數(shù)學(xué)教案：分層抽樣與系統(tǒng)抽樣第課時分層抽樣

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時分層抽樣導(dǎo)入新課思路1.中國共產(chǎn)黨第十八次代表大會的代表名額原則上是按各選舉單位的黨組織數(shù)、黨員人數(shù)進行分配的，并適當(dāng)考慮前幾次代表大會代表名額數(shù)等因素．按照這一分配辦法，各選舉單位的代表名額，比十七大時都有增加．另外，按慣例，中央將確定一部分已經(jīng)退出領(lǐng)導(dǎo)崗位的老黨員作為特邀代表出席大會．這種產(chǎn)生代表的方法是簡單隨機抽樣還是系統(tǒng)抽樣？教師點出課題：分層抽樣．思路2。我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩種抽樣方法：簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣，本節(jié)課我們學(xué)習(xí)分層抽樣．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題))1．假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人,初中生10900人，小學(xué)生11000人，此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的學(xué)生中抽取1％的學(xué)生進行調(diào)查，你認為應(yīng)當(dāng)怎樣抽取樣本?2．想一想為什么這樣取各個學(xué)段的個體數(shù)？3．請歸納分層抽樣的定義．4．請歸納分層抽樣的步驟．5．分層抽樣時應(yīng)如何分層？其適用于什么樣的總體？討論結(jié)果：1．分別利用系統(tǒng)抽樣在高中生中抽取2400×1％＝24人,在初中生中抽取10900×1％＝109人，在小學(xué)生中抽取11000×1％＝110人．這種抽樣方法稱為分層抽樣．2．含有個體多的層，在樣本中的代表也應(yīng)該多,即樣本從該層中抽取的個體數(shù)也應(yīng)該多．這樣的樣本才有更好的代表性．3．一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例,從各層獨立地抽取一定數(shù)量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本,這種抽樣的方法叫分層抽樣．4．分層抽樣的步驟：(1）分層：按某種特征將總體分成若干部分(層）;（2)按抽樣比確定每層抽取個體的個數(shù)；（3）各層分別按簡單隨機抽樣的方法抽取樣本；（4）綜合每層抽樣，組成樣本．5．分層抽樣又稱類型抽樣,應(yīng)用分層抽樣應(yīng)遵循以下要求：(1)分層時將相似的個體歸入一類，即為一層，分層要求每層的各個個體互不交叉，即遵循不重復(fù)、不遺漏的原則，即保證樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)一致性．(2）分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需遵循在各層中進行簡單隨機抽樣,每層樣本數(shù)量與每層個體數(shù)量的比與這層個體數(shù)量與總體容量的比相等．(3)當(dāng)總體個體差異明顯時，采用分層抽樣．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例))思路1例某地農(nóng)田分布在山地、丘陵、平原、洼地不同的地形上，要對這個地區(qū)的農(nóng)作物產(chǎn)量進行調(diào)查，應(yīng)當(dāng)采用什么抽樣方法?解：顯然不同類型的農(nóng)田之間的產(chǎn)量有較大差異，應(yīng)當(dāng)采用分層抽樣的方法，對不同類型的農(nóng)田按其占總數(shù)的比例來抽取樣本．點評:在每個層中進行抽樣時，大多數(shù)情況下是采用簡單隨機抽樣，有時也會用到其他的抽樣方法，這要根據(jù)問題的需要來決定.變式訓(xùn)練1．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員占5%，屬于高收入者;中層管理人員占15%，屬于中等收入者；一般員工占80%，屬于低收入者．要對這個公司員工的收入情況進行調(diào)查,欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)怎樣進行抽樣?解：我們可以采用分層抽樣的方法，按照收入水平分成三個層:高收入者、中等收入者、低收入者．可抽取5名高級管理人員、15名中層管理人員、80名一般員工，再對收入狀況分別進行調(diào)查．2．某市有大型、中型與小型的商店共1500家，它們的家數(shù)之比為1∶5∶9。