第2章《相交線與平行線》（解析）

20222023學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級下冊易錯題真題匯編（提高版）第2章《相交線與平行線》考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022春?賓陽縣期末）如圖，已知GH∥BC，∠1＝∠2，GF⊥AB，給出下列結(jié)論：①∠B＝∠AGH；②HE⊥AB；③∠D＝∠F；④HE平分∠AHG．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵GH∥BC，∴∠1＝∠HGF，∠B＝∠AGH，故①正確；∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠HGF，∴DE∥GF，∴∠D＝∠DMF，根據(jù)已知條件不能推出∠F也等于∠DMF，故③錯誤；∵DE∥GF，∴∠F＝∠AHE，∵∠D＝∠1＝∠2，∴∠2不一定等于∠AHE，故④錯誤；∵GF⊥AB，GF∥HE，∴HE⊥AB，故②正確；即正確的個數(shù)是2，故選：B．2．（2分）（2022?濟南一模）如圖，直線l1∥l2被直線l3所截，∠1＝∠2＝36°，∠P＝90°，則∠3＝（）A．36° B．54° C．46° D．44°解：如圖：∵直線l1∥l2被直線l3所截，∠1＝∠2＝36°，∴∠CAB＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣36°﹣36°＝108°，∵△ABP中，∠2＝36°，∠P＝90°，∴∠PAB＝90°﹣36°＝54°，∴∠3＝∠CAB﹣∠PAB＝108°﹣54°＝54°．故選：B．3．（2分）（2022春?如皋市校級月考）如圖，AD∥BC，∠D＝∠ABC，點E是邊DC．上一點，連接AE交BC的延長線于點H．點F是邊AB上一點，使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分線EG交BH于點G，若∠DEH＝104°，則∠BEG的度數(shù)為（）A．38° B．37.5° C．37° D．40°解：∵∠FBE＝∠FEB，∠AFE＝∠FBE+∠FEB，∴∠AFE＝2∠FEB，∵∠FEH的角平分線為EG，∴∠GEH＝∠FEG，∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，∵∠DEH＝104°，∴∠CEH＝∠FAE＝76°，∵∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠GEH＝180°﹣2∠GEH，∴76°+2∠FEB+180°﹣2∠GEH＝180°，∴∠GEH﹣∠FEB＝38°，∴∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝∠GEH﹣∠FEB＝38°．故選：A．4．（2分）（2022?巨野縣一模）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手．將一對直角三角板如圖放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，則∠CBD＝（）A．10° B．15° C．20° D．25°解：∵∠F＝90°，∠E＝45°，∴∠EDF＝45°，∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∵AB∥CF，∴∠ABD＝∠EDF＝45°，∴∠CBD＝∠ABD﹣∠ABC＝45°﹣30°＝15°．故選：B．5．（2分）（2021秋?嵩縣期末）如圖，在長方形ABCD紙片中，AD∥BC，AB∥CD，把紙片沿EF折疊后，點C、D分別落在C'、D'的位置．若∠EFB＝65°，則∠AED'等于（）A．70° B．65° C．50° D．25°解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB＝65°，又由折疊的性質(zhì)可得∠D′EF＝∠DEF＝65°，∴∠AED′＝180°﹣65°﹣65°＝50°，故選：C．6．（2分）（2023春?南寧月考）如圖，已知AB∥CD，OE平分∠BOC，OF⊥OE，OP⊥CD．若∠ABO＝α°，給出下列結(jié)論：①；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：∵AB//CD，∴∠BOC＝180°﹣∠ABO＝180°﹣α，∴∠ABO＝∠BOD＝α，∵OE平分∠BOC，∴，∵OF⊥OE，∴∠EOF＝90°，∴，∴，即OF平分∠BOD，∵OP⊥CD，∴∠POC＝90°，∴，∴∠POE＝∠BOF∠POB＝90°﹣∠BOD＝90°﹣α，，所以④錯誤；故答案為：C．7．（2分）（2023春?江津區(qū)校級月考）如圖：CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∠AEC＝∠ACG，則下列結(jié)論：①FC⊥BC；②∠BAE＝∠FAC；③∠FQE＝3∠ACF；④∠AEC＝2∠F．其中正確的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，∴∠ACB＝∠DCB，∠2＝∠3，∵∠ACE+∠ACD＝180°，∴，即FC⊥BC，故①正確；∵CD∥AB，∴∠1＝∠4，∠ACE＝∠5，∠2＝∠F，∵∠AEC＝∠ACG，∴∠4＝∠5，∴∠4+∠CAE＝∠5+∠CAE，即∠BAE＝∠FAC，故②正確；∵CF平分∠ACG，∴∠2＝∠3，∴∠3＝∠F，∵∠AEC＝∠ACG，∴∠4＝∠AEC＝2∠3＝2∠F，故④正確；∴∠FQE＝∠F+∠4＝∠3+2∠3＝3∠3＝3∠ACF，故③正確；故正確的有①②③④，故選：D．