數學教案：三視圖

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(）,\s\do5(整體設計))教學分析在上一節(jié)認識空間幾何體直觀圖的基礎上，本節(jié)來學習空間幾何體的表示形式，以進一步提高對空間幾何體結構特征的認識．主要內容是：畫出空間幾何體的三視圖．比較準確地畫出幾何圖形，是學好立體幾何的前提．因此,本節(jié)內容是立體幾何的基礎之一，教學中應給以充分的重視．畫三視圖是學習立體幾何的基本技能,同時，通過三視圖的學習，可以豐富學生的空間想象力．“視圖”是將物體按正投影法向投影面投射時所得到的投影圖．光線自物體的前面向后投影所得的投影圖稱為“主視圖”，自左向右投影所得的投影圖稱為“左視圖”，自上向下投影所得的投影圖稱為“俯視圖”．用這三種視圖即可刻畫空間物體的幾何結構特征，這種圖稱之為“三視圖"．三維目標1．了解空間圖形的不同表示形式和相互轉化，發(fā)展學生的空間想象能力，培養(yǎng)學生轉化與化歸的數學思想方法．2．能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合)的三視圖,并能識別上述三視圖表示的立體模型，會用材料（如紙板）制作模型，提高學生識圖和畫圖的能力，培養(yǎng)其探究精神和意識．重點難點教學重點：畫出簡單組合體的三視圖，給出三視圖，還原或想象出原實際圖的結構特征．教學難點：識別三視圖所表示的幾何體．課時安排1課時eq\o(\s\up7（）,\s\do5(教學過程））導入新課設計1.能否熟練畫出上節(jié)所學習的幾何體？工程師如何制作工程設計圖紙？我們常用三視圖和直觀圖表示空間幾何體,三視圖是觀察者從三個不同角度觀察同一個幾何體而畫出的圖形；直觀圖是觀察者站在某一點觀察幾何體而畫出的圖形．三視圖和直觀圖在工程建設、機械制造以及日常生活中具有重要意義．本節(jié)我們將在學習投影知識的基礎上,學習空間幾何體的三視圖．教師指出課題:三視圖．設計2?！皺M看成嶺側成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實地反映出物體的結構特征，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學習空間幾何體的三視圖．在初中，我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖(主視圖、左視圖、俯視圖)，你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？教師點出課題：三視圖．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題）)1在初中，我們已經學習了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖，請你回憶三視圖包含哪些部分？2主視圖、左視圖和俯視圖各是如何得到的？3一般地，怎樣排列三視圖？4主視圖、左視圖和俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方和正上方觀察到的幾何體的正投影圖,它們都是平面圖形。觀察長方體的三視圖，你能得出同一個幾何體的主視圖、左視圖和俯視圖在形狀、大小方面的關系嗎?討論結果：（1)三視圖包含主視圖、左視圖和俯視圖．（2）光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的主視圖(又稱正視圖）;光線從幾何體的左面向右面正投影，得到的投影圖叫該幾何體的左視圖（又稱側視圖)；光線從幾何體的上面向下面正投影,得到的投影圖叫做該幾何體的俯視圖．(3）三視圖的位置關系：一般地,左視圖在主視圖的右邊;俯視圖在主視圖的下邊．如下圖所示．(4）投影規(guī)律:①主視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;左視圖反映了物體上下、前后的位置關系,即反映了物體的高度和寬度．②一個幾何體的主視圖和左視圖高度一樣，主視圖和俯視圖長度一樣，左視圖和俯視圖寬度一樣,即主、俯視圖—-長對正;主、左視圖—-高平齊；俯、左視圖——寬相等．畫組合體的三視圖時要注意的問題:(1)要確定好主視、左視、俯視的方向，同一物體三視的方向不同，所畫的三視圖可能不同．（2）判斷簡單組合體的三視圖是由哪幾個基本幾何體生成的,注意它們的生成方式，特別是它們的交線位置．(3)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線，用虛線畫出．(4)要檢驗畫出的三視圖是否符合“長對正、高平齊、寬相等"的基本特征，即主、俯視圖長對正;主、左視圖高平齊;俯、左視圖寬相等,前后對應．