高考數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率解答題專項(xiàng)訓(xùn)練含答案

專題4.3統(tǒng)計(jì)與概率

真題回顧

1.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100

天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：^g/m3）,得下表：

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?

濃度有關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2020年海南省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考全國口卷）

【答案】（1）0.64；（2）答案見解析；（3）有.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;

1

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表；

（3）計(jì)算出K?，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度

不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度不超過150的概率為

小64；

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為

so2

[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

n(ad-bcY100x(64x10—16x10)2^22x7.4844>6.635,

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中？M2.5濃度與S。？濃度有關(guān).

2.某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二.為了

解該校學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持，對(duì)學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對(duì)活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立.

（1）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;

2

（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人

支持方案一的概率；

（3）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為p0，假設(shè)該校一年級(jí)有500名男生和300名女

生，除一年級(jí)外其他年級(jí)學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為△,試比較Po與Pi的大小.（結(jié)

論不要求證明）

【試題來源】2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷

【答案】（1）該校男生支持方案一的概率為彳，該校女生支持方案一的概率為三；

34

13

（2）——，（3）Pi<Po

36

【解析】（1）該校男生支持方案一的概率為c20°=』,

200+4003

3003

該校女生支持方案一的概率為八：=-；

300+1004

（2）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一

個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，

12311313

所以3人中恰有2人支持方案一概率為（-）（1--）+CK-）（l--）4=-1；

3433436

⑶Pi<Po

3.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100

天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：ng/m3）,得下表：

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,3習(xí)32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

3

[0,150](150,475]

[0,7習(xí)

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SC>2

濃度有關(guān)？

附：爛=——幽出——,

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2020年新高考全國卷口（海南卷）

【答案】（1）0.64；（2）答案見解析；（3）有.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可

得2x2列聯(lián)表；（3）計(jì)算出R2,結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的？M2.5濃度不超過75,且SO2濃度

不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度不超過150的概率為

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為

so2

[0,150](150,475]合計(jì)

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計(jì)7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

2n（ad—bc￥100x（64xl0-16xl0）23600?

K=--------------------------------------=-----------------------------------=--------x7.4844>6.635,

（〃+/?）（c+d）（〃+c）（b+d）80x20x74x26481

因?yàn)楦鶕?jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

【名師點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢

驗(yàn)，屬于中檔題.

4.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人

次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3

或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表,

判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次S400人次>400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

5

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸儂2*）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、

0.09；（2）350；（3）有，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計(jì)算出該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)分別為1、2、3、4的概

率；（2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果；

（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表，計(jì)算出R2的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1的概率為----------=0.43,

100

等級(jí)為2的概率為5+10+12=0.27,等級(jí)為3的概率為6+7+8=0.21,等級(jí)為4的概

100100

7+2+0

率為=0.09；

100

（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為

100x20+300x35+500x45

---------------------------二350

100

（3）2x2列聯(lián)表如下:

人次＜400人次＞400

空氣質(zhì)量不好3337

空氣質(zhì)量好228

/_100X(33X8-37x22『

?5.820>3.841-

'—55x45x70x30

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻率和平均數(shù)，同時(shí)也考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用,

6

考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽

簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一

場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，

另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概

率都為二，

2

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

【試題來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

137

【答案】（1）—;（2）—；（3）—.

16416

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計(jì)算出四

局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對(duì)立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出

甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計(jì)算出甲贏的概率，由對(duì)稱性可知乙贏的概

率和甲贏的概率相等，再利用對(duì)立事件的概率可求得丙贏的概率.

【解析】⑴記事件M：甲連勝四場，則

（2）記事件A為甲輸，事件3為乙輸，事件C為丙輸，

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

P'=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+P（BABA）=4x（^=-,

3

所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為尸=1-P'=—；

4

（3）記事件A為甲輸，事件3為乙輸，事件。為丙輸，

記事件"：甲贏，記事件N：丙贏，

則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC.ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,

所以，甲贏的概率為尸（M）

7

由對(duì)稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等,

97

所以丙贏的概率為P（N）=1-2x—=

3216

【名師點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計(jì)算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件,

考查計(jì)算能力，屬于中等題.

