2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)單元速記·巧練（湘教版）第一章 二元一次方程組（知識(shí)歸納+題型突破）（原卷版）

第一章二元一次方程組（知識(shí)歸納+題型突破）1、能根據(jù)現(xiàn)實(shí)情景理解方程的意義，能針對(duì)具體問題列出方程；理解方程解的意義，經(jīng)歷估計(jì)方程解的過程．2、掌握消元法，能解二元一次方程組．一．知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二、知識(shí)概念1.二元一次方程：含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次。方程，一般形式是ax+by=c(a≠0,b≠0)。2.二元一次方程組：把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解叫做二元一次方程組。5.消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。6.代入消元：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡(jiǎn)稱代入法。7.加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡(jiǎn)稱加減法。題型一二元一次方程（組）的定義【例1】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）若是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值是；（2）若方程組是關(guān)于x，y的二元一次方程組，則的值是．【例2】（2023上·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若是二元一次方程，則．鞏固訓(xùn)練：1．（2023上·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)惠來縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各式中屬于二元一次方程的有（

）①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)2．（2023上·陜西漢中·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程組中，是二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．3．（2023下·重慶銅梁·七年級(jí)銅梁二中?？计谥校┫铝蟹匠探M是二元一次方程組的是（）A． B． C． D．4．（2023上·山西運(yùn)城·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）在下列方程組:①,②,③,④中,是二元一次方程組的是（）．A．①③ B．①④ C．①② D．只有①5．（2023上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a的值為（）A． B． C． D．16．（2023上·陜西榆林·八年級(jí)校聯(lián)考期末）若是關(guān)于的二元一次方程，則的值為（

）A． B． C．0 D．1題型二二元一次方程組的解法【例1】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用加減法解方程組時(shí)，若要求消去y，則應(yīng)（

）A．①×3－②×2 B．②×3－①×2C．①×3＋②×2 D．①×2＋②×3【例2】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）用代入法解方程組把________代入________，可以消去未知數(shù)________，方程變?yōu)開_______．（不用化簡(jiǎn)）【例3】（2024上·四川達(dá)州·八年級(jí)四川省渠縣中學(xué)?？计谀┤绻P(guān)于的方程組的解是方程的解，那么的值是（

）A． B． C．5 D．20鞏固訓(xùn)練1．（2023上·陜西西安·八年級(jí)交大附中分校?？茧A段練習(xí)）解方程組(1)；(2)．2．（2023上·四川達(dá)州·八年級(jí)校考期末）解方程組：(1)；(2)．3．（2023上·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）用加減法解下列方程組(1)(2)4．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下面是馬小虎同學(xué)解二元一次方程組的過程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的問題：解方程組：解：①×2，得6x－2y＝8．③…第一步②－③，得－y＝2，…第二步解得y＝－2．…第三步把y＝－2代入①，得3x－（－2）＝4．…第四步解得x＝2．…第五步∴(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做________法，以上求解步驟中，馬小虎同學(xué)從第________步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；(2)請(qǐng)寫出此題正確的解答過程．5．（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組其中m為常數(shù)．(1)求x（用含m的式子表示）；(2)若|y|=x，求m的值．6．（2023上·甘肅酒泉·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若與是同類項(xiàng)，求的值．7．（2023上·安徽安慶·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的方程組的解滿足，則的值是．題型三二元一次方程組的特殊解法【例1】（2023下·河南周口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的二元一次方程組的解為，則關(guān)于的二元一次方程組的解為（

）A． B． C． D．【例2】（2021下·貴州銅仁·七年級(jí)校考階段練習(xí)）我們規(guī)定：表示不超過的最大整數(shù)，例如：，，，則關(guān)于和的二元一次方程組的解為（

）A． B． C． D．【例3】（2022下·浙江杭州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于，的方程組，解為．則關(guān)于，的方程組的解是（

）A． B． C． D．【例4】（2022下·浙江紹興·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則方程組的解為（）A． B． C． D．【例5】（2023上·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校╅喿x材料：善于思考的樂樂同學(xué)在解方程組時(shí)，采用了一種“整體換元”的解法，把，分別看成一個(gè)整體，設(shè)，，則原方程組可化為，解得，即，解得．請(qǐng)你模仿樂樂同學(xué)的“整體換元”的方法，解下列方程組：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·山東濟(jì)寧·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組的唯一解是，則關(guān)于m，n的方程組的解是A． B． C． D．2．（2022下·福建廈門·七年級(jí)福建省廈門第六中學(xué)?？计谥校┤絷P(guān)于x，y的二元一次方程組的解是，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是（

