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文檔簡介
2022-2023學(xué)年河北省遷西一中高三下學(xué)期調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,,,,則()A. B. C. D.2.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.3.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.4.已知的共軛復(fù)數(shù)是,且(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知點是拋物線:的焦點,點為拋物線的對稱軸與其準(zhǔn)線的交點,過作拋物線的切線,切點為,若點恰好在以,為焦點的雙曲線上,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.7.下邊程序框圖的算法源于我國古代的中國剩余定理.把運算“正整數(shù)除以正整數(shù)所得的余數(shù)是”記為“”,例如.執(zhí)行該程序框圖,則輸出的等于()A.16 B.17 C.18 D.198.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實數(shù)的最大值為()A. B. C. D.9.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.10.M、N是曲線y=πsinx與曲線y=πcosx的兩個不同的交點,則|MN|的最小值為()A.π B.π C.π D.2π11.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.12.設(shè),,,則的大小關(guān)系是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知角的終邊過點,則______.14.已知的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,則__________.15.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.16.若變量,滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)健身館某項目收費標(biāo)準(zhǔn)為每次60元,現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動:具體收費標(biāo)準(zhǔn)如下:現(xiàn)隨機抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù),得到數(shù)據(jù)如下:假設(shè)該項目的成本為每次30元,根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題:(1)估計1位會員至少消費兩次的概率(2)某會員消費4次,求這4次消費獲得的平均利潤;(3)假設(shè)每個會員每星期最多消費4次,以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率,從會員中隨機抽取兩位,記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望18.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求函數(shù)在處的切線方程;(2)若函數(shù)沒有零點,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房,銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金:每月的還款額呈遞減趨勢,且從第二個還款月開始,每月還款額與上月還款額的差均相同;②等額本息:每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定,在貸款到賬日的次月當(dāng)天開始首次還款(若2019年7月7日貸款到賬,則2019年8月7日首次還款).已知小張該筆貸款年限為20年,月利率為0.004.(1)若小張采取等額本金的還款方式,現(xiàn)已得知第一個還款月應(yīng)還4900元,最后一個還款月應(yīng)還2510元,試計算小張該筆貸款的總利息;(2)若小張采取等額本息的還款方式,銀行規(guī)定,每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半,已知小張家庭平均月收入為1萬元,判斷小張該筆貸款是否能夠獲批(不考慮其他因素);(3)對比兩種還款方式,從經(jīng)濟利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇哪種還款方式.參考數(shù)據(jù):.20.(12分)某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試,從中隨機抽取了20人的分數(shù).以下莖葉圖記錄了他們的考試分數(shù)(以十位數(shù)字為莖,個位數(shù)字為葉):若分數(shù)不低于95分,則稱該員工的成績?yōu)椤皟?yōu)秀”.(1)從這20人中任取3人,求恰有1人成績“優(yōu)秀”的概率;(2)根據(jù)這20人的分數(shù)補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖,并根據(jù)頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數(shù)頻率1234①估計所有員工的平均分數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);②若從所有員工中任選3人,記表示抽到的員工成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.21.(12分)在平面四邊形(圖①)中,與均為直角三角形且有公共斜邊,設(shè),∠,∠,將沿折起,構(gòu)成如圖②所示的三棱錐,且使=.(1)求證:平面⊥平面;(2)求二面角的余弦值.22.(10分)已知橢圓的長軸長為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點,是橢圓上在第一象限的一點,直線與軸交于點,直線與軸交于點,問與面積之差是否為定值?說明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
令,求,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設(shè),利用導(dǎo)數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導(dǎo),,故單調(diào)遞增:∴,當(dāng),設(shè),,又,,即,故.故選:D【點睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構(gòu)造函數(shù)法,利用導(dǎo)數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.2.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯誤;∵,故D正確故C.【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化,對數(shù)的運算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題4.D【解析】
設(shè),整理得到方程組,解方程組即可解決問題.【詳解】設(shè),因為,所以,所以,解得:,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點知識,考查了方程思想,屬于基礎(chǔ)題.5.D【解析】
根據(jù)拋物線的性質(zhì),設(shè)出直線方程,代入拋物線方程,求得k的值,設(shè)出雙曲線方程,求得2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,利用雙曲線的離心率公式求得e.【詳解】直線F2A的直線方程為:y=kx,F(xiàn)1(0,),F(xiàn)2(0,),代入拋物線C:x2=2py方程,整理得:x2﹣2pkx+p2=0,∴△=4k2p2﹣4p2=0,解得:k=±1,∴A(p,),設(shè)雙曲線方程為:1,丨AF1丨=p,丨AF2丨p,2a=丨AF2丨﹣丨AF1丨=(1)p,2c=p,∴離心率e1,故選:D.【點睛】本題考查拋物線及雙曲線的方程及簡單性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想,考查計算能力,屬于中檔題.6.A【解析】