6.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)

某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方

法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)8,2,…，20）,其中x,和■分別表示第

20

，個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得Z%=60,

1=1

20202020

EX-1200,Z5—葉=80，Z（y—y）2=900°，工（王一君（%一歹）=80°?

z=lz=li=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生

動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（X”2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該

地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請(qǐng)給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)尸jJ“，414.

一（%-元產(chǎn)之（%-歹了

VZ=1i=l

【試題來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）詳見解析

【分析】（1）利用野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即

20__

Z（%—x）（y—y）

可；（2）利用公式廠=120T_a。_計(jì)算即可;

\區(qū)（飛-一y）2

Vi=li=l

（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.

I20]

【解析】（1）樣區(qū)野生動(dòng)物平均數(shù)為正￡%=萬*1200=60,

i=l

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動(dòng)物的估計(jì)值為200x60=12000

（2）樣本（七,％）（戶1,2,20）的相關(guān)系數(shù)為

20

￡（%一?。ǎヒ?）

8002V2八c”

i=l

1=----X0.94

[2020780x90003

-君這（y一歹）2

i=\i=l

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性,

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動(dòng)物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性,

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì).

【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計(jì)值、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

7.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方

式之一.為了解某校學(xué)生上個(gè)月A,B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽

取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使

用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（0,1000]（1000,2000]大于2000

父付金額（兀）

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率；

（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個(gè)月支付

金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)

抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用

A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

【試題來源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理）

9

2

【答案】（1）j；（2）見解析；（口）見解析.

【分析】（1）由題意利用古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值；

（2）首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.

（口）由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.

【解析】（1）由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為100—30—25—5=40人，貝人

該學(xué)生上個(gè)月A,B兩種支付方式都使用的概率P=奇40=g2.

（2）由題意可知，

32

僅使用/支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占《，金額大于1000的人數(shù)占二,

23

僅使用3支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占金額大于1000的人數(shù)占《，

且X可能的取值為0,1,2.

=o)=|x|=A

X的分布列為

X012

6136

p(x)252525

久1Q久

其數(shù)學(xué)期望：E(X)=0x—+lx—+2x—=1.

'/252525

（口）我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下:

隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，頻率

越來越穩(wěn)定于概率.

學(xué)校是一個(gè)相對(duì)消費(fèi)穩(wěn)定的地方,每個(gè)學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個(gè)月的消費(fèi)應(yīng)該相對(duì)固定,

出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.

【名師點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計(jì)在生活中的應(yīng)用，考查概

率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).

8.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗(yàn):將200只小鼠隨機(jī)分成A,B

兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，3組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠

給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體

內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

A笆頻率

組距豌

0.30-------------10...........................................

0

O..2U50.20

O.00.15

O.5b

O.

.0O0.05

。2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到尸（C）的估計(jì)值為

0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中。力的值；

（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表）.

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）a=0.35,Z?=0.10；（2）4.05,6.

【分析】（1）由尸（0=0.70及頻率和為1可解得。和6的值；（2）根據(jù)公式求平均數(shù).

【解析】（1）由題得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由

0.05+b+0.15=l—P（C）=l—0.70,解得^=0.10.

（2）由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【名師點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

9.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為工.假定甲、乙兩位同學(xué)

3

到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30

11

之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

【試題來源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理）

【答案】（1）見解析；（2）產(chǎn)20

243

【分析】（1）由題意可知分布列為二項(xiàng)分布，結(jié)合二項(xiàng)分布的公式求得概率可得分布列，然

后利用二項(xiàng)分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；

（2）由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算可得滿足題意的概率值.

【解析】（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概

2

率均為一，

3

故X~B[3,3],從面尸（X=笈）=C；[gj[k=0,1,2,3）.

