數(shù)學(xué)各地名校一模試題分類匯編專題06解三角形練習(xí)(原卷版+解析)

專題06解三角形一、單選題1．（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，，，則角的最大值為（）A． B． C． D．2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．3．（2022·山東泰安·高三期末）在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．（2022·江蘇如東·高三期末）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)學(xué)生為了測量該校操場旗桿的高AB，先在旗桿底端的正西方點(diǎn)C處測得桿頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測得桿頂?shù)难鼋菫?0°，則旗桿的高為（）A．20m B．10m C．m D．m二、填空題5．（2022·山東萊西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角___________.6．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．若（）有最大值，則的取值范圍是__________．7．（2022·廣東揭陽·高三期末）如圖所示，在等腰直角中，為的中點(diǎn)，，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）當(dāng)時(shí)，則的值為__________.（2）的最大值為__________.8．（2022·山東青島·高三期末）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，且成等差數(shù)列，則角的取值范圍是_______；最小值為______.三、解答題9．（2022·江蘇海安·高三期末）在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大小；（2）求四邊形ABCD的面積．10．（2022·江蘇通州·高三期末）從以下3個(gè)條件中選擇2個(gè)條件進(jìn)行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC邊的中點(diǎn)，且BD＝，求AC的長及△ABC的面積.11．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在①b2＋c2－a2＝，②asinB＝bsin（A＋），③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，△ABC的面積為S，．（1）求角A；（2）若AC＝2，BC＝，點(diǎn)D在線段AB上，且△ACD與△BCD的面積比為4∶5，求CD的長．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答內(nèi)容計(jì)分）12．（2022·江蘇宿遷·高三期末）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________.（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.13．（2022·江蘇如東·高三期末）在①；②,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）判斷△ABC的形狀；（2）在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.14．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，CD=10，2AC=3AD=AB，cos∠CAD=.（1）求AD的長；（2）求sinB.15．（2022·江蘇無錫·高三期末）中，角所對應(yīng)的邊分別為，已知，，________.請?jiān)冖?；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并加以解答：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）（1）求角；（2）求面積.16．（2022·江蘇常州·高三期末）已知在四邊形中，，，，且，．（1）求；（2）求．17．（2022·江蘇蘇州·高三期末）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題（2）的橫線上，并解答下列題目．在中，已知角的對邊分別為，且，．（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，__________，求的面積．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）18．（2022·廣東揭陽·高三期末）在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）若，且的面積為，且，求和的值.19．（2022·廣東潮州·高三期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，（1）求角B的大?。唬?）若點(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，BD=2，求面積的最大值．20．（2022·廣東東莞·高三期末）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.21．（2022·廣東羅湖·高三期末）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大?。唬?）若邊上的高為，求．22．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在平面四邊形中，．（1）求；（2）求的面積．23．（2022·廣東汕尾·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求角B（2）當(dāng)b=3時(shí)，求的面積的最大值．24．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若邊上的中線，求的面積.25．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長的最小值，并求出此時(shí)的面積.26．（2022·湖南婁底·高三期末）在中，已知，．（1）若，求的面積；（2）若，求的周長．（參考數(shù)據(jù)：．）27．（2022·湖南常德·高三期末）設(shè)a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求角A的大小；（2）從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分．①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，且，求面積的最小值．②設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．28．（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若邊對應(yīng)的角分別為，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的長度．29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．30．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）在中，角的對邊分別是，的面積為.（1）若，，，求邊；（2）若是銳角三角形且角，求的取值范圍.31．（2022·湖北江岸·高三期末）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.（1）求角C；（2）若，求c的取值范圍.32．（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積．33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，角，，所對的邊分別為，，.的角平分線與交于點(diǎn).（1）若，的面積為4，求的面積；（2）若，，，求的值.34．（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）如圖，若，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，設(shè)，求平面四邊形面積的最大值及相應(yīng)的值．35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，向量夾角的余弦角為（1）求角B的大小；（2）求的取值范圍.36．（2022·山東青島·高三期末）在中，角所對的邊分別為，已知，且.（1）求的值；（2）若的面積，求的值.37．（2022·山東臨沂·高三期末）已知中，D是AC邊的中點(diǎn)．，，．（1）求AC的長；（2）的平分線交BC于點(diǎn)E，求AE的長．38．（2022·山東棗莊·高三期末）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為．（1）求；（2）從以下三個(gè)條件：①；②；③邊上的高中選擇一個(gè)作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．39．（2022·山東泰安·高三期末）在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰好1小時(shí)與可疑船只相遇.（1）求的值；（2）若巡邏船以海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時(shí)間，若不能，請說明理由.40．（2022·山東淄博·高三期末）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，延長BC至D，使，的面積為．（1）求AB的長；（2）求外接圓的面積．41．（2022·山東青島·高三期末）如圖，在四邊形中，.

