數(shù)學(xué)教案：空間中的平行關(guān)系平面與平面平行

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)）)教學(xué)分析教材通過實(shí)際操作歸納出了平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并通過兩個(gè)例題展示了應(yīng)用．值得注意的是根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，不需要證明判定定理．在教學(xué)中，應(yīng)加強(qiáng)對(duì)判定定理和性質(zhì)定理應(yīng)用的教學(xué)．三維目標(biāo)1．掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,提高學(xué)生的歸納能力．2．利用判定和性質(zhì)定理解決平行問題,提高學(xué)生的應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn):判定定理的歸納．課時(shí)安排1課時(shí)eq\o(\s\up7（），\s\do5（教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)1。前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩直線平行、直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理,今天我們學(xué)習(xí)第三種平行，教師點(diǎn)出課題．設(shè)計(jì)2.工人師傅在制造我們學(xué)習(xí)用的課桌時(shí),怎樣檢驗(yàn)桌面與地面平行呢?教師點(diǎn)出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（1觀察教室，兩個(gè)不重合的平面的位置關(guān)系除相交外,還有什么情況?，2試用兩條相交直線歸納出平面與平面平行的判定定理。，3通過學(xué)習(xí)平面與平面平行的判定定理和推論,怎樣畫兩平行的平面？,4平面與平面平行有什么性質(zhì)？)討論結(jié)果：（1）教室內(nèi)的天花板和地面不相交,而是平行，因此兩平面的位置關(guān)系有兩種:相交和平行．如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),則稱這兩個(gè)平面平行．平面α平行于平面β，記作α∥β.(2)如下圖，在平面α內(nèi)，作兩條直線a，b，并且a∩b＝P，平移這兩條相交的直線a，b到直線a′，b′的位置，設(shè)a′∩b′＝P′，由直線與平面平行的判定定理可知：a′∥α，b′∥α.想必同學(xué)們已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，由相交直線a′，b′所確定的平面β與平面α不會(huì)有公共點(diǎn)．否則，如下圖，如果兩平面相交，交線為c，于是a′，b′都平行于這兩個(gè)平面的交線c，這時(shí)，過點(diǎn)P′有兩條直線平行于交線c,根據(jù)平行公理，這是不可能的．由此，我們可以歸納出兩個(gè)平面平行的判定定理：定理如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．利用直線與平面平行的判定定理,我們可以得到：推論如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個(gè)平面平行．（3)根據(jù)上述定理和推論,在畫兩個(gè)平面平行時(shí)，通常把表示這兩個(gè)平面的平行四邊形的相鄰兩邊分別畫成平行線（如下圖)．(4)觀察長方體形的教室，天花板面與地面是平行的．直觀上能感覺到，墻面分別與天花板面、地面相交所得到的兩條交線也是平行的．一般來說，兩個(gè)平面平行有如下性質(zhì)：定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．事實(shí)上，由于兩條交線分別在兩個(gè)平行平面內(nèi)，所以它們不相交,它們又都在同一平面內(nèi)，由平行線的定義可知它們是平行的．(如下圖)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例))思路1例1已知三棱錐P—ABC中，D，E,F分別是棱PA,PB，PC的中點(diǎn)(如下圖)．求證:平面DEF∥平面ABC.證明：在△PAB中，因?yàn)镈,E分別是PA,PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB.又知DE平面ABC，因此DE∥平面ABC.同理EF∥平面ABC.又因?yàn)镈E∩EF＝E,所以平面DEF∥平面ABC.點(diǎn)評(píng)：證明面面平行,通常轉(zhuǎn)化為證明線面平行．變式訓(xùn)練已知：正方體ABCD—A1B1C1D1,求證：平面AB1D1∥平面C1BD。證明：如下圖所示，ABCD—A1B1C1D1是正方體，所以BD∥B1D1.又B1D1平面AB1D1，BD平面AB1D1，從而BD∥平面AB1D1.同理可證，BC1∥平面AB1D1.又直線BD與直線BC1交于點(diǎn)B，因此平面C1BD∥平面AB1D1。