數(shù)學(xué)教案：算法的基本思想

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二章算法初步算法是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，是計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)．隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，算法在科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中發(fā)揮著越來越大的作用，并融入社會生活的方方面面,算法思想已經(jīng)成為現(xiàn)代人應(yīng)具備的一種數(shù)學(xué)素養(yǎng)．需要特別指出的是，中國古代數(shù)學(xué)中蘊涵了豐富的算法思想．在這一章中,學(xué)生將在義務(wù)教育階段初步感受算法思想的基礎(chǔ)上,結(jié)合對具體數(shù)學(xué)實例的分析，體驗算法框圖在解決問題中的作用；通過模仿、操作、探索，學(xué)習(xí)設(shè)計算法框圖表達解決問題的過程；體會算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，發(fā)展有條理的思考與表達的能力，提高邏輯思維能力．算法作為新名詞，在以前的數(shù)學(xué)教科書中沒有出現(xiàn)過，但是算法本身，同學(xué)們并不陌生．解方程的算法、解不等式的算法、因式分解的算法，都是同學(xué)們熟知的內(nèi)容．只是算法的基本思想、特點，學(xué)習(xí)算法的必要性等問題沒有專門涉及．因此，本章中的算法的基本思想,將針對同學(xué)們熟悉的一些問題，分析解決這些具體問題的算理，整理出相應(yīng)問題的解決步驟，然后抽象概括出更具一般意義的算法．通過這個過程，讓學(xué)生體會算法的程序化思想．同時,針對同樣的問題，我們給出不同的算法，讓同學(xué)們意識到:同一個問題可能存在著多種算法，算法之間有優(yōu)劣之分．接下來,通過求方程近似解，讓同學(xué)們意識到學(xué)習(xí)算法的必要性——將問題的解決過程即算法交給計算機完成,能夠極大地提高效率．接下來，介紹算法的基本結(jié)構(gòu)．順序結(jié)構(gòu)和選擇結(jié)構(gòu)是學(xué)生比較容易接受的，循環(huán)結(jié)構(gòu)則比較難以理解．分析造成理解困難的原因之一是變量以及對變量的處理-—賦值．在循環(huán)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)中，總結(jié)了循環(huán)結(jié)構(gòu)的三個要素-—循環(huán)變量、循環(huán)體和循環(huán)的終止條件，并提供了可供學(xué)生模仿、操作的算法算法框圖．排序算法可以說是應(yīng)用最廣泛的算法了，而且又易于理解，便于接受，是算法教學(xué)的良好素材．教科書選擇這個問題作為專題來討論，給學(xué)生提供了一個完整的分析、設(shè)計算法的過程，也給了學(xué)生一個應(yīng)用前面所學(xué)的關(guān)于變量和結(jié)構(gòu)的知識的機會．在前面的學(xué)習(xí)中，我們分別用自然語言和算法框圖來描述算法,這兩種方式各有優(yōu)缺點．要將算法最終交給計算機執(zhí)行，需要用程序語言來表述算法，程序語言有很多種，但是有一些基本語句是這些語言都要用到的：輸入輸出語句、賦值語句、條件語句、循環(huán)語句，在本章的最后介紹了這幾種基本語句．值得注意的是：1．注重對算法基本思想的理解．算法是高中數(shù)學(xué)課程中的新內(nèi)容，其思想非常重要，但并不神秘．例如,運用消元法解二元一次方程組、求最大公因數(shù)等的過程本質(zhì)上就是算法．本模塊中的算法內(nèi)容是將數(shù)學(xué)中的算法與計算機技術(shù)建立聯(lián)系,形式化地表示算法,在條件允許的學(xué)校,使其能在計算機上實現(xiàn)．為了有條理地、清晰地表達算法，往往需要將解決問題的過程整理成算法框圖；為了能在計算機上實現(xiàn)，還需要將自然語言或算法框圖翻譯成計算機語言．本模塊的主要目的是使學(xué)生體會算法的思想，提高邏輯思維能力．不要將此部分內(nèi)容簡單處理成程序語言的學(xué)習(xí)和程序設(shè)計．2．算法教學(xué)必須通過實例進行．