數(shù)學(xué)教案：實數(shù)指數(shù)冪及其運算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o（\s\up7(）,\s\do5（整體設(shè)計））教學(xué)分析在初中，學(xué)生已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運算性質(zhì)．從本節(jié)開始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上,類比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把整數(shù)指數(shù)推廣到分數(shù)指數(shù)，進而推廣到有理數(shù)指數(shù)冪,再推廣到無理指數(shù)冪，并將冪的運算性質(zhì)由整數(shù)指數(shù)冪推廣到實數(shù)指數(shù)冪．本節(jié)安排的內(nèi)容蘊涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想(指數(shù)冪運算律的推廣)、類比的思想、逼近的思想(有理數(shù)指數(shù)冪逼近無理數(shù)指數(shù)冪）等,同時，充分關(guān)注與實際問題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值．根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計算器和計算機創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持．三維目標1．通過與初中所學(xué)的知識進行類比，理解分數(shù)指數(shù)冪的概念，進而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)．2．掌握分數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、抽象類比的能力．3．掌握根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想．通過運算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理．4．能熟練地運用實數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)進行化簡、求值，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)乃季S和科學(xué)正確的計算能力．重點難點教學(xué)重點：(1)分數(shù)指數(shù)冪和根式概念的理解．(2)掌握并運用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)．(3)運用實數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)進行化簡、求值．教學(xué)難點：(1)分數(shù)指數(shù)冪及根式概念的理解．(2）實數(shù)指數(shù)冪性質(zhì)的靈活應(yīng)用．課時安排2課時eq\o(\s\up7（),\s\do5(教學(xué)過程))第1課時導(dǎo)入新課思路1.碳14測年法．原來宇宙射線在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進入所有活組織，先為植物吸收，再為動物吸收，只要植物和動物生存著，它們就會不斷地吸收碳14在機體內(nèi)保持一定的水平．而當(dāng)有機體死亡后，即會停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開始衰變并消失．對于任何含碳物質(zhì)只要測定剩下的放射性碳14的含量,便可推斷其年代(半衰期：經(jīng)過一定的時間,變?yōu)樵瓉淼囊话?．引出本節(jié)課題．思路2.同學(xué)們，我們在初中學(xué)習(xí)了整數(shù)指數(shù)冪及其運算性質(zhì)，那么整數(shù)指數(shù)冪是否可以推廣呢？答案是肯定的．這就是本節(jié)的主講內(nèi)容，教師板書本節(jié)課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)eq\a\vs4\al（（1）整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是什么？,(2）觀察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a＞0，，①\r(5，a10)＝\r(5，(a2)5）＝a2＝a\f（10，5);,②\r(a8)＝\r((a4）2)＝a4＝a\f(8,2)；,③\r（4，a12)＝\r(4,(a3)4）＝a3＝a\f(12,4)；,④\r（2,a10）＝\r（2,（a5)2）＝a5＝a\f（10,2).,（3)利用2的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？