2025版高考數(shù)學一輪復習練案44第七章立體幾何第四講直線平面平行的判定與性質(zhì)含解析新人教版

第四講直線、平面平行的判定與性質(zhì)A組基礎鞏固一、單選題1．(2024·河南鄭州、商丘名師聯(lián)盟聯(lián)考)過平面α外的直線l，作一組平面與α相交，若所得交線為a，b，c，…，則這些交線的位置關系為(A)A．平行或交于同一點 B．相交于同一點C．相交但交于不同的點 D．平行[解析]若l∥α，則l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a∥b∥c….若l∩α＝P，則a，b，c，…交于點P.2．(2024·遼寧沈陽東北育才學校模擬)在空間中，下列命題中為真命題的是(D)A．垂直于同始終線的兩條直線平行B．平行于同一平面的兩條直線平行C．垂直于同一平面的兩個平面平行D．平行于同一平面的兩個平面平行3．(2024·黑龍江大慶讓胡路區(qū)聯(lián)考)已知m，n是直線，α是平面，且m∥α，則下列結(jié)論中正確的是(B)A．?n?α，都有m∥nB．?n?α，使m⊥nC．?n∥m，都有n∥αD．?n⊥α，使m∥n[解析]由m，n是直線，α是平面，且m∥α，得：對于A，?n?α，則m，n平行或異面，故A不正確；對于B，?n?α，使m⊥n，故B正確；對于C，?n∥m，則n∥α或n?α，故C不正確；對于D，若n⊥α，因為m∥α，所以m⊥n，故D不正確，故選B.4．(2024·湖北武漢模擬)設α、β、γ為平面，a、b為直線，給出下列條件：①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b其中能推出α∥β的條件是(C)A．①② B．②③C．②④ D．③④[解析]①有如下反例：故，不能推出α∥β；②面面平行的判定：平行于同一個平面的兩個平面平行，能推出α∥β；③有如下反例：故，不能推出α∥β；④面面平行的推論：假如兩個平面的垂線平行，那么這兩個平面平行，能推出α∥β.故選：C．5．(2024·山東泰安期末)有兩條不同的直線m，n與兩個不同的平面α，β，下列命題正確的是(A)A．m⊥α，n∥β，且α∥β，則m⊥nB．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nC．m∥α，n⊥β，且α⊥β，則m∥nD．m∥α，n∥β，且α∥β，則m∥n[解析]對于A，由m⊥α，n∥β，且α∥β得m⊥n，故正確；對于B，由m⊥α，n⊥β，α⊥β得m⊥n，故錯誤；對于C，由m∥α，n⊥β，且α⊥β得m∥n或m，n相交或異面，故錯誤；對于D，由m∥α，n∥β，且α∥β得m，n的關系可以是相交或平行或異面，故錯誤．故選A.6．若P為異面直線a，b外一點，則過P且與a，b均平行的平面(B)A．不存在 B．零個或一個C．可以有兩個 D．有多數(shù)多個[解析]記a與P所確定的平面為α，當b∥α時，與a，b均平行的平面不存在，當b不平行α時，與a，b均平行的平面有一個，故選B.7．(2024·湖南省長沙市長郡中學月考)如圖所示的四個正方體中，A，B分別為正方體的兩個頂點，M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號為(D)A．①② B．②③C．③④ D．①②③[解析]由題意結(jié)合正方體的性質(zhì)：如圖①，平面ABC∥平面MNP，則AB∥平面MNP，①正確；如圖②，平面ABC∥平面MNP，則AB∥平面MNP，②正確；如圖③，平面ABC∥平面MNP，則AB∥平面MNP，③正確；如圖④，平面AB∩平面MNP＝A，則④錯誤；故選D.8．(2024·衡水中學調(diào)研卷)如圖，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，E為AD的中點，F(xiàn)為PC上—點，當PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝(D)A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)[解析]連接AC交BE于點G，連接FG，因為PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝FG，所以PA∥FG，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).因為AD∥BC，AD＝BC，E為AD的中點，所以eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).二、多選題9．