由三視圖還原為實物圖時要注意的問題:我們由實物圖可以畫出它的三視圖，實際生產中,工人要根據三視圖加工零件，需要由三視圖還原成實物圖，這要求我們能由三視圖想象它的空間實物形狀，主要通過主、俯、左視圖的輪廓線（或補充后的輪廓線）還原成常見的幾何體，還原實物圖時，要先從三視圖中初步判斷簡單組合體的組成，然后利用輪廓線（特別要注意虛線）逐步作出實物圖．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應用示例）)思路1例1圖(1)所示的是一個零件的直觀圖,畫出這個幾何體的三視圖．（1）(2）解：這個幾何體的三視圖如圖（2)所示．在視圖中，被擋住的輪廓線畫成虛線，尺寸線用細實線標出；D表示直徑，R表示半徑;單位不注明時按mm計．點評：本題主要考查簡單組合體的三視圖．對于簡單空間幾何體的組合體，一定要認真觀察，先認識它的基本結構，然后再畫它的三視圖．變式訓練1。畫出下圖所示的幾何體的三視圖．答案：三視圖如下圖所示．例2圖(1)所示的是一個獎杯的三視圖，畫出它的直觀圖．(1）(2)解：從獎杯的三視圖可以看出，獎杯的底座是一個正棱臺,它的上底面是邊長為60mm的正方形，下底面是邊長為100mm的正方形，高為20mm.底座的上面是一個底面對角線長為40mm，高72mm的正四棱柱，它的底面的對角線分別與棱臺底面的邊平行,它的底面的中心在棱臺上、下底面中心的連線上．獎杯的最上部，在正四棱柱上底面的中心放著一個直徑為28mm的球．根據以上分析，畫出獎杯的直觀圖，如上圖(2）所示．變式訓練螺栓是棱柱和圓柱構成的組合體，如圖1，畫出它的三視圖．解：該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的，主視圖反映正六棱柱的三個側面和圓柱側面，左視圖反映正六棱柱的兩個側面和圓柱側面，俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合)．它的三視圖為圖2.圖1圖2思路2例3如圖甲所示，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、C1D1的中點，G是正方形BCC1B1的中心,則四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影可能是下圖乙中的__________．活動：要畫出四邊形AGFE在該正方體的各個面上的投影，只需畫出四個頂點A、G、F、E在每個面上的投影，再順次連結即得到在該面上的投影，并且在兩個平行平面上的投影是相同的．解析：在面ABCD和面A1B1C1D1上的投影是圖乙(1)；在面ADD1A1和面BCC1B1上的投影是圖乙（2)；在面ABB1A1和面DCC1D1上的投影是上圖乙（3)．答案：（1）（2）（3）點評：本題主要考查平行投影和空間想象能力．畫出一個圖形在一個平面上的投影的關鍵是確定該圖形的關鍵點(如頂點）等，畫出這些關鍵點的投影，再依次連結即可得此圖形在該平面上的投影．如果對平行投影理解不充分，做該類題目容易出現不知所措的情形，避免出現這種情形的方法是依據平行投影的含義，借助于空間想象來完成．變式訓練如圖(1)所示,E、F分別為正方體面ADD′A′、面BCC′B′的中心，則四邊形BFD′E在該正方體的各個面上的投影可能是圖(2)的________．解析:四邊形BFD′E在正方體ABCD—A′B′C′D′的面ADD′A′、面BCC′B′上的投影是C；在面DCC′D′、面ABB′A′上的投影是B；同理，在面ABCD、面A′B′C′D′上的投影也是B.答案：BC例4如下圖所示,甲、乙、丙是三個立體圖形的三視圖，甲、乙、丙對應的標號正確的是（)①長方體②圓錐③三棱錐④圓柱A．④③②B．②①③C．①②③D．③②④解析：由于甲的俯視圖是圓,則該幾何體是旋轉體，又因主視圖和左視圖均是矩形，則甲是圓柱；由于乙的俯視圖是三角形，則該幾何體是多面體，又因主視圖和左視圖均是三角形，則該多面體的各個面都是三角形，則乙是三棱錐；由于丙的俯視圖是圓，則該幾何體是旋轉體,又因主視圖和左視圖均是三角形，則丙是圓錐．答案:A點評:本題主要考查三視圖和簡單幾何體的結構特征．根據三視圖想象空間幾何體,是培養(yǎng)空間想象能力的重要方式，這需要根據幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖的幾何特征，想象整個幾何體的幾何特征,從而判斷三視圖所描述的幾何體．通常是先根據俯視圖判斷是多面體還是旋轉體，再結合主視圖和左視圖確定具體的幾何結構特征,最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體．變式訓練1．圖1是一幾何體的三視圖，想象該幾何體的幾何結構特征，畫出該幾何體的形狀．圖1圖2解析：由于俯視圖有一個圓和一個四邊形，則該幾何體是由旋轉體和多面體拼接成的組合體,結合左視圖和主視圖，可知該幾何體是上面一個圓柱，下面是一個四棱柱拼接成的組合體．答案：上面一個圓柱,下面是一個四棱柱拼接成的組合體．該幾何體的形狀如圖2所示．2。