高考數(shù)學(xué)統(tǒng)計與概率解答題專項訓(xùn)練含答案

專題4.3統(tǒng)計與概率

真題回顧

1.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100

天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：^g/m3）,得下表：

so2

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

so2

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?

濃度有關(guān)？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2020年海南省高考數(shù)學(xué)試卷（新高考全國口卷）

【答案】（1）0.64；（2）答案見解析；（3）有.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果;

1

（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可得2x2列聯(lián)表；

（3）計算出K?，結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度

不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度不超過150的概率為

小64；

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為

so2

[0,150](150,475]合計

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

n(ad-bcY100x(64x10—16x10)2^22x7.4844>6.635,

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)80x20x74x26481

因為根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中？M2.5濃度與S。？濃度有關(guān).

2.某校為舉辦甲、乙兩項不同活動，分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案：方案一、方案二.為了

解該校學(xué)生對活動方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨(dú)立.

（1）分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;

2

（2）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計這3人中恰有2人

支持方案一的概率；

（3）將該校學(xué)生支持方案的概率估計值記為p0，假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女

生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為△,試比較Po與Pi的大小.（結(jié)

論不要求證明）

【試題來源】2020年北京市高考數(shù)學(xué)試卷

【答案】（1）該校男生支持方案一的概率為彳，該校女生支持方案一的概率為三；

34

13

（2）——，（3）Pi<Po

36

【解析】（1）該校男生支持方案一的概率為c20°=』,

200+4003

3003

該校女生支持方案一的概率為八：=-；

300+1004

（2）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個男生支持方案一，（2）僅有一

個男生支持方案一，一個女生支持方案一，

12311313

所以3人中恰有2人支持方案一概率為（-）（1--）+CK-）（l--）4=-1；

3433436

⑶Pi<Po

3.為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù),治理空氣污染,環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100

天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：ng/m3）,得下表：

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,3習(xí)32184

(35,75]6812

(75,115]3710

（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?濃度不超過150”的概率;

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表：

3

[0,150](150,475]

[0,7習(xí)

(75,115]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SC>2

濃度有關(guān)？

附：爛=——幽出——,

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2020年新高考全國卷口（海南卷）

【答案】（1）0.64；（2）答案見解析；（3）有.

【分析】（1）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)以及古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可

得2x2列聯(lián)表；（3）計算出R2,結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】（1）由表格可知，該市100天中，空氣中的？M2.5濃度不超過75,且SO2濃度

不超過150的天數(shù)有32+6+18+8=64天，

所以該市一天中，空氣中的PM2.5濃度不超過75,且S。？濃度不超過150的概率為

（2）由所給數(shù)據(jù)，可得2x2列聯(lián)表為

so2

[0,150](150,475]合計

PM2.5

[0,75]641680

(75,115]101020

合計7426100

（3）根據(jù)2x2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得

2n（ad—bc￥100x（64xl0-16xl0）23600?

K=--------------------------------------=-----------------------------------=--------x7.4844>6.635,

（〃+/?）（c+d）（〃+c）（b+d）80x20x74x26481

因為根據(jù)臨界值表可知，有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān).

【名師點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率公式，考查了完善2x2列聯(lián)表，考查了獨(dú)立性檢

驗，屬于中檔題.

4.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人

次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級

1（優(yōu)）21625

2（良）51012

3（輕度污染）678

4（中度污染）720

（1）分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2,3,4的概率；

（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）；

（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3

或4,則稱這天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表,

判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？

人次S400人次>400

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

5

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

尸儂2*）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概率分別為0.43、0.27、0.21、

0.09；（2）350；（3）有，理由見解析.

【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可計算出該市一天的空氣質(zhì)量等級分別為1、2、3、4的概

率；（2）利用每組的中點(diǎn)值乘以頻數(shù)，相加后除以100可得結(jié)果；

（3）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)完善2x2列聯(lián)表，計算出R2的觀測值，再結(jié)合臨界值表可得結(jié)論.

