專題22.7矩形的判定-2021-2022學年八年級數學下冊尖子生培優(yōu)題典

20212022學年八年級數學下冊尖子生同步培優(yōu)題典【滬教版】專題22.7矩形的判定姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分100分，試題共24題，選擇10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2021?虹口區(qū)二模）在四邊形中，，下列選項中，不能判定四邊形為矩形的是A．且 B．且 C．且 D．且【分析】由平行四邊形的判定與性質、矩形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解析】、，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形，故選項不符合題意；、，，四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形，故選項不符合題意；、，，，，四邊形是平行四邊形，，故選項符合題意；、，，，，，，的長為、間的距離，又，，，四邊形是矩形，故選項不符合題意；故選：．2．（2021?嘉定區(qū)二模）下列四個命題中，真命題是A．對角線互相平分的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形 C．以一條對角線為對稱軸的四邊形是菱形 D．對稱軸互相垂直的四邊形是矩形【分析】根據平行四邊形、菱形、矩形的判定定理即可判斷．【解析】對角線互相平分的四邊形是平行四邊形是平行四邊形判定定理，是真命題，故符合題意；對角線互相垂直的四邊形是菱形是假命題，故不符合題意；以一條對角線為對稱軸的四邊形可能是“箏”形，以一條對角線為對稱軸的四邊形是菱形是假命題，故不符合題意；對稱軸互相垂直的四邊形是矩形是假命題，故不符合題意，故選：．3．（2020春?無棣縣期末）下列說法不正確的是A．兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形 B．對角線相等的平行四邊形是矩形 C．一個角是直角的四邊形是矩形 D．對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形【分析】根據平行四邊形的判定與性質、矩形的判定、菱形的判定分別對各個選項進行判斷即可．【解析】、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，選項不符合題意；、對角線相等的平行四邊形是矩形，選項不符合題意；、三個角是直角的四邊形是矩形，選項符合題意；、對角線互相平分且垂直的四邊形是菱形，選項不符合題意；故選：．4．（2021?長壽區(qū)自主招生）如圖，在四邊形中，與相交于點，，，那么添加下列一個條件后，仍不能判定四邊形是矩形的是A． B． C． D．【分析】根據矩形的判定定理：有一個角是直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形分別進行分析即可．【解析】、，，，，，即對角線平分且相等，四邊形為矩形，正確；、，，，，，即對角線平分且相等，四邊形為矩形，正確；、，，，無法得出，故無法得出四邊形是平行四邊形，進而無法得出四邊形是矩形，錯誤；、，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，是矩形，正確；故選：．5．（2020?冷水江市一模）要判斷一個四邊形門框是否為矩形，在下面四個擬定方案中，正確的方案是A．測量對角線是否相互平分 B．測量兩組對邊是否分別相等 C．測量對角線是否互相垂直 D．測量其中三個角是否是直角【分析】由矩形的判定即可得出結論．【解析】三個角是直角的四邊形是矩形，在下面四個擬定方案中，正確的方案是，故選：．6．（2020?楊浦區(qū)二模）已知在四邊形中，，對角線與相交于點，那么下列條件中能判定這個四邊形是矩形的是A．， B．， C．， D．，【分析】根據矩形的判定方法，一一判斷即可解決問題．【解析】、，，無法得出四邊形是平行四邊形，故無法判斷四邊形是矩形．故錯誤；、，，，，得出四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．故正確；、，，，，，，，，，四邊形是菱形，無法判斷四邊形是矩形．故錯誤；、，可無法判斷四邊形是矩形，故錯誤；故選：．7．（2020?河南一模）在菱形中，對角線與相交于點，再添加一個條件，仍不能判定四邊形是矩形的是A． B． C． D．