新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第6講圖形問題(原卷版+解析)

第6講圖形問題一、解答題1．已知橢圓（），以橢圓內(nèi)一點為中點作弦，設(shè)線段的中垂線與橢圓相交于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得，，，在同一個圓上，并說明理由．2．已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足．（Ⅰ）證明：點P在C上；（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．3．已知橢圓的方程為，點為長軸的右端點．為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點．直線與直線的斜率滿足：．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與圓相切，且與橢圓相交于兩點，求證：以線段為直徑的圓恒過原點．4．已知橢圓的右焦點為F，A、B分別為橢圓的左項點和上頂點，ABF的面積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，直線AP、AQ分別與直線x＝交于點M、N．以MN為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出該定點坐標；若不是，請說明理由．5．如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.6．設(shè)橢圓的左焦點為，下頂點為，上頂點為，是等邊三角形.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線，過點且斜率為的直線與橢圓交于點（異于點），線段的垂直平分線與直線交于點，與直線交于點，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知點，點在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，求橢圓的方程.7．已知拋物線上一點到焦點F的距離為.（1）求拋物線M的方程；（2）過點F斜率為k的直線l與M相交于C，D兩點，線段的垂直平分線與M相交于兩點，點分別為線段和的中點.①試用k表示點的坐標；②若以線段為直徑的圓過點C，求直線l的方程.8．設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．9．設(shè)橢圓（）的左右頂點為，上下頂點為，菱形的內(nèi)切圓的半徑為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，橢圓上一點滿足，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.10．已知圓的方程為，點，點M為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點N.（1）求點N的軌跡C的方程.（2）已知點，過點A且斜率為k的直線交軌跡C于兩點，以為鄰邊作平行四邊形，是否存在常數(shù)k，使得點B在軌跡C上，若存在，求k的值；若不存在，說明理由.11．如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且0，若過A，Q，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線相切，過定點M（0，2）的直線與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率，在x軸上是否存在點P（，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由；（Ⅲ）若實數(shù)滿足，求的取值范圍．12．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．13．過點作直線與曲線：交于兩點，在軸上是否存在一點，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由.14．直線與橢圓相交于，兩點，為坐標原點.（Ⅰ）當點的坐標為，且四邊形為菱形時，求的長；（Ⅱ）當點在上且不是的頂點時，證明：四邊形不可能為菱形.15．已知橢圓過點，順次連接橢圓的四個頂點得到的四邊形的面積為，點.（1）求橢圓的方程.（2）已知點，是橢圓上的兩點.（?。┤簦覟榈冗吶切?，求的邊長；（ⅱ）若，證明：不可能為等邊三角形.第6講圖形問題一、解答題1．已知橢圓（），以橢圓內(nèi)一點為中點作弦，設(shè)線段的中垂線與橢圓相交于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得，，，在同一個圓上，并說明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）存在這樣的，使得，，，在同一個圓上．【解析】【試題分析】（1）借助遞橢圓離心率的定義分析求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件先建立直線的方程，再與橢圓方程聯(lián)立，借助交點坐標之間的關(guān)系分析求解：（Ⅰ）將橢圓方程化成標準方程，．