數(shù)學教案：集合的表示方法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案1.1。2集合的表示方法eq\o(\s\up7（）,\s\do5(整體設計））教學分析教材借助實例給出了集合的表示方法——列舉法和描述法，這是用集合語言表達數(shù)學對象所必需的基本知識．教學中要注意引導學生，通過實例，從觀察分析集合的元素入手,選擇合適的方法表示集合．注意引導學生區(qū)分兩種表示集合的方法．學習集合語言最好的方法是運用．在教學中，要創(chuàng)造機會讓學生運用集合的特征性質描述一些集合，如數(shù)集、解集和一些基本圖形的集合等．三維目標1．掌握集合的表示法--列舉法和描述法,使學生正確把握集合的元素構成與集合的特征性質的關系，從而可以更準確地認識集合．2．能選擇適當?shù)姆椒ū硎窘o定的集合，提高學生分析問題和解決問題的能力．重點難點教學重點:集合的表示法．教學難點：集合的特征性質的概念以及運用特征性質描述法正確地表示一些簡單的集合．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學過程））推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題））①上節(jié)所說的集合是如何表示的？②閱讀課本中的相關內容，并思考：除字母表示法和自然語言之外，還能用什么方法表示集合？③集合共有幾種表示法？活動：①學生回顧所學的集合并作出總結．教師提示可以用字母或自然語言來表示．②教師可以舉例幫助引導：例如,24的所有正約數(shù)構成的集合，把24的所有正約數(shù)寫在大括號“{｝”內,即寫出為{1,2，3,4,6,8，12,24}的形式，這種表示集合的方法是列舉法．注意：大括號不能缺失;有些集合所含元素個數(shù)較多,元素又呈現(xiàn)出一定的規(guī)律，在不至于發(fā)生誤解的情況下，亦可用列舉法表示,如：從1到100的所有整數(shù)組成的集合:{1，2，3,…，100｝,自然數(shù)集N：{0,1，2,3，4,…，n，…｝；區(qū)分a與{a}:｛a｝表示一個集合，該集合只有一個元素，a表示這個集合的一個元素;用列舉法表示集合時不必考慮元素的前后次序,相同的元素不能出現(xiàn)兩次．又例如,不等式x－3＞2的解集,這個集合中的元素有無數(shù)個,不適合用列舉法表示．可以表示為｛x∈R|x－3＞2｝或｛x|x－3＞2｝,這種表示集合的方法是描述法．③讓學生思考總結已經(jīng)學習了的集合表示法．討論結果：①方法一（字母表示法)：大寫的英文字母表示集合，例如常見的數(shù)集N、Q，所有的正方形組成的集合記為A等等;方法二(自然語言）：用文字語言來描述出的集合，例如“所有的正方形”組成的集合等等．②列舉法:把集合中的全部元素一一列舉出來，并用大括號“｛}”括起來表示集合，這種表示集合的方法叫做列舉法．描述法：在大括號內先寫上表示這個集合元素的一般符號及其取值(或變化）范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．這種用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法．注：在不致混淆的情況下，也可以簡寫成列舉法的形式,只需去掉豎線和元素代表符號，例如:所有直角三角形的集合可以表示為｛x|x是直角三角形｝,也可以寫成{直角三角形}．③表示一個集合共有四種方法：字母表示法、自然語言、列舉法、描述法．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應用示例））思路1例1用列舉法表示下列集合：(1)A＝｛x∈N|0＜x≤5｝;（2）B＝｛x|x2－5x＋6＝0}．解：(1)A＝{1，2，3，4,5｝；（2)B＝{2,3｝．點評：本題主要考查集合表示法中的列舉法．通過本題可以體會利用集合表示數(shù)學內容的簡潔性和嚴謹性，以后我們盡量用集合來表示數(shù)學內容．如果一個集合是有限集，并且元素的個數(shù)較少時,通常選擇列舉法表示,其特點是非常明顯地表示出了集合中的元素,是常用的表示法．列舉法表示集合的步驟：(1）用字母表示集合;(2)明確集合中的元素；（3)把集合中所有元素寫在大括號“｛}”內，并寫成A＝{……}的形式.變式訓練用列舉法表示下列集合：（1）小于10的所有自然數(shù)組成的集合；（2)方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合；（3)由1～20以內的所有質數(shù)組成的集合．活動：學生先思考或討論列舉法的形式，展示解答過程．當學生出現(xiàn)錯誤時,教師及時加以糾正．利用相關的知識先明確集合中的元素，再把元素寫入大括號“｛}”內，并用逗號隔開．所給的集合均是用自然語言給出的．提示學生注意以下方面：（1)自然數(shù)中包含零；(2)解一元二次方程有公式法和分解因式法，方程x2＝x的根是x＝0，x＝1;（3)除去1和本身外沒有其他約數(shù)的正整數(shù)是質數(shù)，1~20以內的所有質數(shù)是2、3、5、7、11、13、17、19。解：(1）設小于10的所有自然數(shù)組成的集合為A，那么A＝{0,1,2,3，4，5,6,7，8，9}．