8．（2分）（2022春?紹興期末）如圖，已知直線AB∥CD，直線EF分別交直線AB、CD于E、F，EM平分∠AEF交CD于M，G是射線MD上一動點（不與M、F重合）．EH平分∠FEG交CD于點H，設(shè)∠MEH＝α，∠EGF＝β，現(xiàn)有下列四個式子：①2α＝β；②2α﹣β＝180°；③α﹣β＝30°；④2α+β＝180°．其中正確的是（）A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④解：當(dāng)點G在點F右側(cè)時，如圖示：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF+∠FEH＝（∠AEF+∠FEG）＝（180°﹣∠BEG）＝（180°﹣β），∴2α+β＝180°，故④是正確的；當(dāng)點G在M和F之間時，如圖：∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠MEF＝∠AEF，∠FEH＝∠FEG，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠EGF＝β．∴∠MEH＝α＝∠MEF﹣∠FEH＝∠AEF﹣∠FEG＝（180°﹣∠BEF）﹣（180°﹣β﹣∠BEF）＝β，∴2α＝β，故①是正確的．故選：B．9．（2分）（2022春?牡丹江期中）如圖，AB∥CD，F(xiàn)為AB上一點，F(xiàn)D∥EH，且FE平分∠AFG，過點F作FG⊥EH于點G，且∠AFG＝2∠D，則下列結(jié)論：①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°；③FD平分∠HFB；④FH平分∠GFD．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個解：延長FG，交CH于I．∵AB∥CD，∴∠BFD＝∠D，∠AFI＝∠FIH，∵FD∥EH，∴∠EHC＝∠D，∵FE平分∠AFG，∴∠FIH＝2∠AFE＝2∠EHC，∴3∠EHC＝90°，∴∠EHC＝30°，∴∠D＝30°，∴2∠D+∠EHC＝2×30°+30°＝90°，∴①∠D＝30°；②2∠D+∠EHC＝90°正確，∵FE平分∠AFG，∴∠AFI＝30°×2＝60°，∵∠BFD＝30°，∴∠GFD＝90°，∴∠GFH+∠HFD＝90°，可見，∠HFD的值未必為30°，∠GFH未必為45°，只要和為90°即可，∴③FD平分∠HFB，④FH平分∠GFD不一定正確．故選B．10．（2分）（2022春?大觀區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，P為AB上方一點，H、G分別為AB、CD上的點，∠PHB、∠PGD的角平分線交于點E，∠PGC的角平分線與EH的延長線交于點F，下列結(jié)論：①EG⊥FG；②∠P+∠PHB＝∠PGD；③∠P＝2∠E；④若∠AHP﹣∠PGC＝∠F，則∠F＝60°．其中正確的結(jié)論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4解：∵GF平分∠PGC，GE平分∠PGD，∴∠PGF＝∠PGC，∠PGE＝∠PGD，∴∠EGF＝∠PGF+∠PGE＝（∠PGC+∠PGD）＝，即EG⊥FG，故①正確；設(shè)PG與AB交于M，GE于AB交于N，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∵∠PMB＝∠P+∠PHM，∴∠P+∠PHB＝∠PGD，故②正確；∵HE平分∠BHP，GE平分∠PGD，∴∠PHB＝2∠EHB，∠PGD＝2∠EGD，∵AB∥CD，∴∠PMB＝∠PGD，∠ENB＝∠EGD，∴∠PMB＝2∠ENB，∵∠PMB＝∠P+∠PHB，∠ENB＝∠E+∠EHB，∴∠P＝2∠E，故③正確；∵∠AHP﹣∠PMC＝∠P，∠PMH＝∠PGC，∠AHP﹣∠PGC＝∠F，∴∠P＝∠F，∵∠FGE＝90°，∴∠E+∠F＝90°，∴∠E+∠P＝90°，∵∠P＝2∠E，∴3∠E＝90，解得∠E＝30°，∴∠F＝∠P＝60°，故④正確．綜上，正確答案有4個，故選：D．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?禮泉縣期末）如圖，AB∥CD，BF、DF分別平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F與∠ABE互補，則∠F的度數(shù)為36°．解：延長FB交CD于點G，如圖：∵BF，DF分別平分∠ABE和∠CDE，∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE，∵AB∥CD，∴∠FBA＝∠3，∵BF∥DE，∠F與∠ABE互補，∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°，設(shè)∠F＝x°，則∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°，∴x+4x＝180，解得，x＝36，即∠F的度數(shù)為36°．故答案為：36．12．（2分）（2022秋?