2025屆廣東省聯考高三上學期10月第一次模擬（一模）數學試題答案

第1頁/共1頁2025屆廣東省省內兩校十月第一次模擬2024.10命題人：客路中學龍門中學教研組注意事項:1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.3.考試結束后，本試卷和答題卡一并交回.4.誠信考試，拒絕舞弊.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據指數函數單調性計算集合A,絕對值不等式化簡得出集合B,再根據并集定義計算即得.【詳解】集合，則，故選:D．2.命題“，”的否定是（）A.， B.，C， D.，【答案】D【解析】【分析】根據全稱命題與存在性命題的關系，準確改寫，即可求解.【詳解】根據全稱命題與存在性命題的關系，可得：命題“，”的否定是“，”.故選：D.3.已知直線過點和，且在軸上的截距是，則實數等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得直線的方程，代入點的坐標，可求的值.【詳解】因為直線在軸上的截距是1，所以過點，又直線過點，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，即直線方程為，又直線過點，所以，解得．故選：D.4.函數零點的個數為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】數形結合思想，分別作出和的圖象即可求解.【詳解】解：由x+1>0x≠0，得函數的定義域為，函數零點的個數零點個數，即函數的圖象和函數的圖象的交點個數，如圖所示：數形結合可得函數的圖象和函數的圖象的交點個數為．故選:C．5.如圖，三棱錐中，，，，點為中點，點N滿足，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據空間向量的線性運算即可求解.【詳解】.故選：C.6.函數結構是值得關注的對象為了研究的結構，兩邊取對數，可得，即，兩邊取指數，得，即，這樣我們就得到了較為熟悉的函數類型結合上述材料，的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】對，兩邊取對數，得，令gx=xlnx(x>0)，分析單調性，可求得最小值.【詳解】因為，兩邊取對數，可得，即，令gx=xlnx(x>0)，則，當時，，為減函數，當時，g'x=lnx+1>0∴，∴，y>e?1e，的最小值為，故選：C.【點睛】7.常用放射性物質質量衰減一半所用的時間來描述其衰減情況，這個時間被稱做半衰期，記為（單位：天）．鉛制容器中有甲、乙兩種放射性物質，其半衰期分別為．開始記錄時，這兩種物質的質量相等，512天后測量發(fā)現乙的質量為甲的質量的，則滿足的關系式為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1，可得512天后甲，乙的質量，根據題意列出等式即可得答案．【詳解】設開始記錄時，甲乙兩種物質的質量均為1，則512天后，甲的質量為：，乙的質量為：，由題意可得，所以．故選：B．8.在矩形中，，，將沿著翻折，使點在平面上的投影恰好在直線AB上，則此時二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示，作于，于，求得，，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.【詳解】如圖所示，作于，于.在中，，，在中，，，同理可得，，，因為，所以，又因為，所以.因為與的夾角即為二面角的大小，所以二面角的余弦值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.設為定義在上的奇函數，當時，為常數），則下列說法正確的是（）A. B.C.在上是單調減函數 D.函數僅有一個零點【答案】AD【解析】【分析】根據，求得，得到，求得的值，可得判定A正確；結合由，可得判定B不正確；結合和都是增函數，及為在上的奇函數，得出函數的單調性，可判定C不正確；結合和函數的單調性，得到僅有一個零點，可得判定D正確.【詳解】對于A中，因為為定義在上的奇函數，且當時，，可得，解得，所以，則，所以A正確；對于B中，由，所以B不正確；對于C中，當時，，因為函數和都是增函數，所以在是單調遞增函數，又因為為在上的奇函數，所以在也是遞增函數，所以C不正確；對于D中，由，且和是單調遞增函數，所以函數為定義在上僅有一個零點，所以D正確.故選：AD.10.已知是自然對數的底數，，函數的圖象經過原點，且無限接近直線又不與該直線相交，則（）A. B.的值域為C.在區(qū)間上單調遞減 D.【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據函數過原點和無限接近直線可判斷；對于B，根據解析式判斷函數的奇偶性，值域可判斷，對于C，根據解析式判斷函數的單調性，即可判斷；對于D，根據對數函數性質，再根據函數的為偶函數可判斷.【詳解】對于A，因為函數的圖象經過原點，所以，解得，則．又因為函數無限接近直線但又不與該直線相交，所以，則，故A錯誤．對于B，則因為，為偶函數．當時，，所以函數的值域為，故B正確；對于C，當時，，因為函數為減函數，則函數在區(qū)間上單調遞增，故C錯誤；對于D，因為，根據函數為偶函數可得，故D正確.故選:BD．11.如圖，已知正方體的棱長為，點分別為棱的中點，，則（）A.無論取何值，三棱錐的體積始終為B若，則C.點到平面的距離為D.若異面直線與所成的角的余弦值為．則【答案】AB【解析】【分析】對于A，利用等體積法及棱錐的體積公式即可求解；對于B，建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用空間向量的數量積公式即可求解；對于C，由B選項建立的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出平面的法向量，再利用點到平面的距離公式即可求解；對于D，由B選項建立的空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，求出直線與的方向向量，再利用向量的夾角與線線角的關系即可求解；【詳解】對于A，因為正方體的棱長為，點分別為棱的中點,所以,在正方體中，平面，由等體積法知，三棱錐=三棱錐=，所以無論取何值，三棱錐的體積始終為，故A正確；對于B,由題意可知，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示因為正方體的棱長為，所以，，，，,由，得，設，則所以，所以，所以，解得，所以，所以，所以，故B正確；對于C，由B選項建立的空間直角坐標系知，，，，設，則，，所以，所以，解得，所以，所以，設平面的法向量為，則,即，令則，所以，所以點到平面的距離為，由于無法確定，所以點到平面的距離無法確定，故C錯誤；對于D,由B選項建立的空間直角坐標系知，，，,，，,設，則，，所以，所以，解得，所以，所以，因為異面直線與所成的角的余弦值為，則，即，解得或（舍），故D錯誤.故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數為奇函數，則__________【答案】##【解析】【分析】先根據函數是奇函數關于原點對稱得出,再應用奇函數的定義計算求出,計算即可求值.【詳解】由于函數的定義域滿足

