖，直二面角，，，，且，，，，，，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.一條直線 D.兩條直線【舉一反三】1．已知正方體的棱長為，M，N為體對(duì)角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A． B． C． D．2、（2020貴陽高考模擬）在正方體中，已知點(diǎn)為平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點(diǎn)的軌跡為（）A．直線B．橢圓C．圓D．拋物線3．幾何中常用表示的測度，當(dāng)為曲線、平面圖形和空間幾何體時(shí)，分別對(duì)應(yīng)其長度、面積和體積．在中，，，，為內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），在空間中，到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡為，則等于（）A． B． C． D．【來源】安徽省合肥市2021屆高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·內(nèi)蒙古高三期末）如圖，棱長為1的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）．①異面直線與所成的角為②③三棱錐的體積為定值④的最小值為2．A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④2.（2020河南省焦作市高三）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（）A． B．1 C． D．23．（2020·重慶巴蜀中學(xué)高三（理））棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．14．已知三棱錐的所有棱長均為2，為的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B． C． D．【來源】浙江省五校2021屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題5.（2020鄭州一中高三期末）在三棱錐中，平面，M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．6．（2020九江高三一模）在長方體中，，，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）A． B． C． D．7．（2020·浙江高三期末）在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線8．（2020·上海格致中學(xué)高三月考）在正方體中,若點(diǎn)(異于點(diǎn))是棱上一點(diǎn),則滿足與所成的角為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．3 C．4 D．69.（2020上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高三）如圖，已知三棱錐，平面，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，記與平面所成的角為，與直線所成的角為，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不能確定10．（2020·湖南長郡中學(xué)高三（理））在三棱錐中，平面，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．11．在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為面的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．6 C． D．【來源】江西省贛州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題12．在棱長為的正四面體中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【來源】河南省鶴壁市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題13．在棱長為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（）A． B． C． D．【來源】北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題14．如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分15．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．16．如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是上靠近C的三等分點(diǎn)，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則（）

A． B．C． D．17．如圖，棱長為的長方體中，為線段上動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)).則以下結(jié)論正確的為（）A．三棱錐中，點(diǎn)到面的距離為定值B．過點(diǎn)平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為C．直線與面所成角的正弦值的范圍為D．當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，三棱錐的外接球體積為【來源】廣東省普寧市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題18．