（2)設方程x2＝x的所有實數(shù)根組成的集合為B，那么A＝｛0,1｝．（3）設由1～20以內的所有質數(shù)組成的集合為C，那么C＝｛2，3，5，7，11,13,17,19}。例2用描述法表示下列集合：(1）{－1,1}；（2)大于3的全體偶數(shù)構成的集合；(3）在平面α內，線段AB的垂直平分線．解：(1）這個集合的一個特征性質可以描述為絕對值等于1的實數(shù)，即｜x｜＝1.于是這個集合可以表示為{x｜|x|＝1｝．(2)這個集合的一個特征性質可以描述為x＞3，且x＝2n,n∈N。于是這個集合可以表示為{x｜x＞3，且x＝2n，n∈N}．（3)設點P為線段AB的垂直平分線上任一點，點P和線段AB都在平面α內，則這個集合的特征性質可以描述為PA＝PB。于是這個集合可以表示為｛點P∈平面α｜PA＝PB｝．點評：描述法表示集合的步驟：(1)用字母分別表示集合和元素；(2)用數(shù)學符號表達集合元素的共同特征；（3）在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．并寫成A＝｛…｜…}的形式．描述法適合表示有無數(shù)個元素的集合．注意：當集合中的元素個數(shù)較少時，通常用列舉法表示，否則用描述法表示。變式訓練試分別用列舉法和描述法表示下列集合:（1）方程x2－2＝0的所有實數(shù)根組成的集合；(2）由大于10小于20的所有整數(shù)組成的集合．分析：先讓學生回顧列舉法表示集合的步驟，思考描述法的形式，再找學生到黑板上書寫．當學生出現(xiàn)錯誤時，教師指導學生書寫過程．用描述法表示集合時,要用數(shù)學符號表示集合元素的特征．大于10小于20的所有整數(shù)用數(shù)學符號可以表示為10＜x＜20，x∈Z。(重點引導用描述法表示集合）用描述法表示集合時,用一個小寫英文字母表示集合中的元素，作為集合中元素的代表符號，找到集合中元素的共同特征，并把共同特征用數(shù)學符號來表達，然后寫在大括號“｛｝”內，在大括號內先寫上集合中元素的代表符號及取值（或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征．在(1)中利用條件中現(xiàn)有元素代表符號x，集合中元素的共同特征就是滿足方程x2－2＝0.在(2）的條件中沒有元素代表符號，故要先設出,用一個小寫英文字母表示即可；集合中元素的共同特征有兩個：一是大于10小于20(用不等式表示)，二是整數(shù)(用元素與集合的關系符號“∈"來表示）．解：(1）設方程x2－2＝0的實根為x，它滿足條件x2－2＝0，因此,用描述法表示為A＝｛x∈R|x2－2＝0}．方程x2－2＝0的兩個實數(shù)根為eq\r(2),－eq\r(2），因此,用列舉法表示為A＝｛eq\r（2)，－eq\r(2）｝．（2)設大于10小于20的整數(shù)為x，它滿足條件x∈Z,且10＜x＜20，因此,用描述法表示為B＝｛x∈Z｜10＜x＜20}．大于10小于20的整數(shù)有11，12，13,14,15，16，17，18，19,因此，用列舉法表示為B＝{11，12，13,14,15,16,17,18，19}。思路2例1用列舉法表示下列集合：(1）小于5的正奇數(shù)組成的集合；（2）能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)組成的集合；(3)方程x2－9＝0的解組成的集合；（4）{15以內的質數(shù)｝；(5）{x｜eq\f（6，3－x)∈Z，x∈Z}．活動：教師指導學生思考列舉法的書寫格式，并討論各個集合中的元素．明確各個集合中的元素，寫在大括號內即可．提示學生注意：（2)中滿足條件的數(shù)通常按從小到大排列時,從第二個數(shù)起，每個數(shù)比前一個數(shù)大3；(4）中除去1和本身外沒有其他的約數(shù)的正整數(shù)是質數(shù)；（5)中3－x是6的約數(shù)，6的約數(shù)有±1,±2，±3,±6。解:（1)滿足題設條件小于5的正奇數(shù)有1、3，故用列舉法表示為{1,3｝;（2）能被3整除且大于4小于15的自然數(shù)有6、9、12，故用列舉法表示為｛6,9，12｝;（3）方程x2－9＝0的解為－3、3，故用列舉法表示為{－3,3}；（4)15以內的質數(shù)有2、3、5、7、11、13，故該集合用列舉法表示為{2，3,5,7,11,13｝；(5)滿足eq\f(6，3－x）∈Z的x有3－x＝±1、±2、±3、±6,解之，得x＝2、4、1、5、0、6、－3、9，故用列舉法表示為｛2，4，1，5,0，6,－3，9｝．點評：本題主要考查集合的列舉法表示．列舉法適用于元素個數(shù)有限個并且較少的集合．用列舉法表示集合：先明確集合中的元素，再把元素寫在大括號內并用逗號隔開，相同的元素寫成一個.變式訓練用列舉法表示下列集合：(1）x2－4的一次因式組成的集合；(2）{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R，y∈N}；(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集；(4）｛20以內的質數(shù)};(5）｛（x，y)|x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z};(6）{大于0小于3的整數(shù)｝；(7）｛x∈R｜x2＋5x－14＝0｝；(8){（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}；（9）｛(x，y）|x＋y＝6，x∈N,y∈N}．