專題05解決問(wèn)題之列方程（組）解應(yīng)用題-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中滬教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計(jì)：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題05解決問(wèn)題之列方程（組）解應(yīng)用題（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、單選題1．受非洲豬瘟及供求關(guān)系影響，去年豬肉價(jià)格經(jīng)過(guò)連續(xù)兩輪漲價(jià)，價(jià)格從40元/千克漲到90元/千克，若兩輪漲價(jià)的百分率相同，則這個(gè)百分率是（）A．20% B．30% C．40% D．50%【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】設(shè)兩輪漲價(jià)的百分率為x，根據(jù)漲價(jià)前及經(jīng)過(guò)兩輪漲價(jià)后的豬肉價(jià)格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解完取正值即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：設(shè)兩輪漲價(jià)的百分率為x，依題意，得：40（1+x）2＝90，解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合題意，舍去）．故選：D．【名師指路】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的應(yīng)用，找出題目中的等量關(guān)系式是解此題的關(guān)鍵．2．年月日，北京市正式實(shí)施《北京市生活垃圾管理?xiàng)l例》，生活垃圾按照廚余垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾進(jìn)行分類．小紅所住小區(qū)月和月的廚余垃圾分出量和其他三種垃圾的總量的相關(guān)信息如下表所示：類別月份月月廚余垃圾分出量（千克）其他三種垃圾的總量（千克）廚余垃圾分出量如果廚余垃圾分出率(生活垃圾總量廚余垃圾分出量其他三種垃圾的總量），且該小區(qū)月的廚余垃圾分出率約是月的廚余垃圾分出率的倍，那么下面列式正確的是（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)公式列出12月與5月廚余垃圾分出率，根據(jù)月的廚余垃圾分出率約是月的廚余垃圾分出率的倍列方程即可．【詳解詳析】5月份廚余垃圾分出率=，12月份廚余垃圾分出率=，∴由題意得，故選：B．【名師指路】此題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．3．定義：等腰三角形的一個(gè)底角與其頂角的度數(shù)的比值稱為這個(gè)等腰三角形的“優(yōu)美比”．若在等腰三角形中，則它的優(yōu)美比為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】由已知可以寫出∠B和∠C，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以得解．【詳解詳析】解：由已知可得：∠B=∠C=k∠A=（36k）°，由三角形內(nèi)角和定理可得：2×36k+36=180，∴k=2，故選B．【名師指路】本題考查等腰三角形的應(yīng)用，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及方程思想的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．4．要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），共要比賽90場(chǎng)．設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為（）A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)場(chǎng)比賽，共要比賽90場(chǎng)，可列出方程．【詳解詳析】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，則x（x﹣1）＝90．故選：D．【名師指路】本題考查由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)做為等量關(guān)系列方程求解．5．某文具店購(gòu)進(jìn)，兩種款式的書包，其中種書包的單價(jià)比種書包的單價(jià)低．已知店主購(gòu)進(jìn)種書包用了元，購(gòu)進(jìn)種書包用了元，且所購(gòu)進(jìn)的種書包的數(shù)量比種書包多個(gè)．設(shè)文具店購(gòu)進(jìn)種款式的書包個(gè)，則所列方程正確的是（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】設(shè)文具店購(gòu)進(jìn)B種款式的筆袋x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)A種款式的筆袋（x＋20）個(gè)，根據(jù)單價(jià)＝總價(jià)÷數(shù)量結(jié)合A種筆袋的單價(jià)比B種袋的單價(jià)低10%，即可得出關(guān)于x的分式方程．【詳解詳析】解：設(shè)文具店購(gòu)進(jìn)B種款式的筆袋x個(gè)，則購(gòu)進(jìn)A種款式的筆袋（x＋20）個(gè)，依題意，得：，故選：B．【名師指路】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．6．課本習(xí)題：“某超市的一種瓶裝飲料每箱售價(jià)為36元，五一期間對(duì)該瓶裝飲料進(jìn)行促銷活動(dòng)，買一箱送兩瓶，這相當(dāng)于每瓶按原價(jià)九折銷售，求這家超市銷售這種飲料的原價(jià)每瓶是多少元及每箱多少瓶？”以下為四位同學(xué)列出的方程，正確的是（）A．甲、丁 B．乙、丙 C．甲、乙 D．甲、乙、丙【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】根據(jù)題意可設(shè)這種飲料的原價(jià)每瓶是元，則根據(jù)等量關(guān)系“九折購(gòu)買的飲料數(shù)量比36元購(gòu)買的一箱飲料的數(shù)量多2瓶”，或“一箱加2瓶的飲料九折后的價(jià)格是36元”；若設(shè)每箱有瓶，則根據(jù)“購(gòu)買一箱加2瓶時(shí)，每瓶的價(jià)格和每瓶九折后的價(jià)格相等”分別列出方程即可【詳解詳析】設(shè)這種飲料的原價(jià)每瓶是元，則；設(shè)這種飲料的原價(jià)每瓶是元，則；設(shè)每箱有瓶，則故選B【名師指路】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．某鋼鐵廠一月份生產(chǎn)鋼鐵560噸，從二月份起，由于改進(jìn)操作技術(shù)，使得第一季度共生產(chǎn)鋼鐵1850噸，問(wèn)二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率是多少？若設(shè)二、三月份平均每月的增長(zhǎng)率為x，則可得方程（）A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【詳解詳析】第一個(gè)月是560，第二個(gè)月是560（1+x），第三月是560（1+x）2，所以第一季度總計(jì)560+560（1+x）+560（1+x）2=1850，選D.8．