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§2.4等比數(shù)列(二)一、基礎(chǔ)過關(guān)1.在等比數(shù)列{an}中,an>0,且a2=1-a1,a4=9-a3,則a4+a5的值為 ()A.16 B.27 C.36 D.81 2.已知等比數(shù)列{an}滿足a1+a2=3,a2+a3=6,則a7等于 ()A.64 B.81 C.128 D.2433.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中,若a4a5a6=3,log3a1+log3a2+log3a8+log3a9的值為()A.eq\f(4,3) B.eq\f(3,4) C.2 D.3eq\f(4,3)4.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,則a4a5a6等于 ()A.5eq\r(2) B.7 C.6 D.4eq\r(2)5.設(shè)數(shù)列{an}為公比q>1的等比數(shù)列,若a4,a5是方程4x2-8x+3=0的兩根,則a6+a7=________.6.已知等差數(shù)列{an}的公差為2,若a1,a3,a4成等比數(shù)列,則a2=________.7.已知數(shù)列{an}成等比數(shù)列.(1)若a2=4,a5=-eq\f(1,2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若a3a4a5=8,求a28.已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1a5+2a2a6+a3a7=100,a2a4-2a3a5+a4二、能力提升9.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,an+1<an,a2·a8=6,a4+a6=5,則eq\f(a5,a7)等于 ()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5) C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)10.已知等比數(shù)列{an}中,各項(xiàng)都是正數(shù),且a1,eq\f(1,2)a3,2a2成等差數(shù)列,則eq\f(a9+a10,a7+a8)等于()A.1+eq\r(2) B.1-eq\r(2)C.3+2eq\r(2) D.3-2eq\r(2)11.首項(xiàng)為3的等比數(shù)列的第n項(xiàng)是48,第2n-3項(xiàng)是192,則n=________.12.等比數(shù)列{an}同時(shí)滿足下列三個(gè)條件:①a1+a6=11②a3·a4=eq\f(32,9)③三個(gè)數(shù)eq\f(2,3)a2,aeq\o\al(2,3),a4+eq\f(4,9)依次成等差數(shù)列,試求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.三、探究與拓展13.從盛滿a(a>1)升純酒精的容器里倒出1升然后添滿水搖勻,再倒出1升混合溶液后又用水添滿搖勻,如此繼續(xù)下去,問:第n次操作后溶液的濃度是多少?若a=2時(shí),至少應(yīng)倒幾次后才能使酒精的濃度低于10%?
答案1.B2.A3.A4.A5.186.-67.解(1)由a5=a2q3,得-eq\f(1,2)=4·q3,所以q=-eq\f(1,2).an=a2qn-2=4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(1,2)))n-2.(2)由a3a5=aeq\o\al(2,4),得a3a4a5=aeq\o\al(3,4)=8.解得a4=2.又因?yàn)閍2a6=a3a5=aeq\o\al(2,4),所以a2a3a4a5a6=aeq\o\al(5,48.解an=eq\f(1,2)×2n-1=2n-2或an=32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n-1=26-n.9.D10.C11.512.解由等比數(shù)列的性質(zhì)知a1a6=a3a4=eq\f(32,9),∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1+a6=11,a1·a6=\f(32,9))),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(1,3),a6=\f(32,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(32,3),a6=\f(1,3))).當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(1,3),a6=\f(32,3)))時(shí)q=2,∴an=eq\f(1,3)·2n-1.eq\f(2,3)a2+a4+eq\f(4,9)=eq\f(32,9),2aeq\o\al(2,3)=eq\f(32,9),∴eq\f(2,3)a2,aeq\o\al(2,3),a4+eq\f(4,9)成等差數(shù)列,∴an=eq\f(1,3)·2n-1.當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1=\f(32,3),a6=\f(1,3)))時(shí)q=eq\f(1,2),an=eq\f(1,3)·26-n,eq\f(2,3)a2+a4+eq\f(4,9)≠2aeq\o\al(2,3),∴不符合題意,故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=eq\f(1,3)·2n-1.13.解設(shè)開始的濃度為1,操作一次后溶液濃度a1=1-eq\f(1,a),設(shè)操作n次后溶液的濃度為an.則操作n+1次后溶液的濃度為an+1=an(1-eq\f(1,a)),從而建立了遞推關(guān)系.∴{an}是以a1=1-eq\f(1,a)為首項(xiàng),公比為q=1-eq\f(1,a)的等比數(shù)列.∴a
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