新高考數(shù)學之圓錐曲線綜合講義第21講一類中點連線過定點問題(原卷版+解析)

第21講一類中點連線過定點問題一、解答題1．在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動點的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標．②求四邊形面積的最小值．2．在直角坐標系中，已知一動圓經(jīng)過點且在軸上截得的弦長為4，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，線段，的中點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．3．已知斜率為的的直線與橢圓交于點，線段中點為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.（1）求橢圓的方程；（2）若點都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點，設(shè)直線的斜率分別為，，線段的中點分別為，判斷直線是否過定點，若過定點.求出該定點，若不過定點，說明理由.4．已知中心在原點，焦點在軸的橢圓過點，且焦距為2，過點分別作斜率為的橢圓的動弦，設(shè)分別為線段的中點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標．5．橢圓：的左右焦點分別為，，左右頂點分別為，，為橢圓上的動點（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．（1）求橢圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點，線段、的中點分別為、，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．6．已知橢圓的標準方程為，該橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓長軸上一點作兩條互相垂直的弦．若弦的中點分別為，證明：直線恒過定點．7．設(shè)圓過點，且在軸上截得的弦的長為4.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）過點，作軌跡的兩條互相垂直的弦，，設(shè)、的中點分別為、，試判斷直線是否過定點？并說明理由.8．已知拋物線，過焦點作斜率為的直線交拋物線于兩點.（1）若，求；（2）過焦點再作斜率為的直線交拋物線于兩點，且分別是線段的中點，若，證明：直線過定點.第21講一類中點連線過定點問題一、解答題1．在平面直角坐標系中，為坐標原點，，已知平行四邊形兩條對角線的長度之和等于．（1）求動點的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動點的軌跡交于、，與動點的軌跡交于點、，、的中點分別為、；①證明：直線恒過定點，并求出定點坐標．②求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）①證明見解析，定點坐標為；②.【分析】（1）設(shè)點的坐標為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓的焦點位置可得出點的軌跡方程，并求出的取值范圍；（2）①分析出直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與點的軌跡方程聯(lián)立，求出點的坐標，同理求出點的坐標，求出直線的方程，進而可得出直線所過定點的坐標；②求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)點，依題意，，所以動點的軌跡為橢圓（左、右頂點除外），則，，，動點的軌跡方程是；（2）①若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動點的軌跡沒有交點，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點（橢圓內(nèi)一點），、與橢圓必有交點．設(shè)、，由，由韋達定理可得，則，所以點的坐標為，同理可得點，直線的斜率為，直線的方程是，即，當時，直線的方程為，直線過定點．綜上，直線過定點；②由①可得，，，同理可得，所以，四邊形的面積為，當且僅當取等號．因此，四邊形的面積的最小值為.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．2．在直角坐標系中，已知一動圓經(jīng)過點且在軸上截得的弦長為4，設(shè)動圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點，與曲線交于，兩點，線段，的中點分別為，，求證：直線過定點，并求出定點的坐標．【答案】（1）；（2）證明見解析；．【解析】試題分析：（1）設(shè)圓心坐標，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設(shè)直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點坐標，同理可得的坐標，得直線的方程，得其過定點，且得出定點坐標．試題解析：（1）設(shè)圓心，依題意有，即得，∴曲線的方程為．（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，，，則直線：，，由得，，∴，，∴．同理得．當或時，直線的方程為；當且時，直線的斜率為，∴直線的方程為，即，∴直線過定點，其坐標為．考點：曲線的軌跡方程；直線與拋物線的位置關(guān)系．【易錯點睛】導數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性問題：（1）當不含參數(shù)時，可通過解不等式直接得到單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間．（2）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立的理論求解），應(yīng)注意參數(shù)的取值是不恒等于的參數(shù)的范圍．3．已知斜率為的的直線與橢圓交于點，線段中點為，直線在軸上的截距為橢圓的長軸長的倍.