（1）求證：；（2）若，求的長.42．（2022·山東德州·高三期末）在①②③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并解決問題.問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足___________.（1）求角A；（2）若A的角平分線AD長為1，且，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.43．（2022·山東煙臺·高三期末）在①；②向量，，；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行求解．問題：在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，已知，，D為AC邊的中點(diǎn)，若______，求BD的長度．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．44．（2022·山東濟(jì)南·高三期末）在.中，角，，的對邊分別為，，，已知，.（1）求角；（2）若點(diǎn)在邊上，且，求面積的最大值.45．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，.請?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，完成下列問題（1）求角；（2）若，，延長到點(diǎn)，使，求線段的長度.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.46．（2022·山東日照·高三期末）已知中，它的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值；（2）若，求的值.47．（2022·河北唐山·高三期末）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求角C；（2）求的取值范圍．48．（2022·河北張家口·高三期末）在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且，.（1）求；（2）若為的中點(diǎn)，，求的面積.49．（2022·河北保定·高三期末）如圖，測量河對岸的塔高時(shí)，可以選取與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)與.現(xiàn)測得.在點(diǎn)測得塔頂?shù)难鼋菫?（1）求與兩點(diǎn)間的距離（結(jié)果精確到）；（2）求塔高（結(jié)果精確到）.50．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知向量，，且.（1）求；（2）若，且，求的周長.專題06解三角形一、單選題1．（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，，，則角的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，利用基本不等式求出的最小值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的最大值.【詳解】設(shè)，則，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因?yàn)?，則.故選：A.2．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，，為的重心，若，則外接圓的半徑為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由條件判定為等邊三角形，再求得的邊長，以正弦定理去求外接圓的半徑即可解決.【詳解】由，可得，則有又在中，，為的重心，則為等邊三角形.則解之得，則外接圓的半徑為故選：C3．（2022·山東泰安·高三期末）在中，“”是“為鈍角三角形”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由充分、必要關(guān)系的定義，結(jié)合三角形內(nèi)角的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可確定答案.【詳解】由：若，則為鈍角；若，則，此時(shí)，故充分性成立.△為鈍角三角形，若為鈍角，則不成立；∴“”是“△為鈍角三角形”的充分不必要條件.故選：.4．（2022·江蘇如東·高三期末）某校數(shù)學(xué)建模社團(tuán)學(xué)生為了測量該校操場旗桿的高AB，先在旗桿底端的正西方點(diǎn)C處測得桿頂?shù)难鼋菫?5°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)20m到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測得桿頂?shù)难鼋菫?0°，則旗桿的高為（）A．20m B．10m C．m D．m【答案】B【分析】根據(jù)條件確定相關(guān)各角的度數(shù)，表示出，等邊的長度，然后在中用余弦定理即可解得答案.【詳解】如圖示，AB表示旗桿，由題意可知：，所以設(shè)，則，在中，,即，解得，（舍去），故選：B.二、多選題三、填空題5．（2022·山東萊西·高三期末）在中，，，，，，若的外接圓的半徑為，則角___________.【答案】【分析】先根據(jù)正弦定理求出，再由條件確定為鈍角，為銳角，然后求出，再利用即可求得角.【詳解】設(shè)角A,B,C的對邊分別為a，b，c，由正弦定理，，，，即為鈍角，為銳角，，，.故答案為：.6．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且．