要調(diào)查商店的每日零售額情況，要求抽取其中的15家商店進行調(diào)查，應(yīng)當(dāng)采用怎樣的抽樣方法？解：在這個問題中,商店有大型、中型和小型之分,商店的每日零售額直接受到商店規(guī)模的影響，如果采用簡單隨機抽樣的方法，可能使抽樣的結(jié)果不具有代表性．從題目中數(shù)據(jù)可以看出,最好是:從100家大型商店中抽出1個代表，從500家中型商店中抽出5個代表,從900家小型商店中抽出9個代表．因此，我們要對每個類型的商店分別進行抽樣。思路2例1一個單位有職工500人，其中不到35歲的有125人，35歲至49歲的有280人,50歲以上的有95人，為了了解這個單位職工與身體狀況有關(guān)的某項指標(biāo)，要從中抽取100名職工作為樣本,若職工年齡與這項指標(biāo)有關(guān)，應(yīng)該怎樣抽?。糠治觯河捎诼毠つ挲g與這項指標(biāo)有關(guān),所以應(yīng)選取分層抽樣來抽取樣本．解：用分層抽樣來抽取樣本，步驟是:(1)分層：按年齡將150名職工分成三層:不到35歲的職工；35歲至49歲的職工；50歲以上的職工．(2)確定每層抽取個體的個數(shù)．抽樣比為eq\f(100，500)＝eq\f（1,5),則在不到35歲的職工中抽125×eq\f（1,5）＝25人；在35歲至49歲的職工中抽280×eq\f（1,5)＝56人；在50歲以上的職工中抽95×eq\f（1,5)＝19人．(3）在各層分別按抽簽法或隨機數(shù)表法抽取樣本．（4）綜合每層抽樣，組成樣本．點評:本題主要考查分層抽樣及其實施步驟．如果總體中的個體有差異時，那么就用分層抽樣抽取樣本．用分層抽樣抽取樣本時，要把性質(zhì)、結(jié)構(gòu)相同的個體組成一層。變式訓(xùn)練1．某市的3個區(qū)共有高中學(xué)生20000人，且3個區(qū)的高中學(xué)生人數(shù)之比為2∶3∶5,現(xiàn)要從所有學(xué)生中抽取一個容量為200的樣本，調(diào)查該市高中學(xué)生的視力情況，試寫出抽樣過程．分析：由于該市高中學(xué)生的視力有差異，按3個區(qū)分成三層，用分層抽樣來抽取樣本．在3個區(qū)分別抽取的學(xué)生人數(shù)之比也是2∶3∶5，所以抽取的學(xué)生人數(shù)分別是200×eq\f（2，2＋3＋5）＝40；200×eq\f(3,2＋3＋5）＝60；200×eq\f(5，2＋3＋5）＝100.解:用分層抽樣來抽取樣本，步驟是：（1)分層：按區(qū)將20000名高中生分成三層；（2）確定每層抽取個體的個數(shù)．在這3個區(qū)抽取的學(xué)生數(shù)目分別是40,60,100；（3）在各層分別按隨機數(shù)表法抽取樣本；（4)綜合每層抽樣,組成樣本．2．某單位有老年人28人，中年人54人,青年人81人，為了調(diào)查他們的身體狀況，從他們中抽取容量為36的樣本,最適合抽取樣本的方法是（)．A．簡單隨機抽樣B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣D．先從老年人中剔除1人,再用分層抽樣解析：總?cè)藬?shù)為28＋54＋81＝163。樣本容量為36，由于總體由差異明顯的三部分組成，考慮用分層抽樣．若按36∶163取樣,無法得到整解，故考慮先剔除1人，抽取比例變?yōu)?6∶162＝2∶9,則中年人取12人，青年人取18人，先從老年人中剔除1人，老年人取6人，組成容量為36的樣本．答案：D例2某商場有四類食品，其中糧食類、植物油類、動物性食品類及果蔬類分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個容量為20的樣本進行食品安全檢測．若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是(）．A．4 B．5 C．6 解析：抽樣比為eq\f（20,40＋10＋30＋20）＝eq\f(1,5），則抽取的植物油類食品種數(shù)是10×eq\f(1，5）＝2,則抽取的果蔬類食品種數(shù)是20×eq\f(1，5)＝4。故所抽取的植物油類與果蔬類食品種數(shù)之和是2＋4＝6.答案：C點評：如果A,B,C三層含有的個體數(shù)目分別是x，y，z，在A，B，C三層應(yīng)抽取的個體數(shù)目分別是m，n，p，那么有x∶y∶z＝m∶n∶p;如果總體有N個個體，所抽取的樣本容量為n，某層所含個體數(shù)目為a，在該層抽取的樣本數(shù)目為b,那么有eq\f(n,N)＝eq\f(b,a).變式訓(xùn)練1．某校有學(xué)生2000人，其中高三學(xué)生500人．為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個200人的樣本．則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為__________．