【解析】（1）由頻數(shù)分布表可知，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1的概率為----------=0.43,

100

等級為2的概率為5+10+12=0.27,等級為3的概率為6+7+8=0.21,等級為4的概

100100

7+2+0

率為=0.09；

100

（2）由頻數(shù)分布表可知，一天中到該公園鍛煉的人次的平均數(shù)為

100x20+300x35+500x45

---------------------------二350

100

（3）2x2列聯(lián)表如下:

人次＜400人次＞400

空氣質(zhì)量不好3337

空氣質(zhì)量好228

/_100X(33X8-37x22『

?5.820>3.841-

'—55x45x70x30

因此，有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

【名師點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計算頻率和平均數(shù)，同時也考查了獨(dú)立性檢驗的應(yīng)用,

6

考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎(chǔ)題.

5.甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽

簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一

場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，

另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概

率都為二，

2

（1）求甲連勝四場的概率；

（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；

（3）求丙最終獲勝的概率.

【試題來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

137

【答案】（1）—;（2）—；（3）—.

16416

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式可求得事件“甲連勝四場”的概率；（2）計算出四

局以內(nèi)結(jié)束比賽的概率，然后利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（3）列舉出

甲贏的基本事件，結(jié)合獨(dú)立事件的概率乘法公式計算出甲贏的概率，由對稱性可知乙贏的概

率和甲贏的概率相等，再利用對立事件的概率可求得丙贏的概率.

【解析】⑴記事件M：甲連勝四場，則

（2）記事件A為甲輸，事件3為乙輸，事件C為丙輸，

則四局內(nèi)結(jié)束比賽的概率為

P'=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+P（BABA）=4x（^=-,

3

所以，需要進(jìn)行第五場比賽的概率為尸=1-P'=—；

4

（3）記事件A為甲輸，事件3為乙輸，事件。為丙輸，

記事件"：甲贏，記事件N：丙贏，

則甲贏的基本事件包括：BCBC、ABCBC.ACBCB、

BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC,

所以，甲贏的概率為尸（M）

7

由對稱性可知，乙贏的概率和甲贏的概率相等,

97

所以丙贏的概率為P（N）=1-2x—=

3216

【名師點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的計算，解答的關(guān)鍵就是列舉出符合條件的基本事件,

考查計算能力，屬于中等題.

6.某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加.為調(diào)查該地區(qū)

某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方

法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)8,2,…，20）,其中x,和■分別表示第

20

，個樣區(qū)的植物覆蓋面積（單位：公頃）和這種野生動物的數(shù)量，并計算得Z%=60,

1=1

20202020

EX-1200,Z5—葉=80，Z（y—y）2=900°，工（王一君（%一歹）=80°?

z=lz=li=li=l

（1）求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值（這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生

動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；

（2）求樣本（X”2,20）的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；

（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該

地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關(guān)系數(shù)尸jJ“，414.

一（%-元產(chǎn)之（%-歹了

VZ=1i=l

【試題來源】2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）詳見解析

【分析】（1）利用野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)野生動物平均數(shù)乘以地塊數(shù)，代入數(shù)據(jù)即

20__

Z（%—x）（y—y）

可；（2）利用公式廠=120T_a。_計算即可;

\區(qū)（飛-一y）2

Vi=li=l

（3）各地塊間植物覆蓋面積差異較大，為提高樣本數(shù)據(jù)的代表性，應(yīng)采用分層抽樣.

I20]

【解析】（1）樣區(qū)野生動物平均數(shù)為正￡%=萬*1200=60,

i=l

地塊數(shù)為200,該地區(qū)這種野生動物的估計值為200x60=12000

（2）樣本（七,％）（戶1,2,20）的相關(guān)系數(shù)為

20

￡（%一?。ǎヒ?）

8002V2八c”

i=l

1=----X0.94

[2020780x90003

-君這（y一歹）2

i=\i=l

（3）由（2）知各樣區(qū)的這種野生動物的數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性,

由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從俄各地塊間這種野生動物的數(shù)量差異很大，

采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)得以執(zhí)行，提高了樣本的代表性,

從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計.

【點(diǎn)晴】本題主要考查平均數(shù)的估計值、相關(guān)系數(shù)的計算以及抽樣方法的選取，考查學(xué)生數(shù)

學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.

7.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變.近年來，移動支付已成為主要支付方

式之一.為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽

取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使

用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：

（0,1000]（1000,2000]大于2000

父付金額（兀）

支付方式

僅使用A18人9人3人

僅使用B10人14人1人

（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率；

（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個月支付

金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）已知上個月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化.現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)

抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元.根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用

A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由.