，\r（4,53)，\r(3,75），\r（5，a7)，\r（n，xm）x>0，m、n∈N＋，且n>1.,（4）你能用方根的意義來解釋3的式子嗎？,(5)你能推廣到一般的情形嗎?）討論結(jié)果:（1）整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：an＝a·a·a·…·a,a0＝1（a≠0)；00無意義；a－n＝eq\f（1,an)(a≠0)；am·an＝am＋n；(am)n＝amn；(an）m＝amn；(ab）n＝anbn.其中n、m∈N＋.（2）①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根；④a5是a10的2次方根．實質(zhì)上①eq\r（5,a10）＝aeq\f（10，5)，②eq\r（a8)＝aeq\f(8，2），③eq\r（4,a12)＝aeq\f(12,4），④eq\r（2,a10）＝aeq\f（10,2）結(jié)果的a的指數(shù)是2，4,3,5分別寫成了eq\f（10,5）,eq\f（8，2），eq\f（12，4），eq\f(10，2），形式上變了，本質(zhì)沒變．根據(jù)4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時，根式可以寫成分數(shù)作為指數(shù)的形式(分數(shù)指數(shù)冪形式)．（3)利用（2)的規(guī)律,eq\r（4,53)＝5eq\f(3,4),eq\r(3，75)＝7eq\f（5,3)，eq\r(5,a7)＝aeq\f(7,5)，eq\r(n,xm）＝xeq\f（m，n）。(4）53的四次方根是5eq\f（3,4），75的三次方根是7eq\f(5,3）,a7的五次方根是aeq\f(7,5)，xm的n次方根是xeq\f(m,n）.結(jié)果表明方根的結(jié)果和分數(shù)指數(shù)冪是相通的．（5）如果a＞0，那么am的n次方根可表示為eq\r(n，am)＝aeq\f(m，n),即aeq\f（m,n）＝eq\r(n,am）(a＞0，m，n∈N＋,n＞1）．綜上所述，我們得到正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義，教師板書：規(guī)定：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是aeq\f（m,n）＝eq\r(n,am）（a＞0,m，n∈N＋，n＞1)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題））①負整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？②你能得出負分數(shù)指數(shù)冪的意義嗎？③你認為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分數(shù)指數(shù)冪的意義？④綜合上述，如何規(guī)定分數(shù)指數(shù)冪的意義？⑤分數(shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a＞0，去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果？⑥既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理指數(shù)冪呢?討論結(jié)果：①負整數(shù)指數(shù)冪的意義是：a－n＝eq\f（1，an）（a≠0，n∈N＋)．②既然負整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類比正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義．規(guī)定:正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是a－eq\f(m,n)＝eq\f（1，a\f(m，n))＝eq\f（1,\r(n，am)）(a＞0，m、n∈N＋，n＞1）．③規(guī)定:零的分數(shù)指數(shù)冪的意義是:零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．④教師板書分數(shù)指數(shù)冪的意義．分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：有時我們把正分數(shù)指數(shù)冪寫成根式，即＝eq\r（n，am）（a＞0,m、n∈N＋),正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是＝eq\r(n，am)(a＞0,m、n∈N＋,n＞1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是＝eq\f(1，a\f(m，n）)＝eq\f(1,\r(n，am））(a＞0，m、n∈N＋，n＞1）,零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．