數(shù)學(xué)教案：空間中的平行關(guān)系平行直線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7（），\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教學(xué)分析教材類比初中平面幾何知識(shí)得到基本性質(zhì)4。直接給出了定理并加以證明．值得注意的是教學(xué)的重點(diǎn)是基本性質(zhì)4和定理的應(yīng)用,即平行直線的判定．三維目標(biāo)1．掌握基本性質(zhì)4和等角定理，提高類比和抽象思維能力．2．掌握空間四邊形的概念，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):基本性質(zhì)4和等角定理．教學(xué)難點(diǎn)：證明等角定理．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o（\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1.前面我們學(xué)習(xí)了平面的基本性質(zhì)-—三個(gè)公理及其推論，討論了公理及其推論的作用，并且對(duì)性質(zhì)公理及其推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用進(jìn)行了研究—-共面問題的證明、點(diǎn)共線問題的證明、線共點(diǎn)問題的證明,通過具體問題與平面幾何知識(shí)對(duì)照、類比，揭示了三類問題的證明思路、方法與步驟，這些內(nèi)容是立體幾何的基礎(chǔ)，我們大家應(yīng)予以足夠的重視．從這節(jié)課開始，我們來研究平行直線（板書課題）．設(shè)計(jì)2.平行與垂直是空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系中最重要的情況，在現(xiàn)實(shí)生活中，平行與垂直的情形也時(shí)常見到，教師點(diǎn)出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（提出問題)）eq\a\vs4\al(1回顧平行線的定義和有關(guān)定理。，2在平面內(nèi),平行于同一條直線的兩條直線平行，那么在空間中呢？)(3)在平面內(nèi)，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．(如下圖，AO∥A′O′，BO∥B′O′，∠AOB和∠A′O′B′相等，或∠AOB和∠A′O′B′互補(bǔ)．)在空間中呢?(4）閱讀教材，給出空間四邊形的概念．討論結(jié)果：（1）在初中幾何中，我們把在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，還學(xué)過平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線平行．（2)基本性質(zhì)4平行于同一條直線的兩條直線互相平行．即,如果直線a∥b,c∥b，那么a∥c（下圖)．上述基本性質(zhì)通常又叫做空間平行線的傳遞性．（3）定理如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等．已知如下圖所示，∠BAC和∠B′A′C′的邊AB∥A′B′,AC∥A′C′,且射線AB與A′B′同向，射線AC與A′C′同向．求證：∠BAC＝∠B′A′C′。證明：對(duì)于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面內(nèi)的情形，用初中所學(xué)的知識(shí)容易證明．下面證明兩個(gè)角不在同一平面內(nèi)的情形．分別在∠BAC的兩邊和∠B′A′C′的兩邊上截取線段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′,AE＝A′E′.因?yàn)锳DA′D′，所以AA′D′D是平行四邊形．可得AA′DD′.同理可得AA′EE′.于是DD′EE′.因此DD′E′E是平行四邊形．可得DE＝D′E′.于是△ADE≌△A′D′E′。因此∠BAC＝∠B′A′C′。(4）如下圖（1)所示，順次連結(jié)不共面的四點(diǎn)A，B，C，D所構(gòu)成的圖形，叫做空間四邊形．這四個(gè)點(diǎn)中的各個(gè)點(diǎn)叫做空間四邊形的頂點(diǎn);所連結(jié)的相鄰頂點(diǎn)間的線段叫做空間四邊形的邊；連接不相鄰的頂點(diǎn)的線段叫做空間四邊形的對(duì)角線．空間四邊形用表示頂點(diǎn)的四個(gè)字母表示．例如，下圖(2)中的四邊形可以表示為空間四邊形ABCD，線段AC,BD是它的對(duì)角線．圖（1)圖(2)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例）)思路1例1已知：如下圖，空間四邊形ABCD中，E,F，G,H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．證明：在△ABD中，因?yàn)镋，H分別是AB,AD的中點(diǎn)，所以EH∥BD,EH＝eq\f（1，2）BD。同理，F(xiàn)G∥BD,且FG＝eq\f(1，2)BD.所以EH∥FG，EH＝FG。所以四邊形EFGH是平行四邊形．點(diǎn)評(píng):證明平行四邊形常用方法:對(duì)邊平行且相等；對(duì)邊分別平行；對(duì)角線相交且平分．