浙江省杭州市上城區(qū)丁荷中學(xué)2023--2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市上城區(qū)丁荷中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題（共30分）1．（3分）已知的半徑為5，，則點在A．圓上 B．圓內(nèi) C．圓外 D．不能確定2．（3分）如果將拋物線向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是A． B． C． D．3．（3分）若是二次函數(shù)，且開口向上，則的值為A． B． C． D．04．（3分）如圖，在中，點，分別在邊，上，，已知，，則的長是A．4.5 B．8 C．10.5 D．145．（3分）拋物線與軸有兩個不同的交點，則的取值范圍是A． B． C． D．6．（3分）點，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．7．（3分）如圖，是的直徑，弦，垂足為，若，，則的半徑為A．4 B．5 C．8 D．108．（3分）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是A． B． C． D．9．（3分）已知拋物線上的部分點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表：0123303以下結(jié)論正確的是A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)時，隨增大而增大 C．方程的根為0和2 D．當(dāng)時，的取值范圍是10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，直線經(jīng)過點，拋物線恰好經(jīng)過，，三點中的兩點．則；若平移拋物線，使其頂點仍在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點縱坐標(biāo)的最大值是．二.填空題（共24分）11．（4分）已知，，是，的比例中項，則．12．（4分）如圖，是的直徑，點為上一點，且，，則的長為．13．（4分）如圖，為的弦，，則弦所對的圓周角的度數(shù)為．14．（4分）如果點是線段的黃金分割點，且，則下列說法正確的是（填序號）．①；②；③；④．15．（4分）如圖，的半徑弦于點，連接并延長交于點，連接．若，，則的長為．16．（4分）如圖，為的直徑，為上半圓的一個動點，于點，的角平分線交于點．且的半徑為5，連結(jié)，則；若弦的長為6，則．三、解答題（共66分）17．如圖，已知與交于點，，（1）求證：；（2）若，，，求的長．18．如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦的垂直平分線交弧于點，交弦于點．已知：，．（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作圓的半徑．19．如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點的坐標(biāo)為．（1）求的值及拋物線的頂點坐標(biāo)．（2）點是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo)．20．如圖，射線平分，為射線上的一點，以為圓心，10為半徑作，分別與兩邊相交于點，和點，，連結(jié)，此時有．（1）求證：；（2）若弦，求的長．21．如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．22．某網(wǎng)店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進價為每個40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價為60元時，每星期賣出100個．如果調(diào)整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價銷售，設(shè)銷售單價為元，每星期銷售量為個．（1）請直接寫出（個與（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元？（3）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？23．如圖，為直徑，點為下方上一點，點為弧中點，連接，．（1）求證：；（2）過點作于，交于，求證：；（3）在（2）的條件下，若，，求線段的長24．如圖，拋物線與直線交于點，，點是拋物線、兩點間部分上的一個動點（不與點、重合），直線與軸平行，交直線于點，連接，．（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)點的橫坐標(biāo)為，的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)取最大值時的點的坐標(biāo)．

