達州市普通高中2023屆第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題（文科）

高考模擬試題PAGEPAGE1達州市普通高中2023屆第一次診斷性測試數(shù)學(xué)試題（文科）注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自已的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦千凈后，再選涂其它〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上，寫在本試卷無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求出集合，再求即可.〖詳析〗由已知，又，.故選：A.2.復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算即可得出結(jié)果.〖詳析〗由得，,故選：C.3.已知向量，滿足，則（）A.0 B.2 C. D.5〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用數(shù)量積垂直的坐標(biāo)表示，即可求解.〖詳析〗.故選：D4.四川省將從2022年秋季入學(xué)的高一年級學(xué)生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學(xué)生的首選意愿，對部分高一學(xué)生進行了抽樣調(diào)查，制作出如下兩個等高條形圖，根據(jù)條形圖信息，下列結(jié)論正確的是（）A.樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)少于選擇歷史意愿的女生人數(shù)B.樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)C.樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多D.樣本中男生人數(shù)少于女生人數(shù)〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等高條形圖的概念結(jié)合條件逐項分析即得.〖詳析〗根據(jù)等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)較多，故C正確；根據(jù)等高條形圖圖2可知樣本中男生人數(shù)多于女生人數(shù)，故D錯誤；樣本中選擇物理學(xué)科的人數(shù)多于選擇歷史意愿的人數(shù)，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數(shù)多于選擇歷史意愿的女生人數(shù)，故A錯誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數(shù)不一定多于男生選擇歷史意愿的人數(shù)，故B錯誤.故選：C.5.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.〖詳析〗時，有，則有；時，有，即，不一定滿足，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.《將夜》中寧缺參加書院的數(shù)科考試，碰到了這樣一道題目：那年春，夫子游桃山，一路摘花飲酒而行，始切一斤桃花，飲一壺酒，復(fù)切一斤桃花，又飲一壺酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只飲半壺酒，再切一斤桃花，飲半半壺酒，如是而行，終夫子切六斤桃花而醉臥桃山.問：夫子切了五斤桃花一共飲了幾壺酒？（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗分析數(shù)列特征，求前5項的和.〖詳析〗由題意可知，數(shù)列前2項都是1，從第二項開始，構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，所以前5項和為：.故選：C7.三棱錐的底面為直角三角形，的外接圓為圓底面，在圓上或內(nèi)部，現(xiàn)將三棱錐的底面放置在水平面上，則三棱錐的俯視圖不可能是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題目信息可畫出三棱錐的直觀圖，改變點位置，即可對所有可能的俯視圖做出判斷，得出〖答案〗.〖詳析〗由三棱錐結(jié)構(gòu)特征，底面為直角三角形，不妨設(shè)，則的外接圓圓心即為的中點；又在圓上或內(nèi)部，當(dāng)點與點重合時，三棱錐如下圖所示，由底面可知，此時三棱錐的俯視圖為A選項；當(dāng)點滿足為外接圓直徑時，三棱錐如下圖所示，由底面可知，此時三棱錐的俯視圖為B選項當(dāng)點與圓心重合時，三棱錐如下圖所示，由底面可知，此時三棱錐的俯視圖為C選項；因此，選項ABC均有可能，俯視圖不可能為選項D.故選：D.8.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，直線與曲線僅交于，三點，為的等差中項，則的最小值為（）A.8 B.6 C.4 D.2〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由三角函數(shù)圖象的平移變換可得，由題意推得必為函數(shù)的對稱中心，可得，即可求得〖答案〗.〖詳析〗由題意將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則，因為直線與曲線僅交于，三點，為的等差中項，由于，在直線上,故為的等差中項，不妨設(shè)，則，即，若，則，即，此時直線與曲線不止三個交點，不合題意；故，結(jié)合的對稱性，可得有直線與曲線僅有3個交點，即必為函數(shù)的對稱中心，即，故，因為，故時，的最小值為4，故選：C9.曲線在點處的切線平分圓，則函數(shù)的增區(qū)間為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題意可知曲線在點處的切線經(jīng)過圓心，所以，解出，對求導(dǎo)，即可求出函數(shù)的增區(qū)間.〖詳析〗，，，因為曲線在點處的切線平分圓，所以曲線在點處的切線經(jīng)過圓心，所以，解得：，所以，令，則，所以函數(shù)的增區(qū)間為.故選：C10.點為雙曲線（，）的一個焦點，過作雙曲線的一條漸近線的平行線交雙曲線于點.為原點，，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗通過計算到所作漸近線平行線的距離為可知，與所作直線和漸近線垂直，再利用雙曲線的定義和，，之間的關(guān)系即可求解.〖詳析〗設(shè)雙曲線的兩條漸近線為：，：，由雙曲線的對稱性，不妨設(shè)為雙曲線的右焦點，過作，則的方程為，即，則到的距離，∴，∴，在中，，設(shè)雙曲線左焦點為，連接，由雙曲線的定義知，，設(shè)與交于點，∵為線段的中點，，∴，，在中，，即，化簡得，∴雙曲線的離心率.故選：D.11.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（）A.