【試題來源】2019年北京市高考數(shù)學(xué)試卷（理）

9

2

【答案】（1）j；（2）見解析；（口）見解析.

【分析】（1）由題意利用古典概型計算公式可得滿足題意的概率值；

（2）首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后求解數(shù)學(xué)期望即可.

（口）由題意結(jié)合概率的定義給出結(jié)論即可.

【解析】（1）由題意可知，兩種支付方式都是用的人數(shù)為100—30—25—5=40人，貝人

該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率P=奇40=g2.

（2）由題意可知，

32

僅使用/支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占《，金額大于1000的人數(shù)占二,

23

僅使用3支付方法的學(xué)生中，金額不大于1000的人數(shù)占金額大于1000的人數(shù)占《，

且X可能的取值為0,1,2.

=o)=|x|=A

X的分布列為

X012

6136

p(x)252525

久1Q久

其數(shù)學(xué)期望：E(X)=0x—+lx—+2x—=1.

'/252525

（口）我們不認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化.理由如下:

隨機(jī)事件在一次隨機(jī)實(shí)驗中是否發(fā)生是隨機(jī)的，是不能預(yù)知的，隨著試驗次數(shù)的增多，頻率

越來越穩(wěn)定于概率.

學(xué)校是一個相對消費(fèi)穩(wěn)定的地方,每個學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況每個月的消費(fèi)應(yīng)該相對固定,

出現(xiàn)題中這種現(xiàn)象可能是發(fā)生了“小概率事件”.

【名師點(diǎn)睛】本題以支付方式相關(guān)調(diào)查來設(shè)置問題，考查概率統(tǒng)計在生活中的應(yīng)用，考查概

率的定義和分布列的應(yīng)用，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活息息相關(guān).

8.為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度,進(jìn)行如下試驗:將200只小鼠隨機(jī)分成A,B

兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，3組小鼠給服乙離子溶液.每只小鼠

給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體

內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

A笆頻率

組距豌

0.30-------------10...........................................

0

O..2U50.20

O.00.15

O.5b

O.

.0O0.05

。2.53.54.55.56.57.58.5百分比

甲離子殘留百分比直方圖乙離子殘留百分比直方圖

記。為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到尸（C）的估計值為

0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中。力的值；

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代

表）.

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）a=0.35,Z?=0.10；（2）4.05,6.

【分析】（1）由尸（0=0.70及頻率和為1可解得。和6的值；（2）根據(jù)公式求平均數(shù).

【解析】（1）由題得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35,由

0.05+b+0.15=l—P（C）=l—0.70,解得^=0.10.

（2）由甲離子的直方圖可得，甲離子殘留百分比的平均值為

0.15x2+0.20x3+0.30x4+0.20x5+0.10x6+0.05x7=4.05,

乙離子殘留百分比的平均值為

0.05x3+0.10x4+0.15x5+0.35x6+0.20x7+0.15x8=6

【名師點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖和平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

9.設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為工.假定甲、乙兩位同學(xué)

3

到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.

（1）用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列

和數(shù)學(xué)期望；

（2）設(shè)M為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30

11

之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

【試題來源】2019年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理）

【答案】（1）見解析；（2）產(chǎn)20

243

【分析】（1）由題意可知分布列為二項分布，結(jié)合二項分布的公式求得概率可得分布列，然

后利用二項分布的期望公式求解數(shù)學(xué)期望即可；

（2）由題意結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計算可得滿足題意的概率值.

【解析】（1）因為甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概

2

率均為一，

3

故X~B[3,3],從面尸（X=笈）=C；[gj[k=0,1,2,3）.

所以，隨機(jī)變量X的分布列為

X0123

1248

P

279927

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E（X）=3x-=2.

3

（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為Y,則￥~313,1

且〃={乂=31=1}11{乂=21=0}.

由題意知事件｛乂=3,￥=1｝與｛乂=2,丫=0｝互斥，

且事件｛X=3｝與｛V=1｝,事件｛X=2｝與｛y=o｝均相互獨(dú)立，

從而由（1）知

p（"）=p（｛x=3,y=i｝u｛x=2,y=o｝）

=p（x=3,r=i）+p（x=2,y=o）

=p（x=3）p（y=i）+p（x=2）p（y=o）

824120

—__x__|__x___—____

279927243.

【名師點(diǎn)睛】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件

12

的概率計算公式等基礎(chǔ)知識.考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力.