（1）求橢圓的方程；（2）若點都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點，設(shè)直線的斜率分別為，，線段的中點分別為，判斷直線是否過定點，若過定點.求出該定點，若不過定點，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點，.【分析】（1）利用點差法可得，再由直線的方程為，求出軸上的截距，結(jié)合題意即可求解.（2）設(shè)直線的方程分別為，分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，分別求出，，求出直線方程，化簡整理即可求解.【詳解】本題考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng).（1）設(shè)，則，且兩式相減得即，即，所以又直線的方程為，令，得所以，所以橢圓的方程為.（2）由題意得，直線的方程分別為，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，則同理所以由得，所以直線的方程為整理得，所以直線過定點.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，求出點、以及直線的方程為，考查了運算求解能力，綜合性比較強.4．已知中心在原點，焦點在軸的橢圓過點，且焦距為2，過點分別作斜率為的橢圓的動弦，設(shè)分別為線段的中點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若，求證：直線恒過定點，并求出定點坐標．【答案】（1）；（2）（0，）【解析】試題分析：（1）由焦距為2，得，可得其焦點坐標為，又點在橢圓上，根據(jù)橢圓定義，橢圓上的點到兩焦點的距離之和為，即可求出橢圓的標準方程；（2）求出直線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及探究直線過哪個定點．試題解析：（1）由題意知設(shè)右焦點橢圓方程為（2）由題意，設(shè)直線，即代入橢圓方程并化簡得同理當時，直線的斜率直線的方程為又化簡得此時直線過定點（0，）當時，直線即為軸，也過點綜上，直線過定點考點：圓錐曲線中的最值與范圍問題5．橢圓：的左右焦點分別為，，左右頂點分別為，，為橢圓上的動點（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．（1）求橢圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點，線段、的中點分別為、，求證：直線過定點，并求出該定點坐標．【答案】(1)(2)見解析，經(jīng)過定點為【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，列出方程，求解的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標，由題設(shè)若直線關(guān)于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對稱，得該定點一定是直線與的交點，進而求得直線過定點．試題解析：（1）設(shè)，由題，整理得，，整理得，結(jié)合，得，，所求橢圓方程為．（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，得，得，，∴，，由題，若直線關(guān)于軸對稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對稱，所以若直線經(jīng)過定點，該定點一定是直線與的交點，該點必在軸上．設(shè)該點為，，，由，得，代入，坐標化簡得，經(jīng)過定點為．點睛：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進行求解，此類問題易錯點是復雜式子的變形能力不足，導致錯漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．6．已知橢圓的標準方程為，該橢圓經(jīng)過點，且離心率為．（1）求橢圓的標準方程；（2）過橢圓長軸上一點作兩條互相垂直的弦．若弦的中點分別為，證明：直線恒過定點．【答案】（1）;（2）．【分析】(1)根據(jù)已知得到方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先求直線MN的方程，，即得直線MN經(jīng)過的定點，再討論當時，直線也經(jīng)過定點，綜上所述，直線經(jīng)過定點．當時，過定點．【詳解】（1）解：∵點在橢圓上，∴，又∵離心率為，∴，∴，∴，解得，，∴橢圓方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，∴，由中點坐標公式得，將的坐標中的用代換，得的中點，∴直線的方程為，，令得，∴直線經(jīng)過定點，當時，直線也經(jīng)過定點，綜上所述，直線經(jīng)過定點．當時，過定點．【點睛】（1）本題主要考查求橢圓的方程，考查橢圓中直線的定點問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點，其一是求出直線的方程為，，其二是討論當時，直線也經(jīng)過定點.7．設(shè)圓過點，且在軸上截得的弦的長為4.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）過點，作軌跡的兩條互相垂直的弦，，設(shè)、的中點分別為、，試判斷直線是否過定點？并說明理由.【答案】(1)(2)見解析【解析】分析：（1）設(shè)圓心的坐標為，由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得圓心的軌跡方程為；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線與軌跡的方程可得點的坐標為，點的坐標為，則直線MN的方程為，直線恒過定點.詳解：（1）設(shè)圓心的坐標為，如圖過圓心作軸于，則為的中點，在中，，∵，，∴即；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立有：，∴，，∴點的坐標為，同理可得：點的坐標為，直線的斜率為，其方程為，整理得，不論為何值，點均滿足方程，∴直線恒過定點.點睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．8．已知拋物線，過焦點作斜率為的直線交拋物線于兩點