華容區(qū)期末）某天盧老師在數(shù)學(xué)課上，利用多媒體展示如下內(nèi)容：如圖，C為直線AB上一點，∠DCE為直角，CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，各學(xué)習(xí)小組經(jīng)過討論后得到以下結(jié)論：①∠ACF與∠BCH互余；②∠HCG＝45°；③∠ECF與∠GCH互補；④∠ACF﹣∠BCG＝45°．聰明的你認(rèn)為哪些結(jié)論是正確的，請寫出正確結(jié)論的序號①②④．解：∵CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，∴∠ACF＝∠FCD＝∠ACD，∠DCH＝∠HCB＝∠DCB，∠BCG＝∠ECG＝∠BCE，∵∠ACB＝180°，∠DCE＝90°，∴∠FCH＝90°，∠HCG＝45°，∠FCG＝135°∴∠ACF+∠BCH＝90°，故①②正確，∵∠ECF＝∠DCE+∠FCD＝90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH＝90°，∴∠ECF+∠DCH＝180°，∵∠HCG≠∠DCH，∴∠ECF與∠GCH不互補，故③錯誤，∵∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠BCE＝90°，∴∠ACF﹣∠BCG＝45°．故④正確．故答案為：①②④．13．（2分）（2022春?贛州期末）如圖，將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°，按住三角板ABC不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角板DCE（不超過一周），當(dāng)CE∥AB時，∠BCD等于150或30度．解：分兩種情況：①如圖1所示，AB∥CE．∵AB∥CE，∠A＝30°，∴∠ACE＝∠A＝30°，∵∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠BCD＝360°﹣∠ACE﹣∠ACB﹣∠ECD＝150°；②如圖2所示，AB∥CE．∵AB∥CE，∠B＝60°，∴∠BCE＝∠B＝60°，∵∠ECD＝90°，∴∠BCD＝90°﹣∠BCE＝30°．綜上所述，當(dāng)CE∥AB時，∠BCD等于150或30度．故答案為：150或30．14．（2分）（2022春?孝南區(qū)期末）如圖1，∠DEF＝24°，將長方形紙片ABCD沿直線EF折疊成圖2，再沿直線GF折疊成圖3，則圖3中∠CFE＝108°．解：∵四邊形ABCD為長方形，∴AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF＝24°．由翻折的性質(zhì)可知：圖2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝156°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝132°，圖3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝108°．故答案為：108°．15．（2分）（2022春?武漢期末）如圖，AB∥CD，∠ABG的平分線BE和∠GCD的平分線CF的反向延長線交于點E，且3∠E﹣5∠G＝172°，則∠G＝28度．解：如圖，分別過E、G作AB的平行線EM和GN，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD∥GN，∵BE是∠ABG的平分線，CF是∠GCD的平分線，∴∠BEM＝∠ABE＝∠ABG，∠MEF＝∠DCF＝∠GCD，∠BGN＝∠ABG，∠GCD+∠CGN＝180°，∴∠BEC＝∠BGM+∠MEF＝（∠ABG+∠GCD），∠BGC＝∠BGN﹣∠CGN＝∠ABG﹣（180°﹣∠GCD）＝∠ABG+∠GCD﹣180°，∴∠BGC＝2∠BEC﹣180°，∵3∠BEC﹣5∠BGC＝172°，∴3∠BEC＝5∠BGC+172°，∴∠BGC＝（5∠BGC+172°）﹣180°，∴3∠BGC＝10∠BGC+344°﹣540°，∴∠BGC＝28°．故答案為：28．16．（2分）（2022春?南京期中）如圖，在兩條筆直且平行的景觀道AB，CD上放置P，Q兩盞激光燈．其中光線PB按順時針方向以每秒5°的速度旋轉(zhuǎn)至邊PA便立即回轉(zhuǎn)，并不斷往返旋轉(zhuǎn)；光線QC按順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)至邊QD就停止旋轉(zhuǎn)，此時光線PB也停止旋轉(zhuǎn)．若光線QC先轉(zhuǎn)4秒，光線PB才開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)PB1∥QC1時，光線PB旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒．解：當(dāng)PB1∥QC1，則∠PB1Q＝∠CQC1，如下圖：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠CQC1＝∠BPB1．設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時間為t秒，∴4×3+3t＝5t．∴t＝6．當(dāng)PB1∥QC1，則∠CQC1＝∠PB1C，如下圖：∵AB∥CD，∴∠PB1Q＝∠BPB1．∴∠BPB1＝∠CQC1．