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成角的取值范圍為（）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【來源】江西省景德鎮(zhèn)一中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題19．如圖，在三棱錐中，．且，則四面體的體積的最大值為（）A． B． C． D．【來源】浙江省衢州市五校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題20．如圖，三棱錐的底面在平面內(nèi)，所有棱均相等，是棱的中點(diǎn)，若三棱錐繞棱旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】浙江省寧波市慈溪市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題21．（2020·浙江高三期末）在正四面體中，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，且，設(shè)異面直線與所成角為，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是__________．22．（2020·江蘇高三（理））如圖所示的正方體是一個(gè)三階魔方(由27個(gè)全等的棱長為1的小正方體構(gòu)成），正方形是上底面正中間一個(gè)正方形，正方形是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則線段長度的最小值為_______．23.如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)為，AB的中點(diǎn)，M點(diǎn)是正方形內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若平面，則M點(diǎn)的軌跡長度為______．

24．（2020·上海復(fù)旦附中高三期中）如圖，已知直四棱柱的所有棱長等于1，，和分別是上下底面對(duì)角線的交點(diǎn)，在線段上，，點(diǎn)在線段上移動(dòng)，則三棱錐的體積最小值為______.25．（2020·湖北高考模擬（理））如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，，點(diǎn)E是線段CD上異于點(diǎn)C，D的動(dòng)點(diǎn)，EF⊥AD于點(diǎn)F，將△DEF沿EF折起到△PEF的位置，并使PF⊥AF，則五棱錐P-ABCEF的體積的取值范圍為______．第13講立體幾何的動(dòng)態(tài)問題第13講立體幾何的動(dòng)態(tài)問題一．方法綜述立體幾何的動(dòng)態(tài)問題是高考的熱點(diǎn)，問題中的“不確定性”與“動(dòng)感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性.一般立體動(dòng)態(tài)問題形成的原因有動(dòng)點(diǎn)變化、平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動(dòng)點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等.動(dòng)態(tài)立體幾何題在變化過程中總蘊(yùn)含著某些不變的因素，因此要認(rèn)真分析其變化特點(diǎn)，尋找不變的靜態(tài)因素，從靜態(tài)因素中，找到解決問題的突破口.求解動(dòng)態(tài)范圍的選擇、填空題，有時(shí)應(yīng)把這類動(dòng)態(tài)的變化過程充分地展現(xiàn)出來，通過動(dòng)態(tài)思維，觀察它的變化規(guī)律，找到兩個(gè)極端位置，即用特殊法求解范圍.對(duì)于探究存在問題或動(dòng)態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動(dòng)態(tài)問題劃歸為靜態(tài)問題.具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證.二．解題策略類型一立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的角度問題例1.已知平行四邊形中，，，，沿對(duì)角線將折起到的位置，使得平面平面，如圖，若，均是線段的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上（包含端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，則二面角的正弦值的取值范圍為（）A． B． C． D．【來源】2021年浙江省新高考測評(píng)卷數(shù)學(xué)（第五模擬）【答案】B【解析】在中，，，，所以由余弦定理得，所以，所以，由翻折的性質(zhì)可知，．又平面平面，平面平面，所以平面，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則平面，所以，過作，垂足為，連接，則平面，所以為二面角的平面角．設(shè)（），則，，，，所以，所以．由二次函數(shù)的單調(diào)性知，在上的值域?yàn)?，所以，即二面角的正弦的取值范圍為．故選：B.【舉一反三】1．（2020·黑龍江牡丹江一中高三（理））如圖，在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)正方體棱長為1，．以為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，所以．在正方體中，可證平面，所以是平面的一個(gè)法向量．所以．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，當(dāng)或1時(shí)，取得最小值．所以.故選A．2．（2020·廣東高考模擬）在正方體中，E是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是A．B．C．D．【答案】B【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體中棱長為1，設(shè)0，，，，1，，1，，0，，1，，，1，，1，，設(shè)平面的法向量y，，則，取，得，平面，，解得，，，設(shè)直線與直線AB所成角為，1，，，，，．