若（）有最大值，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】方法一：由已知結(jié)正弦定理可得，從而可得＝2m[cosC＋（－）sinC]，構(gòu)造函數(shù)f（C）＝cosC＋（－）sinC，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，從而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果，方法二：由已知結(jié)正弦定理可得，從而可得mb＋nc＝2m[cosC＋（－）sinC]，構(gòu)造函數(shù)f（C）＝cosC＋（－）sinC，然后利用輔助角公式結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求得【詳解】法一：由題意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，所以，又B＋C＝，則mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]＝2m[cosC－sinC＋sinC]＝2m[cosC＋（）sinC]，設(shè)f（C）＝cosC＋（）sinC，則f′（C）＝－sinC＋（）cosC，令f′（C）＝0，則－sinC＋（）cosC＝0，即tanC＝∈（0，），所以∈，則∈（，2）．法二：由題意可知，在中，由正弦定理可得，＝＝＝＝2，所以，又B＋C＝，則mb＋nc＝m2sinB＋n2sinC＝2m[sin（－C）＋sinC]＝2m[cosC－sinC＋sinC]＝2m[cosC＋（）sinC]，設(shè)f（C）＝2m[cosC＋（）sinC]＝sin（C＋），其中tan＝，則當(dāng)C＋＝，即C＝－時(shí)取到最大值，則此時(shí)tanC＝tan（－）＝＝＝∈（0，），所以∈，則∈（，2）．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查正弦定理的應(yīng)用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由正弦定理和三角函數(shù)恒等變換公式得到mb＋nc＝2m[cosC＋（）sinC]，然后構(gòu)造函數(shù)f（C）＝cosC＋（）sinC，利用導(dǎo)數(shù)或三角函數(shù)的性質(zhì)求出其最值，從而可求得結(jié)果，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題7．（2022·廣東揭陽·高三期末）如圖所示，在等腰直角中，為的中點(diǎn)，，分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）當(dāng)時(shí)，則的值為__________.（2）的最大值為__________.【答案】【分析】第一個(gè)空：過點(diǎn)作于點(diǎn)，在Rt中，可求出，從而在中，根據(jù)余弦定理即可求出答案；第二空需要選擇恰當(dāng)?shù)慕嵌缺硎境龅闹?，再利用三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì)求解出最值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，在Rt中，，，，在中，由余弦定理，得.（2）設(shè)，則，過點(diǎn)分別作的垂線于兩點(diǎn)，則，在與中，，，所以，所以當(dāng)時(shí)，.故答案為：；.8．（2022·山東青島·高三期末）已知的三個(gè)內(nèi)角分別為，且成等差數(shù)列，則角的取值范圍是_______；最小值為______.【答案】【分析】第一空：根據(jù)已知條件運(yùn)用等差數(shù)列性質(zhì)以及正弦定理得到，運(yùn)用余弦定理和基本不等式即可求解；第二空：令，對其求導(dǎo)后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值關(guān)系的知識即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，在中，由正弦定理得：，代入上式化簡得：，在中，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，又因?yàn)樵谥?，，所以，即角的取值范圍?令，，則，令，得或，又因?yàn)椋?，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，所以.故答案為：；四、解答題9．（2022·江蘇海安·高三期末）在平面四邊形ABCD中，∠BAD＝2∠ACB＝4∠BAC，AB＝2，BC＝－，CD＝．（1）求∠ACB的大?。唬?）求四邊形ABCD的面積．【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理及二倍角公式即可求解；（2）由（1），分別運(yùn)用正弦定理和余弦定理求出相關(guān)邊長，再由面積公式計(jì)算即可.（1）由題意，設(shè)，則，，在中，由正弦定理有，即，解得.所以，因?yàn)?，所?（2）由（1），可知，由正弦定理有，即，解得，在中，由余弦定理有，即，解得，四邊形ABCD的面積.10．（2022·江蘇通州·高三期末）從以下3個(gè)條件中選擇2個(gè)條件進(jìn)行解答.①BA＝3；②BC＝；③∠A＝60°.在△ABC中，已知，D是AC邊的中點(diǎn)，且BD＝，求AC的長及△ABC的面積.【答案】，三角形的面積為【分析】結(jié)合余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】選①②，設(shè)，由余弦定理得，，所以，由于，所以.