例2已知：平面α∥平面β∥平面γ，兩條直線l,m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C和點(diǎn)D，E，F(xiàn)(如下圖)．求證:eq\f(AB，BC）＝eq\f(DE，EF）。證明：連結(jié)DC，設(shè)DC與平面β相交于點(diǎn)G，則平面ACD與平面α，β分別相交于直線AD，BG。平面DCF與平面β,γ分別相交于直線GE，CF.因?yàn)棣痢桅?β∥γ，所以BG∥AD,GE∥CF.于是，得eq\f（AB，BC）＝eq\f(DG，GC),eq\f(DG,GC)＝eq\f（DE,EF)。所以eq\f（AB,BC）＝eq\f（DE,EF)。點(diǎn)評(píng)：本例通?？蓴⑹鰹椋簝蓷l直線被三個(gè)平行平面所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．變式訓(xùn)練如下圖,平面α，β，γ兩兩平行，且直線l與α，β，γ分別相交于點(diǎn)A，B，C，直線m與α,β，γ分別相交于點(diǎn)D,E，F(xiàn)，AB＝6，BC＝2，EF＝3。求DE的長．解：連結(jié)DC.設(shè)DC與β相交于點(diǎn)G，則平面ACD與α，β分別相交于直線AD，BG，平面DCF與β，γ分別相交于直線GE，CF.因?yàn)棣?，β，γ兩兩平行，所以BG∥AD,GE∥CF.因此eq\f(AB，BC）＝eq\f（DG,GC），eq\f(DG，GC）＝eq\f(DE，EF)。所以eq\f（AB,BC）＝eq\f（DE,EF).又因?yàn)锳B＝6,BC＝2,EF＝3,所以DE＝9.思路2例3已知：a、b是異面直線，a平面α，b平面β，a∥β，b∥α。求證：α∥β。證明:如下圖，在b上任取點(diǎn)P,顯然Pa.于是a和點(diǎn)P確定平面γ，且γ與β有公共點(diǎn)P.設(shè)γ∩β＝a′,∵a∥β.∴a′∥a.∴a′∥α。這樣β內(nèi)相交直線a′和b都平行于α,∴α∥β。變式訓(xùn)練如下圖,平面α∥平面β，平面γ與α交于直線a，γ與β交于直線b，直線c在β內(nèi)，且c∥b。（1)判斷c與α的位置關(guān)系,并說明理由;（2）判斷c與a的位置關(guān)系，并說明理由．答案:（1）c∥α;(2)c∥a。（理由，略）2。2008江西高考,文9設(shè)直線m與平面α相交但不垂直，則下列說法中正確的是()A．在平面α內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直B．過直線m有且只有一個(gè)平面與平面α垂直C．與直線m垂直的直線不可能與平面α平行D．與直線m平行的平面不可能與平面α垂直解析：由題意，m與α斜交,令其在α內(nèi)的射影為m′,則在α內(nèi)可作無數(shù)條與m′垂直的直線，它們彼此平行．故A錯(cuò)，如下圖．在α外，可作與α內(nèi)直線l平行的直線，故C錯(cuò);如下圖，mβ,β⊥α，故B正確．與直線m垂直與平面α平行的直線有無數(shù)條，故C錯(cuò)．可實(shí)現(xiàn)作β的平行平面γ，則m∥γ且γ⊥α，故D錯(cuò)．答案:B例4如下圖，在正方體ABCD-EFGH中,M、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求證：平面MNA∥平面PQG。證明：∵M(jìn)、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF,∴MN∥PQ.∵PR∥GH，PR＝GH，MH∥AR，MH＝AR，∴四邊形RPGH為平行四邊形，四邊形ARHM為平行四邊形．∴AM∥RH，RH∥PG?！郃M∥PG.∵M(jìn)N∥PQ，MN平面PQG，PQ平面PQG，∴MN∥平面PQG。同理可證，AM∥平面PQG。又直線AM與直線MN相交，∴平面MNA∥平面PQG.點(diǎn)評(píng)：證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行,而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行,所以關(guān)鍵是證線線平行．變式訓(xùn)練如下圖(1),已知平面α∥平面β，A、C∈α,B、D∈β，E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)．(1)(2）求證:EF∥α,EF∥β.證明:當(dāng)AB、CD共面時(shí)，平面ABCD∩α＝AC，平面ABCD∩β＝BD。∵α∥β,∴AC∥BD?！逧、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，∴EF∥AC.∵ACα,EFα,∴EF∥α.同理，EF∥β.當(dāng)AB、CD異面時(shí)，如上圖（2）∵ECD，∴可在平面ECD內(nèi)過點(diǎn)E作C′D′∥CD，與α、β分別交于C′、D′。平面AC′BD′∩α＝AC′,平面AC′BD′∩β＝BD′,∵α∥β，∴AC′∥BD′.∵E是AB中點(diǎn)，∴E也是C′D′的中點(diǎn)．平面CC′D′D∩α＝CC′，平面CC′D′D∩β＝DD′，∵α∥β，∴CC′∥DD′.∵E、F分別為C′D′、CD的中點(diǎn)，∴EF∥CC′，EF∥DD′.∵CCα，EFα，∴EF∥α。同理，EF∥β。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練）)1．