直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是．3.（2020·浙江臺(tái)州中學(xué)高三）如圖，已知正方體的上底面中心為，點(diǎn)為上的動(dòng)點(diǎn)，為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），為的中點(diǎn)，分別記二面角，，的平面角為，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】分析：建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)動(dòng)點(diǎn)O選取一個(gè)特殊位置，然后求出三個(gè)側(cè)面的法向量，根據(jù)向量夾角的余弦值求得三個(gè)二面角的余弦值，比較后可得二面角的大小．詳解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．考慮點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)的情況．設(shè)正方體的棱長為1，則．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，令，得．同理可得平面和平面的法向量分別為．結(jié)合圖形可得：，，∴，又，∴．故選D．類型二立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的距離問題【例2】（2020·山西高三）設(shè)點(diǎn)M是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在面BCC1B1所在的平面內(nèi)，若平面D1PM分別與平面ABCD和平面BCC1B1所成的銳二面角相等，則點(diǎn)P到點(diǎn)C1的最短距離是（）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，連接，則是平面與平面的交線，是平面與平面的交線．與平行，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，則有，與平面垂直，所以，與垂直，即角是平面與平面的夾角的平面角，且，與平行交于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，同上有：，且有，又因?yàn)?，故，而，故，而四邊形一定是平行四邊形，故它還是菱形，即點(diǎn)一定是的中點(diǎn)，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離是點(diǎn)到直線的距離，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，點(diǎn)到點(diǎn)的最短距離：．故選：．【指點(diǎn)迷津】求兩點(diǎn)間的距離或其最值.一種方法，可建立坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式寫出距離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；另一種方法，幾何法，根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn)，尋找那兩點(diǎn)間的距離最大（小），求其值.【舉一反三】1．（2020·四川高三（理））已知三棱錐中，，且、、兩兩垂直，是三棱錐外接球面上一動(dòng)點(diǎn)，則到平面的距離的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】是棱長為1的正方體上具有公共頂點(diǎn)的三條棱,以為原點(diǎn),分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,三棱錐外接球就是正方體的外接球，由正方體及球的幾何性質(zhì)可得點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，求出平面的法向量，由點(diǎn)到直線的距離公式即可得結(jié)果.【詳解】三棱錐，滿足兩兩垂直，且，如圖是棱長為1的正方體上具有公共頂點(diǎn)的三條棱,以為原點(diǎn),分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系,則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，三棱錐外接球就是棱長為1的正方體的外接球，是三棱錐外接球上一動(dòng)點(diǎn)，由正方體與球的幾何性質(zhì)可得，點(diǎn)點(diǎn)與重合時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，點(diǎn)到平面的距離的最大值為.故選C.2．已知四邊形是邊長為5的菱形，對(duì)角線（如圖1），現(xiàn)以為折痕將菱形折起，使點(diǎn)B達(dá)到點(diǎn)P的位置.棱，的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，且四面體的外接球球心落在四面體內(nèi)部（不含邊界，如圖2），則線段長度的取值范圍為（）A． B．C． D．【來源】江西省鷹潭市2021屆高三高考二模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】A【解析】由題意可知△的外心在中線上，設(shè)過點(diǎn)的直線⊥平面,可知平面,同理△的外心在中線上,設(shè)過點(diǎn)的直線⊥平面，則平面,由對(duì)稱性知直線的交點(diǎn)在直線上.根據(jù)外接球的性質(zhì),點(diǎn)為四面體的外接球的球心.由題意得,而所以.令,顯然,所以.因?yàn)?，所以，又，所以，?綜上可知.故選：A.3（2020廣西柳州市?？迹┤鐖D，在正方體中，棱長為1，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的外接球表面為C．