（2007山東高考,理3）如下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方體的三視圖都是正方形，所以①不符合題意,排除A、B、C。答案：D點評：雖然三視圖的畫法比較煩瑣,但是三視圖是考查空間想象能力的重要形式，因此是新課標高考的必考內容之一，足夠的空間想象能力才能保證順利解決三視圖問題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓練)）1．下列各項不屬于三視圖的是（)A．主視圖B．左視圖C．后視圖D．俯視圖解析:根據三視圖的規(guī)定,后視圖不屬于三視圖．答案：C2．兩條相交直線的平行投影是(）A．兩條相交直線B．一條直線C．兩條平行直線D．兩條相交直線或一條直線解析：借助于長方體模型來判斷，如下圖所示，在長方體ABCD—A1B1C1D1中，一束平行光線從正上方向下照射．則相交直線CD1和DC1在面ABCD上的平行投影是同一條直線CD,相交直線CD1和BD1在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BD.答案：D3．甲、乙、丙、丁四人分別面對面坐在一個四邊形桌子旁邊,桌上一張紙上寫著數字“9”,如下圖所示．甲說他看到的是“6”,乙說他看到的是“6”，丙說他看到的是“9”,丁說他看到的是“9”，則下列說法正確的是（）A．甲在丁的對面，乙在甲的左邊，丙在丁的右邊B．丙在乙的對面，丙的左邊是甲，右邊是乙C．甲在乙的對面，甲的右邊是丙,左邊是丁D．甲在丁的對面，乙在甲的右邊,丙在丁的右邊解析：由甲、乙、丙、丁四人的敘述,可以知道這四人的位置如下圖所示，由此可得甲在丁的對面，乙在甲的右邊，丙在丁的右邊．答案:D4．如果一個空間幾何體的主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形,俯視圖為一個圓及其圓心，那么這個幾何體為(）A．棱錐B．棱柱C．圓錐D．圓柱解析：由于俯視圖是一個圓及其圓心，則該幾何體是旋轉體，又因主視圖與左視圖均為全等的等邊三角形，則該幾何體是圓錐．答案：C5．某幾何體的三視圖如下圖所示，那么這個幾何體是()A．三棱錐B．四棱錐C．四棱臺D．三棱臺解析：由所給三視圖可以判定對應的幾何體是四棱錐．答案：B6．用若干塊相同的小正方體搭成一個幾何體，該幾何體的三視圖如下圖所示，則搭成該幾何體需要的小正方體的塊數是(）A．8B．7C．6D．5解析：由主視圖和左視圖可知，該幾何體有兩層小正方體拼接成，由俯視圖，可知最下層有5個小正方體，由左視圖可知上層僅有一個正方體，則共有6個小正方體．答案：C7．畫出下圖所示正四棱錐的三視圖．解析：正四棱錐的主視圖與左視圖均為等腰三角形，俯視圖為正方形，對角線體現正四棱錐的四條側棱．答案：正四棱錐的三視圖如下圖．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升)）問題：用數個小正方體組成一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如下圖所示，俯視圖中小正方形中的字母表示在該位置的小立方體的個數．（1)你能確定哪些字母表示的數？（2)該幾何體可能有多少種不同的形狀？分析:解決本題的關鍵在于觀察主視圖、俯視圖,利用三視圖規(guī)則中的“在三視圖中，每個視圖都反映物體兩個方向的尺寸．主視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，左視圖反映物體的前后和上下尺寸”．又“主視圖與俯視圖長對正，主視圖與左視圖高平齊,俯視圖與左視圖寬相等"，所以,我們可以得到a＝3，b＝1，c＝1，d，e，f中的最大值為2。解：(1）面對數個小立方體組成的幾何體,根據對主視圖與俯視圖的觀察我們可以得出下列結論：①a＝3，b＝1，c＝1；②d，e，f中的最大值為2.所以上述字母中我們可以確定的是a＝3，b＝1，c＝1.（2）當d，e，f中有一個是2時,有3種不同的形狀；當d，e，f有兩個是2時，有3種不同的形狀;當d，e，f都是2時,有一種形狀．所以該幾何體可能有7種不同的形狀．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結))本節(jié)課學習了:1．中心投影和平行投影．2．簡單幾何體和組合體的三視圖的畫法及其投影規(guī)律．3．由三視圖判斷原幾何體的結構特征．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)))本節(jié)練習A2，3,4題．eq\o(\s\up7(），\s\do5(設計感想)）本節(jié)課的教學，以課程標準為指南，結合學生已有知識和經驗而設計．設計時考慮到課程標準和高考要求，重點講解由三視圖判斷幾何體的結構特征，也就是畫三視圖時,尺寸不作嚴格要求．教學設計中使用了大量圖片，建議在實際應用時盡量