（Ⅱ）由題意，設(shè)，，，，直線的斜率存在，設(shè)為，聯(lián)立，得．，，此時由，得，則：，：．則得，，故的中點為．由弦長公式可得到．，若存在圓，則圓心在上，的中點到直線的距離為．，又存在這樣的，使得，，，在同一個圓上．2．已知O為坐標原點，F(xiàn)為橢圓C：在y軸正半軸上的焦點，過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足．（Ⅰ）證明：點P在C上；（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）要證明點P在C上，即證明P點的坐標滿足橢圓C的方程，根據(jù)已知中過F且斜率為的直線l與C交于A、B兩點，點P滿足，我們求出點P的坐標，代入驗證即可．（Ⅱ）若A、P、B、Q四點在同一圓上，則我們可以先求出任意三點確定的圓的方程，然后將第四點坐標代入驗證即可．【詳解】證明：（Ⅰ）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）橢圓C：①，則直線AB的方程為：yx+1②聯(lián)立方程可得4x2﹣2x﹣1＝0，則x1+x2，x1×x2則y1+y2（x1+x2）+2＝1設(shè)P（p1，p2），則有：（x1，y1），（x2，y2），（p1，p2）；∴（x1+x2，y1+y2）＝（，1）；（p1，p2）＝﹣（）＝（，﹣1）∴p的坐標為（，﹣1）代入①方程成立，所以點P在C上．（Ⅱ）設(shè)點P關(guān)于點O的對稱點為Q，證明：A、P、B、Q四點在同一圓上．設(shè)線段AB的中點坐標為（，），即（，），則過線段AB的中點且垂直于AB的直線方程為：y（x），即yx；③∵P關(guān)于點O的對稱點為Q，故0（0.0）為線段PQ的中點，則過線段PQ的中點且垂直于PQ的直線方程為：yx④；③④聯(lián)立方程組，解之得：x，y③④的交點就是圓心O1（，），r2＝|O1P|2＝（（））2+（﹣1）2故過PQ兩點圓的方程為：（x）2+（y）2⑤，把yx+1…②代入⑤，有x1+x2，y1+y2＝1∴A，B也是在圓⑤上的．∴A、P、B、Q四點在同一圓上．【點睛】本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關(guān)系，向量在幾何中的應(yīng)用，其中判斷點與曲線關(guān)系時，所使用的坐標代入驗證法是解答本題的關(guān)鍵．3．已知橢圓的方程為，點為長軸的右端點．為橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點．直線與直線的斜率滿足：．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與圓相切，且與橢圓相交于兩點，求證：以線段為直徑的圓恒過原點．【答案】（1）（2）見證明【分析】（1）由可得的值，從而得到橢圓的標準方程；（2）原問題等價于，聯(lián)立方程，利用韋達定理即可得到結(jié)果.【詳解】解：（1）設(shè)則由得，由，即得，所以，所以即橢圓的標準方程為：（2）設(shè)由得：又與圓C相切，所以即所以所以，，即所以，以線段為直徑的圓經(jīng)過原點.【點睛】圓錐曲線中定點問題的常見解法（1）假設(shè)定點坐標，根據(jù)題意選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線系方程，而該方程與參數(shù)無關(guān)，故得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即所求定點；（2）從特殊位置入手，找出定點，再證明該點符合題意．4．已知橢圓的右焦點為F，A、B分別為橢圓的左項點和上頂點，ABF的面積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點F的直線l與橢圓C交于P，Q兩點，直線AP、AQ分別與直線x＝交于點M、N．以MN為直徑的圓是否恒過定點？若是，請求出該定點坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）MN為直徑的圓恒過定點和．【分析】（1）根據(jù)ABF的面積為求出a＝2，即得解；（2）設(shè)直線PQ的方程為，點．求出，，設(shè)以MN為直徑的圓過定點P（m，n），則，聯(lián)立和PQ的方程為，得到韋達定理，把韋達定理代入即得解.【詳解】解：（1）由題得ABF的面積，解得a＝2，即橢圓C的標準方程為．（2）已知點A（－2，0），設(shè)直線PQ的方程為，點．直線AP的方程為，直線AQ的方程為，將代入直線AP、AQ方程，可得，．設(shè)以MN為直徑的圓過定點P（m，n），則，即聯(lián)立橢圓和直線PQ的方程為，可得，化簡得，即，．代入上式化簡得，由此可知，若上式與t無關(guān)，則，又，因此MN為直徑的圓恒過定點和．【點睛】方法點睛：證明曲線過定點，一般有兩種方法.（1）特殊探求，一般證明：即可以先考慮動直線或曲線的特殊情況，找出定點的位置，然后證明該定點在該直線或該曲線上（定點的坐標直線或曲線的方程后等式恒成立）.