所以.選①③，設(shè)，由余弦定理得，所以，所以.選②③，設(shè)，在三角形中，由余弦定理得①，在三角形中，由余弦定理得②，由①②解得，所以，所以.11．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在①b2＋c2－a2＝，②asinB＝bsin（A＋），③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，△ABC的面積為S，．（1）求角A；（2）若AC＝2，BC＝，點(diǎn)D在線段AB上，且△ACD與△BCD的面積比為4∶5，求CD的長．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答內(nèi)容計(jì)分）【答案】（1）（2）【分析】（1）選①，利用余弦定理和三角形的面積公式求得；選②，利用正弦定理、兩角和的正弦公式求得；選③利用正弦定理、兩角和的正弦公式求得.（2）利用余弦定理求得的長.（1）選①，因?yàn)閎2＋c2－a2＝，由余弦定理b2＋c2－a2＝2bccosA，及得，所以，因?yàn)閏osA≠0，所以，因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝．選②，因?yàn)閍sinB＝bsin（A＋），及正弦定理，所以可得sinAsinB＝sinBsin（A＋），因?yàn)閟inB≠0，所以sinA＝sin（A＋），，所以，因?yàn)閏osA≠0，所以，因?yàn)锳∈（0，π），所以A＝．選③，因?yàn)?，及正弦定理，所以，即．因?yàn)閟inA≠0，所以，又A∈（0，π），所以A＝．（2）在△ABC中，由余弦定理得，因?yàn)锳C＝2，BC＝，A＝，所以7，解得AB＝3或AB＝－1（舍），因?yàn)椤鰽CD與ABCD面積比為4∶5，所以，在三角形ACD中，由余弦定理得，即．12．（2022·江蘇宿遷·高三期末）在①；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并進(jìn)行解答.問題：在中，內(nèi)角的對邊分別為，且__________.（1）求角；（2）若是銳角三角形，且，求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）答案見解析（2）【分析】（1）選擇①，運(yùn)用正弦定理及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇②，運(yùn)用面積公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解；選擇③運(yùn)用正切兩角和公式及同角三角函數(shù)關(guān)系求解.（2）根據(jù)正弦定理及正切函數(shù)的單調(diào)性求解（1）選擇①：條件即，由正弦定理可知，，在中，，所以，所以，且，即，所以；選擇②：條件即，即，在中，，所以，則，所以，所以.選擇③：條件即，所以，在中，，所以.（2）由（1）知，，所以，由正弦定理可知，，由是銳角三角形得，所以.所以，所以，故的取值范圍為.13．（2022·江蘇如東·高三期末）在①；②,這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并作答.已知在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）判斷△ABC的形狀；（2）在（1）的條件下，若，b＝10，AD為BC邊上的中線，求AD的長.【答案】（1）選①，等腰三角形；選②，等腰三角形或直角三角形；（2）選①，；選②，或；【分析】（1）選①，由正弦定理變形后可得；選②，由正弦定理及同角關(guān)系變形后，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)得三角形為等腰三角形或直角三角形；（2）選①，由等腰三角形性質(zhì)求得底邊長，然后由余弦定理求得；選②，三角形為等腰三角形時(shí)同選①，三角形為直角三角形時(shí)，由求得，然后求得，用勾股定理求得．（1）選①，，由正弦定理理，即，又是三角形內(nèi)角，所以，△ABC是等腰三角形；選②，，由正弦定理得，所以，，又是銳角三角形內(nèi)角，所以或，所以或，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形；（2）選①，，則，，，中，由余弦定理得：，；選②，時(shí)同選①得，時(shí)，，則，，所以，，所以．14．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，CD=10，2AC=3AD=AB，cos∠CAD=.（1）求AD的長；（2）求sinB.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)在中，利用余弦定理建立方程求解作答.(2)利用(1)的結(jié)論求出，再在中由正弦定理計(jì)算作答.（1）依題意，在中，由余弦定理得：，即，解得，所以AD的長是.（2）在中，由(1)知，，由余弦定理得：，則有，在中，由正弦定理得：，所以.15．（2022·江蘇無錫·高三期末）中，角所對應(yīng)的邊分別為，已知，，________.請?jiān)冖?；②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并加以解答：（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）（1）求角；（2）求面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）若選①，則由正弦定理化簡算出即可；若選②，先由正弦定理角化邊，再利用余弦定理即可（2）因?yàn)?