第03講探索三角形全等的條件（7種題型）（原卷版）

第03講探索三角形全等的條件（7種題型）1．理解和掌握全等三角形判定方法“邊角邊”、“角邊角”、“角角邊”、“邊邊邊”“HL”定理.2．能把證明一對角或線段相等的問題，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的兩個三角形全等.一、全等三角形判定1——“邊角邊”1.全等三角形判定1——“邊角邊”兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果AB＝，∠A＝∠，AC＝，則△ABC≌△.注意：這里的角，指的是兩組對應(yīng)邊的夾角.2.有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.如圖，△ABC與△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC與△ABD不完全重合，故不全等，也就是有兩邊和其中一邊的對角對應(yīng)相等，兩個三角形不一定全等.二、全等三角形判定2——“角邊角”全等三角形判定2——“角邊角”兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，則△ABC≌△.三、全等三角形判定3——“角角邊”1.全等三角形判定3——“角角邊”兩個角和其中一個角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角角邊”或“AAS”）要點(diǎn)詮釋：由三角形的內(nèi)角和等于180°可得兩個三角形的第三對角對應(yīng)相等.這樣就可由“角邊角”判定兩個三角形全等，也就是說，用角邊角條件可以證明角角邊條件，后者是前者的推論.2.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.如圖，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.這說明，三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等.四、全等三角形判定4——“邊邊邊”全等三角形判定4——“邊邊邊”三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）.要點(diǎn)詮釋：如圖，如果＝AB，＝AC，＝BC，則△ABC≌△.五．直角三角形全等的判定——“HL”1、斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（可以簡寫成“斜邊、直角邊”或“HL”）．2、直角三角形首先是三角形，所以一般三角形全等的判定方法都適合它，同時，直角三角形又是特殊的三角形，有它的特殊性，作為“HL”公理就是直角三角形獨(dú)有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．六、判定方法的選擇1.選擇哪種判定方法，要根據(jù)具體的已知條件而定，見下表：已知條件可選擇的判定方法一邊一角對應(yīng)相等SASAASASA兩角對應(yīng)相等ASAAAS兩邊對應(yīng)相等SASSSS2.如何選擇三角形證全等（1）可以從求證出發(fā)，看求證的線段或角（用等量代換后的線段、角）在哪兩個可能全等的三角形中，可以證這兩個三角形全等；（2）可以從已知出發(fā)，看已知條件確定證哪兩個三角形全等；（3）由條件和結(jié)論一起出發(fā)，看它們一同確定哪兩個三角形全等，然后證它們?nèi)?；?）如果以上方法都行不通，就添加輔助線，構(gòu)造全等三角形.七．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．八．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用一般方法是把實(shí)際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．題型一、全等三角形的判定1——“邊角邊”

例1、已知：如圖，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2．求證：BC＝DE．【變式】如圖，將兩個一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三點(diǎn)共線，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），連接AE、CD，試確定AE與CD的位置與數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例2、如圖，AD是△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD．例3、已知，如圖：在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，求證：AB＝CD－BD．【變式】已知，如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求證：∠B＋∠D＝180°.題型二、全等三角形的判定2——“角邊角”例4、已知：如圖，E，F(xiàn)在AC上，AD∥CB且AD＝CB，∠D＝∠B．求證：AE＝CF．【變式】（2022?長安區(qū)一模）已知：點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF．求證：△ABC≌△DEF．例5、如圖，G是線段AB上一點(diǎn)，AC和DG相交于點(diǎn)E.請先作出∠ABC的平分線BF，交AC于點(diǎn)F；然后證明：當(dāng)AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝2∠ADG時，DE＝BF.