某市2017年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2016年增長(zhǎng)了12%，由于受到國(guó)際金融危機(jī)的影響，預(yù)計(jì)2018比2017年增長(zhǎng)7%，若這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為%，則%滿足的關(guān)系是A． B．C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【詳解詳析】設(shè)2016年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為1，∵2017年國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）比2016年增長(zhǎng)了12%，∴2017年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為1+12%；∵2018年比2017年增長(zhǎng)7%，∴2018年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值為（1+12%）（1+7%），∵這兩年GDP年平均增長(zhǎng)率為x%，∴2018年的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值也可表示為：，∴可列方程為：（1+12%）（1+7%）=．故選D．9．一個(gè)矩形內(nèi)放入兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為3cm和4cm的小正方形紙片，按照?qǐng)D①放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分（黑色陰影部分）的面積為8cm2；按照?qǐng)D②放置，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為11cm2，若把兩張正方形紙片按圖③放置時(shí)，矩形紙片沒(méi)有被兩個(gè)正方形紙片覆蓋的部分的面積為（）A．5cm2 B．6cm2 C．7cm2 D．8cm2【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm，根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合按圖①②兩種放置時(shí)未覆蓋部分的面積，即可得出關(guān)于x、y的方程組，利用(②①)3可得出x=y+1③，將③代入②中可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值，即可得到y(tǒng)值，進(jìn)而得出x的值，再利用矩形面積公式得出圖③擺放位置時(shí)未覆蓋的面積即可得出答案．【詳解詳析】解：設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm，寬為ycm根據(jù)題意可得，，將(②①)3可得出：yx+1=0，即x=y+1③，將③代入②中可得：y(y+1)=16+3(y4)+11，整理得：，解得：或（舍），則x=y+1=6，則矩形的寬為5cm，長(zhǎng)為6cm，按照?qǐng)D③放置的時(shí)候，未覆蓋的面積為：，故選：C．【名師指路】本題考查了二元一次方程組及一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．10．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)P在AB上，PQ⊥BC，QR⊥AC，RS⊥AB，其中Q，R，S為垂足，若SP＝，則AP的長(zhǎng)是（）A． B． C． D．或【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出，求出，設(shè)則，，，，，當(dāng)在上時(shí)，根據(jù)，代入求出即可；當(dāng)在之間時(shí)，同理可求出．【詳解詳析】解：等邊三角形，，，，，，同理，，設(shè)則，，，，，當(dāng)在上時(shí)，，，；當(dāng)在之間時(shí)，同理可求出．故選：．【名師指路】本題主要考查對(duì)等邊三角形性質(zhì)，含30度角的之間三角形，一元一次方程等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能求出、、是解此題的關(guān)鍵．二、填空題11．閱讀下列材料：①的解為x＝1，②的解為x＝2，③的解為x＝3．請(qǐng)你觀察上述方程與解得特征，寫出能反映上述方程一般規(guī)律的方程___，這個(gè)方程的解為___．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】根據(jù)觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律：方程的解是方程的最簡(jiǎn)公分母為零時(shí)x值的平均數(shù)，可得答案．【詳解詳析】解：方程為：，解為，故填：，．【名師指路】此題考查了分式方程的解，弄清題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．12．某校去年租借了三架無(wú)人機(jī)A，B，C用于體育節(jié)航拍，無(wú)人機(jī)A，B，C飛行平均速度之比為1：8：3，飛行時(shí)間之比為2：1：2．今年繼續(xù)租借，但根據(jù)航拍需求，對(duì)三架無(wú)人機(jī)飛行平均速度和時(shí)間均作了調(diào)整．無(wú)人機(jī)B的平均速度比去年低了，無(wú)人機(jī)C的平均速度為去年的．A，C兩架無(wú)人機(jī)的飛行總路程增加，而無(wú)人機(jī)B飛行總路程減少．無(wú)人機(jī)C增加的路程是無(wú)人機(jī)A增加路程的2倍，且占今年三架無(wú)人機(jī)總路程的20%．無(wú)人機(jī)A增加的路程與無(wú)人機(jī)B減少的路程之比為7：15，則今年無(wú)人機(jī)B與無(wú)人機(jī)C的飛行時(shí)間之比為________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】17：57【思路指引】設(shè)去年無(wú)人機(jī)A，B，C飛行平均速度之比為x，8x，3x，飛行時(shí)間之比為2t，t，2t，表示出去年無(wú)人機(jī)A，B，C飛行的路程分別為2xt，8xt，6xt，設(shè)今年無(wú)人機(jī)A增加路程為m，無(wú)人機(jī)B減少路程為n，則無(wú)人機(jī)C增加路程為2m，進(jìn)而用代數(shù)式表示有關(guān)的路程和時(shí)間，表示出今年無(wú)人機(jī)B與無(wú)人機(jī)C的飛行時(shí)間，即可求出無(wú)人機(jī)B與無(wú)人機(jī)C的飛行時(shí)間之比．【詳解詳析】解：∵去年無(wú)人機(jī)A，B，C飛行平均速度之比為1：8：3，飛行時(shí)間之比為2：1：2，∴設(shè)去年無(wú)人機(jī)A，B，C飛行平均速度之比為x，8x，3x，飛行時(shí)間之比為2t，t，2t，∴去年無(wú)人機(jī)A，B，C飛行的路程分別為2xt，8xt，6xt，∵今年無(wú)人機(jī)B的平均速度比去年低了，無(wú)人機(jī)C的平均速度為去年的∴今年無(wú)人機(jī)B的平均速度為：（1﹣）×8x＝6x，無(wú)人機(jī)C的平均速度為：×3x＝4x，設(shè)今年無(wú)人機(jī)A增加路程為m，無(wú)人機(jī)B減少路程為n，則無(wú)人機(jī)C增加路程為2m，∴今年無(wú)人機(jī)A、B、C飛行的路程分別為2xt+m，8xt﹣n，6xt+2m，∴今年無(wú)人機(jī)A、B、C飛行的時(shí)間分別為，，，∵無(wú)人機(jī)C增加的路程占今年三架無(wú)人機(jī)總路程的20%，∴2m＝20%（2xt+m+8xt﹣n+6xt+2m），整理得：16xt﹣7m﹣n＝0①，∵無(wú)人機(jī)A增加的路程與無(wú)人機(jī)B減少的路程之比為7：15，∴m：n＝7：15，∴m＝②，把②代入①得：16xt﹣7×﹣n＝0，∴xt＝，∴今年無(wú)人機(jī)B與無(wú)人機(jī)C的飛行時(shí)間之比為：，故答案為：17：57．