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2024屆黑龍江龍江二中高三(實驗班)第一次模擬數(shù)學試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.的二項展開式中,的系數(shù)是()A.70 B.-70 C.28 D.-282.設是虛數(shù)單位,則“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的()A.充要條件 B.必要不充分條件C.既不充分也不必要條件 D.充分不必要條件3.若執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的值是()A. B. C. D.44.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.5.如圖所示,直三棱柱的高為4,底面邊長分別是5,12,13,當球與上底面三條棱都相切時球心到下底面距離為8,則球的體積為()A.1605π3 B.6426.已知集合,則=()A. B. C. D.7.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.8.已知函數(shù)且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.9.如圖,在直三棱柱中,,,點分別是線段的中點,,分別記二面角,,的平面角為,則下列結論正確的是()A. B. C. D.10.若樣本的平均數(shù)是10,方差為2,則對于樣本,下列結論正確的是()A.平均數(shù)為20,方差為4 B.平均數(shù)為11,方差為4C.平均數(shù)為21,方差為8 D.平均數(shù)為20,方差為811.設,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12.若的展開式中的常數(shù)項為-12,則實數(shù)的值為()A.-2 B.-3 C.2 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,,且,則________.14.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程為,則該雙曲線的離心率為_______.15.已知數(shù)列與均為等差數(shù)列(),且,則______.16.從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務,每天安排一人,每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加,且當甲、乙兩人都參加時,他們參加社區(qū)服務的日期不相鄰,那么不同的安排種數(shù)為______________.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù),,且.(1)當時,求函數(shù)的減區(qū)間;(2)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(3)若方程的兩個實數(shù)根是,試比較,與的大小,并說明理由.18.(12分)已知在ΔABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosB(1)求b的值;(2)若cosB+3sin19.(12分)已知是圓:的直徑,動圓過,兩點,且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.20.(12分)如圖,在斜三棱柱中,已知為正三角形,D,E分別是,的中點,平面平面,.(1)求證:平面;(2)求證:平面.21.(12分)已知數(shù)列滿足,,數(shù)列滿足.(Ⅰ)求證數(shù)列是等比數(shù)列;(Ⅱ)求數(shù)列的前項和.22.(10分)已知是拋物線的焦點,點在軸上,為坐標原點,且滿足,經(jīng)過點且垂直于軸的直線與拋物線交于、兩點,且.(1)求拋物線的方程;(2)直線與拋物線交于、兩點,若,求點到直線的最大距離.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】試題分析:由題意得,二項展開式的通項為,令,所以的系數(shù)是,故選A.考點:二項式定理的應用.2、D【解析】

結合純虛數(shù)的概念,可得,再結合充分條件和必要條件的定義即可判定選項.【詳解】若復數(shù)為純虛數(shù),則,所以,若,不妨設,此時復數(shù),不是純虛數(shù),所以“復數(shù)為純虛數(shù)”是“”的充分不必要條件.故選:D【點睛】本題考查充分條件和必要條件,考查了純虛數(shù)的概念,理解充分必要條件的邏輯關系是解題的關鍵,屬于基礎題.3、D【解析】

模擬程序運行,觀察變量值的變化,得出的變化以4為周期出現(xiàn),由此可得結論.【詳解】;如此循環(huán)下去,當時,,此時不滿足,循環(huán)結束,輸出的值是4.故選:D.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結構.解題時模擬程序運行,觀察變量值的變化,確定程序功能,可得結論.4、A【解析】

由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5、A【解析】

設球心為O,三棱柱的上底面ΔA1B1C1的內切圓的圓心為O1,該圓與邊B【詳解】如圖,設三棱柱為ABC-A1B1C所以底面ΔA1B1C1為斜邊是A1C1則圓O1的半徑為O設球心為O,則由球的幾何知識得ΔOO1M所以OM=2即球O的半徑為25所以球O的體積為43故選A.【點睛】本題考查與球有關的組合體的問題,解答本題的關鍵有兩個:(1)構造以球半徑R、球心到小圓圓心的距離d和小圓半徑r為三邊的直角三角形,并在此三角形內求出球的半徑,這是解決與球有關的問題時常用的方法.(2)若直角三角形的兩直角邊為a,b,斜邊為c,則該直角三角形內切圓的半徑r=a+b-c6、D【解析】