設(shè)光線PB旋轉(zhuǎn)時間為t秒，此時光線PB由PA處返回，∴∠APB1＝5t°﹣180°．∴∠BPB1＝180°﹣∠APB1＝180°﹣（5t°﹣180°）＝360°﹣5t°．∴360﹣5t＝4×3+3t．∴t＝43.5．綜上，光線PB旋轉(zhuǎn)的時間為6或43.5秒．故答案為：6或43.5．17．（2分）（2022春?西湖區(qū)校級期中）如圖，點F是長方形ABCD的邊BC上一點，將長方形的一角沿AF折疊，點B的折疊點E落在長方形ABCD外側(cè)，若AE∥BD，∠ADB＝28°，則∠EAD＝28°，∠AFC＝149°．解：∵四邊形ABCD為矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝28°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝90°+28°＝118°，∵矩形ABCD沿AF折疊，點B落在點E處，∴∠BAF＝∠EAF＝∠BAE＝×118°＝59°，∴∠AFC＝∠BAF+∠ABF＝59°+90°＝149°．故答案為：28，149．18．（2分）（2022春?順城區(qū)期末）如圖，直線AB∥CD，點M，N分別在直線AB，CD上，點E為直線AB與CD之間的一點，連接ME，NE，且∠MEN＝100°，∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，則∠MFN的度數(shù)為50°或130°．解：分兩種情況畫圖討論：分別過點E和點F作EG∥AB，F(xiàn)H∥AB，∴EG∥FH∥AB，∵AB∥CD，∴EG∥FH∥AB∥CD，①如圖1，∵EG∥AB∥CD，∴∠AME＝∠MEG，∠CNE＝∠NEG，∴∠AME+∠CNE＝∠MEG+∠NEG＝∠MEN＝100°，∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，∴∠AMF＝AME，∠CNF＝CNE，∴∠AMF+∠CNF＝（∠AME+∠CNE）＝50°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH＝∠AMF，∠NFH＝∠CNF，∴∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝50°，②如圖2，∵EG∥AB∥CD，∴∠BME＝∠MEG，∠DNE＝∠NEG，∴∠BME+∠DNE＝∠MEG+∠NEG＝∠MEN＝100°，∴∠AME+∠CNE＝360°﹣（∠BME+∠DNE）＝260°∵∠AME的角平分線與∠CNE的角平分線交于點F，∴∠AMF＝AME，∠CNF＝CNE，∴∠AMF+∠CNF＝（∠AME+∠CNE）＝130°，∵FH∥AB∥CD，∴∠MFH＝∠AMF，∠NFH＝∠CNF，∴∠MFN＝∠MFH+∠NFH＝∠AMF+∠CNF＝130°．綜上所述：∠MFN的度數(shù)為50°或130°．故答案為：50°或130°．19．（2分）（2021春?渦陽縣期末）如圖，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若設(shè)∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y(tǒng)°則∠P1＝（x+y）度（用x，y的代數(shù)式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，則∠Pn＝（）n﹣1（x+y）度．解：（1）如圖，分別過點P1、P2作直線MN∥AB，GH∥AB，∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．又∵AB∥CD，∴MN∥CD．∴∠P1FD＝∠FP1M＝y(tǒng)°．∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，∴＝．．以此類推：，，...，．故答案為：（x+y），（）n﹣1（x+y）．20．（2分）（2019春?瑤海區(qū)期末）已知，直線AB∥CD，M、N分別是AB和CD上的動點，點P為直線AB、CD之間任一點，且PM⊥PN．則∠AMP與∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系為∠AMP+∠CNP＝90°或∠AMP+∠CNP＝270°或∠CNP﹣∠AMP＝90°或∠AMP﹣∠CNP＝90°．解：分四種情況：如圖1，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠AMP＝∠1，∠CNP＝∠2，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝∠1+∠2＝90°，∴∠AMP+∠CNP＝90°；如圖2，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠AMP＝180°﹣∠1，∠CNP＝180°﹣∠2，∴∠AMP+∠CNP＝180°×2﹣∠1﹣∠2，∵∠MPN＝∠1+∠2＝90°，∴∠AMP+∠CNP＝360°﹣90°＝270°；如圖3，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠AMP＝∠QPM，∠CNP+∠QPN＝180°，又∵∠MPN＝90°，∴∠QPN＝90°﹣∠QPM＝90°﹣∠AMP，∴∠CNP+90°﹣∠AMP＝180°，即∠CNP﹣∠AMP＝90°；如圖4，過點P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠CNP＝∠QPN，∠AMP+∠QPM＝180°，又∵∠MPN＝90°，∴∠QPM＝90°﹣∠QPN＝90°﹣∠CNP，∴∠AMP+90°﹣∠CNP＝180°，即∠AMP﹣∠CNP＝90°；綜上所述，∠AMP與∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系為：∠AMP+∠CNP＝90°或∠AMP+∠CNP＝270°或∠CNP﹣∠AMP＝90°或∠AMP﹣∠CNP＝90°．