分析：用列舉法表示集合的關鍵是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不計次序地用“，”隔開放在大括號內．解:(1)因x2－4＝(x－2）（x＋2）,故符合題意的集合為｛x－2，x＋2｝；(2）y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0、1、2、3、4，故{y|y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N｝＝｛0,1,2，3,4｝；(3)由x2＋6x＋9＝0得x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集為{－3｝;（4){20以內的質數(shù)｝＝｛2，3,5,7，11，13，17，19};(5）因x∈Z,y∈Z,則x＝－1、0、1時,y＝0、1、－1,那么｛(x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z｝＝{(－1,0)，（0,1)，(0，－1），(1,0)｝；(6）｛大于0小于3的整數(shù)}＝{1，2｝；（7)因x2＋5x－14＝0的解為x1＝－7，x2＝2，則{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}；（8）當x∈N且1≤x＜4時，x＝1、2、3，此時y＝2x，即y＝2、4、6，那么{（x,y)｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0｝＝｛(1,2），(2,4)，(3,6)｝;（9）{(x，y)｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{(0,6），(1，5),（2,4)，(3，3)，(4，2)，(5,1)，(6，0)}。例2用描述法分別表示下列集合：(1）二次函數(shù)y＝x2圖象上的點組成的集合；(2）數(shù)軸上離原點的距離大于6的點組成的集合；(3)不等式x－7＜3的解集．活動:讓學生思考用描述法的形式如何表示平面直角坐標系中的點，如何表示數(shù)軸上的點，如何表示不等式的解．學生板書，教師在其他學生中間巡視，及時幫助思維遇到障礙的同學．必要時，教師可提示學生：（1)集合中的元素是點,它是坐標平面內的點,集合元素代表符號用有序實數(shù)對（x，y)來表示，其特征是滿足y＝x2；（2）集合中元素是點，而數(shù)軸上的點可以用其坐標表示，其坐標是一個實數(shù)，集合元素代表符號用x來表示，其特征是對應的實數(shù)絕對值大于6;(3)集合中的元素是實數(shù)，集合元素代表符號用x來表示,把不等式化為x＜a的形式，則這些實數(shù)的特征是滿足x＜a.解：(1）二次函數(shù)y＝x2上的點(x，y）的坐標滿足y＝x2，則二次函數(shù)y＝x2圖象上的點組成的集合表示為｛(x，y）|y＝x2｝；(2）數(shù)軸上離原點的距離大于6的點組成的集合等于絕對值大于6的實數(shù)組成的集合,則數(shù)軸上離原點的距離大于6的點組成的集合表示為｛x∈R｜｜x｜＞6}；（3）不等式x－7＜3的解是x＜10，則不等式x－7＜3的解集表示為{x|x＜10｝．點評：本題主要考查集合的描述法表示．描述法適用于元素個數(shù)是有限個并且較多或無限個的集合．用描述法表示集合時，集合元素的代表符號不能隨便設，點集的元素代表符號是（x，y），數(shù)集的元素代表符號常用x.集合中元素的公共特征屬性可以用文字直接表述，最好用數(shù)學符號表示，必須抓住其實質。變式訓練用描述法表示下列集合：(1)方程2x＋y＝5的解集;（2）小于10的所有非負整數(shù)的集合；(3)方程ax＋by＝0(ab≠0)的解;(4)數(shù)軸上離開原點的距離大于3的點的集合；(5）平面直角坐標系中第Ⅱ、Ⅳ象限點的集合;（6）方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝1））的解的集合；(7)｛1，3,5，7，…};(8）x軸上所有點的集合；（9)非負偶數(shù)；（10)能被3整除的整數(shù)．解：(1)｛（x,y）｜2x＋y＝5｝；(2）｛x｜0≤x＜10，x∈Z｝；（3）{（x，y)|ax＋by＝0（ab≠0)｝；(4)｛x｜｜x|＞3｝；(5){(x,y）｜xy＜0}；（6）｛（x，y)|eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x＋y＝1，x－y＝1)）}；(7)｛x｜x＝2k－1，k∈N＋};(8）｛（x，y)｜x∈R，y＝0｝;（9）{x｜x＝2k，k∈N｝；(10){x|x＝3k，k∈Z}。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（知能訓練)）1．