使學(xué)生在解決具體問題的過程中學(xué)習(xí)一些基本邏輯結(jié)構(gòu)和語句．有條件的學(xué)校,應(yīng)鼓勵學(xué)生上機嘗試運行程序．在實例的選擇中，我們要把握這樣一些原則：親和原則：選取的例子要貼近學(xué)生，或者來自學(xué)生的生活實踐，或者是學(xué)生所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識．趣味性原則：選取的實例一般要有豐富的背景，本身要有趣味性．基礎(chǔ)性原則：問題本身的算理并不難,只要蘊涵豐富的算法思想即可．可操作性原則：所選取問題的算法一般能在計算機上實現(xiàn)．3。算法教學(xué)要注意循序漸進,先具體再抽象,先了解算理，再描述算法．通常,我們說一個算法越是抽象，有一般意義，應(yīng)用就越廣泛，越能體現(xiàn)算法本身的應(yīng)用價值．但是，作為教學(xué)意義上的算法則不同，一定要從具體問題出發(fā)分析算法的算理及算法步驟，然后抽象概括出一般意義的算法，畫出算法算法框圖，并在這個過程中，學(xué)習(xí)使用變量、賦值，學(xué)習(xí)更好地表述算法，以便在計算機上操作執(zhí)行．算法的教學(xué)中，變量的理解、賦值的應(yīng)用、循環(huán)結(jié)構(gòu)的理解是重點和難點，教師要注意分散這些難點．學(xué)生對算法思想的認(rèn)識、概念的把握、知識的靈活應(yīng)用及能力的形成不是一次完成的,而是要把這些作為教學(xué)目標(biāo)滲透在整章的學(xué)習(xí)中．本章教學(xué)時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：§1算法的基本思想約1課時§2算法框圖的基本結(jié)構(gòu)及設(shè)計約4課時§3幾種基本語句約2課時§1算法的基本思想eq\o（\s\up7(),\s\do5（整體設(shè)計)）教學(xué)分析算法在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中是一個新的概念,但其沒有一個精確化的定義，教科書只對它作了如下描述：“算法是解決某一類問題的步驟和程序．”為了讓學(xué)生更好地理解這一概念，教科書用5個例子來說明算法的實質(zhì)．教學(xué)中，應(yīng)從學(xué)生非常熟悉的例子引出算法，再通過例題加以鞏固．三維目標(biāo)1．正確理解算法的概念,掌握算法的基本特點．2．通過例題教學(xué),使學(xué)生體會設(shè)計算法的基本思路．3．通過有趣的實例使學(xué)生了解算法這一概念的同時,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．重點難點教學(xué)重點：算法的含義及應(yīng)用．教學(xué)難點:寫出解決一類問題的算法．課時安排1課時eq\o(\s\up7（),\s\do5(教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課思路1.一個人帶著三只狼和三只羚羊過河,只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候，如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃掉羚羊．此人如何將動物完好地轉(zhuǎn)移過河?請同學(xué)們寫出解決問題的步驟，解決這一問題將要用到我們今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容——算法．思路2。大家都看過趙本山與宋丹丹演的小品吧，宋丹丹說了一個笑話,把大象裝進冰箱總共分幾步？答案：分三步，第一步:把冰箱門打開；第二步：把大象裝進去；第三步：把冰箱門關(guān)上．上述步驟構(gòu)成了把大象裝進冰箱的算法，今天我們開始學(xué)習(xí)算法的概念．思路3。算法不僅是數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的重要組成部分，也是計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)．在現(xiàn)代社會里，計算機已成為人們?nèi)粘Ｉ詈凸ぷ髦胁豢扇鄙俚墓ぞ撸缏犚魳?、看電影、玩游戲、打字、畫卡通畫、處理?shù)據(jù)都能通過計算機實現(xiàn),計算機是怎樣工作的呢？要想弄清楚這個問題,算法的學(xué)習(xí)是一個開始．