【名師指路】本題考查了分式方程的應(yīng)用，利用比例設(shè)未知數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．13．對(duì)于三個(gè)數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)的平均數(shù)，用min{a，b，c}表示這三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)．例如：M{－1，2，3}＝，min{－1，2，3}＝－1，如果M{3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，那么x＝_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】或【詳解詳析】【思路指引】根據(jù)題中的運(yùn)算規(guī)則得到M{3，2x＋1，4x－1}=1+2x，然后再根據(jù)min{2，－x＋3，5x}的規(guī)則分情況討論即可得.【詳解詳析】M{3，2x＋1，4x－1}==2x+1，∵M(jìn){3，2x＋1，4x－1}＝min{2，－x＋3，5x}，∴有如下三種情況：①2x+1=2，x=，此時(shí)min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=2，成立；②2x+1=x+3，x=，此時(shí)min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=2，不成立；③2x+1=5x，x=，此時(shí)min{2，－x＋3，5x}=min{2，，}=，成立，∴x=或，故答案為或.【名師指路】本題考查了閱讀理解題，一元一次方程的應(yīng)用，分類討論思想的運(yùn)用等，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，依題意分情況列出一元一次方程進(jìn)行求解．14．近年來(lái)，網(wǎng)紅北京迎來(lái)了無(wú)數(shù)中外游客．除了游故宮、登長(zhǎng)城、吃烤鴨以外，稻香村的傳統(tǒng)糕點(diǎn)成為了炙手可熱的伴手禮．根據(jù)消費(fèi)者的喜好，現(xiàn)推出A、B兩種伴手禮禮盒，A禮盒裝有2個(gè)福字餅，2個(gè)祿字餅：B禮盒裝有1個(gè)福字餅，2個(gè)祿字餅，3個(gè)壽字餅，A、B兩種禮盒每盒成本價(jià)分別為盒中福祿壽三種糕點(diǎn)的成本價(jià)之和．已知A種禮盒每盒的售價(jià)為96元，利潤(rùn)率為20%，每個(gè)祿字餅的成本價(jià)是壽字餅的成本價(jià)的3倍．國(guó)慶期間，由于客流量大，一天就賣出A、B兩種禮盒共計(jì)78盒，工作人員在核算當(dāng)日賣出禮盒總成本的時(shí)候把福字餅和祿字餅的成本看反了，后面發(fā)現(xiàn)如果不看反，那么當(dāng)日賣出禮盒的實(shí)際總成本比核算時(shí)的總成本少500元，則當(dāng)日賣出禮盒的實(shí)際總成本為_____元．【標(biāo)準(zhǔn)答案】5740【思路指引】根據(jù)題意可得A禮盒的成本價(jià)格，進(jìn)而可求出1個(gè)福字餅和1個(gè)祿字餅的成本和為40元，再設(shè)一個(gè)福字餅成本x元，一個(gè)祿字餅成本（40﹣x）元，A種禮盒m袋，B種禮盒n袋，列出方程得到xn＝20n+250，最后求出每日賣出禮盒的實(shí)際總成本即可．【詳解詳析】解：設(shè)A禮盒成本價(jià)格a元，根據(jù)題意，得96﹣a＝20%a，解得a＝80，∵A禮盒裝有2個(gè)福字餅，2個(gè)祿字餅，∴2個(gè)福字餅和2個(gè)祿字餅的成本價(jià)格為80元，∴1個(gè)福字餅和1個(gè)祿字餅的成本價(jià)格為40元，設(shè)個(gè)福字餅成本價(jià)x元，1個(gè)祿字餅成本價(jià)（40﹣x）元，則1個(gè)壽字餅成本價(jià)為（40﹣x）元，A種禮盒m袋，B種禮盒n袋，根據(jù)題意，得m+n＝7880m+n[x+2（40﹣x）+3×（40﹣x）]+500＝80m+n[（40﹣x+2x+3×（40﹣x）]∴xn＝20n+250設(shè)A、B兩種禮盒實(shí)際成本為w元，則有w＝80m+xn+2n（40﹣x）+n×（40﹣x）＝80（m+n）﹣500＝80×78﹣500＝5740．故答案為：5740．【名師指路】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是求出A禮盒的成本．15．如圖，點(diǎn)O是鐘面的中心，射線正好落在3：00時(shí)針的位置．當(dāng)時(shí)鐘從2：00走到3：00，則經(jīng)過(guò)___________分鐘，時(shí)針，分針，與所在的三條射線中，其中一條射線是另外兩條射線所夾角的角平分線．【標(biāo)準(zhǔn)答案】6或【思路指引】分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)針為角平分線和OC為角平分線進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解詳析】設(shè)時(shí)針為OB，分針為OA．當(dāng)時(shí)針為OB為角平分線時(shí)，如圖1所示：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，OB為角平分線，則∠AOB=60゜6x゜+，∠BOC=30゜－，依題意得：606x+＝30－解得x=6；當(dāng)時(shí)針為OC為角平分線時(shí)，如圖2所示：設(shè)經(jīng)過(guò)x分鐘，OC為角平分線，則∠AOC=6x゜90゜，∠BOC=30゜－，依題意得：6x90＝30－解得x=；綜合上述可得：經(jīng)過(guò)6分鐘或分鐘時(shí)，時(shí)針，分針，與所在的三條射線中，其中一條射線是另外兩條射線所夾角的角平分線．故答案為：6或．【名師指路】考查了一元一次方程的應(yīng)用和角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)針為角平分線和OC為角平分線和利用方程求得其角度．16．隨著我國(guó)疫情的有效控制，各地打造了眾多春游景點(diǎn)供市民休閑娛樂(lè)．某區(qū)特別打造了多彩植物園、親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園吸引游客．月份多彩植物園、親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園接待游客數(shù)量之比為．為增加游客數(shù)量，該地區(qū)通過(guò)發(fā)抖音、轉(zhuǎn)發(fā)朋友圈等多種方式加大宣傳力度，預(yù)計(jì)月份三個(gè)園區(qū)接待的游客總?cè)藬?shù)在月份的基礎(chǔ)上會(huì)增加．但因?yàn)槎嗖手参飯@中部分花期已過(guò)，多彩植物園的游客人數(shù)在3月份的基礎(chǔ)上將減少．這樣月份，多彩植物園接待的游客總?cè)藬?shù)占三個(gè)園區(qū)接待游客總?cè)藬?shù)的，而親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園月份接待游客人數(shù)之比將達(dá)到，則親子游樂(lè)園新增的人數(shù)與月份這三個(gè)園區(qū)的總?cè)藬?shù)之比是___________【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)3月多彩植物園、親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園接待游客數(shù)量分別為3a，3a，4a，求出4月多彩植物園的人數(shù)，得到4月接待總?cè)藬?shù)，設(shè)4月親子游樂(lè)園人數(shù)為m，根據(jù)4月親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園4月份接待游客人數(shù)之比將達(dá)到3：2，得到，再根據(jù)題意求出比值．