的最小值為D．當(dāng)時(shí)，平面【答案】C【解析】對(duì)于，連結(jié)，，，則，，，設(shè)到平面的距離為，則，解得，∴.∴當(dāng)時(shí)，為與平面的交點(diǎn)．∵平面∥平面，∵平面，∴∥平面，故A正確．又由以上分析可得，當(dāng)時(shí)，即為三棱錐的高，∴平面，所以D正確．對(duì)于B，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐為正四棱錐，設(shè)平面的中心為，四棱錐的外接球?yàn)?，所以，解得，故四棱錐的外接球表面積為，所以B正確．對(duì)于C，連結(jié)，，則，∴，由等面積法得的最小值為，∴的最小值為．所以C不正確．故選：C.類型三立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的面積、體積問題【例3】（2020·河南高三（理））在棱長為3的正方體中，E是的中點(diǎn)，P是底面所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，與底面所成的角分別為（均不為0），若，則三棱錐體積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】建系如圖，正方體的邊長為3，則，0，，，0，，設(shè)，，，，則，，，，，，，，0，，，即，代入數(shù)據(jù)，得：，整理得：，變形，得：，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓的一部分，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則為三棱錐的高點(diǎn)到直線的距離的最大值是2．則．，故選：．【指點(diǎn)迷津】求幾何體體積的最值，先觀察幾何圖形三棱錐，其底面的面積為不變的幾何量，求點(diǎn)P到平面BCD的距離的最大值，選擇公式，可求最值.【舉一反三】1.（2020·四川高三期末）長方體中，，，，為該正方體側(cè)面內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且滿足.則四棱錐體積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：在中，，在中，，因?yàn)?，所?因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.如下圖所示：，，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.聯(lián)立，解得：.所以，.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置時(shí)，此時(shí)四棱錐的高最長，所以.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到或位置時(shí)，此時(shí)四棱錐的高最短，所以.綜上所述：.2．如圖，長方形中，，，點(diǎn)在線段（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將沿折起為．設(shè)，二面角的大小為，若，則四棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)過與垂直的線段長為，則，，，，則四棱錐的高，則，，∴四棱錐體積的最大值為.故選：A.3．（2020·重慶市松樹橋中學(xué)校高三）如圖，在單位正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，給出以下四個(gè)命題：異面直線與間的距離為定值；三棱錐的體積為定值；異面直線與直線所成的角為定值；二面角的大小為定值．其中真命題有()A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】對(duì)于①，異面直線與間的距離即為兩平行平面和平面間的距離，即為正方體的棱長，為定值．故①正確．對(duì)于②，由于，而為定值，又P∈AD1，AD1∥平面BDC1，所以點(diǎn)P到該平面的距離即為正方體的棱長，所以三棱錐的體積為定值．故②正確．對(duì)于③，由題意得在正方體中，B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，故這兩條異面直線所成的角為．故③正確；對(duì)于④，因?yàn)槎娼荘?BC1?D的大小，即為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角的大小，而這兩個(gè)平面位置固定不變，故二面角的大小為定值．故④正確．綜上①②③④正確．選D．類型四立體幾何中動(dòng)態(tài)問題中的軌跡問題【例4】（2020南充高考一模）如圖，直二面角，，，，且，，，，，，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（）A.圓的一部分 B.橢圓的一部分 C.一條直線 D.兩條直線【答案】A【解析】以所在直線為軸，的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，，，，則，，，，，，，，即，整理得：，故點(diǎn)的軌跡是圓的一部分，故選.【指點(diǎn)迷津】空間軌跡問題的求解策略：1.利用側(cè)面展開或展到一個(gè)平面上尋求軌跡；2.利用圓錐曲線定義求軌跡；3.這輾轉(zhuǎn)過程中動(dòng)點(diǎn)的軌跡；4.利用函數(shù)觀點(diǎn)探求軌跡【舉一反三】1．已知正方體的棱長為，M，N為體對(duì)角線的三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在三角形內(nèi)，且三角形的面積，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：連接，因?yàn)樗倪呅问钦叫?