(口答）說出下面集合中的元素：(1）｛大于3小于11的偶數(shù)}；(2）{平方等于1的數(shù)}；(3）｛15的正約數(shù)}．答案：（1）其元素為4，6,8，10；(2）其元素為－1,1；（3）其元素為1,3，5，15.2．方程ax2＋5x＋c＝0的解集是｛eq\f（1，2),eq\f（1，3）｝，則a＝________,c＝________.解析：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是｛eq\f（1，2）,eq\f（1,3)｝，那么eq\f（1,2)、eq\f(1,3）是方程的兩根,即有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1，2）＋\f(1,3）＝－\f（5,a），，\f（1，2）·\f(1,3)＝\f(c,a)，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝－6，，c＝－1，）)那么a＝－6，c＝－1.答案：－6－13．用列舉法表示下列集合：（1)所有絕對值等于8的數(shù)的集合A；（2）所有絕對值小于8的整數(shù)的集合B.答案：（1）A＝｛－8,8｝；(2)B＝｛－7，－6，－5,－4，－3，－2，－1，0,1,2，3，4，5,6,7｝．4．定義集合運算A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y），x∈A,y∈B｝，設集合A＝｛0,1}，B＝｛2,3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為()A．0B．6C．12D．18解析：∵x∈A，∴x＝0或x＝1.當x＝0,y∈B時,總有z＝0.當x＝1時，若x＝1，y＝2時，有z＝6；當x＝1，y＝3時,有z＝12。綜上所得，集合A⊙B的所有元素之和為0＋6＋12＝18。答案：D5．分別用列舉法、描述法表示方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,,2x－3y＝27)）的解集．解：因eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2,，2x－3y＝27)）的解為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3,,y＝－7，)）用描述法表示該集合為{（x,y)|eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y＝2，2x－3y＝27）)}；用列舉法表示該集合為｛（3，－7）｝．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升))問題：集合A＝{x｜x＝a＋eq\r(2)b，a∈Z，b∈Z}，判斷下列元素x＝0、eq\f(1，\r(2）－1)、eq\f(1,\r（3）－\r(2)）與集合A之間的關系．活動：學生先思考元素與集合之間有什么關系，書寫過程,將元素x化為a＋eq\r（2)b的形式,再判斷a、b是否為整數(shù)．描述法表示集合的優(yōu)點是突出顯示了集合元素的特征,那么判斷一個元素是否屬于集合時，轉化為判斷這個元素是否滿足集合元素的特征即可．解：由于x＝a＋beq\r(2)，a∈Z，b∈Z，∴當a＝b＝0時，x＝0.∴0∈A.又eq\f(1,\r（2)－1)＝eq\r(2）＋1＝1＋eq\r（2），當a＝b＝1時,a＋beq\r（2)＝1＋eq\r(2），∴eq\f（1，\r(2）－1）∈A。又eq\f(1,\r（3)－\r(2))＝eq\r（3)＋eq\r（2)，當a＝eq\r(3），b＝1時，a＋beq\r(2)＝eq\r(3)＋eq\r(2），而eq\r（3）Z，∴eq\f(1，\r(3）－\r(2)）A。∴0∈A，eq\f（1,\r(2）－1）∈A，eq\f(1,\r（3）－\r(2）)A。點評：本題考查集合的描述法表示以及元素與集合間的關系．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結）)本節(jié)學習了：(1）集合的表示法;(2)利用列舉法和描述法表示集合的步驟．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（作業(yè)))課本習題1—1A2、3、4.eq\o（\s\up7(),\s\do5(設計感想))集合的列舉法和描述法的形式比較容易接受,在設計時注重讓學生自己學習，重點引導學生學習這兩種方法的應用．同時通過解決一系列具體問題，使學生自己體會到集合各種表示法的優(yōu)缺點；針對不同問題，能選用合適集合表示法．在練習過程中熟練掌握集合語言與自然語言的轉換．教師在教學過程中時時監(jiān)控，對學生不可能解決的問題，如集合常見表示法的寫法，常見數(shù)集及其記法應直接給出，以避免出現(xiàn)不必要的混亂．對學生解題過程中遇到的困難給予適當點撥．引導學生養(yǎng)成良好的學習習慣，最大限度地挖掘學生的學習潛力是我們教師的奮斗目標．eq\o(\s\up7（），\s\do5(備課資料))[備選例題]例1判斷下列集合是有限集還是無限集，并用適當?shù)姆椒ū硎荆?1）被3除余1