，?jì)算和即可（1）若選①，則由，若選②，則，.（2）在中，，由正弦定理而16．（2022·江蘇常州·高三期末）已知在四邊形中，，，，且，．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）7【解析】（1）在中，則，又在中，，故（2）設(shè)，，，，則，由即可知，即在中，，又，則有故在中，即，解之得，即的長為717．（2022·江蘇蘇州·高三期末）在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題（2）的橫線上，并解答下列題目．在中，已知角的對邊分別為，且，．（1）求；（2）若為邊上一點(diǎn)，且，__________，求的面積．（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分）【答案】（1）（2）【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和以及誘導(dǎo)公式化簡，可得答案；（2）若選①，根據(jù)邊長之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理，可求的長，再用面積公式求得答案.若選②，可直接用正弦定理求得，接著用余弦定理求MC，最后求得面積；若選③，則根據(jù)直接求得AB,,再用余弦定理求得MC，最后求得面積.（1）由，得，由正弦定理得．因?yàn)?，所以，所以，即．?）選①，設(shè)，．因?yàn)?，所以．由余弦定理得，解得．所以，所以的面積．選②，因?yàn)?，所以．由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得．所以，所以的面積．選③，因?yàn)?，所以．由，解得，所以．由余弦定理得，解得．所以，所以的面積．18．（2022·廣東揭陽·高三期末）在中，角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）若，且的面積為，且，求和的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）將已知條件利用正弦定理邊化角，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡即可得答案；（2）由余弦定理及三角形的面積公式列出方程組求解即可得答案.（1）解：在中，因?yàn)?，所以由正弦定理可得，又，所以，即，，?）解：由余弦定理及三角形面積公式得，即，因?yàn)椋越獾?19．（2022·廣東潮州·高三期末）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，（1）求角B的大??；（2）若點(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，BD=2，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理得，而代入化簡可得，從而可求出角B的大小，（2）由點(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，可得，平方化簡后可得，再利用基本不等式可得，從而可求出面積的最大值（1）因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼?所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?）因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AC上，且AD=2DC，所以，所以,所以，即，因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以面積為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以面積的最大值為20．（2022·廣東東莞·高三期末）的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若，的面積為，求的周長.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得的值；（2）利用三角形的面積公式可求得，利用余弦定理可得出的值，可求得的值，即可得解.（1）解：因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，即，由，得，因?yàn)?，所?（2）解：由，，得，解得，由，即，即.由，得，故，所以的周長為.21．（2022·廣東羅湖·高三期末）設(shè)的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且．（1）求角的大?。唬?）若邊上的高為，求．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用余弦定理可求得，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可得出，利用余弦定理可得出，再代入即可得解.（1）解：由余弦定理，得，所以，，所以，，又因?yàn)椋?，，則，，因此，.（2）解：因?yàn)榈拿娣e，則，由余弦定理，得，所以，，所以，.22．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在平面四邊形中，．（1）求；（2）求的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）在中求出，然后在中，利用余弦定理即可求出的長；（2）首先判斷出為直角三角形，從而可求出，然后利用三角形的面積公式即可求出答案.（1）因?yàn)闉橹苯侨切?，，所以．在中，，由余弦定理，得，所以．?）