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，平面，所以平面，所以，同理可知：，又因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，根?jù)題意可知：，所以為正三角形，所以，所以，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以即為與平面的交點(diǎn)，由題意可知：平面，所以，所以，再如下圖所示：在正三角形中，高，所以內(nèi)切圓的半徑，且，取的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接，所以，所以是以長度為邊長的正三角形，所以的軌跡是以為圓心，半徑等于的圓，圓的周長為，在內(nèi)部的軌跡是三段圓弧，每一段圓弧的圓心角為，所以對(duì)應(yīng)的軌跡長度是圓周長的一半為，故選：B.2、（2020貴陽高考模擬）在正方體中，已知點(diǎn)為平面中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)滿足：直線與平面所成的角的大小等于平面與平面所成銳二面角的大小，則點(diǎn)的軌跡為（）A．直線B．橢圓C．圓D．拋物線【答案】D3．幾何中常用表示的測度，當(dāng)為曲線、平面圖形和空間幾何體時(shí)，分別對(duì)應(yīng)其長度、面積和體積．在中，，，，為內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），在空間中，到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡為，則等于（）A． B． C． D．【來源】安徽省合肥市2021屆高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題【答案】D【解析】空間中，到點(diǎn)的距離為的點(diǎn)的軌跡所構(gòu)成的空間幾何體在垂直于平面的角度看，如下圖所示：其中：，和區(qū)域內(nèi)的幾何體為底面半徑為的半圓柱；，，區(qū)域內(nèi)的幾何體為被兩平面所截得的部分球體，球心分別為；區(qū)域內(nèi)的幾何體是高為的直三棱柱.四邊形和為矩形，，，同理可得：，，，，，區(qū)域內(nèi)的幾何體合成一個(gè)完整的，半徑為的球，則，，區(qū)域內(nèi)的幾何體的體積之和；又，和區(qū)域內(nèi)的幾何體的體積之和；區(qū)域內(nèi)的直三棱柱體積，.故選：D.三．強(qiáng)化訓(xùn)練1．（2020·內(nèi)蒙古高三期末）如圖，棱長為1的正方體中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）．①異面直線與所成的角為②③三棱錐的體積為定值④的最小值為2．A．①②③ B．①②④ C．③④ D．②③④【答案】A【解析】①∵∥BC，∴異面直線與所成的角即為BC與所成的角，可得夾角為，故①正確；②連接，∵平面A1BCD1，平面A1BCD1，∴，故②正確；③∵∥平面DCC1D1，∴線段A1B上的點(diǎn)M到平面DCC1D1的距離都為1,又△DCC1的面積為定值,因此三棱錐M?DCC1的體積為定值,故③正確；④將面AA1B與面A1BCD1沿A1B展成平面圖形,線段AD1即為AP+PD1的最小值，在△D1A1A中,∠D1A1A=135°,利用余弦定理解三角形得，故④不正確.因此只有①②③正確.故選：A.2.（2020河南省焦作市高三）在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F分別在棱AA1和AB上，且C1E⊥EF，則|AF|的最大值為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則C1（4，4，4），設(shè)E（0，0，z），z∈[0，4]，F(xiàn)（x，0，0），x∈[0，4]，則|AF|＝x．＝（4，4，4﹣z），＝（x，0，﹣z）．因?yàn)镃1E⊥EF，所以，即：z2+4x﹣4z＝0，x＝z﹣．當(dāng)z＝2時(shí)，x取得最大值為1．|AF|的最大值為1．故選：B．3．（2020·重慶巴蜀中學(xué)高三（理））棱長為2的正方體中，為的中點(diǎn)，在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，與平面所成角為，與平面所成角為，若，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【解析】分析：先證明PD=2PC，再在底面ABCD內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出，再利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出|AP|的最小值.【詳解】設(shè)，所以，，所以PD=2PC.在底面ABCD內(nèi)建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(x,y),則，整理得，所以，即,所以|AP|的最小值為2.故選：A4．已知三棱錐的所有棱長均為2，為的中點(diǎn)，空間中的動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長度為（）A． B． C． D．【來源】浙江省五校2021屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】正四面體放入正方體，則正方體的棱長為，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，，設(shè)，，.由于，，所以，即，即，即，表示球心為，半徑為的球.表示垂直于平面的一個(gè)平面.所以的軌跡是上述平面截球面所得圓.球心到平面的距離為，所以截得的圓的半徑，所以截得的圓，也即點(diǎn)的軌跡的長度為.故選：C5.（2020鄭州一中高三期末）在三棱錐中，平面，M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：三棱錐中，平面，M是線段上一動(dòng)點(diǎn)，線段長度最小值為，則：當(dāng)時(shí)，線段達(dá)到最小值，由于：平面，所以：，解得：，所以：，則：，由于：，所以：則：為等腰三角形．所以：，在中，設(shè)外接圓的直徑為，則：，所以：外接球的半徑，則：，故選：C．6．