2025屆安徽省安慶市潛山第二中學高一數學第一學期期末統考模擬試題含解析

2025屆安徽省安慶市潛山第二中學高一數學第一學期期末統考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列區(qū)間包含函數零點的為（）A. B.C. D.2．已知冪函數的圖象過，則下列求解正確的是（）A. B.C. D.3．集合，，則P∩M等于A. B.C. D.4．下列函數中定義域為，且在上單調遞增的是A. B.C. D.5．已知函數則函數值域是（）A. B.C. D.6．已知函數則（）A.－ B.2C.4 D.117．16、17世紀，隨著社會各領域的科學知識迅速發(fā)展，龐大的數學計算需求對數學運算提出了更高要求，改進計算方法，提高計算速度和準確度成了當務之急．蘇格蘭數學家納皮爾發(fā)明了對數，是簡化大數運算的有效工具，恩格斯曾把納皮爾的對數稱為十七世紀的三大數學發(fā)明之一．已知，，設，則所在的區(qū)間為（是自然對數的底數）（）A. B.C. D.8．已知命題“，”是假命題，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.9．已知函數，則的值是（）A. B.C. D.10．已知函數，若關于x的方程恰有兩個不同的實數解，則實數m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若x，y∈(0,＋∞)，且x＋4y＝1，則的最小值為________.12．___________.13．將函數圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），所得圖象的函數解析式為________.14．經過點作圓的切線，則切線的方程為__________15．給出下列四種說法：（1）函數與函數的定義域相同；（2）函數與的值域相同；（3）若函數式定義在R上的偶函數且在為減函數對于銳角則；（4）若函數且,則；其中正確說法序號是________.16．已知角的終邊過點，求_________________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）若函數在上至少有一個零點，求的取值范圍；（2）若函數在上的最大值為3，求的值.18．如圖，在直三棱柱中，底面為等邊三角形，.（Ⅰ）求三棱錐的體積；（Ⅱ）在線段上尋找一點，使得，請說明作法和理由.19．已知函數.（1）若函數的圖象關于直線x＝對稱，且，求函數的單調遞增區(qū)間.（2）在（1）的條件下，當時，函數有且只有一個零點，求實數b的取值范圍.20．如圖，正方體的棱長為1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的度數；（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC垂直.21．設函數f(x)＝(x>0)(1)作出函數f(x)的圖象；(2)當0<a<b，且f(a)＝f(b)時，求＋的值；(3)若方程f(x)＝m有兩個不相等的正根，求m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據零點存在定理，分別判斷選項區(qū)間的端點值的正負可得答案.【詳解】，，，，，又為上單調遞增連續(xù)函數故選：C.2、A【解析】利用冪函數過的點求出冪函數的解析式即可逐項判斷正誤【詳解】∵冪函數y＝xα的圖象過點（2，），∴2α，解得α，故f（x），即，故選A【點睛】本題考查了冪函數的定義，是一道基礎題3、C【解析】先求出集合M和集合P，根據交集的定義，即得?！驹斀狻坑深}得，，則.故選：C【點睛】求兩個集合的交集并不難，要注意集合P是整數集。4、D【解析】先求解選項中各函數的定義域，再判定各函數的單調性，可得選項.【詳解】因為的定義域為，的定義域為，所以排除選項B,C.因為在是減函數，所以排除選項A，故選D.【點睛】本題主要考查函數的性質，求解函數定義域時，熟記常見的類型：分式，偶次根式，對數式等，單調性一般結合初等函數的單調性進行判定，側重考查數學抽象的核心素養(yǎng).5、B【解析】結合分段函數的單調性來求得的值域.【詳解】當吋，單調遞增，值域為；當時，單調遞增，值域為，故函數值域為.故選：B6、C【解析】根據分段函數的分段條件，先求得，進而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，函數，可得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查了分段函數的求值問題，其中解答中根據分段函數的分段條件，代入準確運算是解答的關鍵，著重考查運算與求解能力.7、A【解析】根據指數與對數運算法則直接計算.【詳解】，所以故選：A.8、D【解析】由題意可知，命題“，”是真命題，再利用一元二次不等式的解集與判別式的關系即可求出結果.【詳解】由于命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題；所以，解得.故選：D.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定、一元二次不等式的解集與判別式的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題9、D【解析】根據題意，直接計算即可得答案.【詳解】解：由題知，，.故選：D10、D【解析】根據題意，函數與圖像有兩個交點，進而作出函數圖像，數形結合求解即可.