故答案為：∠AMP+∠CNP＝90°或∠AMP+∠CNP＝270°或∠CNP﹣∠AMP＝90°或∠AMP﹣∠CNP＝90°．三．解答題（共7小題，滿分60分）21．（8分）（2022春?常州期中）問題情境：如圖①，直線AB∥CD，點E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．猜想：（1）若∠1＝130°，∠2＝150°，試猜想∠P＝80°；探究：（2）在圖①中探究∠1，∠2，∠P之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；拓展：（3）將圖①變?yōu)閳D②，若∠1+∠2＝325°，∠EPG＝75°，求∠PGF的度數(shù)．解：（1）如圖①，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∵∠1＝130°，∠2＝150°，∴∠EPM＝50°，∠MPF＝30°，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝50°+30°＝80°，故答案為：80；（2）∠EPF＝360°﹣∠1﹣∠2，理由如下：如圖①，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，∴∠1+∠EPM＝180°，∠2+∠MPF＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∠MPF＝180°﹣∠2，∴∠EPF＝∠EPM+∠MPF＝（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝360°﹣∠1﹣∠2；（3）如圖②，過點P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PM，由（2）知，∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2，∵PM∥AB，∴∠1+∠EPM＝180°，∴∠EPM＝180°﹣∠1，∵∠EPG＝∠EPM+∠MPG＝75°，∴∠MPG＝75°﹣∠EPM＝75°﹣（180°﹣∠1）＝∠1﹣105°，∴∠PGF＝360°﹣∠MPG﹣∠2＝360°﹣（∠1﹣105°）﹣∠2＝465°﹣（∠1+∠2），∵∠1+∠2＝325°，∴∠PGF＝465°﹣325°＝140°．22．（8分）（2022春?黔西南州期末）如圖，AD∥BC，AH⊥BG于點H，點C在射線BC上，點E在線段AB上，∠DCE＝90°，且DC∥AB，CF⊥BG于點C，交直線AD于點F．（1）圖中與∠D相等的角有5個；（2）若∠ECF＝25°，求∠BCD的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，點C（點C不與點B，H重合）從點B出發(fā)，沿射線BG的方向移動，其他條件不變，求∠BAF的度數(shù)．解：（1）如圖：與∠D相等的角為∠DCG，∠ECF，∠B，∠CMH，∠AME，共有5個，理由如下：∵AD∥BC，∴∠D＝∠DCG，∵∠FCG＝90°，∠DCE＝90°，∴∠ECF＝∠DCG，∴∠D＝∠ECF，∵AH⊥BG，CF⊥BG，∴AH∥CF，∴∠ECF＝∠CMH＝∠AME，∵AB∥DC，∴∠DCG＝∠B，∴∠B＝∠D，∴與∠D相等的角為∠DCG，∠ECF，∠B，∠CMH，∠AME；故答案為：5；（2）∵∠ECF＝25°，∠DCE＝90°，∴∠FCD＝65°，又∵∠BCF＝90°，∴∠BCD＝65°+90°＝155°；（3）如圖，當(dāng)點C在線段BH上時，點F在DA延長線上，∠ECF＝∠DCG＝∠B＝25°，∵AD∥BC，∴∠BAF＝∠B＝25°；如圖，當(dāng)點C在BH延長線上時，點F在線段AD上，∵∠B＝25°，AD∥BC，∴∠BAF＝180°﹣25°＝155°．綜上所述，∠BAF的度數(shù)為25°或155°．23．（8分）（2022春?寧洱縣期末）已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．如圖（1），若將三角板ABC的頂點A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點M，AB⊥DE于點N．（1）請你直接寫出：∠CAF＝30°，∠EMC＝60°．（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想∠EMC與∠CAF的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．解：（1）由題意可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案為：30，60；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由如下：如圖（2），過C作CH∥GF，則∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由如下：如圖2，過B作BK∥GF，則∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．