）A． B． C． D．3．（2023上·遼寧丹東·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于的方程組的解為，則方程組的解為．4．（2023上·安徽安慶·七年級(jí)安徽省安慶市外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為則關(guān)于x，y的方程組的解為．5．（2023上·山西太原·八年級(jí)山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤齻€(gè)同學(xué)對(duì)問題“若方程組的解是，求方程組的解．”提出各自的想法．甲說：“這個(gè)題目好象條件不夠，不能求解”；乙說：“它們的系數(shù)有一定的規(guī)律，可以試試”；丙說：“能不能把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以5，通過換元的方法來解決”．參考他們的討論，你認(rèn)為這個(gè)題目的解應(yīng)該是．6．（2023上·江西撫州·八年級(jí)江西省撫州市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：善于思考的小軍在解方程時(shí)，采用了一種“整體代換”的解法：解：將方程②變形：，即，把方程①代入③得：，得，將，代入①得，方程組的解為，請(qǐng)你解決以下問題：(1)模仿小軍的“整體代換”法解方程；(2)已知，滿足方程組，求的值．7．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）在學(xué)習(xí)了二元一次方程組的解法后，課堂上老師又寫出了一個(gè)題目：小華思考一會(huì)兒后寫出了他的做法（不完整）如下：解：設(shè)，，則原方程組可化為解方程組，得即解得(1)請(qǐng)你把小華的做法填寫完整；(2)請(qǐng)你根據(jù)小華的做法，解方程組：8．（2019上·八年級(jí)單元測(cè)試）先閱讀，再解方程組．解方程組時(shí)，設(shè)，則原方程組變?yōu)?，整理，得，解這個(gè)方程組，得，即，解得．請(qǐng)用這種方法解下面的方程組：．題型四二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用【例1】（錯(cuò)解復(fù)原問題）（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）兩位同學(xué)在解方程組時(shí)，甲同學(xué)正確地解出，乙同學(xué)因把c抄錯(cuò)了解得，則a、b、c正確的值應(yīng)為（）A． B．C． D．【例2】（求參數(shù)問題）（2023上·江西吉安·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）關(guān)于，的二元一次方程組滿足，求的值；（2）關(guān)于，的二元一次方程組的解為整數(shù)，求正整數(shù)的值．【例3】（同解方程問題）（2023上·陜西西安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于、的二元一次方程組和關(guān)于、的二元一次方程組的解相同，求、的值．【例4】（幾何問題）（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，放入個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.【例5】（2024上·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）為進(jìn)一步落實(shí)“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，有效開展“陽(yáng)光體育”活動(dòng)，某中學(xué)計(jì)劃從體育用品商場(chǎng)購(gòu)買乒乓球拍和乒乓球用于學(xué)生社團(tuán)活動(dòng)．若購(gòu)買2副球拍和3盒乒乓球則共需75元；若購(gòu)買3副球拍和2盒乒乓球則共需100元．(1)求每副乒乓球拍和每盒乒乓球的價(jià)格．(2)學(xué)校計(jì)劃采購(gòu)乒乓球拍20副和乒乓球30盒．元旦期間，商場(chǎng)搞促銷活動(dòng)：甲商場(chǎng)全部商品打9折出售，乙商場(chǎng)買2副乒乓球拍送一盒乒乓球，請(qǐng)問在哪個(gè)商場(chǎng)采購(gòu)合算？請(qǐng)說明理由．鞏固訓(xùn)練1．（2023下·云南昆明·七年級(jí)統(tǒng)考期末）甲、乙兩人在解方程組時(shí)，甲看錯(cuò)了方程①中的，解得，乙看錯(cuò)了方程②中的，解得，則的值為（

）A．2 B． C．0 D．2．（2022下·福建泉州·七年級(jí)校考期中）閱讀以下內(nèi)容：已知數(shù)滿足，且，求的值．以下共有三位同學(xué)分別提出了以下三種不同的解題思路：小明：先解以上關(guān)于的方程組，再把解代入，從而求的值；小王：可先將原方程組中的兩個(gè)方程直接相加，再求的值；小麗：先解方程組，再把所得解代入，即求的值．(1)試選擇其中一名同學(xué)的思路，完整地解答此題；(2)試說明關(guān)于的方程組，不論取何值，的值始終不變．3．（2023上·安徽亳州·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）已知關(guān)于x，y的方程組與有相同的解．(1)求這個(gè)相同的解；(2)求m，n的值；(3)若（1）中的解也是關(guān)于x，y的方程的解，求a的值．4．（2023下·河南新鄉(xiāng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，放入個(gè)形狀、大小都相同的小長(zhǎng)方形，所標(biāo)尺寸如圖所示.