【詳解詳析】解：設(shè)3月多彩植物園、親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園接待游客數(shù)量分別為3a，3a，4a，則4月多彩植物園的游客人數(shù)為3a（1）=2a，∴4月接待總?cè)藬?shù)為2a÷=14a，∴4月親子游樂(lè)園、勞動(dòng)體驗(yàn)園接待游客數(shù)量為12a，設(shè)4月親子游樂(lè)園人數(shù)為m，則勞動(dòng)體驗(yàn)園人數(shù)為12am，由題意可得：，解得：，∴4月親子游樂(lè)園新增的人數(shù)與4月份這三個(gè)園區(qū)的總?cè)藬?shù)之比為：=，故答案為：．【名師指路】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，題干較長(zhǎng)，解題時(shí)要細(xì)心認(rèn)真讀題，理清題中的條件，用字母表示出相關(guān)量，再進(jìn)行運(yùn)算．17．從甲地到乙地有20站，并且任何相鄰兩站之間的距離相同．快車和慢車每小時(shí)從甲地各發(fā)一趟，快車整點(diǎn)發(fā)車，慢車發(fā)車時(shí)間晚半小時(shí)．快車每站車費(fèi)5元，慢車每站車費(fèi)2元，但快車的速度是慢車速度的2倍．快車從甲地到乙地共需2小時(shí)．上午九點(diǎn)半，一位只有70元錢的旅客在甲地乘車，若忽略車進(jìn)出站上下乘客的時(shí)間，但旅客等車時(shí)間要計(jì)算在內(nèi)，這位旅客從甲地到乙地所需的最短時(shí)間為__小時(shí)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】3【思路指引】從甲地到乙地，快車整點(diǎn)出發(fā)，慢車晚半個(gè)小時(shí)，旅客9：30分上車必須坐慢車，從10：00點(diǎn)鐘后整點(diǎn)發(fā)車可以看一個(gè)追及相遇問(wèn)題，計(jì)算出慢車與后面不同整點(diǎn)發(fā)出的快車相遇的站點(diǎn)，方可上快車才能節(jié)省時(shí)間，同時(shí)還考慮旅客只帶70元錢夠車費(fèi)，方能到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間最短．【詳解詳析】解：∵從甲地到乙地有20站，快車共需2小時(shí)，∴快車從上一站點(diǎn)到下一站點(diǎn)的時(shí)間為，又∵快車的速度是慢車速度的2倍；∴從甲地到乙地有20站，慢車共需4小時(shí)，∴慢車從上一站點(diǎn)到下一站點(diǎn)的時(shí)間為．由題意可知：①當(dāng)9：30旅客坐上慢車后，與第1輛10：00鐘發(fā)出的快車相遇于第x個(gè)站點(diǎn)，則有：，解得：x＝5；∴此刻10：00發(fā)出的快車行了小時(shí)，慢車行了1個(gè)小時(shí)；即相遇時(shí)刻為10：30分．②當(dāng)10：30旅客坐慢車?yán)^續(xù)前行，需過(guò)小時(shí)，快車將在11：00發(fā)出追及慢車相遇于第y個(gè)站點(diǎn)，則有：，解得：y＝10，∴此刻11：00發(fā)出的快車行了1小時(shí)，慢車行了2個(gè)小時(shí)；即相遇時(shí)刻為12：00分．③當(dāng)12：00旅客坐慢車?yán)^續(xù)前行，此刻甲地快車發(fā)出追及慢車相遇于第z個(gè)站點(diǎn)，則有：，解得：z＝20，∴此刻相遇剛好在終點(diǎn)．由上可知：旅客要從慢車坐上快車在第①和第②次相遇時(shí)坐上快車節(jié)省時(shí)間．（Ⅰ）第①種情況旅客坐慢車相遇快車后上快車，從甲地到乙地的總時(shí)間為：（小時(shí)）；又∵快車每站車費(fèi)5元，慢車每站車費(fèi)2元，∴此種方式的總費(fèi)用：2×5+15×5＝75（元），又∵旅客只有70元錢，∴75＞70，即此時(shí)相遇后坐快車錢不夠，不合題意舍去．（Ⅱ）第②情況旅客坐慢車相遇快車后上快車，從甲地到乙地的總時(shí)間為：（小時(shí)）．此種方式的總費(fèi)用：5×10+2×10＝70（元）即此種情況節(jié)約時(shí)間，旅客所帶的錢夠花．故答案為3．【名師指路】本題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意列出方程，分類討論是解題的關(guān)鍵．18．某知名服裝品牌在北碚共有A、B、C三個(gè)實(shí)體店．由于疫情的影響，第一季度A、B、C三店的營(yíng)業(yè)額之比為，隨著疫情得到有效的控制和緩解，預(yù)計(jì)第二季度這三個(gè)店的總營(yíng)業(yè)額會(huì)增加，其中B店增加的營(yíng)業(yè)額占總增加的營(yíng)業(yè)額的，第二季度B店的營(yíng)業(yè)額占總營(yíng)業(yè)額的，為了使A店與C店在第二季度的營(yíng)業(yè)額之比為5∶4，則第二季度A店增加的營(yíng)業(yè)額與第二季度總營(yíng)業(yè)額的比值為______________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】設(shè)第一季度A、B、C三店的營(yíng)業(yè)額分別為，第二季度A店、C店的營(yíng)業(yè)額為、，根據(jù)題意求得與的關(guān)系，第二季度B店的營(yíng)業(yè)額，第二季度總營(yíng)業(yè)額為，則第二季度A店增加的營(yíng)業(yè)額與第二季度總營(yíng)業(yè)額的比值為，即可求解．【詳解詳析】解：∵第一季度A、B、C三店的營(yíng)業(yè)額之比為∴設(shè)第一季度A、B、C三店的營(yíng)業(yè)額分別為∵第二季度A店與C店在第二季度的營(yíng)業(yè)額之比為5∶4∴設(shè)第二季度A店、C店的營(yíng)業(yè)額為、，B店的營(yíng)業(yè)額為∵第二季度B店的營(yíng)業(yè)額占總營(yíng)業(yè)額的，∴，解得∴第二季度總營(yíng)業(yè)額為∵B店增加的營(yíng)業(yè)額占總增加的營(yíng)業(yè)額的∴，解得第二季度A店增加的營(yíng)業(yè)額與第二季度總營(yíng)業(yè)額的比值為【名師指路】此題考查了分式方程的應(yīng)用，理解題意設(shè)合適的未知數(shù)，弄清楚題中的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．小方同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)“魔法棒轉(zhuǎn)不?！背绦颍鐖D所示，點(diǎn)，在直線上，第一步，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至；第二步，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至；第三步，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，以此類推，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中若碰到直線則立即繞點(diǎn)反方向旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，則等于______度．【標(biāo)準(zhǔn)答案】或或【思路指引】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角度的變化規(guī)律，可對(duì)射線進(jìn)行討論分析：①未反彈；②反彈后落在之間；③反彈后落在之間；④反彈后落在之間；分別求出每一種情況的答案，并結(jié)合實(shí)際情況，即可得到答案．