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

1248

P

279927

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=3x-=2.

3

（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y,則￥~313,1

且〃={乂=31=1}11{乂=21=0}.

由題意知事件｛乂=3,￥=1｝與｛乂=2,丫=0｝互斥，

且事件｛X=3｝與｛V=1｝,事件｛X=2｝與｛y=o｝均相互獨(dú)立，

從而由（1）知

p（"）=p（｛x=3,y=i｝u｛x=2,y=o｝）

=p（x=3,r=i）+p（x=2,y=o）

=p（x=3）p（y=i）+p（x=2）p（y=o）

824120

—__x__|__x___—____

279927243.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件

12

的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力.

10.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

附：心一米3——

(?+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

P（曉沙）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)口）

43

【答案】（1）—：

（2）能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【分析】（1）從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù),

分別算出相應(yīng)的頻率，即估計(jì)得出的概率值；（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到

能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【解析】（1）由題中表格可知，50名男顧客對(duì)商場服務(wù)滿意的有40人,

404

所以男顧客對(duì)商場服務(wù)滿意率估計(jì)為/^=—=

50名女顧客對(duì)商場滿意的有30人，

303

所以女顧客對(duì)商場服務(wù)滿意率估計(jì)為鳥=—=-，

100(40x20-30x10)2

（2）由列聯(lián)表可知K2=——。4.762〉3.841,

70x30x50x5021

所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異.

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí),涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用頻率來估計(jì)概率,

13

利用列聯(lián)表計(jì)算K?的值，獨(dú)立性檢驗(yàn)，屬于簡單題目.

11.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先

多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分

的概率為0.5,乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10：10平

后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束.

(1)求尸(右2)；

(2)求事件“存4且甲獲勝”的概率.

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理)(新課標(biāo)口)

【答案】(1)0.5;(2)0.1

【分析】(1)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連

贏兩球”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出P(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩

球均為甲得分”，然后計(jì)算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.

【解析】(1)由題意可知，P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”

所以P(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5

(2)由題意可知，P(X=4)包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”

所以P(X=4)=0.5倉0.5倉D4+O.50.4倉050.4=0.1

【名師點(diǎn)睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出P(X=2)以及尸(X=4)

所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，

是中檔題.

12.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動(dòng)物

試驗(yàn).試驗(yàn)方案如下：每一輪選取兩只白鼠對(duì)藥效進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn).對(duì)于兩只白鼠，隨機(jī)選一

只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗(yàn).當(dāng)其中一種藥

治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時(shí)，就停止試驗(yàn)，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為

了方便描述問題，約定：對(duì)于每輪試驗(yàn)，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則

甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，

甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得。分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a

'4

和人一輪試驗(yàn)中甲藥的得分記為X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗(yàn)開始時(shí)都賦予4分，P,。=0,1,…,8）表示“甲藥的累計(jì)得分為i時(shí)，

最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=。，P8=1，Pi=api+bpi+cpi+i

（7=1,2,…,7）,其中。=尸（乂=—1）,人=尸（乂=0）,。=/*=1）.假設(shè)。=0.5,，=0.8.

①證明：｛PM-pja=0,1,2,…,7）為等比數(shù)列；

②求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗(yàn)方案的合理性.

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②p&=257,

【分析】（1）首先確定X所有可能的取值，再來計(jì)算出每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，從而可得分

布列；（2）①求解出a,b,c的取值，可得△=0.4."1+0.5月+0.12+1（，=1,2,…,7）,從

而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；②列出證得的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，采用累

加的方式，結(jié)合和Po的值可求得Pi；再次利用累加法可求出P4.