⑤若沒有a＞0這個條件會怎樣呢?如＝eq\r(3,－1）＝－1，＝eq\r（6，－12)＝1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說明分數(shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的．因此在把根式化成分數(shù)指數(shù)時，切記要使底數(shù)大于零，如無a＞0的條件，比如式子eq\r(3，a2)＝|a｜eq\f（2,3)，同時負數(shù)開奇次方是有意義的,負數(shù)開奇次方時,應(yīng)把負號移到根式的外邊,然后再按規(guī)定化成分數(shù)指數(shù)冪，也就是說，負分數(shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù),而不是負數(shù)，負數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上．⑥規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的有理數(shù)r,s，均有下面的運算性質(zhì)：(1）ar·as＝ar＋s（a＞0,r，s∈Q）,(2）(ar）s＝ars(a＞0,r，s∈Q），(3)(a·b)r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））思路1例1求值：(1);（2)；(3）（eq\f（1,2)）－5;(4)?；顒樱航處熞龑?dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運算性質(zhì)計算出數(shù)值或化成最簡根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫成冪的形式，8寫成23，25寫成52，eq\f（1,2)寫成2－1，eq\f（16，81)寫成（eq\f（2，3)）4，利用有理數(shù)冪的運算性質(zhì)可以解答,完成后，把自己的答案用投影儀展示出來．解：（1）(2)(3)（4）點評：本例主要考查指數(shù)冪的運算，要按規(guī)定來解．在進行指數(shù)冪的運算時，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運算，如8eq\f(2,3)＝eq\r(3，82）＝eq\r(3,64)＝4.變式訓(xùn)練求值：3eq\r(3)·eq\r(3，3）·eq\r（6,3）。解:3eq\r（3)·eq\r(3，3)·eq\r(6，3）＝3·3eq\f(1,2）·3eq\f（1,3）·3eq\f(1,6）＝31＋eq\f(1，2）＋eq\f（1,3）＋eq\f(1，6)＝32＝9.例2用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式的b。(1）b5＝32；(2)b4＝35;(3）b－5n＝π3m(m、n∈N＋）．活動:學(xué)生觀察、思考，根據(jù)解題的順序，先化為根式,把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算，根式化為分數(shù)指數(shù)冪時,要由里往外依次進行，把握好運算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟,教師評價學(xué)生的解題情況,鼓勵學(xué)生注意總結(jié)．解:（1)b＝eq\r（5，32)＝；(2)b＝±eq\r(4,35）＝±；（3)b＝eq\r(－5n,π3m）＝(m，n∈N＋)．點評：利用分數(shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)進行根式運算時，其順序是先化為根式,再把根式化為分數(shù)指數(shù)冪，再由冪的運算性質(zhì)來運算．對于計算的結(jié)果,不強求統(tǒng)一用什么形式來表示，沒有特別要求,就用分數(shù)指數(shù)冪的形式來表示,但結(jié)果不能既有分數(shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負指數(shù)。變式訓(xùn)練用分數(shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式中的x.（1）x6＝5；(2）x3＝42；（3)x－3＝π2。答案：(1）x＝±;（2）x＝；(3）x＝思路2例1計算下列各式：(1）(eq\r（3,25)－eq\r(125）)÷eq\r(4,25）；（2)eq\f(a2，\r(a）·\r（3,a2）)（a＞0)．活動：先由學(xué)生觀察以上兩個式子的特征，然后分析，化為同底．利用分數(shù)指數(shù)冪計算，在第（1）小題中，只含有根式，且不是同次根式,比較難計算，但把根式先化為分數(shù)指數(shù)冪再計算,這樣就簡便多了，第（2）小題也是先把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，最后寫出解答．