【變式】已知：如圖，在△MPN中，H是高M(jìn)Q和NR的交點(diǎn)，且MQ＝NQ．求證：HN＝PM.題型三、全等三角形的判定3——“角角邊”例6.（2021秋?蘇州期末）如圖，在四邊形ABCD中，E是對角線AC上一點(diǎn)，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求證：△ADE≌△CAB．例7、已知：如圖，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB．求證：AD＝AC．【變式】已知：如圖，，，是經(jīng)過點(diǎn)的一條直線，過點(diǎn)、B分別作、，垂足為E、F，求證：.題型四、全等三角形的判定4——“邊邊邊”例8、已知：如圖，△RPQ中，RP＝RQ，M為PQ的中點(diǎn)．求證：RM平分∠PRQ．【變式】已知：如圖，AD＝BC，AC＝BD.試證明：∠CAD＝∠DBC.例9、如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，求證：∠BAD＝∠CAE.題型五．直角三角形全等的判定“HL”例10.如圖，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC，則能直接判斷Rt△ABD≌Rt△CDB的理由是（）A．HL B．ASA C．SAS D．SSS【變式1】．如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．【變式2】如圖，Rt△ABC和Rt△EDF中，BC∥DF，在不添加任何輔助線的情況下，請你添加一個條件，使Rt△ABC和Rt△EDF全等．題型六．全等三角形的判定與性質(zhì)例11．（2022?南通模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BD，AE⊥EC，垂足分別為D，E，BD，CE相交于點(diǎn)O，且∠BAE＝∠CAD．（1）求證：△ABD≌△ACE；（2）若∠BOC＝140°，求∠OBC的度數(shù)．【變式1】．如圖，已知AB＝CB，AD＝CD．求證：∠A＝∠C．【變式2】如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE．求證：∠ABD＝∠ACE．題型7．全等三角形的應(yīng)用例12．如圖，要測量河兩岸相對兩點(diǎn)A、B間的距離，在河岸BM上截取BC＝CD，作ED⊥BD交AC的延長線于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)D．（DE≠CD）（1）線段的長度就是A、B兩點(diǎn)間的距離（2）請說明（1）成立的理由．【變式】為了解學(xué)生對所學(xué)知識的應(yīng)用能力，某校老師在七年級數(shù)學(xué)興趣小組活動中，設(shè)置了這樣的問題：因?yàn)槌靥羶啥薃，B的距離無法直接測量，請同學(xué)們設(shè)計方案測量A，B的距離．甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計出了如下兩種方案：甲：如圖①，先在平地上取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)A，B的點(diǎn)O，連接AO并延長到點(diǎn)C，連接BO并延長到點(diǎn)D，使CO＝AO，DO＝BO，連接DC，測出DC的長即可．乙：如圖②，先確定直線AB，過點(diǎn)B作直線BE，在直線BE上找可以直接到達(dá)點(diǎn)A的一點(diǎn)D，連接DA，作DC＝DA，交直線AB于點(diǎn)C，最后測量BC的長即可．（1）甲、乙兩同學(xué)的方案哪個可行？（2）請說明方案可行的理由．一．選擇題（共8小題）1．（2022秋?南京期末）已知：如圖，AC＝DF，BC＝EF，下列條件中，不能證明△ABC≌DEF的是（）A．AC∥DF B．AD＝BE C．∠CBA＝∠FED＝90° D．∠C＝∠F2．（2022秋?啟東市校級月考）不能判定兩個直角三角形全等的條件是（）A．兩個銳角對應(yīng)相等 B．兩條直角邊對應(yīng)相等 C．斜邊和一銳角對應(yīng)相等 D．斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等3．（2022秋?阜寧縣期末）如圖，已知∠ABC＝∠BAD，再添加一個條件，仍不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC＝BD B．∠C＝∠D C．AD＝BC D．∠ABD＝∠BAC4．（2022秋?江都區(qū)期末）如圖，已知AB＝AD．下列條件中，不能作為判定△ABC≌△ADC條件的是（）A．BC＝DC B．∠BAC＝∠DAC C．∠B＝∠D＝90° D．∠ACB＝∠ACD5．（2022秋?揚(yáng)州期中）一塊三角形玻璃樣板不慎被小強(qiáng)同學(xué)碰破，成了四片完整四碎片（如圖所示），聰明的小強(qiáng)經(jīng)過仔細(xì)的考慮認(rèn)為只要帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅畫一塊與以前一樣的玻璃樣板．你認(rèn)為下列四個答案中考慮最全面的是（）A．帶其中的任意兩塊去都可以 B．帶1、2或2、3去就可以了 C．帶1、4或3、4去就可以了 D．帶1、4或2、3或3、4去均可6．（2022秋?