(2024·遼寧省測評)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面ABC是等邊三角形，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，D為AB的中點，若AB＝2，AA1＝eq\r(6)，則(AC)A．CD⊥A1DB．異面直線A1D與AC1所成角的余弦值為eq\f(\r(35),14)C．異面直線A1D與AC1所成角的余弦值為eq\f(\r(70),14)D．CD∥平面AB1C1[解析]易知CD⊥平面ABB1A1，∴CD⊥A1D，所以A項正確；若CD∥平面AB1C1，又BC∥B1C1，明顯BC∥平面AB1C1，∴平面BCD∥平面AB1C1，這明顯不成立，所以D項不正確；過點A在平面ABB1A1內(nèi)作直線A1D的平行線交B1A1的延長線于點D1，連接C1D1，易知異面直線A1D與AC1所成的角等于∠D1AC1，在△D1AC1中，可知D1A＝D1C1＝eq\r(7)，AC1＝eq\r(10)，所以異面直線A1D與AC1所成角的余弦值為eq\f(AC1,2AD1)＝eq\f(\r(10),2\r(7))＝eq\f(\r(70),14).所以C項正確．10．(2024·山東樂陵一中模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列直線或平面與平面ACD1平行的有(AD)A．直線A1B B．直線BB1C．平面A1DC1 D．平面A1BC1[解析]如圖，A1B∥D1C，又A1B?平面ACD1，∴A1B∥平面ACD1，A正確；BB1與平面ACD1相交，B錯誤；DC1與CD1相交，∴平面ACD1與平面A1DC1相交，C錯誤；∵A1C1∥AC，A1C1?平面ACD1，∴A1C1∥平面ACD1，又A1B∩A1C1＝A，∴平面ACD1∥平面A1BC1，D正確；故選AD.11．(2024·安徽安慶模擬改編)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N、Q分別是棱D1C1，A1D1、BC的中點，點P在BD1上且BP＝eq\f(2,3)BD1，則下列說法中正確的是(BC)A．MN∥平面APC B．C1Q∥平面APCC．A、P、M三點共線 D．平面MNQ∥平面APC[解析]對于A.連接MN，AC，則MN∥AC，連接AM、CN，易得AM、CN交于點P，即MN?平面APC，所以MN∥平面APC是錯誤的；對于B.由A知M、N在平面APC內(nèi)，由題易知AN∥C1Q，所以C1Q∥平面APC是正確的；對于C．由A知，A，P，M三點共線是正確的；對于D.由A知MN?平面APC，又MN?平面MNQ，所以平面MNQ∥平面APC是錯誤的．故選B、C．三、填空題12．(2024·桂林二模)已知a，b，c為三條不重合的直線，α，β為兩個不重合的平面，給出下列四個命題：①a∥b，b∥c?a∥c；②a∥α，b∥α?a∥b；③a∥α，β∥α?a∥β；④a?α，b?α，a∥b?a∥α.其中正確的命題是①④.(寫出全部正確命題的序號)[解析]依據(jù)線線平行的傳遞性，可知①正確；若a∥α，b∥α，則a，b可能平行、相交、異面，故②不正確；若a∥α，β∥α，則a∥β或a?β，故③不正確；由線面平行的判定定理可知④正確．故正確的命題是①④.13．已知平面α∥β，點A，C∈α，B，D∈β，直線AB與直線CD交于點S，且AS＝8，BS＝9，CD＝34，則CS的長為16或272.[解析]本題主要考查兩平面平行的性質(zhì)定理．①當點S在兩平行平面之間時，如圖1所示，∵直線AB與直線CD交于點S，直線AB與直線CD可確定一個平面γ，且α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.∵α∥β，∴AC∥BD，∴eq\f(AS,AB)＝eq\f(CS,CD)，即eq\f(AS,AS＋BS)＝eq\f(CS,CD)，得eq\f(CS,34)＝eq\f(8,17)，解得CS＝16.②當點S在兩平行平面的同側(cè)時，如圖2所示，由①知AC∥BD，則有eq\f(AS,BS)＝eq\f(CS,DS)，即eq\f(8,9)＝eq\f(CS,CS＋34)，解得CS＝272.14.如圖所示，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中點，N是BC的中點，點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動，則M只需滿意條件點M在線段FH上(或點M與點H重合)時，就有MN∥平面B1BDD1.(注：請?zhí)钌夏阏J為正確的一個條件即可，不必考慮全部可能狀況)[解析]連接HN，F(xiàn)H，F(xiàn)N，則FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只需M∈FH，則MN?平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.