（2）分離參數(shù)法：一般可以根據(jù)需要選定參數(shù)，結(jié)合已知條件求出直線或曲線的方程，分離參數(shù)得到等式，（一般地，為關(guān)于的二元一次關(guān)系式）由上述原理可得方程組，從而求得該定點.5．如圖，點為圓：上一動點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足分別為，，連接延長至點，使得，點的軌跡記為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點，分別位于軸與軸的正半軸上，直線與曲線相交于，兩點，試問在曲線上是否存在點，使得四邊形為平行四邊形，若存在，求出直線方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）這樣的直線不存在.詳見解析【分析】（1）設(shè)，，則，，且，通過，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程整理得關(guān)于x的一元二次方程，假設(shè)存在點Q，滿足題意，則其充要條件為，則點Q的坐標為（x1+x2，y1+y2）．由此利用韋達定理結(jié)合點Q在曲線上，得到關(guān)于k的方程求解即可．【詳解】（1）設(shè)，，則，，由題意知，所以為中點，由中點坐標公式得，即，又點在圓：上，故滿足，得.（2）由題意知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，因為，故，即①，聯(lián)立，消去得：，設(shè)，，，，，因為為平行四邊形，故，點在橢圓上，故，整理得，②，將①代入②，得，該方程無解，故這樣的直線不存在.【點睛】本題考查點的軌跡方程的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷與直線方程的求法，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．設(shè)橢圓的左焦點為，下頂點為，上頂點為，是等邊三角形.（1）求橢圓的離心率；（2）設(shè)直線，過點且斜率為的直線與橢圓交于點（異于點），線段的垂直平分線與直線交于點，與直線交于點，若.(ⅰ)求的值；(ⅱ)已知點，點在橢圓上，若四邊形為平行四邊形，求橢圓的方程.【答案】（1）；（2）(ⅰ)；（ii）【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)，即可得到橢圓的離心率.（2）(ⅰ)首先根據(jù)題意設(shè)橢圓方程為，直線為，聯(lián)立解出的坐標，從而得到的坐標，利用直線交點解出的坐標，根據(jù)弦長公式求出，，再根據(jù)即可得到的值.(ⅱ)先用表示的坐標，根據(jù)四邊形為平行四邊形得到的坐標，再代入橢圓的方程即可得到答案.【詳解】（1）由題意可知，，即.又因為，，，所以.（2）(ⅰ)設(shè)橢圓方程為，直線為，聯(lián)立得，解得：，則.因為為中點，，因為所在的直線方程為令解得.因為，所以，解得或(舍)所以.(ⅱ)因為，所以，設(shè)四邊形為平行四邊形，所以，.即，又因為點在橢圓上，所以.解得，，該橢圓方程為：.【點睛】本題第一問考查橢圓的離心率，第二問考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時考查學生的計算能力，屬于難題.7．已知拋物線上一點到焦點F的距離為.（1）求拋物線M的方程；（2）過點F斜率為k的直線l與M相交于C，D兩點，線段的垂直平分線與M相交于兩點，點分別為線段和的中點.①試用k表示點的坐標；②若以線段為直徑的圓過點C，求直線l的方程.【答案】（1）（2）①；②，或【分析】（1）根據(jù)題意可得且，解得，進而得出拋物線方程．（2）①點的坐標為，寫出直線的方程為：，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，設(shè)，，，，則由韋達定理得，，進而得中點的坐標，再寫出線段垂直平分線的方程：，聯(lián)立它與拋物線方程，同理得線段中點的坐標．②根據(jù)題意得，，在中，由勾股定理得，即，分別由拋物線定義，弦長公式，兩點之間得距離公式表示，，，代入化簡解得，進而得直線的方程．【詳解】解：（1）根據(jù)拋物線的定義和已知條件，得，故，由點Q在M上，可知，把代入，得.所以拋物線M的方程為：.（2）①由（1）可知點F的坐標為，所以直線l的方程為：.聯(lián)立消去y得，設(shè)，則，所以，所以線段中點.因為過點E且與l垂直，所以的方程為：聯(lián)立消去y，得，顯然成立.設(shè)，則，所以，所以線段中點②因為以線段為直徑的圓過點C，所以，在中，，即.根據(jù)拋物線定義，得，又，，所以，由，得，解方程得，所以直線l的方程為，或.【點睛】本題考查拋物線方程，直線與拋物線相交問題，屬于中檔題．8．設(shè)拋物線的焦點為，過且斜率為的直線與交于，兩點，．（1）求的方程；（2）求過點，且與的準線相切的圓的方程．【答案】(1)y=x–1,(2)或．【詳解】分析：(1)根據(jù)拋物線定義得，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達定理代入求出斜率，即得直線的方程；（2）先求AB中垂線方程，即得圓心坐標關(guān)系，再根據(jù)圓心到準線距離等于半徑得等量關(guān)系，解方程組可得圓心坐標以及半徑，最后寫出圓的標準方程.