解析：因為抽樣比為eq\f(200，2000)＝eq\f（1，10)，所以樣本中高三學(xué)生的人數(shù)為500×eq\f（1，10)＝50.答案：502.甲校有3600名學(xué)生，乙校有5400名學(xué)生，丙校有1800名學(xué)生，為統(tǒng)計三校學(xué)生某方面的情況，計劃采用分層抽樣法,抽取一個容量為90人的樣本，應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生()．A．30人，30人，30人 B．30人,45人，15人C．20人，30人，40人 D．30人，50人，10人解析：因抽樣比是eq\f(90,3600＋5400＋1800）＝eq\f（1,120），故應(yīng)在這三校分別抽取學(xué)生：eq\f（1,120）×3600＝30人，eq\f（1,120)×5400＝45人，eq\f(1，120）×1800＝15人．答案:Beq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練）)1．某城區(qū)有農(nóng)民、工人、知識分子家庭共計2000戶,其中農(nóng)民家庭1800戶,工人家庭100戶．現(xiàn)要從中抽取容量為40的樣本，調(diào)查家庭收入情況,則在整個抽樣過程中，可以用到下列抽樣方法中的（)．①簡單隨機抽樣②系統(tǒng)抽樣③分層抽樣A．②③ B．①③C．③ D．①②③解析:由于各家庭有明顯差異，所以首先應(yīng)用分層抽樣的方法分別從農(nóng)民、工人、知識分子三類家庭中抽出若干戶，即36戶、2戶、2戶．又由于農(nóng)民家庭戶數(shù)較多，那么在農(nóng)民家庭這一層宜采用系統(tǒng)抽樣；而工人、知識分子家庭戶數(shù)較少,宜采用簡單隨機抽樣法．故整個抽樣過程要用到①②③三種抽樣法．答案：D2．某地區(qū)有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．為了掌握各商店的營業(yè)情況，要從中抽取一個容量為20的樣本．若采用分層抽樣的方法，抽取的中型商店數(shù)是__________．答案:53．某校500名學(xué)生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人,AB型血有50人，為了研究血型與色弱的關(guān)系，需從中抽取一個容量為20的樣本，怎樣抽取樣本？分析:由于研究血型與色弱的關(guān)系,按血型分層，用分層抽樣抽取樣本．利用抽樣比確定抽取各種血型的人數(shù)．解:用分層抽樣抽取樣本．∵eq\f（20,500）＝eq\f（2，50)，即抽樣比為eq\f(2，50),∴200×eq\f(2,50)＝8,125×eq\f(2,50）＝5,50×eq\f(2，50）＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．抽樣步驟:（1)確定抽樣比eq\f(2，50);（2）按比例分配各層所要抽取的個體數(shù)，O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人;(3）用簡單隨機抽樣分別在各種血型中抽取樣本，直至取出容量為20的樣本．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升)）某高級中學(xué)有學(xué)生270人，其中一年級108人，二、三年級各81人，現(xiàn)要利用抽樣方法抽取10人參加某項調(diào)查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統(tǒng)抽樣三種方案,使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學(xué)生按一、二、三年級依次統(tǒng)一編號為1,2，…,270；使用系統(tǒng)抽樣時,將學(xué)生統(tǒng)一隨機編號為1,2，…，270，并將整個編號依次分為10段．如果抽得號碼有下列四種情況：①7，34，61,88，115，142，169，196，223，250；②5,9,100，107,111，121，180，195，200,265；③11,38,65,92，119，146,173,200，227，254；④30，57,84,111，138,165,192，219,246,270.關(guān)于上述樣本的下列結(jié)論中,正確的是(）．A．②③都不能為系統(tǒng)抽樣 B．②④都不能為分層抽樣C．①④都可能為系統(tǒng)抽樣 D．①③都可能為分層抽樣解析：如果按分層抽樣抽取時，在一年級抽取108×eq\f(10，270）＝4人，在二、三年級各抽取81×eq\f（10，270)＝3人,則在號碼段1,2，…，108中抽取4個號碼，在號碼段109，110，…，189中抽取3個號碼，在號碼段190，191，…,270中抽取3個號碼，①②③符合，于是①②③可能是分層抽樣,因為④不符合，所以④不可能是分層抽樣；如果按系統(tǒng)抽樣時，抽取出的號碼應(yīng)該是“等距”的，①③符合，②④不符合．