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市上城區(qū)丁荷中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、單選題（共30分）1．（3分）已知的半徑為5，，則點在A．圓上 B．圓內(nèi) C．圓外 D．不能確定【分析】根據(jù)的半徑為和點到圓心的距離與圓與點的位置關(guān)系即可求解．【解答】解：的半徑為5，，，點在圓外．故選：．【點評】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)的半徑為，點到圓心的距離，則有：①點在圓外；②點在圓上；①點在圓內(nèi)是解題的關(guān)鍵．2．（3分）如果將拋物線向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是A． B． C． D．【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的規(guī)律解題．【解答】解：拋物線向左平移1個單位，那么所得新拋物線的表達式是．故選：．【點評】此題主要考查二次函數(shù)圖象與幾何變換，函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．3．（3分）若是二次函數(shù)，且開口向上，則的值為A． B． C． D．0【分析】根據(jù)定義以及二次函數(shù)的性質(zhì)可求的值．【解答】解：這個式子是二次函數(shù)，解得：，又開口向上，即，，．故選：．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的定義與性質(zhì)．4．（3分）如圖，在中，點，分別在邊，上，，已知，，則的長是A．4.5 B．8 C．10.5 D．14【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列式進行計算即可得解．【解答】解：，，即，解得．故選：．【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．5．（3分）拋物線與軸有兩個不同的交點，則的取值范圍是A． B． C． D．【分析】由拋物線與軸有兩個交點，則△，從而求出的取值范圍．【解答】解：拋物線與軸有兩個交點，△，即，解得，故選：．【點評】本題考查了拋物線與軸的交點問題，注：①拋物線與軸有兩個交點，則△；②拋物線與軸無交點，則△；③拋物線與軸有一個交點，則△．6．（3分）點，，均在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【分析】根據(jù)函數(shù)解析式的特點，其對稱軸為，圖象開口向下，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，與關(guān)于對稱軸對稱，可判斷．【解答】解：，對稱軸為，開口向下，，在對稱軸的右側(cè)，隨的增大而減小，，，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱性可知，與關(guān)于對稱軸對稱，故，故選：．【點評】本題考查了函數(shù)圖象上的點的坐標(biāo)與函數(shù)解析式的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的對稱性及增減性．7．（3分）如圖，是的直徑，弦，垂足為，若，，則的半徑為A．4 B．5 C．8 D．10【分析】連接．根據(jù)垂徑定理和勾股定理求解．【解答】解：連接，，，，由勾股定理可得，解得故選：．【點評】本題利用了垂徑定理和勾股定理求解．作輔助線構(gòu)成直角三角形是關(guān)鍵．8．（3分）一次函數(shù)與二次函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是A． B． C． D．【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)圖象可以判斷、的正負情況，從而可以解答本題．【解答】解：在中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項錯誤；在中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項錯誤；在中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項錯誤；在中，由一次函數(shù)圖象可知，，二次函數(shù)圖象可知，，，故選項正確；故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象和一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是明確一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)．9．（3分）已知拋物線上的部分點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表：0123303以下結(jié)論正確的是A．拋物線的開口向下 B．當(dāng)時，隨增大而增大 C．方程的根為0和2 D．當(dāng)時，的取值范圍是【分析】將表格內(nèi)點坐標(biāo)代入中求出拋物線解析式，然后逐個判斷求解．【解答】解：將，，代入得：，解得，．．，拋物線開口向上，故錯誤，不符合題意．．圖象對稱軸為直線，且開口向上，時，隨增大而增大，故錯誤，不符合題意．．，當(dāng)或時，故正確，符合題意．．拋物線開口向上，與軸交點坐標(biāo)為，，或時，，故錯誤，不符合題意．