如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行．已知：α∥β，γ∥β，求證:α∥γ。證明：如下圖，作兩個(gè)相交平面分別與α、β、γ交于a、c、e和b、d、f，eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1(α∥β\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a∥c,b∥d）),β∥γ\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（c∥e，d∥f）))）eq\b\lc\{\rc\}（\a\vs4\al\co1（a∥ea∥γ,b∥fb∥γ)）α∥γ。點(diǎn)評(píng)：欲將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行，先要作平面．2。如下圖，EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，求證：BD∥面EFGH，AC∥面EFGH.證明：∵四邊形EFGH是平行四邊形eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EH∥FG,FG面BDC,EH面BDC））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（，,,,，\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EH∥面BDC，EH面ABD,面ABD∩面BDC＝BD））)）eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（EH∥BD,EH面EFGH，BD面EFGH)）BD∥面EFGH.同理，可證AC∥面EFGH.3．已知:如下圖，正方體ABCD-A1B1C1D，AA1＝2，E為棱CC1的中點(diǎn)．求證：AC∥平面B1DE.分析:取BB1的中點(diǎn)F,轉(zhuǎn)化為證明平面ACF∥面B1DE.證明：取BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)AF、CF、EF。如下圖．∵E、F是CC1、BB1的中點(diǎn)，∴CEB1F，∴四邊形B1FCE是平行四邊形，∴CF∥B1E.∴CF∥平面B1DE。∵E，F(xiàn)是CC1,BB1的中點(diǎn),∴EFBC，又BCAD，∴EFAD.∴四邊形ADEF是平行四邊形,∴AF∥ED，∴AF∥平面B1DE.又∵AF∩CF＝F，AF平面B1DE，CF平面B1DE.∴平面ACF∥面B1DE。又AC平面ACF.∴AC∥面B1DE.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升))如下圖，兩條異面直線AB、CD與三個(gè)平行平面α、β、γ分別相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC與平面的交點(diǎn)為H、G。求證：四邊形EHFG為平行四邊形．eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（證明:平面ABC∩α＝AC,平面ABC∩β＝EG,α∥β）)AC∥EG.同理,AC∥HF.eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（AC∥EG,AC∥HF））EG∥HF。同理，EH∥FG.故四邊形EHFG是平行四邊形．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)，平行關(guān)系的證明策略——轉(zhuǎn)化．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)））本節(jié)練習(xí)B2，3題．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計(jì)感想)）本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)，通過操作，歸納平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理．精選了典型題目，體會(huì)判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用．由于課堂容量較大，建議使用信息技術(shù)．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（備課資料))備選習(xí)題1．如下圖，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn),A′、B′、C′分別是△PBC、△PCA、△PAB的重心．(1）求證：平面ABC∥平面A′B′C′；(2）求△A′B′C′與△ABC的面積之比．(1）證明:連結(jié)PA′、PB′、PC′并延長交BC、AC、AB于D、E、F，連結(jié)DE、EF、DF.∵A′、C′分別是△PBC、△PAB的重心，∴PA′＝eq\f（2，3）PD，PC′＝eq\f(2,3)PF.∴A′C′∥DF?！逜′C′平面ABC，DF平面ABC，∴A′C′∥平面ABC.同理，A′B′∥平面ABC.又A′C′∩A′B′＝A′，A′C′、A′B′