福建省清流第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

福建省清流第一中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．有一機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方程為，(是時(shí)間，是位移)，則該機(jī)器人在時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度為（）A. B.C. D.2．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿意的學(xué)生為24人3．已知直線l和兩個(gè)不同的平面，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．是雙曲線：上一點(diǎn)，已知，則的值（）A. B.C.或 D.5．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A. B.C. D.7．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.8．已知是定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.9．直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.10．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.11．盤(pán)子里有肉餡、素餡和豆沙餡的包子共個(gè)，從中隨機(jī)取出個(gè)，若是肉餡包子的概率為，不是豆沙餡包子的概率為，則素餡包子的個(gè)數(shù)為（）A. B.C. D.12．方程化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．下列命題：①若，則；②“在中，若，則”逆命題是真命題；③命題“，”的否定是“，”；④“若，則”的否命題為“若，則”.則其中正確的是______.14．展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是________15．已知，，則以AB為直徑的圓的方程為_(kāi)__________.16．若直線與直線互相垂直，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，______.給出下列條件：①若展開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為256.試在上面兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在上面的橫線上，并解答下列問(wèn)題：（1）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（2）求展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng).18．（12分）兩人下棋，每局均無(wú)和棋且獲勝的概率為，某一天這兩個(gè)人要進(jìn)行一場(chǎng)五局三勝的比賽，勝者贏得2700元獎(jiǎng)金，（1）分別求以獲勝、以獲勝的概率；（2）若前兩局雙方戰(zhàn)成，后因?yàn)槠渌露K止比賽，間，怎么分獎(jiǎng)金才公平？19．（12分）如圖，四棱錐中，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于？20．（12分）某小學(xué)調(diào)查學(xué)生跳繩的情況，在五年級(jí)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，得到頻率分布直方圖如下，且規(guī)定積分規(guī)則如下表：每分鐘跳繩個(gè)數(shù)得分17181920（1）求頻率分布直方圖中，跳繩個(gè)數(shù)在區(qū)間的小矩形的高；（2）依據(jù)頻率分布直方圖，把第40百分位數(shù)劃為合格線，低于合格分?jǐn)?shù)線的學(xué)生需補(bǔ)考，試確定本次測(cè)試的合格分?jǐn)?shù)線；（3）依據(jù)積分規(guī)則，求100名學(xué)生的平均得分.21．（12分）已知數(shù)列，，，且，其中為常數(shù)（1）證明：；（2）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說(shuō)明理由22．（10分）已知橢圓左右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，P是橢圓上一點(diǎn)，且面積的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線交橢圓于M，N兩點(diǎn)，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】對(duì)運(yùn)動(dòng)方程求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)意義即速度求得在時(shí)的導(dǎo)數(shù)值即可.【詳解】由題知，，當(dāng)時(shí)，，即速度為7.故選：B2、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題3、D【解析】根據(jù)直線、平面的位置關(guān)系，應(yīng)用定義法判斷兩個(gè)條件之間的充分、必要性.【詳解】當(dāng)，時(shí)，直線l可與平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；當(dāng)，時(shí)，直線l可在平面內(nèi)，故不一定成立，即必要性不成立.故選：D.4、B【解析】根據(jù)雙曲線定義，結(jié)合雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的取值范圍，即可求解.【詳解】雙曲線方程為：，是雙曲線：上一點(diǎn)，，，或，又，.故選：B5、B【解析】方程表示橢圓，可得，解出的范圍即可判斷出結(jié)論.【詳解】∵方程表示橢圓，∴解得或，故“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B6、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為可知，拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).7、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.8、B【解析】令，再結(jié)合，和已知條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，最后結(jié)合單調(diào)性求解即可.【詳解】解：令，則，因?yàn)?，所以，即函?shù)為上的增函數(shù)，因?yàn)?，不等式可化為，所以，故不等式的解集為故選：B9、A【解析】求得圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由圓的方程可知圓心為，半徑為，圓心到直線的距離，所以弦長(zhǎng)為.