(1)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬各是多少？(2)求陰影部分的面積.5．（2023下·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）小明在拼圖時(shí)發(fā)現(xiàn)個(gè)一樣大小的長(zhǎng)方形恰好可以拼成一個(gè)大的長(zhǎng)方形如圖（1），小紅看見了說：“我也來試一試．”結(jié)果小紅七拼八湊，拼成了如圖（2）那樣的正方形，中間還留下了一個(gè)洞，恰好是邊長(zhǎng)為的小正方形．請(qǐng)問每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積是多少？6．（2024下·全國(guó)·七年級(jí)假期作業(yè)）一批貨物要運(yùn)往某地，貨主準(zhǔn)備租用汽運(yùn)公司的甲、乙兩種貨車．已知最近兩次租用這兩種貨車運(yùn)貨的情況如下表：甲貨車輛數(shù)乙貨車輛數(shù)累計(jì)運(yùn)貨噸數(shù)第一次3454第二次2339(1)1輛甲貨車和1輛乙貨車一次分別運(yùn)貨多少噸？(2)若貨主現(xiàn)有45t貨物，計(jì)劃同時(shí)租用甲貨車a輛，乙貨車b輛（a，b均為正整數(shù)），一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿貨物．請(qǐng)你幫助貨主設(shè)計(jì)租車方案．7．（2023上·山東濱州·七年級(jí)校考期末）列方程解應(yīng)用題：(1)A車和B車從甲，乙兩地同時(shí)出發(fā)，沿同一路線相向勻速而行．出發(fā)后1.5小時(shí)兩車相距75公里，之后再行駛2.5小時(shí)A車到達(dá)乙地，而B車還差40公里才能到達(dá)甲地．求甲地和乙地相距多少公里？(2)某工廠車間有60個(gè)工人生產(chǎn)A零件和B零件，每人每天可生產(chǎn)A零件15個(gè)或B零件20個(gè)（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個(gè)A零件配兩個(gè)B零件，且每天生產(chǎn)的A零件可獲利5元．①求該工廠有多少工人生產(chǎn)A零件？②因市場(chǎng)需求，該工廠每天要多生產(chǎn)出一部分A零件供商場(chǎng)零售使用，現(xiàn)從生產(chǎn)B零件的工人中調(diào)出多少名工人生產(chǎn)A零件，才能使每日生產(chǎn)的零件總獲利比調(diào)動(dòng)前多600元？8．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）安居小區(qū)業(yè)主安先生準(zhǔn)備裝修新居，裝修公司派來甲工程隊(duì)完成此項(xiàng)完程．由于工期過長(zhǎng)，安先生要求裝修公司再派乙工程隊(duì)與甲隊(duì)共同工作．已知甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要天數(shù)恰好比乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要的天數(shù)的3倍少5天，并且甲工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要的天數(shù)與乙工程隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程需要的天數(shù)之和為55天．(1)求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程各需要多少天；(2)若甲工程隊(duì)工作10天后，與公司派來的乙工程隊(duì)再合作多少天可完成此項(xiàng)工程的；(3)甲、乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)分別為800元和1000元，安先生裝修工程施工完成時(shí)費(fèi)用正好為21800元，求甲工程隊(duì)參加工作多少天？9．（2022下·云南·七年級(jí)云大附中?？计谥校┙衲辏?022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢復(fù)辦學(xué)40周年校慶日，我校初一年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組的小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)有趣的巧合；小明的爸爸和爺爺都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年齡差恰好與爺爺和小明的年齡差的和為95，而爸爸的年齡恰好比爺爺?shù)哪挲g小40．已知小明今年13歲，妹妹今年4歲．(1)求今年小明的爸爸和爺爺?shù)哪挲g分別是多少歲？（要求用二元一次方程組解答）(2)假如小明的爸爸和爺爺都是15歲初中華業(yè)的，請(qǐng)問小明的爸爸和爺爺分別是哪一年畢業(yè)的云附學(xué)子？10．（2023上·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）為了防治“甲流病毒”，某醫(yī)藥公司計(jì)劃用兩種車型購(gòu)買相關(guān)藥物．已知用2輛A型車和1輛型車裝滿藥物一次可運(yùn)11噸，用1輛A型車和2輛型車裝滿藥物一次可運(yùn)13噸．(1)求1輛A型車和1輛型車都裝滿藥物一次可分別運(yùn)多少噸？(2)該醫(yī)藥公司準(zhǔn)備購(gòu)買33噸藥物，計(jì)劃同時(shí)租用A型車輛，型車輛．一次運(yùn)完，且恰好每輛車都裝滿．請(qǐng)你幫該醫(yī)藥公司設(shè)計(jì)租車方案，求出所有租車方案．（甲、乙兩輛車均有在使用）11．（2024上·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：假設(shè)有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值多少兩銀子？題型五三元一次方程