（2020九江高三一模）在長方體中，，，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】補(bǔ)全截面EFG為截面EFGHQR如圖，其中H、Q、R分別為、的中點(diǎn)，易證平面ACD1∥平面EFGHQR，∵直線D1P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，∴D1P∥面ACD1，∴D1P面ACD1，∴P∈AC，∴過P作AC的垂線，垂足為K，則BK=,此時(shí)BP最短，△PBB1的面積最小，∴三角形面積的最小值為，故選：C．7．（2020·浙江高三期末）在三棱錐中，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線【答案】B【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意，求出軌跡方程，可得其軌跡.由題，三棱錐為正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面三角形的中心，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)題意可得，設(shè)為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則，由題與所成角為定值，，則則，化簡得，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓.選B8．（2020·上海格致中學(xué)高三月考）在正方體中,若點(diǎn)(異于點(diǎn))是棱上一點(diǎn),則滿足與所成的角為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過分類討論利用異面直線的方向向量所成的夾角即可找出所有滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)棱長，，0，，，1，．①在△中，，因此．同理，與所成的角都為．故當(dāng)點(diǎn)位于（分別與上述棱平行或重合）棱，，上時(shí)，與所成的角都為，不滿足條件；②當(dāng)點(diǎn)位于棱上時(shí)，設(shè)，，，，則，，，，1，．若滿足與所成的角為，則，化為，無正數(shù)解，舍去；同理，當(dāng)點(diǎn)位于棱上時(shí)，也不符合條件；③當(dāng)點(diǎn)位于棱上時(shí)，設(shè)，，，，則，，，，1，．若滿足與所成的角為，則，化為，，解得，滿足條件，此時(shí)點(diǎn)．④同理可求得棱上一點(diǎn)，棱上一點(diǎn)．而其它棱上沒有滿足條件的點(diǎn)．綜上可知：滿足條件的點(diǎn)有且只有3個(gè)．故選：9.（2020上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高三）如圖，已知三棱錐，平面，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，記與平面所成的角為，與直線所成的角為，則與的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．不能確定【答案】C【解析】如圖所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角=∠PDA,過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴coscoscos<cos,又均為銳角，∴，故選C.10．（2020·湖南長郡中學(xué)高三（理））在三棱錐中，平面，，，，是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出的外接圓圓心與三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑，再計(jì)算它的表面積．詳解：三棱錐設(shè)直線與平面所成角為，如圖所示；則由題意且的最大值是，∴，解得即的最小值為∴的最小值是，即點(diǎn)到的距離為，取的外接圓圓心為，作，解得；為的中點(diǎn)，由勾股定理得∴三棱錐的外接球的表面積是

故選B.11．在直三棱柱中，底面是以B為直角的等腰三角形，且，.若點(diǎn)D為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)M為面的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．6 C． D．【來源】江西省贛州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】C【解析】由題意知，，為直三棱柱，即面面，面面，面，∴面，又面，∴面面.∴易得關(guān)于平面對(duì)稱點(diǎn)E落在的延長線上，且，即，如下圖所示，的最小時(shí)，、、三點(diǎn)共線.∴.故選：C12．在棱長為的正四面體中，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最大值為（）A． B． C． D．【來源】河南省鶴壁市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題【答案】B【解析】如圖所示，在平面內(nèi)，，所以點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡為橢圓，取的中點(diǎn)為點(diǎn)，連接，以直線為軸，直線為建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則橢圓的半焦距，長半軸，該橢圓的短半軸為，所以，橢圓方程為.點(diǎn)在底面的投影設(shè)為點(diǎn)，則點(diǎn)為的中心，，故點(diǎn)正好為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則，因?yàn)?，故只需?jì)算的最大值.設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，取最大值，即，因此可得，故的最大值為.故選：B.13．在棱長為的正方體中，是線段上的點(diǎn)，過的平面與直線垂直，當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積的最小值是（）A． B． C． D．