推進新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題)）1．解二元一次方程組有幾種方法?2．結(jié)合實例eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x－2y＝－1，①，2x＋y＝1，②））總結(jié)用加減消元法解二元一次方程組的步驟．3．結(jié)合實例eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－2y＝－1，①，2x＋y＝1，②）)總結(jié)用代入消元法解二元一次方程組的步驟．4．請寫出解一般二元一次方程組的步驟．5．根據(jù)上述實例談?wù)勀銓λ惴ǖ睦斫猓?．請同學(xué)們總結(jié)算法的特征．7．請思考我們學(xué)習(xí)算法的意義．討論結(jié)果：1．代入消元法和加減消元法．2．回顧二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＝－1，①,2x＋y＝1②))的求解過程，我們可以歸納出以下步驟：第一步，①＋②×2，得5x＝1.③第二步，解③，得x＝eq\f(1,5）.第三步，②－①×2，得5y＝3.④第四步，解④，得y＝eq\f（3，5）.第五步，得到方程組的解為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1,5)，，y＝\f(3,5)。））3．用代入消元法解二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－2y＝－1，①，2x＋y＝1,②))我們可以歸納出以下步驟：第一步,由①得x＝2y－1。③第二步，把③代入②，得2（2y－1）＋y＝1.④第三步，解④得y＝eq\f（3，5).⑤第四步，把⑤代入③,得x＝2×eq\f(3，5)－1＝eq\f（1,5）.第五步，得到方程組的解為eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f(1，5)，，y＝\f（3，5).)）4．對于一般的二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a1x＋b1y＝c1，，a2x＋b2y＝c2,）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（①，②））其中a1b2－a2b1≠0，可以寫出類似的求解步驟：第一步，①×b2－②×b1，得（a1b2－a2b1）x＝b2c1－b1c2第二步，解③,得x＝eq\f（b2c1－b1c2,a1b2－a2b1)。第三步，②×a1－①×a2，得（a1b2－a2b1)y＝a1c2－a2c1第四步，解④，得y＝eq\f（a1c2－a2c1，a1b2－a2b1）。第五步,得到方程組的解為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（b2c1－b1c2，a1b2－a2b1)，，y＝\f（a1c2－a2c1，a1b2－a2b1）。））5．算法的定義：廣義的算法是指完成某項工作的方法和步驟，那么我們可以說洗衣機的使用說明書是操作洗衣機的算法，菜譜是做菜的算法，等等．在數(shù)學(xué)中，算法通常是指按照一定規(guī)則解決某一類問題的明確有限的步驟．現(xiàn)在，算法通?？梢跃幊捎嬎銠C程序，讓計算機執(zhí)行并解決問題．6．算法的特征：①確定性：算法的每一步都應(yīng)當(dāng)做到準(zhǔn)確無誤、“不重不漏"．“不重”是指不是可有可無的,甚至無用的步驟,“不漏”是指缺少哪一步都無法完成任務(wù)．②邏輯性：算法從開始的“第一步”直到“最后一步"之間做到環(huán)環(huán)相扣，分工明確，“前一步”是“后一步”的前提，“后一步”是“前一步”的繼續(xù)．③有窮性：算法要有明確的開始和結(jié)束,當(dāng)?shù)竭_終止步驟時所要解決的問題必須有明確的結(jié)果，也就是說必須在有限步內(nèi)完成任務(wù)，不能無限制地持續(xù)進行．7．在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟來解決問題，這些步驟稱為解決這些問題的算法．也就是說，算法實際上就是解決問題的一種程序性方法．算法一般是機械的,有時需進行大量重復(fù)的計算，它的優(yōu)點是一種通法,只要按部就班地去做,總能得到結(jié)果．因此算法是計算科學(xué)的重要基礎(chǔ)．