【詳解詳析】解：根據(jù)題意，可對(duì)射線進(jìn)行討論分析：①未反彈時(shí)，如圖：∵，∴，∴此時(shí)滿足題意；②反彈后落在之間，如圖：∴，，∴，∴，∴，此時(shí)，不符合題意，舍去；③反彈后落在之間，如圖：∴，，∴，∴此時(shí)，成立；④反彈后落在之間，如圖：∴，，∴，∴，∴，成立；∵，∴，∴射線不可能反彈；綜上所述，等于或或．故答案為：或或．【名師指路】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，平角的定義，角度的和差關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握題意，掌握角度的規(guī)律探索，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．20．已知：如圖1，點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作射線，使，過(guò)點(diǎn)作射線，使．如圖2，繞點(diǎn)以每秒9°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，同時(shí)射線繞點(diǎn)以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得射線，當(dāng)射線落在的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，射線和同時(shí)停止，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)______時(shí)，的某一邊平分（指不大于180°的角）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】t=3或t=30或t=54【思路指引】本題分情況討論，當(dāng)OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'，用t的式子表示∠MOE'，∠A'OE'，求出t的值，當(dāng)ON'平分∠A'OM，∠MON'=∠A'ON'，此時(shí)分為兩種情況，第一種情況：ON'沒(méi)有旋轉(zhuǎn)完360°，第二種情況：ON'旋轉(zhuǎn)完了360°．用t的式子表示∠MON'，∠A'ON'，分別求出t的值即可．【詳解詳析】解：∵∠EOM=∠EON，∠EOM+∠EON=180°得：∠EOM=30°，∠EON=150°①OE'平分∠A'OM，即∠MOE'=∠A'OE'

∠MOE'=30+9t∠A'OE'=60+3t9t∴30+9t=60+3t9t解得t=3，②ON'平分∠A'OM，此時(shí)分為兩種情況，第一種情況：ON'沒(méi)有旋轉(zhuǎn)完360°，

∠MON'=∠A'ON'∠MON'=9t180∠A'ON'=90+(9t180)3t∴9t180=90+(9t180)3t解得t=30，第二種情況：ON'旋轉(zhuǎn)完了360°

∠MON'=∠A'ON'∠MON'=1809t+360，∠A'ON'=180(3t90)(1809t+360)1809t+360=180(3t90)(1809t+360)解得t=54，故答案為：t=3或t=30或t=54【名師指路】此題主要考查角的和差，角平分線的性質(zhì)與一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到等量關(guān)系求解.三、解答題21．某商場(chǎng)第一次用元購(gòu)進(jìn)某款智能清潔機(jī)器人進(jìn)行銷售，很快銷售一空，商家又用元第二次購(gòu)進(jìn)同款智能清潔機(jī)器人，所購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次的倍，但單價(jià)比第一次貴了元．（1）該商家第一次購(gòu)進(jìn)智能清潔機(jī)器人多少臺(tái)？（2）若第二次購(gòu)進(jìn)的智能清潔機(jī)器人的銷售價(jià)格與第一次購(gòu)進(jìn)的智能清潔機(jī)器人的銷售價(jià)格相同，要求兩次全部銷售完畢的利潤(rùn)率不低于（不考慮其它因素），那么每臺(tái)智能清潔機(jī)器人的銷售價(jià)格至少是多少元？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）該商家第一次購(gòu)進(jìn)智能清潔機(jī)器人臺(tái)；（2）每臺(tái)智能清潔機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是元．【思路指引】（1）設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)智能清潔機(jī)器人臺(tái)，列分式方程求解即可；（2）設(shè)每臺(tái)智能清潔機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是元，列不等式解決問(wèn)題.【詳解詳析】解：設(shè)該商家第一次購(gòu)進(jìn)智能清潔機(jī)器人臺(tái)，依題意得：，解得.經(jīng)檢驗(yàn)是所列方程的解，且符合題意.答：該商家第一次購(gòu)進(jìn)智能清潔機(jī)器人臺(tái).設(shè)每臺(tái)智能清潔機(jī)器人的標(biāo)價(jià)是元.則依題意得：，解得.答：每臺(tái)智能清潔機(jī)器人的標(biāo)價(jià)至少是元.【名師指路】此題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵.22．在落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧”戰(zhàn)略中，三峽庫(kù)區(qū)某駐村干部組織村民依托著名電商平臺(tái)“拼多多”組建了某土特產(chǎn)專賣店，專門將進(jìn)貨自本地各家各戶的A、B兩款商品銷售到全國(guó)各地．2020年10月份，該專賣店第一次購(gòu)進(jìn)A商品40件，B商品60件，進(jìn)價(jià)合計(jì)8400元；第二次購(gòu)進(jìn)A商品50件，B商品30件，進(jìn)價(jià)合計(jì)6900元．（1）求該專賣店10月份A、B兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為多少元？（2）10月底，該專賣店順利將兩次購(gòu)進(jìn)的商品全部售出．由于季節(jié)原因，B商品缺貨，該專賣店在11月份和12月份都只能銷售A商品，且A商品11月份的進(jìn)貨單價(jià)比10月份上漲了m元，進(jìn)價(jià)合計(jì)49000元；12月份的進(jìn)貨單價(jià)又比11月份上漲了0.5m元，進(jìn)價(jià)合計(jì)61200元，12月份的進(jìn)貨數(shù)量是11月份進(jìn)貨數(shù)量的1.2倍．為了盡快回籠資金，A商品在11月份和12月份的銷售過(guò)程中維持每件150元的售價(jià)不變，到2021年元旦節(jié)，該專賣店把剩下的50件A商品打八折促銷，很快便售完，求該專賣店在A商品進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷售總金額為多少元？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）該店A、B兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為90元和80元；（2）該專賣店在A商品進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷售總金額為163500元．【思路指引】（1）設(shè)每件A種商品的進(jìn)價(jià)為x元，每件B種商品的進(jìn)價(jià)為y元，根據(jù)“若購(gòu)進(jìn)A種商品40件，B種商品60件，需要8400元；若購(gòu)進(jìn)A種商品50件，B種商品30件，需要6900元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意，可以得到相應(yīng)的分式方程，從而可以得到m的值，然后即可計(jì)算出商店銷售這兩批A商品的銷售總金額．