要注意：對(duì)邊相等的四邊形不一定是平行四邊形．變式訓(xùn)練空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)且AC＝BD.求證:四邊形EFGH是菱形．證明：連結(jié)EH，因?yàn)镋H是△ABD的中位線，所以EH∥BD,且EH＝eq\f(1,2)BD.同理，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，且FG＝eq\f(1,2)BD,EF＝eq\f（1，2)AC。所以EH∥FG，且EH＝FG.所以四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)锳C＝BD，所以EF＝EH.所以四邊形EFGH為菱形．思路2例2在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是棱AA1和棱CC1的中點(diǎn)．求證:EB1∥DF,ED∥B1F。證明：如下圖,設(shè)G是DD1的中點(diǎn)，分別連結(jié)EG，GC1?！逧GA1D1，B1C1A1D1，∴EGB1C1.∴四邊形EB1C1G是平行四邊形．∴EB1GC1.同理，可證DFGC1?！郋B1DF?！嗨倪呅蜤B1FD是平行四邊形．∴ED∥B1F。變式訓(xùn)練正方體AC1中，E、F分別在棱AA1和CC1上,且AE＝C1F。求證：四邊形EBFD1是平行四邊形．證明:如下圖所示,在直線BB1上取一點(diǎn)G,使B1G＝AE，連結(jié)A1G,FG,∵B1G＝AE,∴A1E＝BG。又∵A1E∥BG，∴四邊形A1EBG是平行四邊形．∴EBA1G。同理，四邊形A1GFD1是平行四邊形．∴A1GD1F?！郋BD1F.(公理4)∴四邊形EBFD1是平行四邊形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練)）1．如下圖所示，已知四邊形ABCD是空間四邊形，E、H分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別是邊CB、CD上的點(diǎn)，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG，CD）＝eq\f（2,3).求證：四邊形EFGH是梯形．分析：要證明四邊形EFGH有一組對(duì)邊平行且不相等,先要考慮哪一組對(duì)邊有平行的可能,由于E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，F(xiàn)、G實(shí)質(zhì)上分別是CB、CD的三等分點(diǎn)，連結(jié)BD，問題就變得明了了．證明：連結(jié)BD，∵E、H分別是AB、AD的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線．∴EH∥BD,EH＝eq\f（1，2)BD。又在△CBD中，eq\f（CF，CB）＝eq\f（CG,CD)＝eq\f(2，3）,∴FG∥BD，F(xiàn)G＝eq\f(2,3)BD.根據(jù)公理4，EH∥FG.又FG>EH，∴四邊形EFGH是梯形．2．如下圖，P是△ABC所在平面外一點(diǎn),點(diǎn)D、E分別是△PAB和△PBC的重心．求證:DE∥AC，DE＝eq\f（1，3）AC.分析：由點(diǎn)D、E分別是△PAB、△PBC的重心，想到連結(jié)PD、PE，并延長(zhǎng)與AB和BC分別相交，從而構(gòu)造三角形，充分利用重心的性質(zhì)及三角形中位線定理．證明：連結(jié)PD、PE并延長(zhǎng)分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，∵點(diǎn)D、E分別是△PAB、△PBC的重心，∴M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)．連結(jié)MN，則MN∥AC，且MN＝eq\f(1,2）AC。①在△PMN中，∵eq\f（PD，PM)＝eq\f(PE,PN)＝eq\f(2，3），∴DE∥MN，且DE＝eq\f(2,3)MN。②由①②根據(jù)公理4，得DE∥AC，且DE＝eq\f（2，3)MN＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2）AC＝eq\f（1,3)AC。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升）)已知空間四邊形ABCD，P、Q、R、S分別是線段AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，試找到P、Q、R、S的合適位置和四邊形ABCD所具備的條件，使得四邊形PQRS恰好為一個(gè)菱形，并證明你的結(jié)論．解:取P、Q、R、S分別為線段AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且使四邊形ABCD滿足AC＝BD，可得四邊形PQRS為菱形．證明如下，如下圖所示．∵P、Q為AB、BC的中點(diǎn),∴PQeq\f(1,2）AC，同理RSeq\f（1,2）AC∴四邊形PQRS是平行四邊形，又PSeq\f（1，2）BD，RQeq\f（1,2)BD，AC＝BD，∴PS＝PQ，∴四邊形PQRS是菱形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\