故選：A.10、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因?yàn)?，所以，，所以所以答案選C.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).11、C【解析】計(jì)算出肉餡包子和豆沙餡包子的個(gè)數(shù)，即可求得素餡包子的個(gè)數(shù).【詳解】由題意可知，肉餡包子的個(gè)數(shù)為，從中隨機(jī)取出個(gè)，不是豆沙餡包子的概率為，則該包子是豆沙餡包子的概率為，所以，豆沙餡包子的個(gè)數(shù)為，因此，素餡包子的個(gè)數(shù)為.故選：C.12、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進(jìn)而得到焦點(diǎn)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)求解.【詳解】∵方程，表示平面內(nèi)到定點(diǎn)、的距離的和是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡(jiǎn)的結(jié)果故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③④【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，正弦定理與四種命題的概念，命題的否定，判斷各命題【詳解】①，滿足，但，①錯(cuò)；②在中，由正弦定理，因此其逆命題也是真命題，②正確；③存在命題的否定是全稱命題，命題“，”的否定是“，”，③正確；④由否命題的概念，“若，則”的否命題為“若，則”，④正確故答案為：②③④14、【解析】求出的通項(xiàng)公式，令的指數(shù)為0，即可求解.【詳解】的通項(xiàng)公式是，，依題意，令，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.15、【解析】求圓心及半徑即可.【詳解】由已知可得圓心坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為：.故答案為：16、4【解析】由直線垂直的性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意得，解得.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】選擇①：，利用組合數(shù)公式，計(jì)算即可；選擇②：轉(zhuǎn)化為，計(jì)算即可（1）由于共9項(xiàng)，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式計(jì)算即可；（2）寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，令，即得解【詳解】選擇①.，即，即，即，解得或（舍去）.選擇②.，即，解得.（1）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，，.（2）展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第7項(xiàng)，常數(shù)項(xiàng)為.18、（1）以獲勝、以獲勝的概率分別是；（2）分給分別元，元.【解析】（1）以獲勝、以獲勝，則分別要連勝三局，前三局勝兩局輸一局，第四局勝利；（2）求出若兩局之后正常結(jié)束比賽時(shí)，的勝率，按照勝率分獎(jiǎng)金.【小問(wèn)1詳解】設(shè)以獲勝、以獲勝的事件分別為，依題意要想獲勝，必須從第一局開(kāi)始連勝局，；要想獲勝，則前局只能勝局，且第局勝利，故概率;【小問(wèn)2詳解】設(shè)前兩局雙方戰(zhàn)成后勝，勝的事件分別為.若勝,則可能連勝局，或者局只勝場(chǎng)，第局勝，故概率；由于兩人比賽沒(méi)有和局，獲勝的概率為，則獲勝的概率為，若勝,則可能連勝局，或者局只勝場(chǎng)，第局勝，故概率.故獎(jiǎng)金應(yīng)分給元，分給元.19、（1）詳解解析；（2）存在.【解析】（1）利用勾股定理證得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證得結(jié)論；（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，，求得平面的法向量，利用已知條件建立關(guān)于的方程，進(jìn)而得解.【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)為，連接，在中，，，，又，，所以，又，，而，所以，又，，，又，，平面.【小問(wèn)2詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為x軸，為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)F在線段上，設(shè)，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，則，設(shè)直線CF與平面所成角為，，解得或（舍去），，此時(shí)點(diǎn)F是的三等分點(diǎn)，所以在線段上是存在一點(diǎn)，使直線與平面所成角的正弦值等于.20、（1）（2）（3）分【解析】（1）根據(jù)頻率之和為列方程來(lái)求得跳繩個(gè)數(shù)在區(qū)間的小矩形的高.（2）根據(jù)百分位數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算出合格分?jǐn)?shù)線.（3）根據(jù)平均數(shù)的求法求得名學(xué)生的平均得分.【小問(wèn)1詳解】設(shè)跳繩個(gè)數(shù)在區(qū)間的小矩形的高為，則，解得.【小問(wèn)2詳解】第一組的頻率為，第二組的頻率為，第三組的頻率為，第四組的頻率為，第五組的頻率為，第六組的頻率為，所以第百分位數(shù)為.也即合格分?jǐn)?shù)線為.【小問(wèn)3詳解】名學(xué)生的平均得分為分.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）存在；理由見(jiàn)解析【解析】（1）由得兩式相減可得答案；（2）利用得，可得，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，因此存在【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，，，兩式相減得，，由于，所以【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)，，，可得，由（1）知，．令，解得，故，由此可得，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，；又，同理，是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，所以，所以．因此存在，使得為等差數(shù)列22、（1）（2）【解析】（1）依題意得到方程組，