2025屆福建省泉州市晉江四校高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆福建省泉州市晉江四校高二上數(shù)學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)．與軸交于一點(diǎn)，，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.2．如圖是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列結(jié)論中正確的是（）A.在上是增函數(shù) B.當(dāng)時(shí)，取得最小值C.當(dāng)時(shí)，取得極大值 D.在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)3．設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.4．已知?jiǎng)訄AM與直線y=2相切，且與定圓C：外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程A. B.C. D.5．漸近線方程為的雙曲線的離心率是（）A.1 B.C. D.26．設(shè)分別為圓和橢圓上的點(diǎn),則兩點(diǎn)間的最大距離是A. B.C. D.7．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.8．甲、乙兩名同學(xué)8次考試的成績統(tǒng)計(jì)如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞9．如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在n時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．水位下降1米后，水面寬為（）A. B.C. D.10．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為()A.或 B.或C.或 D.或11．在空間直角坐標(biāo)系中，已知，，則MN的中點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)О的距離為（）A. B.C.2 D.312．（2017新課標(biāo)全國Ⅲ理科）已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則______14．已知，且，則的最小值為____________15．下方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測(cè)試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則的值為__________16．橢圓方程為橢圓內(nèi)有一點(diǎn)，以這一點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在的直線方程為，則橢圓的離心率為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值；18．（12分）已知圓，直線過定點(diǎn).（1）若與圓相切，求的方程；（2）若與圓相交于兩點(diǎn)，且，求此時(shí)直線的方程.19．（12分）如圖所示，圓錐的高，底面圓的半徑為，延長直徑到點(diǎn)，使得，分別過點(diǎn)、作底面圓的切線，兩切線相交于點(diǎn)，點(diǎn)是切線與圓的切點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求該圓錐的體積20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：y2=4x經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），直線l：y=kx+b與拋物線C交于M，N兩點(diǎn).（1）若，求直線l的方程；（2）當(dāng)AM⊥AN時(shí)，若對(duì)任意滿足條件的實(shí)數(shù)k，都有b=mk+n（m，n為常數(shù)），求m+2n的值.21．（12分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，證明:22．（10分）已知等比數(shù)列的公比，且，的等差中項(xiàng)為，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由橢圓的性質(zhì)可先求得，故可得，再由橢圓的定義得a，c的關(guān)系，故可得答案【詳解】，，又，，則，，則，，由橢圓的定義得，，，故選：C2、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)圖象知：當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)A不正確，選項(xiàng)D正確；故當(dāng)時(shí)，取得極小值，選項(xiàng)C不正確；當(dāng)時(shí)，不是取得最小值，選項(xiàng)B不正確；故選：D.3、D【解析】設(shè)，則，分析可得為偶函數(shù)且，求出的導(dǎo)數(shù)，分析可得在上為減函數(shù)，進(jìn)而分析可得上，，在上，，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得上，，在上，，又由即，則有或，據(jù)此分析可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，則，若奇函數(shù)，則，則有，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由，則，則，，又由當(dāng)時(shí)，，則在上為減函數(shù)，又由，則在上，，在上，，又由為偶函數(shù)，則在上，，在上，，即，則有或，故或，即不等式的解集為；故選：D4、D【解析】由題意動(dòng)圓M與直線y=2相切，且與定圓C：外切∴動(dòng)點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是以C（0，-3）為焦點(diǎn)，直線y=3為準(zhǔn)線的拋物線故所求M的軌跡方程為考點(diǎn)：軌跡方程5、B【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可確定a,b的關(guān)系，進(jìn)而求得離心率.【詳解】因?yàn)殡p曲線近線方程為，故雙曲線為等軸雙曲線，則a=b,故離心率為，則，故選：B.6、D【解析】轉(zhuǎn)化為圓心到橢圓上點(diǎn)的距離的最大值加（半徑）.【詳解】設(shè)，圓心為，則，當(dāng)時(shí)，取到最大值，∴最大值為故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查圓上點(diǎn)與橢圓上點(diǎn)的距離的最值問題，解題關(guān)鍵是圓上的點(diǎn)轉(zhuǎn)化為圓心，利用圓心到動(dòng)點(diǎn)距離的最值加（或減）半徑得出結(jié)論7、D【解析】，∵函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上恒成立．∴，而在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴．∴取值范圍是．故選D考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.8、A【解析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，結(jié)合均值、方差的實(shí)際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統(tǒng)計(jì)圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.9、D【解析】由題建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，結(jié)合條件即求.