詳解：（1）由題意得F（1，0），l的方程為y=k（x–1）（k>0）．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．由得．，故．所以．由題設(shè)知，解得k=–1（舍去），k=1．因此l的方程為y=x–1．（2）由（1）得AB的中點坐標為（3，2），所以AB的垂直平分線方程為，即．設(shè)所求圓的圓心坐標為（x0，y0），則解得或因此所求圓的方程為或．點睛：確定圓的方程方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程依據(jù)已知條件列出關(guān)于的方程組，從而求出的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D、E、F的方程組，進而求出D、E、F的值．9．設(shè)橢圓（）的左右頂點為，上下頂點為，菱形的內(nèi)切圓的半徑為，橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，橢圓上一點滿足，試判斷直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.【答案】（1）（2）直線、與圓相切，證明見解析【分析】（1）由離心率得，用兩種方法表示出菱形的面積可求得，得橢圓方程；（2）設(shè)，.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，用韋達定理得，利用，即得的關(guān)系，求出圓心到直線的距離可得直線與圓的位置關(guān)系．直線的斜率不存在時，直接計算可得，由對稱性的結(jié)論也可得．【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為.由橢圓的離心率為知，.設(shè)圓的半徑為，則，∴，解得，∴，∴橢圓的方程為（2）∵關(guān)于原點對稱，，∴.設(shè)，.當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為.由直線和橢圓方程聯(lián)立得，即，∴.∵，，∴，∴，，∴圓的圓心O到直線的距離為，∴直線與圓相切.當直線的斜率不存在時，依題意得，.由得，∴，結(jié)合得，∴直線到原點O的距離都是，∴直線與圓也相切.同理可得，直線與圓也相切.∴直線、與圓相切【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，考查直線與橢圓相交問題，考查直線與圓的位置關(guān)系．直線與橢圓相交，一般采取設(shè)而不求思想，即設(shè)交點坐標，設(shè)直線方程，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后用韋達定理得，把這個結(jié)論代入其他條件求解．10．已知圓的方程為，點，點M為圓上的任意一點，線段的垂直平分線與線段相交于點N.（1）求點N的軌跡C的方程.（2）已知點，過點A且斜率為k的直線交軌跡C于兩點，以為鄰邊作平行四邊形，是否存在常數(shù)k，使得點B在軌跡C上，若存在，求k的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）由橢圓的定義，知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，進而求得N的軌跡方程；（2）設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立，得韋達定理，以、為鄰邊作平行四邊形的頂點在橢圓上，轉(zhuǎn)化為坐標化后B點在橢圓上，得k的方程求解即可【詳解】（1）>知點的軌跡是以、為焦點的橢圓，則a=,∴（2）設(shè)直線,與橢圓聯(lián)立設(shè)，消去，得點代入橢圓方程：得又滿足存在常數(shù)，使得平行四邊形的頂點在橢圓上【點睛】本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系，定義法求軌跡方程，平行四邊形的轉(zhuǎn)化，點在曲線上的應(yīng)用，熟練轉(zhuǎn)化條件，準確計算是關(guān)鍵，是中檔題11．如圖，設(shè)橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，過點A與AF2垂直的直線交x軸負半軸于點Q，且0，若過A，Q，F(xiàn)2三點的圓恰好與直線相切，過定點M（0，2）的直線與橢圓C交于G，H兩點（點G在點M，H之間）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線的斜率，在x軸上是否存在點P（，0），使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，請說明理由；（Ⅲ）若實數(shù)滿足，求的取值范圍．【答案】（1）;（2）;（3）.