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））思路11在給定素數(shù)表的條件下，設(shè)計算法，將936分解成素因數(shù)的乘積．（4000以內(nèi)的素數(shù)表見教科書附錄1）分析：1.查表判斷936是否為素數(shù):(1)如果936是素數(shù)，則分解結(jié)束；（2）如果936不是素數(shù)，則進行第2步．2．確定936的最小素因數(shù)：2。936＝2×468。3．查表判斷468是否為素數(shù):(1）如果468是素數(shù)，則分解結(jié)束；(2）如果468不是素數(shù)，則重復(fù)上述步驟，確定468的最小素因數(shù)．重復(fù)進行上述步驟,直到找出936的所有素因數(shù)．解:算法步驟如下：1．判斷936是否為素數(shù):否．2．確定936的最小素因數(shù)：2。936＝2×468。3．判斷468是否為素數(shù):否．4．確定468的最小素因數(shù):2。936＝2×2×234.5．判斷234是否為素數(shù)：否．6．確定234的最小素因數(shù)：2936＝2×2×2×117.7．判斷117是否為素數(shù)：否．8．確定117的最小素因數(shù)：3。936＝2×2×2×3×39.9．判斷39是否為素數(shù)：否．10．確定39的最小素因數(shù):3。936＝2×2×2×3×3×13。11．判斷13是否為素數(shù):13是素數(shù)，所以分解結(jié)束．分解結(jié)果是936＝2×2×2×3×3×13。點評：以上步驟是解決素因數(shù)分解問題的一個過程，只要依照這一系列步驟，都能解決這個問題．我們把這一系列步驟稱為解決這個問題的一個算法。變式訓(xùn)練設(shè)計一個算法，求840與1764的最大公因數(shù)．分析：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了對自然數(shù)進行素因數(shù)分解的方法，下面的算法就是在此基礎(chǔ)上設(shè)計的．解答這個問題需要按以下思路進行．首先，對兩個數(shù)分別進行素因數(shù)分解:840＝23×3×5×7，1764＝22×32×72.其次，確定兩數(shù)的公共素因數(shù)：2，3,7。接著，確定公共素因數(shù)的指數(shù)：對于公共素因數(shù)2，22是1764的因數(shù)，23是840的因數(shù)，因此22是這兩個數(shù)的公因數(shù),這樣就確定了公共素因數(shù)2的指數(shù)為2.同樣，可以確定出公因數(shù)3和7的指數(shù)均為1.這樣，就確定了840與1764的最大公因數(shù)為22×31×71＝84。解:算法步驟如下：1．先將840進行素因數(shù)分解：840＝23×3×5×7；2．然后將1764進行素因數(shù)分解:1764＝22×32×72;3．確定它們的公共素因數(shù):2，3，7；4．確定公共素因數(shù)的指數(shù)：公共素因數(shù)2,3，7的指數(shù)分別為2，1,1；5．最大公因數(shù)為22×31×71＝84。例2一位商人有9枚銀元，其中有1枚略輕的是假銀元．你能用天平(不用砝碼)將假銀元找出來嗎？分析：最容易想到的解決這個問題的一種方法是：把9枚銀元按順序排成一列，先稱前2枚，若不平衡，則可找出假銀元；若平衡，則2枚銀元都是真的，再依次與剩下的銀元比較，就能找出假銀元．圖1解：按照下列步驟，就能將假銀元找出來：1．任取2枚銀元分別放在天平的兩邊．如果天平左右不平衡，則輕的一邊就是假銀元；如果天平平衡，則進行第2步．2．取下右邊的銀元，放在一邊,然后把剩余的7枚銀元依次放在右邊進行稱量,直到天平不平衡，偏輕的那一枚就是假銀元．這種算法最少要稱1次，最多要稱7次．是不是還有更好的辦法，使得稱量次數(shù)少一些？我們可以采用下面的方法:圖21．把銀元分成3組，每組3枚．2．先將兩組分別放在天平的兩邊．如果天平不平衡，那么假銀元就在輕的那一組;如果天平左右平衡，則假銀元就在未稱的第3組里．3．取出含假銀元的那一組，從中任取兩枚銀元放在天平的兩邊．如果左右不平衡，則輕的那一邊就是假銀元；如果天平兩邊平衡,則未稱的那一枚就是假銀元．點評：經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，后一種算法只需稱量2次，這種做法要明顯好于前一種做法．當(dāng)然，這兩種方法都具有一般性，同樣適用于n枚銀元的情形．這是信息論中的一個模型，可以幫助我們找出某些特殊信息．從上面的問題中可以看出，同一個問題可能存在著多種算法，其中一些可能要比另一些好．