【詳解詳析】（1）設(shè)10月份A商品的進(jìn)貨單價(jià)為x元，B商品的進(jìn)貨單價(jià)為y元，由題意得：，解得，，答：該店A、B兩款商品進(jìn)貨單價(jià)分別為90元和80元；（2）由題意可得，，解得，m=8，經(jīng)檢驗(yàn)，m=8是原分式方程的解，故11月份購(gòu)進(jìn)的A商品數(shù)量為（件），12月份購(gòu)進(jìn)的A商品數(shù)量為500×1.2=600（件），（500+60050）×150+150×0.8×50=163500（元）．答：該專賣店在A商品進(jìn)貨單價(jià)上漲后的銷售總金額為163500元．【名師指路】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和分式方程，注意分式方程要檢驗(yàn)．23．如果實(shí)數(shù)a，b滿足的形式，那么a和b就是“智慧數(shù)”，用表示．如：由于，所以是“智慧數(shù)”．（1）下列是“智慧數(shù)”的是（填序號(hào)）；①和，②和，③和．（2）如果是“智慧數(shù)”，那么“☆”的值為；（3）如果是“智慧數(shù)”，①y與x之間的關(guān)系式為；②當(dāng)x＞0時(shí)，y的取值范圍是；③在②的條件下，y隨x的增大而（填“增大”，“減小”或“不變”）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）①，③；`（2）；（3）①（）；②；③增大【思路指引】（1）將三組數(shù)據(jù)逐一代入智慧數(shù)的式子可得出結(jié)論；（2）滿足新定義的等式，代入求出☆；（3）①將x和y代入智慧數(shù)的式子整理可得；②用x表示y，通過(guò)x＞0的條件可得出y的取值范圍；③將y=整理成1的形式可得．【詳解詳析】（1）①1.26=7.2=1.2×6，①是智慧數(shù)；②（3）=≠×（3），②不是智慧數(shù)；③（1）==×（1），③是智慧數(shù)．故答案為①，③；（2）∵是“智慧數(shù)”，∴3☆=3☆4☆=3☆=（3）①∵是“智慧數(shù)”，∴xy=xyx=xy+yx=y（x+1）y=（）．②用x表示y，y=x（1y）x=∵x＞0，∴＞0，y（1y）＞0，∴．③由①得，y==1，當(dāng)x>0時(shí)，1+x>1，當(dāng)x增大時(shí)，1+x隨x的增大而增大，隨x的增大而減小，1隨x的增大而增大，故答案為增大．【名師指路】本題主要考查了新定義下實(shí)數(shù)和分式方程的運(yùn)算，熟練掌握實(shí)數(shù)運(yùn)算和分式方程的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．己知在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)B表示的數(shù)為最大的負(fù)整數(shù)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊，且AB=24．若有一動(dòng)點(diǎn)Р從數(shù)軸上點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）若點(diǎn)Р和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)秒時(shí)，寫出數(shù)軸上點(diǎn)P，Q所表示的數(shù)；（2）若點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)出發(fā)，Р先出發(fā)2秒，然后Q才出發(fā)，問(wèn)當(dāng)t為何值點(diǎn)P與點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）若點(diǎn)О到點(diǎn)M，N兩點(diǎn)的距離之和為10，則稱點(diǎn)О是的“整十點(diǎn)”，設(shè)點(diǎn)C為線段AB上的點(diǎn)，且，點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P向左運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)返回到A點(diǎn)時(shí)停止，動(dòng)點(diǎn)Q一直向右運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，求當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)C為的“整十點(diǎn)”．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）點(diǎn)P表示的數(shù)為19，點(diǎn)Q表示的數(shù)為5；（2）當(dāng)t為或時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）當(dāng)t為或時(shí)，C為的“整十點(diǎn)”【思路指引】（1）先求出點(diǎn)A、B表示的數(shù)，再求出t=2時(shí)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的路程，即可求得點(diǎn)P、Q所表示的數(shù)；（2）先求出點(diǎn)P、Q表示的數(shù)，再根據(jù)PQ=3列出關(guān)于t的一元一次方程，解方程即可解答；（3）根據(jù)AC=10可求得點(diǎn)C表示的數(shù)，再分情況表示出點(diǎn)P表示的數(shù)，然后分0＜t≤、＜t≤5、5＜t≤8、8＜t≤10四種情況，根據(jù)點(diǎn)C為的“整十點(diǎn)”列出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解詳析】解：根據(jù)題意，點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣1，點(diǎn)A表示的數(shù)為23，當(dāng)t=2時(shí)，AP=2×2=4，BQ=3×2=6，則點(diǎn)P表示的數(shù)為23﹣4=19，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣1+6=5；（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P表示的數(shù)為23﹣2×2﹣2t=19﹣2t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣1+3t，由題意得：∣（19﹣2t）﹣（﹣1+3t）∣=3，即20﹣5t=3或5t﹣20=3，解得：t=或t=，答：當(dāng)t為或時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)相距3個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）依題意，點(diǎn)C表示的數(shù)是13，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需10÷2=5秒，返回到A點(diǎn)需10秒，∴點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)需要14÷3=秒，運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)需24÷3=8秒,∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為﹣1+3t（0＜t≤8）當(dāng)0＜t≤時(shí)，由CQ+CP=10得：13﹣（﹣1+3t）+23﹣2t﹣13=24﹣5t=10，解得：t=；當(dāng)＜t≤5時(shí)，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+23﹣2t﹣13=t﹣4=10，解得：t=14＞5，不存在；當(dāng)5＜t≤8時(shí)，由CQ+CP=10得：（﹣1+3t）﹣13+3+2t﹣13=5t﹣24=10，解得：t=；當(dāng)8＜t≤10時(shí)，由CQ+CP=10得：10+3+2t﹣13=10，解得：t=5＜8，不存在，綜上，當(dāng)t為或時(shí)，C為的“整十點(diǎn)”．