【分析】根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【解析】、，菱形，不能判定是矩形，故本選項錯誤；、，根據菱形的對角線互相平分且，知，對角線相等的平行四邊形是矩形可得是矩形，故本選項正確；、，根據對角線相等的菱形是矩形，故本選項正確；、，則，根據有一個角是直角的菱形是正方形可得四邊形是菱形，故本選項正確．故選：．8．（2018?上海）已知平行四邊形，下列條件中，不能判定這個平行四邊形為矩形的是A． B． C． D．【分析】由矩形的判定方法即可得出答案．【解析】、，，所以，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確；、不能判定這個平行四邊形為矩形，錯誤；、，對角線相等，可推出平行四邊形是矩形，故正確；、，所以，可以判定這個平行四邊形為矩形，正確；故選：．9．（2019春?普陀區(qū)期末）如圖，在四邊形中，與相交于點，，，那么下列條件中不能判定四邊形是矩形的是A． B． C． D．【分析】有一個角是直角的平行四邊形是矩形；有三個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的平行四邊形是矩形，依據矩形的判定進行判斷即可．【解析】．當，時，四邊形是平行四邊形，再依據，可得四邊形是矩形；．當，時，四邊形不一定是平行四邊形，也可能是等腰梯形；．當，時，，再根據，可得，進而得到，即可得到四邊形是矩形；．當，時，，即可得出四邊形是平行四邊形，再依據，可得四邊形是矩形；故選：．10．（2019?普陀區(qū)二模）如圖，的對角線、交于點，順次連接各邊中點得到一個新的四邊形，如果添加下列四個條件中的一個條件：①；②；③；④，可以使這個新的四邊形成為矩形，那么這樣的條件個數是A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據順次連接四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．逐一對四個條件進行判斷．【解析】順次連接四邊形的中點，得到的四邊形形狀和四邊形的對角線位置、數量關系有關，利用三角形中位線性質可得：當對角線垂直時，所得新四邊形是矩形．①，新的四邊形成為矩形，符合條件；②四邊形是平行四邊形，，．，．根據等腰三角形的性質可知，．所以新的四邊形成為矩形，符合條件；③四邊形是平行四邊形，．，．．，四邊形是矩形，連接各邊中點得到的新四邊形是菱形，不符合條件；④，，，即平行四邊形的對角線互相垂直，新四邊形是矩形．符合條件．所以①②④符合條件．故選：．二．填空題（共8小題）11．（2017春?松江區(qū)期末）已知四邊形中，，，如果添加一個條件，即可判定該四邊形是矩形，那么所添加的這個條件可以是或．【分析】當或時，四邊形是矩形．只要證明四邊形是平行四邊形即可．【解析】當或時，四邊形是矩形．理由：，當或時，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形．12．（2020春?雨花區(qū)校級月考）如圖，在平行四邊形中，若，則四邊形是矩形．【分析】由平行四邊形的性質可得，，由等腰三角形的判定可得，可得，由矩形的判定可得平行四邊形是矩形．【解析】四邊形是平行四邊形，，，，，，平行四邊形是矩形，故答案為矩形．13．（2020春?涿鹿縣期中）在四邊形中，對角線，交于點且，互相平分，若添加一個條件使得四邊形是矩形，則這個條件可以是或有個內角等于90度（填寫一個即可）．【分析】因為在四邊形中，對角線與互相平分，所以四邊形是平行四邊形，根據矩形的判定條件，可得在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是一個角是直角或者對角線相等，從而得出答案．【解析】對角線與互相平分，四邊形是平行四邊形，要使四邊形成為矩形，需添加一個條件是：或有個內角等于90度．故答案為：或有個內角等于90度．14．（2021?永嘉縣校級模擬）已知，，小明按如下步驟作圖，①以為圓心，長為半徑作弧，以為圓心，長為半徑作弧，兩弧相交于點；②連接，，則四邊形為矩形．【分析】直接利用基本作圖方法得出四邊形是平行四邊形，進而利用矩形的判定方法得出答案．【解析】四邊形為矩形．理由：，，四邊形是平行四邊形，，平行四邊形是矩形．故答案為：矩形．15．（2020春?房山區(qū)期末）在四邊形中，有以下四個條件：①；②；③；④．從中選取三個條件，可以判定四邊形為矩形．則可以選擇的條件序號是①③④．【分析】根據全等三角形的判定和性質以及矩形的判定定理即可得到結論．