由（1）知，，，所以，所以為直角三角形，且，所以，故．23．（2022·廣東汕尾·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求角B（2）當(dāng)b=3時(shí)，求的面積的最大值．【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，根據(jù)余弦定理結(jié)合角B的范圍，即可得答案.（2）由題意，結(jié)合基本不等式，可得，代入面積公式，即可得答案.（1）由正弦定理得：，整理得，所以，因?yàn)?，所以?）因?yàn)?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立），所以面積的最大值.24．（2022·廣東佛山·高三期末）中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若邊上的中線，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)，利用正弦定理轉(zhuǎn)化為，再利用兩角和的正弦公式求解；（2）在中，由余弦定理得到，然后分別在和中，利用余弦定理結(jié)合，兩式相加得到，聯(lián)立求得c，再利用三角形面積公式求解.（1）解；因?yàn)椋?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以；?）在中，由余弦定理得，即①，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，因?yàn)?，兩式相加得②，由①②得，所?25．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若______.（1）求角；（2）若，求周長的最小值，并求出此時(shí)的面積.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）分別選三個(gè)條件，都可用正弦定理解出；（2）由余弦定理可得，利用基本不等式可求出的最小值，即可求出周長最小值，再利用面積公式求出面積.【詳解】（1）選①，由正弦定理得，∵，∴，即，∵，∴，∴，∴.選②，∵，，由正弦定理可得，∵，∴，∵，∴.選③，∵，由已知結(jié)合正弦定理可得，∴，∴，∵，∴.（2）∵，即，∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，∴，周長的最小值為6，此時(shí)的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，考查三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.26．（2022·湖南婁底·高三期末）在中，已知，．（1）若，求的面積；（2）若，求的周長．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】（1）（2）【分析】（1）首先利用正弦定理得到，再利用面積公式求解即可.（2）首先設(shè)，，利用余弦定理得到，再求周長即可.（1）在中，由正弦定理得，，所以，所以三角形面積為.（2）因?yàn)椋钥稍O(shè)，，在中，由余弦定理得，，因?yàn)?，，所以，解得，所以三角形的周長為．27．（2022·湖南常德·高三期末）設(shè)a，b，c分別是的內(nèi)角A，B，C的對邊，．（1）求角A的大小；（2）從下面兩個(gè)問題中任選一個(gè)作答，兩個(gè)都作答則按第一個(gè)記分．①設(shè)角A的角平分線交BC邊于點(diǎn)D，且，求面積的最小值．②設(shè)點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，且，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）①；②.【分析】（1）利用正余弦定理即求；（2）選①利用基本不等式及面積公式即求；選②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面積公式即求.（1）∵且,∴，即，∴，又，∴；（2）選①∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，即，∴由基本不等式可得：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，∴，即的面積的最小值為；②因?yàn)锳D是BC邊上的中線，在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，∵，∴，在中，，由余弦定理得，∴∴，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，所以，即的面積的最大值為.28．（2022·湖南郴州·高三期末）在中，若邊對應(yīng)的角分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，，求的長度．【答案】（1）（2）【分析】（1）由正弦定理將邊化角，再利用輔助角公式得到，即可求出；（2）依題意可得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解；（1）解：因?yàn)?，由正弦定理可得在，，∴∴，即又，∴∴，∴?）解：∵且，∴，∴∴29．（2022·湖北武昌·高三期末）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合輔助角公式化簡得出，結(jié)合角的取值范圍可求得結(jié)果；（2）利用余弦定理結(jié)合已知條件可求得的值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.