2025屆福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)區(qū)長(zhǎng)樂(lè)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆福建省福州市長(zhǎng)樂(lè)區(qū)長(zhǎng)樂(lè)高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為3∶3∶4，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為（）A.10 B.15C.20 D.302．已知，為雙曲線(xiàn)的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線(xiàn)C的離心率為（）A. B.C.2 D.3．已知等差數(shù)列的公差，記該數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的最大值為（）A.66 B.72C.132 D.1984．過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，則等于（）A.2 B.C.0 D.6．已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為（）A.1 B.2C.3 D.47．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中有這樣一個(gè)問(wèn)題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之栗五斗羊主曰：“我羊食半馬”馬主曰：“我馬食半牛”今欲哀償之，問(wèn)各出幾何？此問(wèn)題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗的主人要求賠償5斗栗羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人各應(yīng)償還栗a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是A.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且B.a，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且C.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且D.a，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且8．《米老鼠和唐老鴨》這部動(dòng)畫(huà)給我們的童年帶來(lái)了許多美好的回憶，令我們印象深刻.如圖所示，有人用3個(gè)圓構(gòu)成米奇的簡(jiǎn)筆畫(huà)形象.已知3個(gè)圓方程分別為：圓圓，圓若過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與圓、均相切，則截圓所得的弦長(zhǎng)為（）A. B.C. D.9．已知直線(xiàn)，若圓C的圓心在軸上，且圓C與直線(xiàn)都相切，求圓C的半徑（）A. B.C.或 D.10．如果向量，，共面，則實(shí)數(shù)的值是（）A. B.C. D.11．已知條件：，條件：表示一個(gè)橢圓，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知點(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)處取極值，則___________14．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結(jié)果________15．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩(shī)人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長(zhǎng)天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線(xiàn)的三點(diǎn)，，處測(cè)得閣頂端點(diǎn)的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.16．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額x（單位：千億元）和出口總額y（單位：千億元）之間一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的進(jìn)出口總額x，y滿(mǎn)足線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到5千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____千億元三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐中，平面，∥,，，為上一點(diǎn)，平面（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）若，求點(diǎn)D到平面EMC的距離18．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-mlnx-m.（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有最小值g(m)，證明：g(m)在上恒成立.19．（12分）如圖，在正四棱柱中，是上的點(diǎn)，滿(mǎn)足為等邊三角形.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知圓C：（1）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓C相交所得的弦長(zhǎng)為，求直線(xiàn)l的方程；（2）若P是直線(xiàn)：上的動(dòng)點(diǎn)，PA，PB是圓C的兩條切線(xiàn)，A，B是切點(diǎn)，求四邊形PACB面積的最小值21．（12分）已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)為，，，離心率為（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程（2）的左頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線(xiàn)，，的斜率分別為，，，求證：22．（10分）已知函數(shù)在處取得極值確定a的值；若，討論的單調(diào)性

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)抽取比例乘以即可求解.【詳解】由題意可得應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生數(shù)為，故選：C.2、A【解析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線(xiàn)方程計(jì)算作答.【詳解】由雙曲線(xiàn)對(duì)稱(chēng)性不妨令點(diǎn)P在第一象限，過(guò)P作軸于B，如圖，因?yàn)榈妊切?，且頂角為，則有，，有，于是得，即點(diǎn)，因此，，解得，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選：A3、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的公差，求得其通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差,所以，則，所以，由，得，所以或12時(shí)，該數(shù)列的前項(xiàng)和取得最大值，最大值為，故選：A4、D【解析】求出直線(xiàn)直線(xiàn)過(guò)的定點(diǎn)A，由題意可知垂足是落在以O(shè)A為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線(xiàn)，即，令，解得，即直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),由過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為，可知：落在以O(shè)A為直徑的圓上，而以O(shè)A為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，而圓過(guò)原點(diǎn)，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，但將原點(diǎn)坐標(biāo)代入直線(xiàn)中，不成立，即直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)，所以不可能和原點(diǎn)重合，故，故選：D5、D【解析】利用直線(xiàn)垂直系數(shù)之間的關(guān)系即可得出.【詳解】解：直線(xiàn)和直線(xiàn)互相垂直，則，解得：.故選：D.6、B【解析】先求出拋物線(xiàn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解.