在實際問題和算法理論中,找出好的算法是一項重要的工作．思路2例1(1）設(shè)計一個算法,判斷7是否為質(zhì)數(shù)；（2)設(shè)計一個算法,判斷35是否為質(zhì)數(shù)．分析：（1)根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，可以這樣判斷：依次用2～6除7，如果它們中有一個能整除7，則7不是質(zhì)數(shù)，否則7是質(zhì)數(shù)．解：(1）①用2除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0,所以2不能整除7.②用3除7，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以3不能整除7。③用4除7，得到余數(shù)3。因為余數(shù)不為0，所以4不能整除7.④用5除7,得到余數(shù)2.因為余數(shù)不為0，所以5不能整除7.⑤用6除7，得到余數(shù)1。因為余數(shù)不為0，所以6不能整除7.因此,7是質(zhì)數(shù)．（2)類似地，可寫出“判斷35是否為質(zhì)數(shù)”的算法：①用2除35，得到余數(shù)1.因為余數(shù)不為0，所以2不能整除35。②用3除35，得到余數(shù)2。因為余數(shù)不為0，所以3不能整除35。③用4除35，得到余數(shù)3.因為余數(shù)不為0，所以4不能整除35。④用5除35，得到余數(shù)0.因為余數(shù)為0，所以5能整除35.因此，35不是質(zhì)數(shù)．點評:上述算法有很大的局限性，用上述算法判斷35是否為質(zhì)數(shù)還可以,如果判斷1997是否為質(zhì)數(shù)就比較麻煩了，因此，我們需要尋找更實用的算法步驟.變式訓(xùn)練請寫出判斷n(n＞2）是否為質(zhì)數(shù)的算法．分析：對于任意的整數(shù)n（n＞2），若用i表示2~（n－1)中的任意整數(shù),則“判斷n是否為質(zhì)數(shù)”的算法包含下面的重復(fù)操作：用i除n,得到余數(shù)r.判斷余數(shù)r是否為0，若是，則不是質(zhì)數(shù)；否則，將i的值增加1，再執(zhí)行同樣的操作．這個操作一直要進行到i的值等于（n－1)為止．解：1。給定大于2的整數(shù)n。2．令i＝2。3．用i除n，得到余數(shù)r.4．判斷“r＝0”是否成立．若是，則n不是質(zhì)數(shù),結(jié)束算法；否則，將i的值增加1,仍用i表示．5．判斷“i＞(n－1）"是否成立．若是,則n是質(zhì)數(shù)，結(jié)束算法;否則，返回第3步.例2寫出用“二分法”求方程x2－2＝0(x＞0）的近似解的算法．分析：令f（x)＝x2－2，則方程x2－2＝0(x＞0）的解就是函數(shù)f(x)的零點．“二分法”的基本思想是:把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間[a，b］〔滿足f(a）·f(b）＜0〕“一分為二”，得到［a，m]和[m，b］．根據(jù)“f(a)·f(m）＜0”是否成立，取出零點所在的區(qū)間［a，m］或［m，b]，仍記為［a，b]．對所得的區(qū)間[a，b］重復(fù)上述步驟，直到包含零點的區(qū)間［a，b]“足夠小”，則［a，b]內(nèi)的數(shù)可以作為方程的近似解．解：1。令f(x)＝x2－2，給定精度d.2．確定區(qū)間［a,b]，滿足f(a)·f（b)＜0.3．取區(qū)間中點m＝eq\f（a＋b,2）.4．若f(a）·f（m)＜0，則含零點的區(qū)間為［a，m]；否則，含零點的區(qū)間為[m，b］．將新得到的含零點的區(qū)間仍記為[a,b］．5．判斷［a,b]的長度是否小于d或f(m)是否等于0.若是，則m是方程的近似解;否則,返回第三步．當(dāng)d＝0。005時,按照以上算法，可以得到下表:ab｜a－b|12111。50.51.251。50.251.3751.50.1251.3751.43750.06251。406251。43750.031251。406251。4218750。0156251.41406251。4218750.00781251.41406251。417968750.00390625于是，開區(qū)間(1.4140625,1。41796875)中的實數(shù)都是當(dāng)精度為0。005時的原方程的近似解．實際上,上述步驟也是求eq\r(2)的近似解的一個算法．