（1）解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，所以，即，即，，則，所以，，解得．（2）解：因?yàn)椋?，，所以由，得，即，解得．所以?0．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）在中，角的對邊分別是，的面積為.（1）若，，，求邊；（2）若是銳角三角形且角，求的取值范圍.【答案】（1）或；（2）,【分析】（1）由題意可求出角，在由余弦定理可求出邊；（2）由正弦定理可把邊轉(zhuǎn)化為角，再利用角的范圍即可求出答案.（1）∵，∴，又，則或當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∴或（2）由正弦定理得，，∵是銳角三角形，∴，，；∴，，；∴∴，∴∴的取值范圍為.31．（2022·湖北江岸·高三期末）在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且.（1）求角C；（2）若，求c的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將邊化角，利用三角恒等變換以及三角形內(nèi)角關(guān)系，即可求出結(jié)果；（2）利用余弦定理以及已知條件，即可求出的取值范圍.（1）由正弦定理得，即，，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?；?）由得，且由（1）知：，由余弦定理得：當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知：的值域?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)，所以，即所以c的取值范圍為.32．（2022·湖北襄陽·高三期末）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，且，求的面積．【答案】（1）（2）【分析】（1）先利用正弦定理統(tǒng)一成角，然后利用三角函數(shù)恒等變換公化簡，從而可求出角的大小，（2）利用余弦將所給式統(tǒng)一成邊，化簡可得，結(jié)合已知可求出，再利用三角形面積公式求解即可（1）由已知及正弦定理，得．∴．∵，∴．∴．又∵，∴．∵，∴．（2）由已知及余弦定理，得，化簡，得．即，又∵，∴．∴的面積．33．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）在中，角，，所對的邊分別為，，.的角平分線與交于點(diǎn).（1）若，的面積為4，求的面積；（2）若，，，求的值.【答案】（1）6（2）【分析】（1）由題意結(jié)合三角形的面積公式可得，從而可得答案.（2）在中，由余弦定理得到的長，由勾股定理可得，從而得到角,得出答案.（1）為的平分線，∴，∴，∵，∴，又∵，∴.（2）∵，，，在中，由余弦定理得，∴，∴.又∵為角平分線，則,所以，則34．（2022·湖北·高三期末）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足．（1）求角A；（2）如圖，若，點(diǎn)D是外一點(diǎn)，，設(shè)，求平面四邊形面積的最大值及相應(yīng)的值．【答案】（1）（2）最大值為，此時(shí)【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化簡已知條件，求得進(jìn)而求得.（2）求得平面四邊形面積的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)最值的求法求得平面四邊形面積的最大值及相應(yīng)的值.（1）∵，由正弦定理知，，由余弦定理知，.（2）由（1）以及，得是等邊三角形．設(shè)，則．余弦定理可得：，則．故四邊形面積．∵，∴，∴當(dāng)時(shí)，S取得最大值為，故平面四邊形面積的最大值為，此時(shí)．35．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，向量夾角的余弦角為（1）求角B的大?。唬?）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算得到再由公式化簡得到從而得到結(jié)果；（2）由三角形內(nèi)角關(guān)系得到，根據(jù)角的范圍求值域即可.（1）即解得（舍）（2）由（1）可知，即36．（2022·山東青島·高三期末）在中，角所對的邊分別為，已知，且.（1）求的值；（2）若的面積，求的值.【答案】（1）6（2）【分析】（1）由余弦定理即可求解；（2）由三角形面積公式可得sinB、cosB，結(jié)合余弦定理得出a+c=5，再結(jié)合（1）可得a,c的值.（1）由題意，結(jié)合余弦定理得，，所以.（2）由于，

，，所以，，又，所以，.37．（2022·山東臨沂·高三期末）已知中，D是AC邊的中點(diǎn)．，，．（1）求AC的長；（2）的平分線交BC于點(diǎn)E，求AE的長．【答案】（1）2（2）【分析】（1）根據(jù)，利用余弦定理建立方程求解即可；（2）由余弦定理求出A，根據(jù)三角形面積公式由建立方程求解.（1）設(shè)，由余弦定理可得又，，即.（2）由（1）知，因?yàn)?，所以，由可得，，即解?38．（2022·山東棗莊·高三期末）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為．（1）求；（2）從以下三個(gè)條件：①；②；③邊上的高中選擇一個(gè)作為已知條件，使三角形存在且唯一確定，并求的面積．【答案】（1）（2）選第②個(gè)條件；【分析】（1）利用余弦定理即可求出A；（2）選第①個(gè)條件，這樣的三角形不存在；選第②個(gè)條件，先利用正弦定理，余弦定理求出邊長c，即可求出；選第③個(gè)條件：先求出邊長，代入判斷出這樣的三角形有兩個(gè).