先求出集合A,B,再求集合B的補集,然后求【詳解】,所以.故選:D【點睛】此題考查的是集合的并集、補集運算,屬于基礎題.7、B【解析】

運行程序,依次進行循環(huán),結合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當時,再次循環(huán)輸出的,,此時,循環(huán)結束,輸出,故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖的相關知識,經(jīng)過幾次循環(huán)找出規(guī)律是關鍵,屬于基礎題型.8、B【解析】

構造函數(shù),判斷出的單調性和奇偶性,由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數(shù),由解得,所以的定義域為,且,所以為奇函數(shù),而,所以在定義域上為增函數(shù),且.由得,即,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的單調性和奇偶性解不等式,屬于中檔題.9、D【解析】

過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因為,,所以,即過點作,以為原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.10、D【解析】

由兩組數(shù)據(jù)間的關系,可判斷二者平均數(shù)的關系,方差的關系,進而可得到答案.【詳解】樣本的平均數(shù)是10,方差為2,所以樣本的平均數(shù)為,方差為.故選:D.【點睛】樣本的平均數(shù)是,方差為,則的平均數(shù)為,方差為.11、B【解析】

先解不等式化簡兩個條件,利用集合法判斷充分必要條件即可【詳解】解不等式可得,解絕對值不等式可得,由于為的子集,據(jù)此可知“”是“”的必要不充分條件.故選:B【點睛】本題考查了必要不充分條件的判定,考查了學生數(shù)學運算,邏輯推理能力,屬于基礎題.12、C【解析】

先研究的展開式的通項,再分中,取和兩種情況求解.【詳解】因為的展開式的通項為,所以的展開式中的常數(shù)項為:,解得,故選:C.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式,還考查了運算求解的能力,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)垂直向量的坐標表示可得出關于實數(shù)的等式,即可求得實數(shù)的值.【詳解】,且,則,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標表示,考查計算能力,屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)題意,由雙曲線的漸近線方程可得,即a=2b,進而由雙曲線的幾何性質可得cb,由雙曲線的離心率公式計算可得答案.【詳解】根據(jù)題意,雙曲線的漸近線方程為y=±x,又由該雙曲線的一條漸近線方程為x﹣2y=0,即yx,則有,即a=2b,則cb,則該雙曲線的離心率e;故答案為:.【點睛】本題考查雙曲線的幾何性質,關鍵是分析a、b之間的關系,屬于基礎題.15、20【解析】

設等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列,且,根據(jù)等差中項的性質可得,,解方程求出公差,代入等差數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為,由數(shù)列為等差數(shù)列知,,因為,所以,解得,所以數(shù)列的通項公式為,所以.故答案為:【點睛】本題考查等差數(shù)列的概念及其通項公式和等差中項;考查運算求解能力;等差中項的運用是求解本題的關鍵;屬于基礎題.16、5040.【解析】分兩類,一類是甲乙都參加,另一類是甲乙中選一人,方法數(shù)為。填5040.【點睛】利用排列組合計數(shù)時,關鍵是正確進行分類和分步,分類時要注意不重不漏.在本題中,甲與乙是兩個特殊元素,對于特殊元素“優(yōu)先法”,所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題,采用“插空法”。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)詳見解析(3)【解析】