10.某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的

服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意

男顧客4010

女顧客3020

（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

（2）能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？

附：心一米3——

(?+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

P（曉沙）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文）（新課標(biāo)口）

43

【答案】（1）—：

（2）能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

【分析】（1）從題中所給的2x2列聯(lián)表中讀出相關(guān)的數(shù)據(jù)，利用滿意的人數(shù)除以總的人數(shù),

分別算出相應(yīng)的頻率，即估計得出的概率值；（2）利用公式求得觀測值與臨界值比較，得到

能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

【解析】（1）由題中表格可知，50名男顧客對商場服務(wù)滿意的有40人,

404

所以男顧客對商場服務(wù)滿意率估計為/^=—=

50名女顧客對商場滿意的有30人，

303

所以女顧客對商場服務(wù)滿意率估計為鳥=—=-，

100(40x20-30x10)2

（2）由列聯(lián)表可知K2=——。4.762〉3.841,

70x30x50x5021

所以能有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)概率與統(tǒng)計的知識,涉及到的知識點(diǎn)有利用頻率來估計概率,

13

利用列聯(lián)表計算K?的值，獨(dú)立性檢驗，屬于簡單題目.

11.11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10：10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先

多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束.甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時甲得分

的概率為0.5,乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4,各球的結(jié)果相互獨(dú)立.在某局雙方10：10平

后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個球該局比賽結(jié)束.

(1)求尸(右2)；

(2)求事件“存4且甲獲勝”的概率.

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理)(新課標(biāo)口)

【答案】(1)0.5;(2)0.1

【分析】(1)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連

贏兩球”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果；

(2)本題首先可以通過題意推導(dǎo)出P(X=4)所包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩

球均為甲得分”，然后計算出每種事件的概率并求和即可得出結(jié)果.

【解析】(1)由題意可知，P(X=2)所包含的事件為“甲連贏兩球或乙連贏兩球”

所以P(X=2)=0.5?0.40.5?0.60.5

(2)由題意可知，P(X=4)包含的事件為“前兩球甲乙各得1分，后兩球均為甲得分”

所以P(X=4)=0.5倉0.5倉D4+O.50.4倉050.4=0.1

【名師點(diǎn)睛】本題考查古典概型的相關(guān)性質(zhì)，能否通過題意得出P(X=2)以及尸(X=4)

所包含的事件是解決本題的關(guān)鍵，考查推理能力，考查學(xué)生從題目中獲取所需信息的能力，

是中檔題.

12.為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物

試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機(jī)選一

只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥

治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為

了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則

甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，

甲藥得-1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得。分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為a

'4

和人一輪試驗中甲藥的得分記為X.

（1）求X的分布列；

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，P,。=0,1,…,8）表示“甲藥的累計得分為i時，

最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則Po=。，P8=1，Pi=api+bpi+cpi+i

（7=1,2,…,7）,其中。=尸（乂=—1）,人=尸（乂=0）,。=/*=1）.假設(shè)。=0.5,，=0.8.

①證明：｛PM-pja=0,1,2,…,7）為等比數(shù)列；

②求P4，并根據(jù)P4的值解釋這種試驗方案的合理性.

【試題來源】2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理）（新課標(biāo)口）

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②p&=257,

【分析】（1）首先確定X所有可能的取值，再來計算出每個取值對應(yīng)的概率，從而可得分

布列；（2）①求解出a,b,c的取值，可得△=0.4."1+0.5月+0.12+1（，=1,2,…,7）,從

而整理出符合等比數(shù)列定義的形式，問題得證；②列出證得的等比數(shù)列的通項公式，采用累

加的方式，結(jié)合和Po的值可求得Pi；再次利用累加法可求出P4.