解：（1）(2）eq\f（a2，\r(a)·\r（3，a2)）＝eq\f(a2,a\f（1，2）·a\f(2，3))＝a2－eq\f(1,2）－eq\f(2,3）＝aeq\f（5，6)＝eq\r（6，a5)。變式訓(xùn)練求下列各式的值：(1)；(2)2eq\r(3）×eq\r(3,1。5)×eq\r（6，12）.活動：學(xué)生觀察以上幾個式子的特征,既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式，應(yīng)把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算,如果根式中根指數(shù)不同，也應(yīng)化成分數(shù)指數(shù)冪，對(1）應(yīng)由里往外，,對（2）化為同底的分數(shù)指數(shù)冪．例2計算下列各式的值：(1)［(a－eq\f(3，2)b2）－1·(ab－3)eq\f（1，2)·(beq\f(1,2)）7]eq\f(1，3);(2）；（3）(eq\r(a)eq\r（3，b2))－3÷eq\r(b－4a－1）.活動:先由學(xué)生觀察以上三個式子的特征,然后交流解題的方法，把根式用分數(shù)指數(shù)冪寫出,利用指數(shù)的運算性質(zhì)去計算，教師引導(dǎo)學(xué)生，強化解題步驟，對（1)先進行積的乘方，再進行同底數(shù)冪的乘法，最后再乘方,或先都乘方，再進行同底數(shù)冪的乘法，對（2）把分數(shù)指數(shù)化為根式，然后通分化簡,對(3）把根式化為分數(shù)指數(shù)，進行積的乘方，再進行同底數(shù)冪的運算．變式訓(xùn)練比較eq\r（5），eq\r(3，11)，eq\r(6，123）的大小．活動：學(xué)生努力思考，積極交流，教師引導(dǎo)學(xué)生解題的思路,由于根指數(shù)不同，應(yīng)化成統(tǒng)一的根指數(shù),才能進行比較，又因為根指數(shù)最大的是6，所以我們應(yīng)化為六次根式，然后，只看被開方數(shù)的大小就可以了．解：因為eq\r（5)＝eq\r(6，53)＝eq\r（6，125)，eq\r（3，11)＝eq\r(6，121)，而125＞123＞121，所以eq\r（6,125)＞eq\r（6,123)＞eq\r（6，121)，所以eq\r(5）＞eq\r(6，123）＞eq\r(3，11).點評：把根指數(shù)統(tǒng)一是比較幾個根式大小的常用方法.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練）)1．（1）下列運算中，正確的是（)A．a(chǎn)2·a3＝a6B．(－a2）3＝(－a3）2C．(eq\r(a)－1)0＝0D．（－a2)3＝－a6(2)下列各式①eq\r(4，(－4）2n），②eq\r(4,－4)2n＋1),③eq\r(5,a4），④eq\r(4，a5)（各式的n∈N，a∈R）中，有意義的是(）A．①②B．①③C．①②③④D．①③④(3）（eq\r（3,\r(4，a6）））2·(eq\r（4,\r(3,a6)））2等于（）A．a(chǎn)B．a(chǎn)2C．a(chǎn)3D．a(chǎn)4（4)把根式eq\r（5,（a－b)－2)改寫成分數(shù)指數(shù)冪的形式為（）A．(a－b)－eq\f（2，5)B．（a－b）－eq\f（5,2)C．(a－eq\f（2,5)－b－eq\f(2，5)）D．（a－eq\f（5，2)－b－eq\f(5，2））(5)化簡(aeq\f（2，3）beq\f(1,2)）（－3aeq\f(1,2)beq\f（1,3)）÷(eq\f（1,3)aeq\f(1,6)beq\f（5,6））的結(jié)果是(）A．6aB．－aC．－9aD．9a2．計算：(1)0。027－eq\f(1，3)－（－eq\f（1,7))－2＋256eq\f（3,4)－3－1＋（eq\r(2)－1）0＝__________.（2)設(shè)5x＝4,5y＝2，則52x－y＝__________.3．已知x＋y＝12，xy＝9且x＜y，求的值．答案：1.（1）D（2）B(3)B(4）A（5）C2.（1)19（2)83。因為x＋y＝12，xy＝9，所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝144－36＝108＝4×27。又因為x＜y，所以x－y＝－2×3eq\r（3）＝－6eq\r(3)。所以原式＝eq\f（12－6，－6\r（3)）＝－eq\f(\r(3），3)。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升））化簡活動:學(xué)生觀察式子特點,考慮x的指數(shù)之間的關(guān)系可以得到解題思路，應(yīng)對原式進行因式分解，根據(jù)本題的特點,注意到：eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))活動：教師：本節(jié)課同學(xué)們有哪些收獲？請把你的學(xué)習(xí)收獲記錄在你的筆記本上,同學(xué)們之間相互交流．