24．（8分）（2022春?云州區(qū)期中）如圖，AD∥BC，射線OM上有一動點P，且∠ADP＝∠a，∠BCP＝∠β．（1）當(dāng)點P在A，B兩點之間運動時，∠CPD與∠a、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（2）當(dāng)點P在A、B兩點外側(cè)運動時（點P與點A、B、O三點不重合），∠CPD與∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由．解：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖1，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）分兩種情況：①當(dāng)P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖2，過P作PE∥AD交ON于點E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；②當(dāng)P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖3，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．25．（8分）（2021春?慈溪市期末）如圖，直線CD∥EF，點A，B分別在直線CD，EF上（自左至右分別為C，A，D和E，B，F(xiàn)），∠ABF＝60°．射線AM自射線AB的位置開始，繞點A以每秒1°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，同時，射線BN自射線BE開始以每秒5°的速度繞點B沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線BN旋轉(zhuǎn)到BF的位置時，兩者停止運動．設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為x秒．（1）如圖1，直接寫出下列答案：①∠BAD的度數(shù)；②射線BN過點A時的x的值．（2）如圖2，求當(dāng)AM∥BN時的x的值．（3）若兩條射線AM和BN所在的直線交于點P．①如圖3，若P在CD與EF之間，且∠APB＝126°，求x的值．②若x＜24，求∠APB的度數(shù)（直接寫出用含x的代數(shù)式表示的結(jié)果）．解：（1）①∵CD∥EF，∠ABF＝60°，∴∠ABF+∠BAD＝180°．∴∠BAD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．②∵當(dāng)射線BN旋轉(zhuǎn)到BF的位置時，兩者停止運動，∴當(dāng)x＝180°÷5°＝36時，兩者停止運動．此時，射線AM在∠BAD的內(nèi)部．由題意知：0≤x≤36．∵∠ABE+∠ABF＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°．當(dāng)射線BN旋轉(zhuǎn)到BA所在直線時，則射線BN過點A．∴射線BN旋轉(zhuǎn)的角度為120．∴（5x）°＝120°．∴x＝24（符合題意）．（2）當(dāng)AM∥BN時，∠NBA＝∠MAB．∴∠EBA﹣∠EBN＝∠MAB．∴120°﹣5°?x＝1°?x．∴x＝20（符合題意）．（3）①若P在CD與EF之間，則x＞24．由題意可得：∠EBP＝（5x）°，∠BAP＝（1x）°＝x°，∠APB＝126°．∴∠ABP＝∠EBP﹣∠EBA＝（5x）°﹣120°．又∵∠ABP+∠BAP+∠APB＝180°，∴（5x）°﹣120°+x°+126°＝180°．∴x＝29（符合題意）．②如圖4，當(dāng)0＜x＜20時，∠APB＝120°﹣6°x，如圖5，當(dāng)20＜x＜24時，∠APB＝6°x﹣120°．26．（10分）（2020秋?南關(guān)區(qū)期末）如圖①，直線l1∥l2，直線EF和直線l1、l2分別交于C、D兩點，點A、B分別在直線l1、l2上，點P在直線EF上，連接PA、PB．猜想：如圖①，若點P在線段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，則∠APB的大小為55度．探究：如圖①，若點P在線段CD上，直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．拓展：如圖②，若點P在射線CE上或在射線DF上時，直接寫出∠PAC、∠APB、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系．解：猜想：如圖①，過點P作PG∥l1，∵l1∥l2，∴l(xiāng)1∥l2∥PG，∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°，∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°，∴∠APB的大小為55度，故答案為：55；探究：如圖①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下：∵l1∥l2