【詳解】將代入拋物線(xiàn)中得：，解得：，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)的距離為故選：B7、D【解析】由條件知，，依次成公比為的等比數(shù)列，三者之和為50升，根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即故答案為D.8、A【解析】設(shè)直線(xiàn)，利用直線(xiàn)與圓相切，求得斜率，再利用弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn).由直線(xiàn)與圓、圓均相切，得解得(1).設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為則(2).又圓的半徑直線(xiàn)截圓所得弦長(zhǎng)結(jié)合(1)(2)兩式，解得9、C【解析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到直線(xiàn)的距離相等列方程，求得圓心坐標(biāo)并求得圓的半徑.【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，則或，所以圓的半徑為或.故選：C10、B【解析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.11、B【解析】根據(jù)曲線(xiàn)方程，結(jié)合充分、必要性的定義判斷題設(shè)條件間的關(guān)系.【詳解】由，若，則表示一個(gè)圓，充分性不成立；而表示一個(gè)橢圓，則成立，必要性成立.所以是的必要不充分條件.故選：B12、D【解析】根據(jù)空間中射影的定義即可得到答案.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影，所以的豎坐標(biāo)為0，橫、縱坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)相同，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】=．因?yàn)閒（x）在1處取極值，所以1是f′（x）=0的根，將x=1代入得a=3．故答案為3.考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值14、132【解析】根據(jù)程序框圖模擬程序運(yùn)行，確定變量值的變化可得結(jié)論【詳解】程序運(yùn)行時(shí)，變量值變化如下：，判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，，；判斷循環(huán)條件，滿(mǎn)足，，；判斷循環(huán)條件，不滿(mǎn)足，輸出故答案為：13215、【解析】設(shè)，由邊角關(guān)系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結(jié)合可解得的值，進(jìn)而可得長(zhǎng).【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，，所以，，?在中，，即①.，在中，，即②，因?yàn)椋寓佗趦墒较嗉涌傻茫?，解得：，則，故答案為：.16、①.1.6；②.3.65.【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）運(yùn)用線(xiàn)面平行的判定定理證明；（Ⅱ）借助體積相等建立方程求解即可【詳解】（Ⅰ）證明：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以∥，面，平?所以∥平面；（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，面，所以平面平面，平面平?過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn),則平面，由已知平面，∥,，可得，又，所以為的中點(diǎn)，在中，，在中，，，在中，，由等面積法知，所以，即點(diǎn)D到平面EMC的距離為.考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系及運(yùn)用【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題考查的是空間的直線(xiàn)與平面平行的推證問(wèn)題和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離問(wèn)題．解答時(shí),證明問(wèn)題務(wù)必要依據(jù)判定定理,因此線(xiàn)面的平行問(wèn)題一定要在所給的平面中找出一條直線(xiàn)與這個(gè)平面外的直線(xiàn)平行,敘述時(shí)一定要交代面外的線(xiàn)和面內(nèi)的線(xiàn),這是許多學(xué)生容易忽視的問(wèn)題,也高考閱卷時(shí)最容易扣分的地方,因此在表達(dá)時(shí)一定要引起注意18、（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得函數(shù)的最小值，再利用導(dǎo)數(shù)可證不等式.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，在上恒成立，所以此時(shí)在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，由，解得，由，解得，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，綜上：當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】由（1）知:當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)，無(wú)最小值.當(dāng)時(shí)，在上上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，即，則，由，解得，由，解得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，即在上恒成立.19、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】(1)根據(jù)題意證明，，然后根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理證明問(wèn)題；(2)以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求平面，平面的法向量，求法向量的夾角，根據(jù)二面角的余弦值與法向量的夾角的余弦的關(guān)系確定二面角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】由題意，，等邊三角形，，∵平面ABCD，∴，則，即為中點(diǎn).連接，∵平面，平面，∴，易得，則，又，于是，即，同理，即，又，平面平面.【小問(wèn)2詳解】由題意直線(xiàn)平面，四邊形為正方形，故以，，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，.設(shè)面的法向量為，同理可得面的法向量，∴二面角的余弦值為20、（1）或.（2）8【解析】（1）先判斷當(dāng)斜率不存在時(shí),不滿(mǎn)足條件；再判斷當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)利用垂徑定理列方程求出k，即可求出直線(xiàn)方程；（2）過(guò)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，連結(jié)CA、CB，得到.判斷出當(dāng)時(shí),最小，四邊形PACB面積取得最小值.利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出，，即可求出四邊形PACB面積的最小值.【小問(wèn)1詳解】圓C：化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心為，半徑為r=4.（1）當(dāng)斜率不存在時(shí),x=1代入圓方程得,弦長(zhǎng)為,不滿(mǎn)足條件；（2）當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)即.圓心C到直線(xiàn)l的距離，解得:或k=0,所以直線(xiàn)方程為或.【小問(wèn)2詳解】過(guò)P作圓C的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A、B，連結(jié)CA、CB，則.因?yàn)?所以所以.所以當(dāng)時(shí),最小，四邊形PACB面積取得最小值.所以，所以，即四邊形PACB面積的最小值為8.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】(1)由可求出，結(jié)合離心率可知，進(jìn)而可求出，即可求出標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由題意知，，則由直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程可得直線(xiàn)的解析式為，與橢圓進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)，，結(jié)合韋達(dá)定理可得，從而由斜率的計(jì)算公式對(duì)進(jìn)行整理化簡(jiǎn)從而可證明.【詳解】（1）解：因