故選：．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，求出二次函數(shù)解析式求解10．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，直線經(jīng)過點，拋物線恰好經(jīng)過，，三點中的兩點．則1；若平移拋物線，使其頂點仍在直線上，則平移后所得拋物線與軸交點縱坐標(biāo)的最大值是．【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的解析式，然后即可判斷點在直線上；因為直線經(jīng)過、和點，所以經(jīng)過點的拋物線不同時經(jīng)過、點，即可判斷拋物線只能經(jīng)過、兩點，根據(jù)待定系數(shù)法即可求得、；設(shè)平移后的拋物線為，其頂點坐標(biāo)為，，根據(jù)題意得出，由拋物線與軸交點的縱坐標(biāo)為，即可得出，從而得出的最大值．【解答】解：直線經(jīng)過點，，解得，直線為，把代入得，點在直線上；直線經(jīng)過點，直線與拋物線都經(jīng)過點，點，，在直線上，點，在拋物線上，直線與拋物線不可能有三個交點，，兩點的橫坐標(biāo)相同，拋物線只能經(jīng)過、兩點，把，代入，得．解得，．．拋物線的解析式為，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，其頂點坐標(biāo)為，，頂點仍在直線上，，，拋物線與軸的交點的縱坐標(biāo)為，，當(dāng)時，平移后所得拋物線與軸交點縱坐標(biāo)的最大值為．故答案為：1；．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，題目有一定難度．二.填空題（共24分）11．（4分）已知，，是，的比例中項，則．【分析】根據(jù)比例中項的概念，得，再利用比例的基本性質(zhì)計算得到的值．【解答】解：是，的比例中項，，又，，，解得．【點評】理解比例中項的概念：當(dāng)比例式中的兩個內(nèi)項相同時，即叫比例中項．根據(jù)比例的基本性質(zhì)進行計算．12．（4分）如圖，是的直徑，點為上一點，且，，則的長為．【分析】先計算圓心角為，根據(jù)弧長公式，可得結(jié)果．【解答】解：連接，，，弧的長，故答案為：．【點評】本題考查了弧長的計算和圓周角定理，熟練掌握弧長公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．13．（4分）如圖，為的弦，，則弦所對的圓周角的度數(shù)為或．【分析】首先根據(jù)，可得，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，判斷出，最后根據(jù)圓周角定理，判斷出弦所對的圓周角是多少即可．【解答】解：，，，弦所對的圓周角的度數(shù)是：；弦所對的優(yōu)弧的度數(shù)為：，弦所對的圓周角的度數(shù)是：；綜上，可得弦所對的圓周角的度數(shù)是或．【點評】此題主要考查了圓周角定理，熟練掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵．14．（4分）如果點是線段的黃金分割點，且，則下列說法正確的是①③④（填序號）．①；②；③；④．【分析】根據(jù)黃金分割點的定義得，，，即可得出結(jié)論．【解答】解：點是線段的黃金分割點，且，，，，故答案為：①③④．【點評】本題考查了黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應(yīng)線段是解決問題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，的半徑弦于點，連接并延長交于點，連接．若，，則的長為．【分析】連接，設(shè)的半徑為，由，根據(jù)垂徑定理得，在中，，，根據(jù)勾股定理得到，解得，則，由于為的中位線，則，再根據(jù)圓周角定理得到，然后在中利用勾股定理可計算出．【解答】解：連接，設(shè)的半徑為，如圖，，，在中，，，，，解得，，，為直徑，，在中，．故答案為：．【點評】本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。部疾榱斯垂啥ɡ怼A周角定理．16．（4分）如圖，為的直徑，為上半圓的一個動點，于點，的角平分線交于點．且的半徑為5，連結(jié)，則；若弦的長為6，則．【分析】連接、，根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)證明，在△中利用勾股定理求出即可；過點作交于點，利用圓周角定理求出，從而證明△是等腰直角三角形，在△中利用勾股定理求出、，在△中利用勾股定理求出，從而由計算出．【解答】解：連接、．是的角平分線，，，，，，，，，，；過點作交于點，，△是等腰直角三角形，，，在△中，利用勾股定理，得，．故答案為：，．【點評】本題考查圓周角定理、勾股定理、垂徑定理，掌握圓周角定理、勾股定理、垂徑定理及平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共66分）17．如圖，已知與交于點，，（1）求證：；（2）若，，，求的長．【分析】（1）由平行于三角形一邊的直線截另兩邊所得三角形與原三角形相似，即可證得：；（2）由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得的長．