【解析】（1）由題意可知X所有可能的取值為-1，0,1

.-.p（X=-l）=（l-a）/?；P（X=0）=羽+（1—0（1—4）；P（X=l）=a（l-jS）

則X的分布列如下：

X-101

p(1-a)4姐+(1—0(1—2)a(l-4)

(2)a=0.5>>=0.8

a=0.5x0.8=04,Z?=0.5x0.8+0.5x02=0.5,c=0.5x0.2=0.1

①pi=apj+bpi+(i=1,2,…,7)

即Pj=0.4PT+0.50.1pM(i=1,2,…,7),

整理可得5pi=dp-+加(i=1,2,…,7)pM-Pj=4(p—RT)(i=1,2,…,7)

{Pm—pj(i=0,1,2,…,7)是以p「Po為首項,4為公比的等比數(shù)列

15

②由①知Pi+i-Pi=(P「Po》《=p}-4,，

6

??.P「P7="，Py-p6=p]-4,……,Pi—Po=Pi-4°,

作和可得。8一20=歷,(4°+41+~+47)=77月=工一月=1,

1-4j

3

??月=取ZJ'

入。.142亦1-4444-l311

???PLP「P°=P/(4+4+4+4)=137PL丁'「"TTP而?

P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為05乙藥治愈率為

0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為04=言土0—0039,此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，

說明這種實(shí)驗方案合理.

【名師點(diǎn)睛】本題考查離散型隨機(jī)變量分布列的求解、利用遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列、累加

法求解數(shù)列通項公式和數(shù)列中的項的問題.本題綜合性較強(qiáng)，要求學(xué)生能夠熟練掌握數(shù)列通

項求解、概率求解的相關(guān)知識，對學(xué)生分析和解決問題能力要求較高.

13.電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表:

電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類

電影部數(shù)14050300200800510

好評率0.40.20.150.250.20.1

好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值.

假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨(dú)立.

(1)從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率；

(2)從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率；

(3)假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等，用“￡=1”表示

第左類電影得到人們喜歡，“5=0”表示第后類電影沒有得到人們喜歡(心1,2,3,4,5,

6).寫出方差。。5，。&,。當(dāng)，吟。短的大小關(guān)系.

【試題來源】2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試(理)(北京卷)

【答案】(1)概率為0.025；(2)概率估計為0.35；(3)>D^6

【分析】(1)先根據(jù)頻數(shù)計算是第四類電影的頻率，再乘以第四類電影好評率得所求概率,

(2)恰有1部獲得好評為第四類電影獲得好評第五類電影沒獲得好評和第四類電影沒獲得

好評第五類電影獲得好評這兩個互斥事件，先利用獨(dú)立事件概率乘法公式分別求兩個互斥事

件的概率，再相加得結(jié)果，(3)短服從0-1分布，因此。)，即得。。

【解析】解：(1)由題意知，樣本中電影的總部數(shù)是140+50+300+200+800+510=2000,

第四類電影中獲得好評的電影部數(shù)是200x0.25=50.

故所求概率為2-=0.025.

2000

(2)設(shè)事件/為“從第四類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”，

事件3為“從第五類電影中隨機(jī)選出的電影獲得好評”.

故所求概率為尸(AB+AB)=P(A豆)+尸(無8)

=PU)(1-P(8))+(1-P(A))P(5).

由題意知尸(A)估計為0.25,P(5)估計為0.2.

故所求概率估計為0.25x0.8+0.75x0.2=0.35.

(3)D介DGDQDQD鋁D短.

【名師點(diǎn)睛】互斥事件概率加法公式：若A,B互斥，則P(A+B尸P(A)+P(B),獨(dú)立事件概

率乘法公式：若A,B相互獨(dú)立，則P(AB尸P(A)P(B).

14.某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)

方式.為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第

一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式.根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作

時間(單位：min)繪制了如下莖葉圖:

第種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式

-8655689

976270122345

9877654332SI445

2110090

(1)根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由;

(2)求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)〃z,并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間超過加和

不超過加的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：

17

超過加不超過加

第一種生產(chǎn)方式

第二種生產(chǎn)方式

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(/?+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】2018年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試（理）（新課標(biāo)III卷）

【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由見解析；（2）80；（3）能.

【分析】（1）計算兩種生產(chǎn)方式的平均時間即可.

（2）計算出中位數(shù)，再由莖葉圖數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表.

（3）由公式計算出左2,再與6.635比較可得結(jié)果.

【解析】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

理由如下：

（1）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至少

80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間至多79分鐘.因

此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

（2）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為85.5分鐘，

用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方

式的效率更高.

（3）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間高于80分鐘；用第

二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率

更高.

（iv）由莖葉圖可知用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，

關(guān)于莖8大致呈對稱分布;用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的

最多，關(guān)于莖7大致呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)

18

間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完成生

產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.

以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.

（2）由莖葉圖知加