因此①③都可能為系統(tǒng)抽樣，②④都不能為系統(tǒng)抽樣．答案：D點評：根據(jù)樣本的號碼判斷抽樣方法時，要緊扣三類抽樣方法的特征．利用簡單隨機抽樣抽取出的樣本號碼沒有規(guī)律性；利用分層抽樣抽取出的樣本號碼有規(guī)律性，即在每一層抽取的號碼個數(shù)m等于該層所含個體數(shù)目與抽樣比的積,并且應(yīng)該恰有m個號碼在該層的號碼段內(nèi);利用系統(tǒng)抽樣抽取出的樣本號碼也有規(guī)律性，其號碼按從小到大的順序排列，則所抽取的號碼是：l，l＋k，l＋2k，…，l＋(n－1)k.其中，n為樣本容量,l是第一組中的號碼，k為分段間隔＝eq\f（總體容量，樣本容量）.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）本節(jié)課學(xué)習(xí)了分層抽樣的定義及其實施步驟．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè))）習(xí)題1—21，3。eq\o(\s\up7()，\s\do5(設(shè)計感想))本節(jié)課重視從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有知識中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和理解數(shù)學(xué)．首先為教科書內(nèi)容選擇生活背景,讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)問題來源于生活實際；其次，大膽調(diào)用學(xué)生熟知的生活經(jīng)驗，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得易于理解掌握；最后,善于聯(lián)系生活實際有機改編教科書習(xí)題，讓學(xué)生在實踐活動中理解掌握知識，變“學(xué)了做”為“做中學(xué)”．eq\o(\s\up7（),\s\do5（備課資料))抽樣調(diào)查及其主要方法抽樣調(diào)查可以分為兩類，即概率抽樣和非概率抽樣．概率抽樣是按照隨機原則進行抽樣,不加主觀因素，組成總體的每個單位都有被抽中的概率(非零概率）,可以避免樣本出現(xiàn)偏差,樣本對總體有很強的代表性．非概率抽樣是按主觀意向進行的抽樣（非隨機的)，組成總體的很大部分單位沒有被抽中的機會（零概率)，使調(diào)查很容易出現(xiàn)傾向性偏差．現(xiàn)在被廣泛應(yīng)用的抽樣調(diào)查是概率抽樣．因此，現(xiàn)在的抽樣調(diào)查是指概率抽樣,其定義為：抽樣調(diào)查,又稱抽樣推斷，是一種重要的、科學(xué)的非全面調(diào)查方法．它根據(jù)調(diào)查的目的和任務(wù)要求，按照隨機原則，從若干單位組成的事物總體中,抽取部分樣本單位來進行調(diào)查、觀察，用所得到的調(diào)查標(biāo)志的數(shù)據(jù)來推斷總體．抽樣調(diào)查按抽樣的組織形式劃分，有以下幾種主要方法：（1)簡單隨機抽樣(也叫純隨機抽樣，SPS抽樣)．也就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位．特點是:每個樣本單位被抽中的概率相等，樣本的每個單位完全獨立，彼此之間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性．簡單隨機抽樣是其他各種抽樣形式的基礎(chǔ)．通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時,才采用這種方法．（2)等距抽樣（也叫機械抽樣或系統(tǒng)抽樣，SYS抽樣）．是將總體各單位按一定標(biāo)志或次序排列成為圖形或一覽表式(也就是通常所說的排隊），然后按相等的距離或間隔抽取樣本單位．特點是：抽出的單位在總體中是均勻分布的，而且抽取的樣本可少于純隨機抽樣．等距抽樣既可以用同調(diào)查項目相關(guān)的標(biāo)志排隊,也可以用同調(diào)查項目無關(guān)的標(biāo)志排隊．等距抽樣是實際工作中應(yīng)用較多的方法,目前我國城鄉(xiāng)居民收支等調(diào)查，都是采用這種方式．（3)類型抽樣（也叫分層抽樣，STR抽樣）．就是將總體單位按其屬性特征分成若干類型或?qū)樱缓笤陬愋突驅(qū)又须S機抽取樣本單位．特點是:由于通過劃類分層，增大了各類型中單位間的共同性，容易抽出具有代表性的調(diào)查樣本．該方法適用于總體情況復(fù)雜，各單位之間差異較大，單位較多的情況．(4)整群抽樣（又稱集團抽樣)．就是從總體中成群成組地抽取調(diào)