同時教師用投影儀顯示本堂課的知識要點：(1)分數(shù)指數(shù)冪的意義就是：正數(shù)的正分數(shù)指數(shù)冪的意義是＝eq\r(n,am）（a＞0，m、n∈N＋，n＞1)，正數(shù)的負分數(shù)指數(shù)冪的意義是(a＞0,m、n∈N＋，n＞1)，零的正分數(shù)次冪等于零，零的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義．(2）規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理指數(shù)．(3）有理指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的有理數(shù)r、s，均有下面的運算性質(zhì):①ar·as＝ar＋s(a＞0，r、s∈Q），②(ar)s＝ars（a＞0，r、s∈Q),③(a·b)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．（4)說明兩點:①分數(shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只表明這種規(guī)定的合理性，其中沒有推出關(guān)系．②整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對任意的有理指數(shù)冪也同樣適用．因而分數(shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用來計算．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè))）課本本節(jié)練習(xí)B2、3。eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計感想)）本節(jié)課是分數(shù)指數(shù)冪的意義的引出及應(yīng)用，分數(shù)指數(shù)是指數(shù)概念的又一次擴充，要讓學(xué)生反復(fù)理解分數(shù)指數(shù)冪的意義，教學(xué)中可以通過根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化來鞏固加深對這一概念的理解，用觀察、歸納和類比的方法完成，由于是硬性的規(guī)定，沒有合理的解釋,因此多安排一些練習(xí)，強化訓(xùn)練,鞏固知識，要輔助以信息技術(shù)的手段來完成大容量的課堂教學(xué)任務(wù)．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（備課資料）)［備選例題］例1已知，探究下列各式的值的求法．點評：對“條件求值"問題,一定要弄清已知與未知的聯(lián)系，然后采取“整體代換”或“求值后代換”兩種方法求值．例2已知a＞0，對于0≤r≤8，r∈N＋，式子（eq\r(a）)8－r·（eq\f(1，\r(4，a))）r能化為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪的情形有幾種？活動：學(xué)生審題,考慮與本節(jié)知識的聯(lián)系,教師引導(dǎo)解題思路，把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪后再由運算法則計算，即先把根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)冪，再進行冪的乘方，化為關(guān)于a的指數(shù)冪的情形,再討論,及時評價學(xué)生的作法．16－3r能被4整除才行，因此r＝0，4,8時上式為關(guān)于a的整數(shù)指數(shù)冪．點評:本題中確定整數(shù)的指數(shù)冪時，可由范圍的從小到大依次驗證，決定取舍．利用分數(shù)指數(shù)冪進行根式運算時，結(jié)果可以化為根式形式或保留分數(shù)指數(shù)冪的形式．(設(shè)計者:郝云靜）第2課時導(dǎo)入新課思路1。同學(xué)們,既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分數(shù)到負分數(shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒有無理指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴充過程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分數(shù)(有理數(shù))，有理數(shù)到實數(shù)．并且知道，在有理數(shù)到實數(shù)的擴充過程中，增添的數(shù)是無理數(shù)．對無理指數(shù)冪，也是這樣擴充而來．既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是:教師板書本堂課的課題——無理指數(shù)冪．思路2.