【詳解】解：因為關于x的方程恰有兩個不同的實數解，所以函數與圖像有兩個交點，作出函數圖像，如圖，所以時，函數與圖像有兩個交點，所以實數m的取值范圍是故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、9【解析】由x＋4y＝1，結合目標式，將x＋4y替換目標式中的“1”即可得到基本不等式的形式，進而求得它的最小值，注意等號成立的條件【詳解】∵x，y∈(0,＋∞)且x＋4y＝1∴當且僅當有時取等號∴的最小值為9故答案為：9【點睛】本題考查了基本不等式中“1”的代換，注意基本不等式使用條件“一正二定三相等”，屬于簡單題12、2【解析】利用換底公式及對數的性質計算可得；【詳解】解：.故答案為：13、.【解析】由題意利用函數的圖象變換規(guī)律，即可得出結論.【詳解】將函數圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，可得函數為，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得函數為.故答案為：.14、【解析】點在圓上，由，則切線斜率為2，由點斜式寫出直線方程.【詳解】因為點在圓上，所以，因此切線斜率為2，故切線方程為，整理得故答案為：15、（1）（3）【解析】(1)根據定義域直接判斷；(2)分別求出值域即可判斷；(3)利用偶函數圖形的對稱性得出在上的單調性及銳角，可以判斷；(4)通過對數性質及對數運算即可判斷.【詳解】(1)函數與函數的定義域都為.所以(1)正確.(2)函數的值域為而的值域為，所以值域不同，故(2)錯誤.(3)函數在定義R上的偶函數且在為減函數,則函數在在為增函數，又為銳角，則，所以，故(3)正確.(4)函數且，則，即，得，故(4)錯誤.故答案為：(1)(3).【點睛】本題主要考查了指數函數、對數函數與冪函數的定義域與值域的求解，函數的奇偶性和單調性的判定，對數的運算，屬于函數知識的綜合應用，是中檔題.16、【解析】先求出，再利用三角函數定義，即可得出結果.【詳解】依題意可得：，故答案為：【點睛】本題考查了利用終邊上點來求三角函數值，考查了理解辨析能力和運算能力，屬于基礎題目.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；（2）或.【解析】（1）由函數在至少有一個零點，方程至少有一個實數根，，解出即可；（2）通過對區(qū)間端點與對稱軸頂點的橫坐標的大小比較，再利用二次函數的單調性即可得出函數在上的最大值，令其等于可得結果.試題解析：（1）由.（2）化簡得，當，即時，；當，即時，，，（舍）；當，即時，，綜上，或.18、(1)(2)見解析【解析】（1）取BC中點E連結AE，三棱錐C1﹣CB1A的體積，由此能求出結果．（2）在矩形BB1C1C中，連結EC1，推導出Rt△C1CE∽Rt△CBF，從而CF⊥EC1，再求出AE⊥CF，由此得到在BB1上取F，使得，連結CF，CF即為所求直線解析：（1）取中點連結.在等邊三角形中，，又∵在直三棱柱中，側面面，面面，∴面，∴為三棱錐的高，又∵，∴，又∵底面為直角三角形，∴，∴三棱錐的體積（2）作法：在上取，使得，連結，即為所求直線.證明：如圖，在矩形中，連結，∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，又∵面，而面，∴，又∵，∴面，又∵面，∴.點睛：這個題目考查的是立體幾何中椎體體積的求法，異面直線垂直的證法；對于異面直線的問題，一般是平移到同一平面，再求線線角問題；或者通過證明線面垂直得到線線垂直；對于棱錐體積，可以等體積轉化到底面積和高好求的椎體中19、（1）（2）或【解析】（1）先求得函數的解析式，再整體代入法去求函數單調遞增區(qū)間即可；（2）依據函數的單調性及零點個數列不等式組即可求得實數b的取值范圍.【小問1詳解】由，可得又函數的圖象關于直線x＝對稱，則，則故由，可得則函數的單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】由（1）可知當時，，由得，由得則函數在上單調遞增，在上單調遞減，由函數有且只有一個零點，可得或，解得或20、（1）30°（2）（3）見解析【解析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求AO與A′C′所成角的度數；（2）利用向量法求AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC的法向量垂直.【詳解】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），設AO與A′C′所成角為θ，則cosθ，∴θ＝30°，∴AO與A′C′所成角為30°.（2）∵（），面ABCD的法向量為（0，0，1），設AO與平面ABCD所成角為α，則sinα＝|cos|，cosα，∴tanα.∴AO與平面ABCD所成角的正切值為.（3）C（0，1，0），（），（0，1，0），（﹣1，1，0），設平面AOB的法向量（x，y，z），則，取x＝1，得（1，0，1），設平面AOC的法向量（a，b，c），則，取a＝1，得（1，1，﹣1），∵1+0﹣1＝0，∴平面AOB與平面AOC垂直.【點睛】本題主要考查空間角的求法和面面垂直的證明，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.21、(1)見解析；（2）2；（3）見解析.【解析】（1）將函數寫成分段函數，先作出函，再將x軸下方部分翻折到軸上方即可得到函數圖象；（2）根據函數的圖象，可知在上是減函數，而