【來源】北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)點(diǎn)，其中.①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，所以，，，則，，，平面，此時(shí)平面即為平面，截面面積為；②當(dāng)時(shí)，同①可知截面面積為；③當(dāng)時(shí)，，，，，則，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，不合乎題意.設(shè)平面交棱于點(diǎn)，，，可得，合乎題意，即，同理可知，平面交棱于點(diǎn)，，且與不重合，故四邊形為平行四邊形，，，，則，所以，截面面積為.綜上所述，截面面積的最小值為.故選：C.14．如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足．平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡為（）A．圓 B．橢圓C．雙曲線的一部分 D．拋物線的一部分【答案】B【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)所以點(diǎn)的軌跡是橢圓．故選：B.15．已知正方體的棱長為1，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記為直線與之間的距離，則，由，為到平面的距離，因?yàn)?，而，故，故選：B.16．如圖，是等腰直角三角形，，點(diǎn)D是上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是上靠近C的三等分點(diǎn)，沿直線將翻折成，所成二面角的平面角為，則（）

A． B．C． D．【答案】B【詳解】如圖，在等腰直角三角形中，過作直線，作交直線于點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為，交直線與，過作的垂線，垂足為，且交于，不妨設(shè)，則，在直角三角形中，，因?yàn)?，故，故，同理，所以，，同理?在幾何體中連接，如圖，因?yàn)楣蕿槎娼堑钠矫娼?，故，而，故平面，所以平面，而平面，?，故，故，同理，，故，同理，，故，因?yàn)?，故，故選B.17．如圖，棱長為的長方體中，為線段上動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)).則以下結(jié)論正確的為（）A．三棱錐中，點(diǎn)到面的距離為定值B．過點(diǎn)平行于面的平面被正方體截得的多邊形的面積為C．直線與面所成角的正弦值的范圍為D．當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，三棱錐的外接球體積為【來源】廣東省普寧市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】對(duì)于A中，由，為等邊三角形，面積為,設(shè)點(diǎn)到面的距離為，由，求得，所以A不正確；對(duì)于B中，過點(diǎn)P平行于平面的平面被正方體截得的多邊形平面，此時(shí)三角形為邊長為的等邊三角形，其面積為，所以B不正確；對(duì)于C中，由正方體的結(jié)構(gòu)特征和性質(zhì)，可得點(diǎn)P到平面的距離為，當(dāng)點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（P為端點(diǎn)時(shí)），，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以C正確；對(duì)于D中，當(dāng)點(diǎn)P與重合時(shí)，此時(shí)三棱錐為，設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋傻盟匀忮F的外接球的球心為的中點(diǎn)，其半徑為，所以三棱錐的外接球的體積為，所以D不正確.故選：C.18．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則直線與直線所成角的取值范圍為（）(參考數(shù)據(jù)：)A． B． C． D．【來源】江西省景德鎮(zhèn)一中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題【答案】B【解析】如圖，建立空間直接坐標(biāo)系，連結(jié)，交平面于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，平面，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化可知，即，解得：，，,，異面直線與所成的角，轉(zhuǎn)化為與所成的角，如圖，將部分幾何體分類出來，再建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，則以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，,，即，，即，即，，因?yàn)楫惷嬷本€所成的角是銳角，并設(shè)為，則，，，故選：B19．如圖，在三棱錐中，．且，則四面體的體積的最大值為（）A． B． C． D．【來源】浙江省衢州市五校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【答案】B【解析】作BEAD于E，連接CE，如圖，因?yàn)樵倨矫鍮EC內(nèi)相交，所以AD平面BEC，因?yàn)镃E平面BEC，所以CEAD，因?yàn)?，所以B與C都是在以A、D為焦點(diǎn)的橢球上，且BE、CE都垂直于焦距AD，AB＋BD=AC+CD=2，顯然，所以BE=CE.取BC中點(diǎn)F，要求四面體ABCD的體積的最大值，因?yàn)锳D是定值，只需三角形EBC的面積最大，因?yàn)锽C是定值,所以只需EF最大即可，當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)幾何體的體積最大，因?yàn)锳B＋BD=AC+CD=2，，，所以幾何體的體積為故選：B20．如圖，三棱錐的底面在平面