【解析】當具備①③④這三個條件，能得到四邊形是矩形．理由如下：，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形；故答案為：①③④．16．（2020春?石城縣期末）如圖，在矩形中，，，點從點向點以每秒的速度運動，以每秒的速度從點出發(fā)，在、兩點之間做往返運動，兩點同時出發(fā)，點到達點為止（同時點也停止），這段時間內，當運動時間為或或時，、、、四點組成矩形．【分析】根據已知可知：當點到達點時，點將由運動，根據矩形的性質列方程即可得到結論．【解析】根據已知可知：當點到達點時，點將由運動，四邊形是矩形，，，，若，則四邊形是矩形，由題意得，當時，，，，當時，，，，當時，，，；當時，，，，此時與重合，無法構成矩形，故舍去，故答案為：或或．17．（2021春?陽新縣期末）如圖，在中，，，，是上一動點，過點作于點，于點，連接，則線段的最小值是．【分析】連接，利用勾股定理列式求出，判斷出四邊形是矩形，根據矩形的對角線相等可得，再根據垂線段最短可得時，線段的值最小，然后根據三角形的面積公式列出求解即可．【解析】如圖，連接．，，，，，，，四邊形是矩形，，由垂線段最短可得時，線段的值最小，此時，，即，解得：，．故答案為：．18．（2021?永嘉縣校級模擬）已知平面上四點，，，，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，則的值為．【分析】根據、、、四點坐標得到四邊形為矩形，根據矩形的性質當直線過矩形的對角線的交點時，直線把矩形的面積分成相等的兩部分，然后把中點坐標代入即可計算出的值．【解析】點，，，，四邊形為矩形，直線將四邊形分成面積相等的兩部分，直線過矩形的對角線的交點，而矩形的對角線的交點坐標為，，．故答案為．三．解答題（共6小題）19．（2021春?浦東新區(qū)期末）如圖，已知四邊形是平行四邊形，將邊延長至點，使，聯(lián)結、，與交于點．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）由平行四邊形的性質得，，再由．得，且，即可得出結論；（2）證，中由平行四邊形的性質得，，則，即可得出結論．【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，，，且，四邊形是平行四邊形；（2）四邊形是平行四邊形，，，，，，，由（1）得：四邊形是平行四邊形，，，，平行四邊形是矩形．20．（2021春?定南縣期末）如圖，中，，平分交于點，平分的外角，且．求證：四邊形是矩形．【分析】根據角平分線的定義和垂直的判定得出，進而利用矩形的判定解答即可．【解答】證明：是的平分線，，是的平分線，，，，即，，，，即，，四邊形是矩形．21．（2020春?虹口區(qū)期末）如圖，在中，對角線與相交于點，點、分別為、的中點，延長至點，使，聯(lián)結、．（1）求證：；（2）當時，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）根據平行四邊形的性質得到，，根據三角形中位線定理得到，，求得，由全等三角形的性質得到，根據平行線的判定定理即可得到結論；（2）根據三角形中位線定理得到，推出四邊形是平行四邊形，求得，根據等腰三角形的性質得到，求得，于是得到結論．【解答】證明：（1）四邊形是平行四邊形，，，點、分別為、的中點，，，，在和中，，，，；（2），，是的中位線，，，四邊形是平行四邊形，，，，是的中點，，，四邊形是矩形．22．（2020?莘縣二模）如圖，在中，是邊上的一點，是的中點，過點作的平行線交的延長線于點，且，連接．（1）求證：；（2）如果，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結論．【分析】（1）先由，利用平行線的性質可證，而是中點，那么，，利用可證，那么有，又，從而有；（2）四邊形是矩形．由于平行等于，易得四邊形是平行四邊形，又，，利用等腰三角形三線合一定理，可知，即，那么可證四邊形是矩形．【解答】證明：（1），，是的中點，，，，，，；（2）四邊形是矩形．理由：，是的中點，，，過點作的平行線交的延長線于點，即，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形．23．（2019春?閔行區(qū)期末）如圖，在中，為邊的中點，過點作，與的延長線相交于點，為延長線上的任一點，聯(lián)結、．（1）求證：四邊形是平行四邊形：（2）當為邊的中點，且時，求證：四邊形為矩形．【分析】（1）證明，由全等三角形的性質得出，則可得出答案；（2）證明，由矩形的判定方法可得出結論．