【名師指路】本題考查數(shù)軸、一元一次方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是會(huì)表示數(shù)軸上的數(shù)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，利用分類討論思想列出對(duì)應(yīng)的一元一次方程．25．2020年初，國(guó)家發(fā)展改革委、生態(tài)環(huán)境部印發(fā)了《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)塑料污染治理的意見》，明確了加強(qiáng)塑料污染治理分階段的任務(wù)目標(biāo)．某企業(yè)積極響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，加強(qiáng)對(duì)A型，B型可降解環(huán)保購(gòu)物袋的研發(fā)生產(chǎn)和銷售，2020年第二季度，A型環(huán)保袋的銷量比B型銷量的2倍少40噸，其中B型環(huán)保袋每噸的利潤(rùn)是A型的倍，該季度銷售A，B兩種環(huán)保袋分別獲得利潤(rùn)50萬(wàn)元和36萬(wàn)元．（1）第二季度A型，B型環(huán)保袋的銷量分別為多少噸？（2）第三季度，該企業(yè)擴(kuò)大了A，B兩種環(huán)保袋的生產(chǎn)銷售，A型增加的銷量是B型增加銷量的倍，該季度A型環(huán)保袋的銷量是B型的1.5倍．到了第四季度，為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，該企業(yè)主動(dòng)降低了兩種環(huán)保袋的售價(jià)，A型，B型環(huán)保袋每噸的利潤(rùn)比第二季度分別降低了和，兩種環(huán)保袋的銷量卻比第三季度分別增加了和，第四季度A，B兩型環(huán)保袋的總利潤(rùn)比第二季度增加了49萬(wàn)元，求a的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）A型環(huán)保袋的銷量為200噸，B型環(huán)保袋的銷量為120噸；（2）a的值為25．【思路指引】（1）設(shè)B型環(huán)保袋的銷量為x噸，A型的環(huán)保袋銷量為(2x40)噸，根據(jù)題意列出方程即可；（2）先設(shè)B型增加了b噸銷量，根據(jù)第三季度A型環(huán)保袋的銷量是B型的1.5倍列出方程求出b，再根據(jù)第四季度A，B兩型環(huán)保袋的總利潤(rùn)比第二季度增加了49萬(wàn)元列出關(guān)于a的方程即可求解．【詳解詳析】解：（1）設(shè)B型環(huán)保袋的銷量為x噸，A型的環(huán)保袋銷量為(2x40)噸，根據(jù)題意，得：，解此方程得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，∴（噸），所以，A型環(huán)保袋的銷量為200噸，B型環(huán)保袋的銷量為120噸；（2）設(shè)B型增加了b噸銷量，由題意得：200＋b＝1.5(120＋b)，解得b＝80，∴200＋b＝300（噸），120＋b＝200（噸）則A型銷量為300噸，B型銷量為200噸，由題意可得，第四季度A型環(huán)保袋的銷量為，B型環(huán)保袋的銷量為，由（1）可得，第二季度A型環(huán)保袋每噸的利潤(rùn)為萬(wàn)元，B型環(huán)保袋每噸的利潤(rùn)為萬(wàn)元，∴第四季度A型環(huán)保袋每噸的利潤(rùn)為萬(wàn)元，B型環(huán)保袋每噸的利潤(rùn)為萬(wàn)元，由題意得：，此方程可化為，解得（舍去），，∴a的值為25．【名師指路】本題考查了分式方程、一元一次方程及一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，弄清數(shù)量關(guān)系，列出方程．26．（1）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=（）的圖象交于A、B兩點(diǎn)，與x軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（n，6），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣2，0），且tan∠ACO=2．①求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；②求點(diǎn)B的坐標(biāo)；③在x軸上求點(diǎn)E，使△ACE為直角三角形．（直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)）（2）某書店老板去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種圖書．第一次用1200元購(gòu)書若干本，并按該書定價(jià)7元出售，很快售完．由于該書暢銷，第二次購(gòu)書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，他用1500元所購(gòu)該書數(shù)量比第一次多10本．當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書．①求第一次購(gòu)進(jìn)圖書的進(jìn)價(jià)是每本多少元？②該書店老板在這兩次銷售中，總體上是盈利還是虧損？盈利或虧損了多少元？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）①，；②；③，；（2）①5元；②盈利了，共盈利了520元【思路指引】（1）①過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于D，根據(jù)A、C的坐標(biāo)求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求得反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式；②求出反比例函數(shù)和一次函數(shù)的另外一個(gè)交點(diǎn)即可；③分兩種情況：AE⊥x軸②EA⊥AC，分別寫出E的坐標(biāo)即可．（2）①設(shè)第一次購(gòu)書的單價(jià)為x元，根據(jù)第一次用1200元購(gòu)書若干本，第二次購(gòu)書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，他用1500元所購(gòu)該書的數(shù)量比第一次多10本，列出方程，求出x的值即可得出答案；②根據(jù)（1）先求出第一次和第二次購(gòu)書數(shù)目，再根據(jù)賣書數(shù)目×（實(shí)際售價(jià)當(dāng)次進(jìn)價(jià)）求出二次賺的錢數(shù)，再分別相加即可得出答案．【詳解詳析】解：（1）①過(guò)點(diǎn)作軸于，的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，，，，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)為原方程解；故，，反比例函數(shù)表達(dá)式為：，又點(diǎn)、在直線上，，解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為：；②由得：，解得：或，，；③分兩種情況：當(dāng)軸時(shí)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，則，，又的坐標(biāo)為，．