【解答】（1）證明：，（平行于三角形一邊的直線截另兩邊所得三角形與原三角形相似）；（2）解：，．，，，．【點評】此題考查了相似三角形的判定（平行于三角形一邊的直線截另兩邊所得三角形與原三角形相似）與性質(zhì)（相似三角形的對應(yīng)邊成比例）．此題很簡單，解題時要注意細心．18．如圖所示，破殘的圓形輪片上，弦的垂直平分線交弧于點，交弦于點．已知：，．（1）求作此殘片所在的圓（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求（1）中所作圓的半徑．【分析】（1）由垂徑定理知，垂直于弦的直徑是弦的中垂線，故作，的中垂線交于點，則點是弧所在圓的圓心；（2）在△中，由勾股定理可求得半徑的長．【解答】解：（1）作弦的垂直平分線與弦的垂直平分線交于點，以為圓心長為半徑作圓就是此殘片所在的圓，如圖．（2）連接，設(shè)，，，則根據(jù)勾股定理列方程：，解得：．答：圓的半徑為．【點評】本題利用了垂徑定理，中垂線的性質(zhì)，勾股定理求解．19．如圖，已知拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，點的坐標(biāo)為．（1）求的值及拋物線的頂點坐標(biāo)．（2）點是拋物線對稱軸上的一個動點，當(dāng)?shù)闹底钚r，求點的坐標(biāo)．【分析】（1）首先把點的坐標(biāo)為代入拋物線，利用待定系數(shù)法即可求得的值，繼而求得拋物線的頂點坐標(biāo)；（2）首先連接交拋物線對稱軸于點，則此時的值最小，然后利用待定系數(shù)法求得直線的解析式，繼而求得答案．【解答】解：（1）把點的坐標(biāo)為代入拋物線得：，解得：，，頂點坐標(biāo)為：．（2）連接交拋物線對稱軸于點，則此時的值最小，設(shè)直線的解析式為：，點，點，，解得：，直線的解析式為：，當(dāng)時，，當(dāng)?shù)闹底钚r，點的坐標(biāo)為：．【點評】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求解析式以及距離最短問題．注意找到點的位置是解此題的關(guān)鍵．20．如圖，射線平分，為射線上的一點，以為圓心，10為半徑作，分別與兩邊相交于點，和點，，連結(jié)，此時有．（1）求證：；（2）若弦，求的長．【分析】（1）由平分可得，由可得，從而有，則有．（2）過點作于，如圖．根據(jù)垂徑定理可得，從而可求出，在△中，運用勾股定理可求出的長，從而進一步可得的長．【解答】（1）證明：如圖，平分，．，，，．（2）解：過點作于，如圖．根據(jù)垂徑定理可得，．在△中，，由勾股定理得：．則的長為．【點評】本題考查了垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，綜合性比較強．21．如圖，在中，，以為直徑的交于點，交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．【分析】（1）連接，如圖，根據(jù)圓周角定理，由為的直徑得到，然后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到；（2）連接，如圖，證明，然后利用相似比可計算出的長，從而得到的長．【解答】（1）證明：連接，如圖，為的直徑，，，而，；（2）連接，如圖，，，，而，，，即，，．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個三角形相似時，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理．22．某網(wǎng)店銷售一款市場上暢銷的蒸蛋器，進價為每個40元，在銷售過程中發(fā)現(xiàn)，這款蒸蛋器銷售單價為60元時，每星期賣出100個．如果調(diào)整銷售單價，每漲價1元，每星期少賣出2個，現(xiàn)網(wǎng)店決定提價銷售，設(shè)銷售單價為元，每星期銷售量為個．（1）請直接寫出（個與（元之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤是2400元？（3）當(dāng)銷售單價是多少元時，該網(wǎng)店每星期的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）依據(jù)每漲價1元，每星期少賣出2個列出星期銷售量為個與銷售單價為元的函數(shù)關(guān)系式；（2）根據(jù)銷售利潤等于單個利潤與銷售量的乘積列出函數(shù)關(guān)系式，再令元，解關(guān)于的一元二次方程，從而可求得售價；（3）利用配方法可求得拋物線的最大值以及此時自變量的取值．【解答】解：（1）由題意，得：，；（2）設(shè)利潤為，則，令，則，解得：或，答：當(dāng)銷售價為70元或80元時，每星期的銷售利潤恰為2400元；（3），，當(dāng)時，有最大值，最大值為2450元，答：每件定價為75元時，每星期的銷售利潤最大，最大利潤為2450元．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意列出與的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．23．如圖，為直徑，點為下方上一點，點為弧中點，連接，．（1）求證：；（