（1）因?yàn)?，，所以．所以，所以．又，所以．?）選第①個(gè)條件：．由可得：，因?yàn)?，所以無解，這樣的三角形不存在.選第②個(gè)條件：．由正弦定理，得，所以．由，得．解得，或（舍去）．因此．選第③個(gè)條件：邊上的高．在中，由，所以，即，代入得：，解得：或，這樣的三角形有兩個(gè).39．（2022·山東泰安·高三期末）在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時(shí)后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，則恰好1小時(shí)與可疑船只相遇.（1）求的值；（2）若巡邏船以海里/小時(shí)的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時(shí)間，若不能，請說明理由.【答案】（1）（2）能夠攔截成功攔截，時(shí)間為2小時(shí)【分析】（1）設(shè)1小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C，根據(jù)關(guān)于y軸對稱，且，即可求解；（2）設(shè)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)D，利用余弦定理列出方程，即可求解.（1）解：由題意，直線的傾斜角為，若巡邏船以30海里/小時(shí)的速度向正東方向追擊，設(shè)1小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)C，如圖所示，則軸，，且關(guān)于y軸對稱，所以，所以.（2）解：若巡邏船以海里/小時(shí)進(jìn)行追擊，設(shè)t小時(shí)后兩船相遇于點(diǎn)D，如圖所示，則，，，，因?yàn)榭傻谜淼?，解得或（舍去），所以能夠攔截成功攔截時(shí)間為2小時(shí).40．（2022·山東淄博·高三期末）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，延長BC至D，使，的面積為．（1）求AB的長；（2）求外接圓的面積．【答案】（1）或（2）【分析】（1）利用余弦定理可求得，從而可得為等邊三角形，再利用三角形的面積公式即可得出答案；（2）利用余弦定理求出，再利用正弦定理求得外接圓的半徑，即可得解.（1）解：因?yàn)椋?，又，所以，又因，所以為等邊三角形，故，由，可得，故，解得或；?）解：由（1）得：當(dāng)時(shí)，，則，所以，設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以，所以外接圓的面積為，當(dāng)時(shí)，，則，所以，同理外接圓的面積為，綜上所述，外接圓的面積為.41．（2022·山東青島·高三期末）如圖，在四邊形中，.

（1）求證：；（2）若，求的長.【答案】（1）證明見解析.（2）.【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得，根據(jù)誘導(dǎo)公式可得，分別在、中，運(yùn)用正弦定理得可得證；（2）由已知得，，再在中，運(yùn)用余弦定理求得即可.（1）解：因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以，所以，在中，由正弦定理得，即，同理在中，由正弦定理得，即，所以，所以，所以；?）解：因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以在中，，即，解得（舍去），所?42．（2022·山東德州·高三期末）在①②③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線上，并解決問題.問題：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足___________.（1）求角A；（2）若A的角平分線AD長為1，且，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【分析】（1）選①，先用正弦定理，再求解角；選②，先用正弦定理，再用余弦定理求解；選③，先用正弦定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式，再根據(jù)特殊三角函數(shù)值求解.（2）由面積公式得，再用余弦定理得，再由轉(zhuǎn)化計(jì)算即可求解.（1）選①得，.即，則（舍）或所以；選②得，即由，又，所以；選③.得，即，因?yàn)?，所以又，所?（2）由得，，即，由余弦定理，.解得，由正弦定理，，.所以的值為.43．（2022·山東煙臺·高三期末）在①；②向量，，；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并進(jìn)行求解．問題：在中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，已知，，D為AC邊的中點(diǎn)，若______，求BD的長度．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】答案不唯一，具體見解析.【分析】選①，由正弦定理邊化角，由余弦定理求出，再借助余弦定理計(jì)算作答.選②，由向量關(guān)系結(jié)合余弦定理求出角C，再由正弦定理求角A即可計(jì)算作答.選③，切化弦求出角C，由正弦定理求出角A，再借助余弦定理計(jì)算作答.【詳解】若選①：在中，因，由正弦定理得，而，即有，整理得，又，則，即，有，由余弦定理得：，在中，由余弦定理，所以.若選②：由，得，即，整理得，在中，由余弦定理得：，而，則，由正弦定理