【解析】試題分析：（1）利用向量確定F1為F2Q中點，設(shè)Q的坐標為（-3c，0），因為AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，再由直線與圓相切得解得c=1，利用橢圓基本量之間的關(guān)系求b；（2）假設(shè)存在，設(shè)方程，聯(lián)立方程組，消元后由判別式大于0可得出，又四邊形為菱形時，對角線互相垂直，利用向量處理比較簡單，，化簡得（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，再由代入化簡得：，解得，利用均值不等式范圍；（3）斜率存在時設(shè)直線方程，聯(lián)立消元，,再由，進行坐標運算，代入化簡，分離k與，利用k的范圍求，注意驗證斜率不存在時情況．試題解析：（1）因為0,所以F1為F2Q中點設(shè)Q的坐標為（-3c，0），因為AQ⊥AF2，所以b2=3c×c=3c2，a2=4c×c=4c2，且過A，Q，F(xiàn)2三點的圓的圓心為F1（-c，0），半徑為2c．因為該圓與直線L相切，所以解得c=1，所以a=2，故所求橢圓方程為．（2）設(shè)L1的方程為y=kx+2（k>0）由得（3+4k2）x2+16kx+4=0,由△>0，得所以k>1/2,設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），則所以（x1-m，y1）+（x2-m，y2）

=（x1+x2-2m，y1+y2）

=（x1+x2-2m，k（x1+x2）+4）（x2-x1，y2-y1）=（x2-x1，k（x2-x1））,由于菱形對角線互相垂直，因此所以（x2-x1）[（x1+x2）-2m]+k（x2-x1）[k（x1+x2）+4]=0,故（x2-x1）[（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k]=0因為k>0，所以x2-x1≠0所以（x1+x2）-2m+k2（x1+x2）+4k=0，即（1+k2）（x1+x2）+4k-2m=0，所以,解得，因為k>0，所以故存在滿足題意的點P且m的取值范圍是．（3）①當直線L1斜率存在時，設(shè)直線L1方程為y=kx+2，代入橢圓方程,得（3+4k2）x2+16kx+4=0,由△>0，得,設(shè)G（x1，y1），H（x2，y2），則,又，所以（x1，y1-2）=λ（x2，y2-2），所以x1=λx2，所以,∴∴,整理得,因為，所以,解得又0＜λ＜1，所以．②當直線L1斜率不存在時，直線L1的方程為x=0，，，,所以．綜上所述，．點睛：本題主要考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，是高考的必考點，屬于難題．求橢圓方程的方法一般就是根據(jù)條件建立的方程，求出即可，注意的應(yīng)用；涉及直線與圓錐曲線相交時，未給出直線時需要自己根據(jù)題目條件設(shè)直線方程，要特別注意直線斜率是否存在的問題，避免不分類討論造成遺漏，然后要聯(lián)立方程組，得一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系寫出，再根據(jù)具體問題應(yīng)用上式，其中要注意判別式條件的約束作用．12．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），離心率為．過焦點F2的直線l（斜率不為0）與橢圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為D，O為坐標原點，直線OD交橢圓于M，N兩點．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當四邊形MF1NF2為矩形時，求直線l的方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=．【詳解】（I）由已知可得：，解得a2=6，b2=2，∴橢圓C的方程為；（II）由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（﹣x3，﹣y3）．聯(lián)立，化為（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，∴x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣4）=，∴線段AB的中點D，∴直線OD的方程為：x+3ky=0（k≠0）．聯(lián)立，解得=，x3=﹣3ky3．∵四邊形MF1NF2為矩形，∴=0，∴（x3﹣2，y3）?（﹣x3﹣2，﹣y3）=0，∴=0，∴=0，解得k=，故直線方程為y=．考點：橢圓的簡單性質(zhì)．13．過點作直線與曲線：交于兩點，在軸上是否存在一點，使得是等邊三角形，若存在，求出；若不存在，請說明理由.【答案】存在滿足題意，詳見解析【分析】設(shè)直線，，，，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，消去后，利用韋達定理和弦長公式可求的長度及的中點坐標，再求出的坐標后求其到的距離，利用可求，從而可求.【詳解】依題意知，直線的斜率存在，且不等于0。設(shè)直線，，，，由消y整理，得①，由直線和拋物線交于兩點，得即②，由韋達定理，得：.則線段的中點為.線段的垂直平分線方程為：，令，得，則，為正三角形，∴到直線的距離為，，，∴解得，滿足②式，此時．【點睛】直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標代數(shù)式化為關(guān)