同學(xué)們，在初中我們學(xué)習(xí)了函數(shù)的知識，對函數(shù)有了一個初步的了解,到了高中，我們又對函數(shù)的概念進行了進一步的學(xué)習(xí),有了更深的理解，我們僅僅學(xué)了幾種簡單的函數(shù)，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、三角函數(shù)等，這些遠遠不能滿足我們的需要，隨著科學(xué)的發(fā)展，社會的進步，我們還要學(xué)習(xí)許多函數(shù),其中就有指數(shù)函數(shù)，為了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的知識，我們必須學(xué)習(xí)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),為此，我們必須把指數(shù)冪從有理指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪，因此我們本節(jié)課學(xué)習(xí):無理指數(shù)冪．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（新知探究)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題)）①我們知道eq\r(2)＝1.41421356…，那么1。41,1。414，1。4142,1。41421，…是eq\r（2)的什么近似值？而1.42,1.415，1.4143,1。41422,…是eq\r（2）的什么近似值？②多媒體顯示以下圖表：同學(xué)們從下面的兩個表中，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？eq\r(2）的過剩近似值5eq\r(2)的近似值1.511.180339891。429。8296353281.4159.7508518081.41439.739872621。414229.7386186431。4142149.7385246021。41421369。7385183321.414213579.7385178621.4142135639。738517752……5eq\r(2)的近似值eq\r(2）的不足近似值9.5182696941.49.6726699731。419。7351710391.4149.7383051741。41429.7384619071.414219。7385089281。4142139。7385167651.41421359.7385177051.414213569。7385177361.414213562……③你能給上述思想起個名字嗎？④一個正數(shù)的無理數(shù)次冪到底是一個什么性質(zhì)的數(shù)呢？如5eq\r(2），根據(jù)你學(xué)過的知識，能作出判斷并合理地解釋嗎？⑤借助上面的結(jié)論你能說出一般性的結(jié)論嗎?活動：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶,教師提問,學(xué)生回答，積極交流，及時評價學(xué)生，學(xué)生有困惑時加以解釋，可用多媒體顯示輔助內(nèi)容：問題①:從近似值的分類來考慮,一方面從大于eq\r(2）的方向，另一方面從小于eq\r(2)的方向．問題②：對圖表的觀察一方面從上往下看，再一方面從左向右看,注意其關(guān)聯(lián)．問題③：上述方法實際上是無限接近，最后是逼近．問題④：對問題給予大膽猜測，從數(shù)軸的觀點加以解釋．問題⑤：在③④的基礎(chǔ)上,推廣到一般的情形，即由特殊到一般．討論結(jié)果:①1.41，1.414,1。4142，1。41421,…,這些數(shù)都小于eq\r(2），稱eq\r(2）的不足近似值,而1.42，1.415，1.4143,1。41422,…，這些數(shù)都大于eq\r（2)，稱eq\r(2)的過剩近似值．②第一個表：從大于eq\r（2)的方向逼近eq\r（2）時，5eq\r(2）就從51.5，51。42，51。415，51。4143,51。41422，…，即大于5eq\r(2）的方向逼近5eq\r(2)。第二個表：從小于eq\r(2）的方向逼近eq\r（2)時，5eq\r(2）就從51。4，51.41,51。414,51.4142，51。41421，…，即小于5eq\r（2）的方向逼近5eq\r(2）。從另一角度來看這個問題，在數(shù)軸上近似地表示這些點，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面5eq\r(2）從51.4，51.41,51。414，51。4142，51。41421，…,即小于5eq\r（2）的方向接近5eq\r(2），而另一方面5eq\r(2)從51.5，51。42，51.415,51。4143,51。41422,…，即大于5eq\r（2）的方向接近5eq\r（2）,可以說從兩個方向無限地接近5eq\r(2)，即逼近5eq\r（2)，所以5eq\r(2)是一串有理數(shù)指數(shù)冪51。4，51。41，51。414，51.4142,51.41421，…和另一串有理數(shù)指數(shù)冪51。5，51。42，51.415，51。