綜上所述，，．（2）①設(shè)第一次購(gòu)書的單價(jià)為x元，根據(jù)題意得：，解得：x=5．經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是原方程的解，答：第一次購(gòu)書的進(jìn)價(jià)是每本5元；②第一次購(gòu)書為1200÷5=240（本），第二次購(gòu)書為240+10=250（本），第一次盈利為240×（75）=480（元），第二次盈利為200×（75×1.2）+50×（7×0.45×1.2）=40（元），所以兩次共盈利480+40=520（元），答：該老板兩次售書總體上是盈利了，共盈利了520元．【名師指路】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，涉及了點(diǎn)的坐標(biāo)的求法以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的知識(shí)，同時(shí)考查了分式方程的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和理解能力．27．接種疫苗是阻斷病毒傳播的有效途經(jīng)，為了保障人民群眾的身體健康，我國(guó)目前正在開展新冠疫苗大規(guī)模接種工作．現(xiàn)有、兩個(gè)社區(qū)疫苗接種點(diǎn)，已知社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天接種的人數(shù)是社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天接種人數(shù)的1.2倍，社區(qū)疫苗接種點(diǎn)種完6000支疫苗的時(shí)間比社區(qū)疫苗接種點(diǎn)種完6000支疫苗的時(shí)間少1天．（1）求、兩個(gè)社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種多少人？（2）一段時(shí)間后，社區(qū)接種點(diǎn)每天前來(lái)接種的人數(shù)比（1）中的人數(shù)減少了人，而社區(qū)疫苗接種點(diǎn)由于加大了宣傳力度，每天前來(lái)接種的人數(shù)增加到了（1）中社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天接種的人數(shù)，這樣社區(qū)接種點(diǎn)天與社區(qū)接種點(diǎn)天一共種完了69000支疫苗，求的值．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）A社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種1200人，B社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種1000人；（2）m的值是10【思路指引】（1）設(shè)B社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種x人，則A社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種1.2x人，根據(jù)“A社區(qū)疫苗接種點(diǎn)種完6000支疫苗的時(shí)間比B社區(qū)疫苗接種點(diǎn)種完6000支疫苗的時(shí)間少1天”列出方程解答即可；

（2）根據(jù)“A社區(qū)接種點(diǎn)3m天與B社區(qū)接種點(diǎn)（m+20）天一共種完了69000支疫苗”列出方程解答即可．【詳解詳析】解：（1）設(shè)B社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種x人，則A社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種1.2x人，

根據(jù)題意，得：解得x=1000．

經(jīng)檢驗(yàn)x=1000是原方程的解，且符合題意．

所以1.2x=1200．

答：A社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種1200人，B社區(qū)疫苗接種點(diǎn)每天各接種1000人；

（2）根據(jù)題意，得（120010m）?3m+1200（m+20）=69000，

整理，得m2160m+1500=0．

解得m1=150（舍去），m2=10，

答：m的值是10．【名師指路】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程并解答．28．某商場(chǎng)在一樓至二樓間安裝了一部自動(dòng)扶梯，以勻速向上行駛甲、乙兩同學(xué)同時(shí)從扶梯上勻速走到二樓，且甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)是乙的兩倍．已知甲走了24級(jí)到扶梯頂部，乙走了16級(jí)到扶梯頂部（甲、乙兩同學(xué)每次只跨一級(jí)臺(tái)階）．（1）扶梯露在外面的部分有多少級(jí)？（2）如果與扶梯并排有一從二樓到一樓的樓梯道，臺(tái)階數(shù)與扶梯級(jí)數(shù)相同，甲乙各自到扶梯頂部后按原速再下樓梯到樓梯底部再乘扶梯，若樓梯與扶梯之間的距離忽略不計(jì)，問(wèn)甲第1次追上乙時(shí)是在扶梯上還是在樓梯上？他已經(jīng)走動(dòng)的級(jí)數(shù)是多少級(jí)？【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）扶梯露在外面的部分有48級(jí)；（2）在樓梯上，176級(jí)【思路指引】（1）如果扶梯露在外面的部分有x級(jí)，乙每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為a級(jí)，則甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為2a級(jí)，扶梯每分鐘向上運(yùn)動(dòng)b級(jí)．題中有兩個(gè)等量關(guān)系，甲走24級(jí)的時(shí)間等于扶梯走（2a＋b）級(jí)的時(shí)間；乙走16級(jí)的時(shí)間等于扶梯走（a＋b）級(jí)的時(shí)間，據(jù)此列出方程組，求出x的值即可；（2）如果設(shè)甲第一次追上乙時(shí)走過(guò)自動(dòng)扶梯m遍，走過(guò)樓梯n遍，那么乙走過(guò)自動(dòng)扶梯（m?1）遍、走過(guò)樓梯（n?1）遍．根據(jù)兩人所走的時(shí)間相等，列出方程．將（1）中求得的y與x的關(guān)系式y(tǒng)＝2x代入，可得6n＋m＝16．由已知條件可知m、n中一定有一個(gè)是正整數(shù)，且0≤m?n≤1．通過(guò)試驗(yàn)可以求出m，n的具體值，進(jìn)而求出結(jié)果．【詳解詳析】解：（1）設(shè)扶梯露在外面的部分有x級(jí)，乙每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為a級(jí)，則甲每分鐘走動(dòng)的級(jí)數(shù)為級(jí)，扶梯每分鐘向上運(yùn)動(dòng)級(jí)，由題意得：，①÷②得：，整理得：，代入②得．答：扶梯露在外面的部分有48級(jí)；（2）設(shè)追上乙時(shí)，甲扶梯走了遍，樓梯走了遍，則乙走扶梯遍，走樓梯遍．由題意得：，整理得：，這里，中必有一個(gè)是整數(shù)，且．①若為整數(shù)，則．∴（不合，舍去），（不合，舍去）（符合條件）（不合，舍去）（不合，以后均不合，舍去）②若n為整數(shù)，，∴，，，…，這些均不符合要求，∴，此時(shí)，甲在樓梯上．∴（級(jí)）．【名師指路】本題考查分式方程在行程問(wèn)題中的應(yīng)用，分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．本題屬于競(jìng)賽題型，有一定難度．難點(diǎn)在于自動(dòng)扶梯在上升，具有一定的速度，同時(shí)甲、乙