試題分析:(1)當時,,由得減區(qū)間;(2)因為,所以,因為所以,方程有兩個不相等的實數(shù)根;(3)因為,,所以試題解析:(1)當時,,由得減區(qū)間;(2)法1:,,,所以,方程有兩個不相等的實數(shù)根;法2:,,是開口向上的二次函數(shù),所以,方程有兩個不相等的實數(shù)根;(3)因為,,又在和增,在減,所以.考點:利用導數(shù)求函數(shù)減區(qū)間,二次函數(shù)與二次方程關系18、(1)b=32【解析】試題分析:(1)本問考查解三角形中的的“邊角互化”.由于求b的值,所以可以考慮到根據(jù)余弦定理將cosB,cosC分別用邊表示,再根據(jù)正弦定理可以將sinAsinC轉化為ac,于是可以求出b的值;(2)首先根據(jù)sinB+3cosB=2求出角B的值,根據(jù)第(1)問得到的b值,可以運用正弦定理求出ΔABC外接圓半徑R,于是可以將a+c轉化為2RsinA+2R試題解析:(1)由cosB應用余弦定理,可得a2化簡得2b=3則b=(2)∵cos∴12cos∵B∈(0,π)∴B+π6=法一.∵2R=b則a+c==sin=3=3sin又∵0<A<2π3,法二因為b=32得34又因為ac≤(a+c2)2所以34=(a+c)∴a+c≤3又由三邊關系定理可知綜上a+c∈(考點:1.正、余弦定理;2.正弦型函數(shù)求值域;3.重要不等式的應用.19、(1)或.(2)存在,;【解析】

(1)根據(jù)動圓過,兩點,可得圓心在的垂直平分線上,由直線的方程為,可知在直線上;設,由動圓與直線相切可得動圓的半徑為;又由,及垂徑定理即可確定的值,進而確定圓的方程.(2)方法一:設,可得圓的半徑為,根據(jù),可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設,,可得的中點,進而由兩點間距離公式表示出半徑,表示出到軸的距離,代入化簡即可求得的值,進而確定所過定點的坐標;方法二:同上可得的軌跡方程為,由拋物線定義可求得,表示出線段的中點的坐標,根據(jù)到軸的距離可得等量關系,進而確定所過定點的坐標.【詳解】(1)因為過點,,所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為,且,關于于坐標原點對稱,所以在直線上,故可設.因為與直線相切,所以的半徑為.由已知得,,又,故可得,解得或.故的半徑或,所以的方程為或.(2)法一:設,由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設,,則得,的中點,則以為直徑的圓的半徑為:,到軸的距離為,令,①化簡得,即,故當時,①式恒成立.所以存在定點,使得以為直徑的圓與軸相切.法二:設,由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設,因為拋物線的焦點坐標為,點在拋物線上,所以,線段的中點的坐標為,則到軸的距離為,而,故以為徑的圓與軸切,所以當點與重合時,符合題意,所以存在定點,使得以為直徑的圓與軸相切.【點睛】本題考查了圓的標準方程求法,動點軌跡方程的求法,拋物線定義及定點問題的解法綜合應用,屬于難題.20、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)根據(jù),分別是,的中點,即可證明,從而可證平面;(2)先根據(jù)為正三角形,且D是的中點,證出,再根據(jù)平面平面,得到平面,從而得到,結合,即可得證.【詳解】(1)∵,分別是,的中點∴∵平面,平面∴平面.(2)∵為正三角形,且D是的中點∴∵平面平面,且平面平面,平面∴平面∵平面∴∵且∴∵,平面,且∴平面.【點睛】本題考查直線與平面平行的判定,面面垂直的性質等,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng),中檔題.21、(Ⅰ)見證明;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用等比數(shù)列的定義結合得出數(shù)列是等比數(shù)列(Ⅱ)數(shù)列是“等比-等差”的類型,利用分組求和即可得出前項和.【詳解】解:(Ⅰ)當時,,故.當時,,則,,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列.(Ⅱ)由(Ⅰ)得,,,.【點睛】(Ⅰ)證明數(shù)列是等比數(shù)列可利用定義法得出(Ⅱ)采用分組求和:把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列.22、(1);(2).【解

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