先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因為,所以所以故選:A【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算,注意計算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.7.B【解析】
由已知中的程序框圖可知,該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量的值,模擬程序的運行過程,代入四個選項進行驗證即可.【詳解】解:由程序框圖可知,輸出的數(shù)應(yīng)為被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整數(shù).若輸出,則不符合題意,排除;若輸出,則,符合題意.故選:B.【點睛】本題考查了程序框圖.當(dāng)循環(huán)的次數(shù)不多,或有規(guī)律時,常采用循環(huán)模擬或代入選項驗證的方法進行解答.8.B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時,,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實數(shù)的最大值為,故選:B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.9.D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)運算,即可容易求得結(jié)果.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算,屬基礎(chǔ)題.10.C【解析】
兩函數(shù)的圖象如圖所示,則圖中|MN|最小,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則x1=,x2=π,|x1-x2|=π,|y1-y2|=|πsinx1-πcosx2|=π+π=π,∴|MN|==π.故選C.11.D【解析】
“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性,對是的充分不必要條件進行命題轉(zhuǎn)換,使問題易于求解.12.A【解析】
選取中間值和,利用對數(shù)函數(shù),和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,因為指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識的綜合運用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點,∴,,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
根據(jù)的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,得到,再利用組合數(shù)公式求解.【詳解】因為的展開式中第項與第項的二項式系數(shù)相等,所以,即,所以,即,解得.故答案為:10【點睛】本題主要考查二項式的系數(shù),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1.故答案為:1.【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法,考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.16.7【解析】
畫出不等式組表示的平面區(qū)域,數(shù)形結(jié)合,即可容易求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如下圖陰影部分所示.觀察可知,當(dāng)直線過點時,有最大值,.故答案為:.【點睛】本題考查二次不等式組與平面區(qū)域、線性規(guī)劃,主要考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)22.5(3)見解析,【解析】
(1)根據(jù)頻數(shù)計算頻率,得出概率;(2)根據(jù)優(yōu)惠標(biāo)準(zhǔn)計算平均利潤;(3)求出各種情況對應(yīng)的的值和概率,得出分布列,從而計算出數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)估計1位會員至少消費兩次的概率;(2)第1次消費利潤;第2次消費利潤;第3次消費利潤;第4次消費利潤;這4次消費獲得的平均利潤:(3)1次消費利潤是27,概率是;2次消費利潤是,概率是;3次消費利潤是,概率是;4次消費利潤是,概率是;由題意:故分布列為:0期望為:【點睛】本題考查概率、平均利潤、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于中檔題.18.(1).(2)【解析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)得出的單調(diào)性以及極值,從而得出的圖象,將函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,由圖,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,∴切線斜率,又切點∴切線方程為,即.(2),記,令得;∴的情況如下表:2+0單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時,取極大值又時,;時,若沒有零點,即的圖像與直線無公共點,由圖像知的取值范圍是.【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點問題,屬于中檔題.19.(1)289200元;(2)能夠獲批;(3)應(yīng)選擇等額本金還款方式【解析】
(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列,即可由等差數(shù)列的前n項和公式求得其還款總額,減去本金即為還款的利息;(2)根據(jù)題意,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,設(shè)小張每月還款額為元,由等比數(shù)列求和公式及參考數(shù)據(jù),即可求得其還款額,與收入的一半比較即可判斷;(3)計算出等額本息還款方式時所付出的總利息,兩個利息比較即可判斷.【詳解】(1)由題意可知,等額本金還款方式中,每月的還款額構(gòu)成一個等差數(shù)列,記為,表示數(shù)列的前項和,則,,則,故小張該筆貸款的總利息為元.(2)設(shè)小張每月還款額為元,采取等額本息的還款方式,每月還款額為一等比數(shù)列,則,所以,即,因為,所以小張該筆貸款能夠獲批.(3)小張采取等額本息貸款方式的總利息為:,因為,所以從經(jīng)濟利益的角度來考慮,小張應(yīng)選擇等額本金還款方式.【點睛】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列求和公式的綜合應(yīng)用,數(shù)列在實際問題中的應(yīng)用,理解題意是解決問題的關(guān)鍵,屬于中檔題.20.(1);(2)①82,②分布列見解析,【解析】
(1)從20人中任取3人共有種結(jié)果,恰有1人成績“優(yōu)秀”共有種結(jié)果,利用古典概型的概率計算公式計算即可;(2)①平均數(shù)的估計值為各小矩形的組中值與其面積乘積的和;②要注意服從的是二項分布,不是超幾何分布,利用二項分布的分布列及期望公式求解即可.【詳解】(1)設(shè)從20人中任取3人恰有1人成績“優(yōu)秀”為事件,則,所以,恰有1人“優(yōu)秀”的概率為.(2)組別分組頻數(shù)頻率120.01260.03380.04440.02①,估計所有員工的平均分為82②的可能取值為0、1、2、3,隨機選取1人是“優(yōu)秀”的概率為,∴;;;;∴的分布列為0123∵,∴數(shù)學(xué)期望.【點睛】本題考查古典概型的概率計算以及二項分布期望的問題,涉及到頻率分布直方圖、平均數(shù)的估計值等知識,是一道容易題.21.(1)證明見解析;(2)【解析】
(1)取AB的中點O,連接,證得,從而證得C′O⊥平面ABD,再結(jié)合面面垂直的判定定理,即可證得平面⊥
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