4143，51.41422,…，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果,事實上表示這些數(shù)的點從兩個方向向表示5eq\r(2）的點靠近，但這個點一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是5eq\r(2）一定是一個實數(shù),即51。4＜51.41＜51。414＜51.4142＜51。41421＜…＜5eq\r(2)＜…＜51.41422＜51.4143＜51.415＜51.42＜51。5.充分表明5eq\r(2）是一個實數(shù)，再如（eq\f（1,2）)eq\r(3），3π等都是實數(shù)．③逼近思想，事實上里面含有極限的思想,這是以后要學(xué)的知識．④根據(jù)②③我們可以推斷5eq\r（2）是一個實數(shù),猜測一個正數(shù)的無理數(shù)次冪是一個實數(shù)．⑤無理指數(shù)冪的意義：一般地，無理指數(shù)冪aα(a＞0，α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)．也就是說無理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個實數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣,在數(shù)的擴充過程中，我們知道有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)．我們規(guī)定了無理指數(shù)冪的意義，知道它是一個確定的實數(shù)，結(jié)合前面的有理指數(shù)冪,那么,指數(shù)冪就從有理指數(shù)冪擴充到實數(shù)指數(shù)冪．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題）)eq\a\vs4\al（1為什么在規(guī)定無理指數(shù)冪的意義時，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？,2無理指數(shù)冪的運算法則是怎樣的?是否與有理指數(shù)冪的運算法則相通呢？,3你能給出實數(shù)指數(shù)冪的運算法則嗎？)活動：教師組織學(xué)生互助合作,交流探討，引導(dǎo)他們用反例說明問題，注意類比，歸納．對問題(1）回顧我們學(xué)習(xí)分數(shù)指數(shù)冪的意義時對底數(shù)的規(guī)定,舉例說明．對問題（2)結(jié)合有理指數(shù)冪的運算法則,既然無理指數(shù)冪aα（a＞0,α是無理數(shù)）是一個確定的實數(shù),那么無理指數(shù)冪的運算法則應(yīng)當(dāng)與有理指數(shù)冪的運算法則類似，并且相通．對問題（3)有了有理指數(shù)冪的運算法則和無理指數(shù)冪的運算法則，實數(shù)的運算法則自然就得到了．討論結(jié)果：（1）底數(shù)大于零的必要性,若a＝－1，那么aα是＋1還是－1就無法確定了,這樣就造成混亂，規(guī)定了底數(shù)是正數(shù)后，無理指數(shù)冪aα是一個確定的實數(shù)，就不會再造成混亂．（2)因為無理指數(shù)冪是一個確定的實數(shù)，所以能進行指數(shù)的運算,也能進行冪的運算，有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，同樣也適用于無理指數(shù)冪．類比有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)可以得到無理指數(shù)冪的運算法則：①ar·as＝ar＋s（a＞0,r，s都是無理數(shù)）．②（ar)s＝ars（a＞0，r，s都是無理數(shù)）．③（a·b）r＝arbr（a＞0，b＞0，r是無理數(shù)）．（3）指數(shù)冪擴充到實數(shù)后,指數(shù)冪的運算性質(zhì)也就推廣到了實數(shù)指數(shù)冪．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):對任意的實數(shù)r，s，均有下面的運算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s（a＞0，r，s∈R)．②（ar)s＝ars（a＞0，r,s∈R)．③(a·b）r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例)）思路1例1利用科學(xué)計算器計算(精確到0.001)：0．21。52；3。14－2；；5eq\r(2)。解：所以0.21。52≈0。087，3.14－2≈0。101,≈2.126,5eq\r(2）≈9.739.點評：不同的計算器，按鍵的功能和位置不一定相同.變式訓(xùn)練利用科學(xué)計算器計算函數(shù)值．已知f（x）＝2。72x，求f（－3)，f(－2）,f（－1）,f（1），f（2），f(3)(精確到0。001)．解:就可分別得到：0.135164359，0。367647059,2.72，7。3984,20。123648.所以f（－2)≈0.135，f（－1)≈0.368,f(1)≈2.72，f(2）≈7。