宿豫區(qū)期末）如圖，小明和小麗用下面的方法測量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離；先取一個可以直接到達(dá)點(diǎn)A的點(diǎn)C，量得AC的長度，再沿AC方向走到點(diǎn)D處，使得CD＝AC；然后從點(diǎn)D處沿著由點(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，到達(dá)點(diǎn)E處，使得點(diǎn)E、B、C在一條直線上，量得的DE的長度就是A、B兩點(diǎn)的距離．在解決這個問題中，關(guān)鍵是利用了△DCE≌△ACB，其數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．ASA或AAS7．（2022秋?高郵市期末）如圖，已知∠1＝∠2，若用“AAS”證明△ACB≌△BDA，還需加上條件（）A．AD＝BC B．BD＝AC C．∠D＝∠C D．∠DAB＝∠CBA8．（2022秋?邳州市期末）如圖，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，補(bǔ)充一個條件后，仍不能判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．BE＝CD D．∠AEB＝∠ADC二．填空題（共4小題）9．（2022秋?泗洪縣期中）如圖，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，只需補(bǔ)充條件，就可以根據(jù)“HL”得到Rt△ABC≌Rt△DEF．10．（2022秋?啟東市校級月考）如圖，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D＝90°，AC＝DE，若要用“斜邊直角邊（H．L．）”直接證明Rt△ABC≌Rt△DEF，則還需補(bǔ)充條件：．11．（2022秋?江寧區(qū)校級月考）如圖，在Rt△ABC與Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，請你添加一個條件（不添加字母和輔助線），使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的條件是，理由是（填簡稱）．12．（2022秋?江陰市期中）如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是邊BC上的中線，AD＝2，則△ACB的面積是．三．解答題（共5小題）13．（2022秋?泗陽縣期中）王強(qiáng)同學(xué)用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進(jìn)一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點(diǎn)C在DE上，點(diǎn)A和B分別與木墻的頂端重合．（1）求證：△ADC≌△CEB；（2）求兩堵木墻之間的距離．14．（2022秋?鼓樓區(qū)期中）如圖，點(diǎn)B、C、E、F在同一條直線上，AF、DE相交于點(diǎn)G，∠B＝∠C＝∠AGD＝90°，BF＝CD．求證：AF＝DE．15．（2022秋?蘇州期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長．16．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABD和△ACD中，AB＝AC，BD＝CD．（1）求證：△ABD≌△ACD；（2）過點(diǎn)D作DE∥AC交AB于點(diǎn)E，求證：AE＝DE．17．（2022秋?大豐區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BD＝CD．試說明BE＝CF．一、單選題1．下列條件中，能判斷兩個直角三角形全等的是（）A．有兩條邊分別相等 B．有一個銳角和一條邊相等C．有一條斜邊相等 D．有一直角邊和斜邊上的高分別相等2．在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝50°，AB＝8，下列條件能得到△ABC≌△DEF的是（）A．∠D＝60°，∠E＝50°，DF＝8 B．∠D＝60°，∠F＝50°，DE＝8C．∠E＝50°，∠F＝70°，DE＝8 D．∠D＝60°，∠F＝70°，EF＝83．如圖，，，如果根據(jù)“”判定，那么需要補(bǔ)充的條件是（）A． B． C． D．4．如圖，OC平分∠AOB，D、E、F分別是OC、OA、OB上的點(diǎn)，則添加下列哪個條件不能使△ODE與△ODF全等（）A．DE=DF B．OE=OF C．∠ODE=∠ODF D．∠AED=∠BFD5．如圖，已知AC＝BD，添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△BAD的是（）A．∠ABC＝∠BAD B．∠C＝∠D＝90° C．∠CAB＝∠DBA D．CB＝DA6．用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出的依據(jù)是（）A． B． C． D．二、填空題7．如圖，△ABC≌△DEF，BE＝5，BF＝1，則CF＝_____．8．如圖所示，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)，也是BD的中點(diǎn)，那么AB與CD的關(guān)系是________．9．如圖，，點(diǎn)、、、在同一條直線上，、交于點(diǎn)，，則的度數(shù)是______°．10．如圖，△ACD是等邊三角形，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，則∠BAE＝_____°．11．在△ABC和△DEF，給出下列四組條件：①AB=DE，BC=EF，AC=DF；②AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；③∠B=∠E，BC=EF，