，故定義域為

，根據奇函數的定義域關于原點對稱可知

，∴

，

，∴

，故

，故答案為：

．13.已知等差數列的前項和為，若，則______.【答案】44【解析】【分析】利用通項公式，進行基本量代換求出，再利用前n項和公式和性質求出.【詳解】設公差為，有，可得，有，.故答案為：44【點睛】等差（比）數列問題解決的基本方法：基本量代換．14.設，求的最小值是___________.【答案】【解析】【分析】由配方化簡可得d可看作點和到直線上的點的距離之和，作關于直線對稱的點，連接，計算可得所求最小值.【詳解】解：，即d可看作點和到直線上的點的距離之和，作關于直線對稱的點，由題意得，解得故，則.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.中國茶文化博大精深，飲茶深受大眾喜愛，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關研究在室溫下泡制好的茶水要等多久飲用，可以產生符合個人喜好的最佳口感，這是很有意義的事情.經研究：把茶水放在空氣中冷卻，如果茶水開始的溫度是，室溫是，那么后茶水的溫度單位：，可由公式求得，其中是常數，為了求出這個的值，某數學建模興趣小組在室溫下進行了數學實驗，先用的水泡制成的茶水，利用溫度傳感器，測量并記錄從開始每一分鐘茶水的溫度，多次實驗后搜集整理到了如下的數據：（1）請你利用表中的一組數據，求的值，并求出此時的解析式(計算結果四舍五入精確到；（2）在室溫環(huán)境下，王大爺用的水泡制成的茶水，想等到茶水溫度降至時再飲用，根據（1）的結果，王大爺要等待多長時間計算結果四舍五入精確到分鐘)．參考數據：，，是自然對數底數，【答案】（1），；（2）要等待約分鐘【解析】【分析】（1）將給定數據代入函數模型，求出常數及對應的函數關系.（2）由（1）中關系式，求出時的值.【小問1詳解】依題意，，且當，時，，則，，解得，所以.【小問2詳解】由（1）知，，當時，，即，整理得，解得，王大爺要等待約分鐘.16.已知數列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用公式，即可求數列的通項公式；（2）根據（1）的結果可知，再利用裂項相消法求和.【小問1詳解】因為，所以當時，，兩式相減得：，即，所以，且符合，所以的通項公式為.【小問2詳解】由（1）可知，所以，所以.17.三棱臺中，，平面平面ABC，，與交于D．（1）證明：平面；（2）求異面直線與DE的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由題意和三棱臺的結構特征可得，進而證得，結合線面平行的判定定理即可證明；（2）根據面面垂直的性質和線面垂直的判定定理與性質證得、，建立如圖空間直角坐標系，利用空間向量法求解線線距，即可求解.【小問1詳解】三棱臺中，，則，有，得，所以，又，所以在平面內，，有，平面平面，所以平面．【小問2詳解】已知平面平面ABC，平面平面，，平面，所以平面，由平面，得，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，由平面ABC，得.以B為坐標原點的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖空間直角坐標系．則有，，因為，所以，設向量，且滿足：，則有，令，在的投影數量為，異面直線與DE的距離.18.已知直線，，，記，，．（1）當時，求原點關于直線的對稱點坐標；（2）求證：不論m為何值，總有一個頂點為定點；（3）求面積的取值范圍可直接利用對勾函數的單調性【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）【解析】【分析】當時，直線的方程為：，設原點關于直線的對稱點為，利用

斜率與中點坐標公式列方程求解即可；由題意可知，恒過點，即可證明．由題可得與垂直，得到角C為直角，故，然后利用點到直線的距離公式得到，，再結合對勾函數的性質求解即可．【詳解】解：當時，直線

的方程為：，且斜率，設原點關于直線

的對稱點為

，則由

斜率與中點坐標公式列方程得：，解得：，故所求點的坐標為；直線，即恒過點，，即恒過點，故，故總有一個頂點為定點；由條件可得與垂直，故角C為直角，，等于點B到的距離，由的方程聯立可得，，等于點到直線距離，，三角形面積，當時，有

有最大值；當時，有最小值，時，S取最大值，時S取最小值，故面積的取值范圍．19.已知函數是偶函數，是自然對數的底數，（1）求的最小值（2）當時，（i）令，，求的值域（ii）記，已知，，且，當取最大值時，求的值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）由函數是偶函數，得到，再代入所求式子，表示為的二次函數求最值；（2）（ⅰ）由條件可知，，求函數d的解析式，并判斷函數的單調性，即可求解函數的值域；（ⅱ）利用反證法進行證明.【小問1詳解】函數的定義域為，根據偶函數的定義：，f?x=fx，即即：上式對任意恒成立，這等價于．，等號成立當且僅當，．所以的最小值為．【小問2詳解】（?。┯桑?）可得：，由于，為偶函數，故只需考慮時，的值域，，，令，，，∴，單調遞增，∴在上單調遞增，的值域為，，．故的值域為．（ⅱ）對于常數，令，為偶函數．下面先證明一個結論：在上單調遞增．證明：．由(2)可得：為偶函數，在上單調遞增，∴在上單調遞增，證畢．對于，，且，先證明：當取最大值時，，，，中最多只有一個，其余的數要么等于，要么等于．用反證法，假如當取最大值時，，，，中存在兩個