398，f（3）≈20.124。2化簡下列各式：點評：注意運算性質(zhì)的應(yīng)用。變式訓(xùn)練化簡(式中字母均為正實數(shù))：（1）3xeq\r（2）(2x－eq\r（2）yz）；（2）(xeq\f(1,α）y）α(4y－α)．活動：學(xué)生觀察，思考,所謂化簡，即若能化為常數(shù)則化為常數(shù),若不能化為常數(shù)則應(yīng)使所化式子達到最簡，對既有分數(shù)指數(shù)冪又有根式的式子,應(yīng)該把根式統(tǒng)一化為分數(shù)指數(shù)冪的形式,便于運算,教師有針對性地提示引導(dǎo)，對(1）(2）由里向外，要緊扣分數(shù)指數(shù)冪的意義和運算性質(zhì)，并對學(xué)生作及時的評價，注意總結(jié)解題的方法和規(guī)律．解：(1）3xeq\r（2）（2x－eq\r（2)yz)＝(3×2)xeq\r(2)－eq\r(2）yz＝6yz；（2)(xeq\f（1,α）y)α（4y－α)＝4xeq\f(1,α)·α·yα·y－α＝4xyα－α＝4x。思路2例計算：活動：學(xué)生觀察、思考，根式化成分數(shù)指數(shù)，利用冪的運算性質(zhì)解題，另外要注意整體的意識，教師有針對性地提示引導(dǎo)，對(1）根式的運算常?；蓛绲倪\算進行，對（2)充分利用指數(shù)冪的運算法則來進行，對(3)則要根據(jù)單項式乘法和冪的運算法則進行,對（4)要利用平方差公式先因式分解,并對學(xué)生作及時的評價．點評：在指數(shù)運算中，一定要注意運算順序和靈活運用乘法公式.變式訓(xùn)練化簡下列各式：（2)(a3＋a－3）（a3－a－3)÷[(a4＋a－4＋1)（a－a－1）]．活動：學(xué)生觀察式子的特點，特別是指數(shù)的特點,教師引導(dǎo)學(xué)生考慮題目的思路，這兩題要注意分解因式,特別是立方和和立方差公式的應(yīng)用，對有困難的學(xué)生及時提示:對（1）考查x2與xeq\f（2，3）的關(guān)系可知x2＝（xeq\f(2,3）)3，立方關(guān)系就出來了，公式便可運用，對（2)先利用平方差，再利用冪的乘方轉(zhuǎn)化為立方差，再分解因式，組織學(xué)生討論交流．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練))解析：根據(jù)本題的特點，注意到它的整體性，特別是指數(shù)的規(guī)律性，我們可以進行適當(dāng)?shù)淖冃危驗椋?＋2－eq\f(1,32））（1－2－eq\f（1，32)）＝1－2－eq\f（1，16)，所以原式的分子、分母同乘（1－2－eq\f(1，32）），依次類推，所以eq\f（1－2－\f（1，2）1＋2－\f（1,2),1－2－\f(1,32）)＝eq\f(1－2－1,1－2－\f（1,32)）＝eq\f(1，2)(1－2－eq\f（1，32)）－1。答案：A3．計算eq\r(a＋2\r(a－1）)＋eq\r（a－2\r(a－1））（a≥1）．解：原式＝eq\r(\r(a－1）＋12)＋eq\r(\r（a－1)－12）＝eq\r(a－1）＋1＋｜eq\r（a－1)－1|(a≥1）．本題可以繼續(xù)向下做,去掉絕對值，作為思考留作課下練習(xí)．4．設(shè)a＞0,x＝eq\f（1，2)（）,則（x＋eq\r(1＋x2)）n的值為__________．答案：aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升））已知10α＝3,10β＝4，求10α＋β,10α－β，10－2α，.活動：學(xué)生思考，觀察題目的特點，從整體上看，應(yīng)利用運算性質(zhì)，然后再求值，要有預(yù)見性，教師引導(dǎo)學(xué)生考慮問題的思路，必要時給予提示．解：10α＋β＝10α×10β＝3×4＝12;10α－β＝eq\f(10α，10β）＝eq\f（3,4)；10－2α＝（10α）－2＝3－2＝eq\f（1,9）；＝（10β）eq\f（1,5）＝4eq\f(1,5)。點評：運用整體思想和運算法則是解決本題的關(guān)鍵，要深刻理解這種做法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))（1)無理指數(shù)冪的意義．一般地,無理指數(shù)冪aα(a＞0,α是無理數(shù))是一個確定的實數(shù)．(2)實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)：對任意的實數(shù)r,s，均有下面的運算性質(zhì)：①ar·as＝ar＋s（a＞0，r，s∈R）．②（ar)s＝ars（a＞0，r，s∈R）．③（a·b）r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R）．(3)逼近的思想,體會無限接近的含義．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè))）課本習(xí)題3－1A1。eq\o（\s\up7（）,\s\do5（設(shè)計感想））無理指數(shù)是指數(shù)概念的