點評：算法一般是機械的，有時需要進行大量的重復(fù)計算，只要按部就班地去做，總能算出結(jié)果，通常把算法過程稱為“數(shù)學(xué)機械化”．?dāng)?shù)學(xué)機械化的最大優(yōu)點是它可以借助計算機來完成，實際上處理任何問題都需要算法．如：中國象棋有中國象棋的棋譜、走法、勝負的評判準(zhǔn)則;而國際象棋有國際象棋的棋譜、走法、勝負的評判準(zhǔn)則；再比如申請出國有一系列的先后手續(xù),購買物品也有相關(guān)的手續(xù)……變式訓(xùn)練求方程f(x)＝x3＋x2－1＝0在區(qū)間［0,1]上的近似解，精度為0。01。解：根據(jù)上述分析，可以通過下列步驟求得方程的近似解:1．因為f(0)＝－1,f(1)＝1，f(0)·f（1)＜0，則區(qū)間［0，1］為有解區(qū)間，精度1－0＝1＞0。01；2．取[0，1］的區(qū)間中點0.5；3．計算f（0.5)＝－0。625;4．由于f（0。5)·f(1)＜0，可得新的有解區(qū)間［0.5，1］，精度1－0。5＝0.5＞0.01；5．取[0.5，1]的區(qū)間中點0。75；6．計算f（0。75)＝－0。015625；7．由于f(0。75)·f（1）＜0，可得新的有解區(qū)間[0。75，1],精度1－0。75＝0.25＞0。01；……當(dāng)?shù)玫叫碌挠薪鈪^(qū)間［0。75，0。75782]時，由于｜0。75782－0.75|＝0.00782＜0.01，該區(qū)間精度已滿足要求,所以取區(qū)間[0。75，0.75782］的中點0。75391，它是方程的一個近似解。例3一個人帶著三只狼和三只羚羊過河，只有一條船，同船可容納一個人和兩只動物，沒有人在的時候,如果狼的數(shù)量不少于羚羊的數(shù)量狼就會吃掉羚羊．此人如何將動物轉(zhuǎn)移過河?請設(shè)計算法．分析：任何動物同船不用考慮動物的爭斗但需考慮承載的數(shù)量,還應(yīng)考慮到兩岸的動物都得保證狼的數(shù)量要小于羚羊的數(shù)量，故在算法的構(gòu)造過程中應(yīng)盡可能保證船里面有狼,這樣才能使得兩岸的羚羊數(shù)量占到優(yōu)勢．解：具體算法如下：算法步驟：1．人帶兩只狼過河,并自己返回．2．人帶一只狼過河，自己返回．3．人帶兩只羚羊過河，并帶兩只狼返回．4．人帶一只羚羊過河，自己返回．5．人帶兩只狼過河．點評：算法是解決某一類問題的精確描述，有些問題使用形式化、程序化的刻畫是最恰當(dāng)?shù)模@就要求我們在寫算法時應(yīng)精練、簡潔、清晰地表達，要善于分析任何可能出現(xiàn)的情況，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性和完整性．本題型解決問題的算法中某些步驟重復(fù)進行多次才能解決,在現(xiàn)實生活中，很多較復(fù)雜的問題經(jīng)常遇到這樣的問題，設(shè)計算法的時候，如果能夠合適地利用某些步驟的重復(fù),不但可以使問題變得簡單，而且可以提高工作效率.變式訓(xùn)練喝一杯茶需要這樣幾個步驟：洗刷水壺、燒水、洗刷茶具、沏茶．如何安排這幾個步驟？請給出兩種算法，并加以比較．分析：本題主要為加深對算法概念的理解,可結(jié)合生活常識對問題進行分析，然后解決問題．解：算法一：1．洗刷水壺．2．燒水．3．洗刷茶具．4．沏茶．算法二：1．洗刷水壺．2．燒水，燒水的過程當(dāng)中洗刷茶具．3．沏茶．上面的兩種算法都符合題意，但是算法二運用了統(tǒng)籌方法的原理，因此這個算法要比算法一更科學(xué)．點評：解決一個問題可有多個算法，可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量少的算法。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練)）設(shè)計算法判斷一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有實數(shù)根．解：算法步驟如下：1．輸入一元二次方程的系數(shù)：a,b,c.2．計算Δ＝b2－4ac3．判斷Δ≥0是否成立．若Δ≥0成立,輸出“方程有實根”；否則輸出“方程無實根",結(jié)束算法．點評：用算法解決問題的特點是：具有很好的程序性，是一種通法，并且具有確定性、邏輯性、有窮性．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升))中國網(wǎng)通規(guī)定：撥打市內(nèi)電話時，如果不超過3分鐘,則收取