【解析】（1）由題意可知X所有可能的取值為-1，0,1

.-.p（X=-l）=（l-a）/?；P（X=0）=羽+（1—0（1—4）；P（X=l）=a（l-jS）

則X的分布列如下：

X-101

p(1-a)4姐+(1—0(1—2)a(l-4)

(2)a=0.5>>=0.8

a=0.5x0.8=04,Z?=0.5x0.8+0.5x02=0.5,c=0.5x0.2=0.1

①pi=apj+bpi+(i=1,2,…,7)

即Pj=0.4PT+0.50.1pM(i=1,2,…,7),

整理可得5pi=dp-+加(i=1,2,…,7)pM-Pj=4(p—RT)(i=1,2,…,7)

{Pm—pj(i=0,1,2,…,7)是以p「Po為首項(xiàng),4為公比的等比數(shù)列

15

②由①知Pi+i-Pi=(P「Po》《=p}-4,，

6

??.P「P7="，Py-p6=p]-4,……,Pi—Po=Pi-4°,

作和可得。8一20=歷,(4°+41+~+47)=77月=工一月=1,

1-4j

3

??月=取ZJ'

入。.142亦1-4444-l311

???PLP「P°=P/(4+4+4+4)=137PL丁'「"TTP而?

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計(jì)算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為05乙藥治愈率為

0.8時(shí)，認(rèn)為甲藥更有效的概率為04=言土0—0039,此時(shí)得出錯(cuò)誤結(jié)論的概率非常小，

說明這種實(shí)驗(yàn)方案合理.

【名師點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加

法求解數(shù)列通項(xiàng)公式和數(shù)列中的項(xiàng)的問題.本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通

項(xiàng)求解、概率求解的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生分析和解決問題能力要求較高.

13.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評(píng)率0.40.20.150.250.20.1

好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立.

(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等，用“￡=1”表示

第左類電影得到人們喜歡，“5=0”表示第后類電影沒有得到人們喜歡(心1,2,3,4,5,

6).寫出方差。。5，。&,。當(dāng)，吟。短的大小關(guān)系.

【試題來源】2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試(理)(北京卷)

【答案】(1)概率為0.025；(2)概率估計(jì)為0.35；(3)>D^6

【分析】(1)先根據(jù)頻數(shù)計(jì)算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評(píng)率得所求概率,

(2)恰有1部獲得好評(píng)為第四類電影獲得好評(píng)第五類電影沒獲得好評(píng)和第四類電影沒獲得

好評(píng)第五類電影獲得好評(píng)這兩個(gè)互斥事件，先利用獨(dú)立事件概率乘法公式分別求兩個(gè)互斥事

件的概率，再相加得結(jié)果，(3)短服從0-1分布，因此。)，即得。。

【解析】解：(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,

第四類電影中獲得好評(píng)的電影部數(shù)是200x0.25=50.

故所求概率為2-=0.025.

2000

(2)設(shè)事件/為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”，

事件3為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評(píng)”.

故所求概率為尸(AB+AB)=P(A豆)+尸(無8)

=PU)(1-P(8))+(1-P(A))P(5).

由題意知尸(A)估計(jì)為0.25,P(5)估計(jì)為0.2.

故所求概率估計(jì)為0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(3)D介DGDQDQD鋁D短.

【名師點(diǎn)睛】互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B尸P(A)+P(B),獨(dú)立事件概

率乘法公式：若A,B相互獨(dú)立，則P(AB尸P(A)P(B).

14.某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)

方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第

一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作

時(shí)間(單位：min)繪制了如下莖葉圖:

第種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

-8655689

976270122345

9877654332SI445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)〃z,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過加和

不超過加的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

17

超過加不超過加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（理）（新課標(biāo)III卷）

【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由見解析；（2）80；（3）能.

【分析】（1）計(jì)算兩種生產(chǎn)方式的平均時(shí)間即可.

（2）計(jì)算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表.

（3）由公式計(jì)算出左2,再與6.635比較可得結(jié)果.

【解析】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：

（1）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少

80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因

此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

（2）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，

用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方

式的效率更高.

（3）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第

二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率

更高.

（iv）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，

關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的

最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)

18

間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生

產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

（2）由莖葉圖知加