【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為，由題意知：在拋物線上，即，解得：，，當(dāng)水位下降1米后，即將代入，即，解得：，∴水面寬為米.故選：D.10、C【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由反射光線的性質(zhì)，可設(shè)反射光線所在直線的方程為：，再利用直線與圓相切，可知圓心到直線的距離等于半徑，由此即可求出結(jié)果【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)反射光線所在直線的方程為：，化為因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切，所以圓心到直線的距離，可得，所以或故選：C11、A【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式及空間中兩點(diǎn)之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，所以.故選：A12、B【解析】繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式，可得圓柱的體積是，故選B.【名師點(diǎn)睛】涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑(直徑)與該幾何體已知量的關(guān)系，列方程(組)求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、77【解析】依題意利用等差中項(xiàng)求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意可得，則，故故答案為：77.14、16【解析】根據(jù)，且，利用“1”的代換將，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)，取等號(hào).所以的最小值為16.故答案為：16【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、9【解析】閱讀莖葉圖，由甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為可得，乙組的平均數(shù)：，解得：，則:點(diǎn)睛：莖葉圖的繪制需注意：(1)“葉”的位置只有一個(gè)數(shù)字，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一；(2)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏，特別是“葉”的位置的數(shù)據(jù)16、【解析】設(shè)，利用“點(diǎn)差法”得到，即可求出離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于，則.因?yàn)锳B中點(diǎn),則.又，相減得：.所以所以所以，所以，即離心率.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線過點(diǎn)，且，利用拋物線的定義求解；（2）設(shè)，聯(lián)立，根據(jù)，由，結(jié)合韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】解：由拋物線過點(diǎn)，且，得所以拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，聯(lián)立得，，，，則，，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線與拋物線的交點(diǎn)中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，不符合題意，故舍去；所以實(shí)數(shù)的值為.18、（1）或；（2）或.【解析】（1）由圓的方程可得圓心和半徑，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，知與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，知與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，利用垂徑定理可構(gòu)造方程求得，由此可得方程.【小問1詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，與圓相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，圓心到直線距離，解得：，，即；綜上所述：直線方程為或；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率不存在，即時(shí)，與圓相切，不合題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，即，圓心到直線距離，，解得：或，直線的方程為或.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由線面垂直、切線的性質(zhì)可得、，再根據(jù)線面垂直的判定即可證結(jié)論.（2）若，構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，求面、面的法向量，利用空間向量夾角的坐標(biāo)表示及其對(duì)應(yīng)的余弦值求R，最后由圓錐的體積公式求體積.【小問1詳解】由題設(shè)，底面圓，又是切線與圓的切點(diǎn)，∴底面圓，則，且，而，∴平面.【小問2詳解】由題設(shè)，若，可構(gòu)建為原點(diǎn)，、、為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，又，可得，∴，，，有，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，又面的一個(gè)法向量為，∴，可得，∴該圓錐的體積20、（1）（2）3或【解析】（1）由可得，則可得直線為，設(shè)，然后將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，由可得，三個(gè)式子結(jié)合可求出，從而可得直線方程，（2）將直線方程代入拋物線方程中消去，再利用根與系數(shù)的關(guān)系表示出，再結(jié)合直線方程表示出，由AM⊥AN可得，化簡結(jié)合前面的式子可求出或，從而可可求出的值，進(jìn)而可求得答案【小問1詳解】因?yàn)锳（1，2），，所以，則直線為，設(shè)，由，得，由，得則，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，解得，所以直線的方程為，即，【小問2詳解】設(shè)，由，得，由，得，則，所以，，因?yàn)锳M⊥AN，所以，所以，即，所以，所以，所以或，所以或，所以或21、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）見詳解【解析】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)參數(shù)進(jìn)行分類討論；（2）構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的最小值即可證出.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，時(shí)，；時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，.令，，則.，令，.恒成立，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，所以存在唯一的，使得，?①當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增.所以，，②方法一：把①代入②得，.設(shè)，.則恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以.因?yàn)椋?，即，所以，所以時(shí)，.方法二：設(shè)，.則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.因?yàn)椋裕?/p>