四、解答題15．(2024·浙江模擬)如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.[解析](1)如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M為AB中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.B組實力提升1．設α、β、γ是三個互不重合的平面，m、n為兩條不同的直線．給出下列命題：①若n∥m，m?α，則n∥α；②若α∥β，n?β，n∥α，則n∥β；③若β⊥α，γ⊥α，則β∥γ；④若n∥m，n⊥α，m⊥β，則α∥β.其中真命題是(C)A．①和② B．①和③C．②和④ D．③和④[解析]若n∥m，m?α，則n∥α或n?α，即命題①不正確，解除A、B；若α∥β，n?β，n∥α，則n∥β，則命題②正確，解除D，故應選C．2．(2024·甘肅蘭州診斷)已知直線m，n和平面α，則m∥n的一個必要條件是(D)A．m∥α，n∥α B．m⊥α，n⊥αC．m∥α，n?α D．m，n與平面α成等角[解析]A中，m，n可以都和平面垂直，必要性不成立；B中，m，n可以都和平面平行，必要性不成立；C中，n不肯定在平面內(nèi)，必要性不成立；D中，m，n平行，則m，n與α成的角肯定相等，但反之假如兩直線m，n與α成的角相等則不肯定平行，所以是必要不充分條件，故選D.3．(多選題)(2024·宜昌調(diào)研)如圖，在棱長均相等的四棱錐P－ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，則下列結(jié)論正確的是(ABC)A．PC∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．OM⊥PAD．直線PD與MN所成角的大小為90°[解析]如圖，連接AC，易得PC∥OM，所以PC∥平面OMN，結(jié)論A正確．同理PD∥ON，所以平面PCD∥平面OMN，結(jié)論B正確．由于四棱錐的棱長均相等，所以AB2＋BC2＝PA2＋PC2＝AC2，所以PC⊥PA，又PC∥OM，所以OM⊥PA，結(jié)論C正確．由于M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點，所以MN∥AB，又四邊形ABCD為正方形，所以AB∥CD，又三角形PDC為等邊三角形，所以∠PDC＝60°，所以直線PD與MN所成的角即∠PDC，故D錯誤．故正確的結(jié)論為A、B、C．4.(2024·江西景德鎮(zhèn)一中月考改編)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為(B)A．eq\r(2) B．eq\f(9,8)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(6),2)[解析]如圖1，取B1C1的中點E，C1D1的中點F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EF，BD在同一平面內(nèi)，連接ME，因為M，E分別為A1D1，B1C1的中點，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形ABEM是平行四邊形，所以AM∥BE，又因為BE?平面BDFE，AM?平面BDFE.所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因為AM∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，所以平面BDFE為平面α，BD＝eq\r(2)，EF＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\f(\r(2),2)，DF＝BE＝eq\f(\r(5),2)，等腰梯形BDFE如圖2，過E，F(xiàn)作BD的垂線，則四邊形EFGH為矩形，∴FG＝eq\r(DF2－DG2)＝eq\r(\f(5,4)－\f(1,8))＝eq\f(3\r(2),4)，故所得截面的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)＋\r(2)))×eq\f(3\r(2),4)＝eq\f(9,8)，故選B.5．(1)如圖，三棱柱A1B1C1－ABC中，點M是A1B1的中點．求證：B1C∥平面AC1M.(2)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M為棱AE的中點．求證：平面BDM∥平面EFC．[證明](1)在直三棱柱A1B1C1－ABC中，側(cè)面ACC