平面平面B.點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)平面時，的最小值為C.過點的平面截正方體所得的截面周長為D.當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，球的表面積為〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)面面平行無交線可判斷A；由面面平行的性質(zhì)得出DP所在的平面，即可分析最小值P點的位置，求解即可；用向量法根據(jù)平行的坐標(biāo)表示，求出過點的平面截正方體所得的截面，即可計算周長；根據(jù)三棱錐的外接球半徑公式和球體的表面積公式求解即可.〖詳析〗解：對于A，延長，，，，有兩個交點I，J，代表平面平面，兩平面不平行，A選項錯誤對于B，分別取，的中點，，連接，則，，且，，平面，平面，所以平面平面，已知點為正方形內(nèi)一點，當(dāng)P在上時，平面，滿足平面，在中，，，則為等腰三角形，點P在的中點時，有最小值，在中，，，B選項正確；對于C，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，，則，解得，截面周長為，C選項錯誤；對于D，當(dāng)三棱錐的所有頂點都在球的表面上時，，D選項錯誤；故選：B.12.已知，規(guī)定，如.定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，對任意的，都有.若，則（）A.0 B.1 C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由題意可得，，即可求解〖詳析〗因為定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，所以是奇函數(shù)，所以，令，解，所以，所以，令，解，所以，所以，依次可得，所以，所以，故選：C〖『點石成金』〗關(guān)鍵『點石成金』：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系求函數(shù)值，根據(jù)給定的函數(shù)關(guān)系，在對應(yīng)的區(qū)間上賦值，再不斷變換求解即可.二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋物線上的點到焦點的距離為5，則焦點坐標(biāo)為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)拋物線的定義可知，點到準線的距離等于到焦點的距離5，即，解出的值，即可求出〖答案〗.〖詳析〗由已知可得，拋物線的準線方程為.根據(jù)拋物線的定義可知，點到準線的距離等于到焦點的距離5，即，解得，所以拋物線的方程為，焦點坐標(biāo)為.故〖答案〗為：.14.從集合中隨機取兩個不同的數(shù)，則滿足的概率為__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由古典概型分別求出總選法及符合條件的選法，求比值即可〖詳析〗從集合中隨機取兩個不同的數(shù)，總共有種選法，滿足的選法有1和3、3和5、2和4，共3種，故所求概率為.故〖答案〗為：15.已知正項數(shù)列前項和滿足，且，則__________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用得出數(shù)列是等差數(shù)列，且公差為1，然后求得，再代入可得．詳析〗，，，，，，∴，即，所以是等差數(shù)列，公差為1，，，，即，．故〖答案〗為：．16.已知正方形邊長為兩點分別為邊上動點，，則的周長為__________.〖答案〗4〖解析〗〖祥解〗設(shè)，，用表示出，由勾股定理求出即可求出周長.〖詳析〗如圖所示，設(shè)，，所以，即，由題意可得，，所以，，所以，所以的周長為，故〖答案〗為：4三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.黨的十九大提出實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略以來，農(nóng)民收入大幅提升，2022年9月23日某市舉辦中國農(nóng)民豐收節(jié)慶?；顒?，糧食總產(chǎn)量有望連續(xù)十年全省第一.據(jù)統(tǒng)計該市2017年至2021年農(nóng)村居民人均可支配收入的數(shù)據(jù)如下表：年份20172018201920202021年份代碼12345人均可支配收入（單位：萬元）（1）根據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)，計算與的相關(guān)系數(shù)，并判斷與是否具有較高的線性相關(guān)程度（若，則線性相關(guān)程度一般，若則線性相關(guān)程度較高，精確到）；（2）市五屆人大二次會議政府工作報告提出，2022年農(nóng)村居民人均可支配收入力爭不低于萬元，求該市2022年農(nóng)村居民人均可支配收入相對2021年增長率最小值（用百分比表示）.參考公式和數(shù)據(jù)：相關(guān)系數(shù)，.〖答案〗（1），具有較高的線性相關(guān)程度；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)條件及相關(guān)系數(shù)公式可得相關(guān)系數(shù)，進而即得；（2）設(shè)增長率為，由題可得，進而即得.〖小問1詳析〗由題可知的平均數(shù)為，，所以，，所以與具有較高的線性相關(guān)程度；〖小問2詳析〗設(shè)增長率為，則，解得，，該市2022年農(nóng)村居民人均可支配收入相對2021年增長率最小值為.18.的內(nèi)角的對邊分別為的面積邊上的中線長為.（1）求；（2）求外接圓面積的最小值.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）利用三角形面積結(jié)合已知求出，再借助向量數(shù)量積運算律、余弦定理求解作答.（2）利用正弦定理及（1）中信息，結(jié)合均值不等式求出外接圓半徑最小值即可計算作答.〖小問1詳析〗的面積，又，于是得，而，即，因此，令邊的中點為，則線段是的中線，有，因此，即有，解得，由余弦定理得，即，解得，所以.〖小問2詳析〗設(shè)外接圓半徑為，由正弦定理得，即有，由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，而，于是得，有，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以外接圓面積最小值為.19.如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長線上一點，平面是中點.（1）證明：；（2）若，三棱錐的體積為，求點到平面的距離.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取的中點，連接，先證明平面，得，從而得，利用已知正切值得，由直角三角形得，從而又得線面垂直后得出線線垂直；（2）由得出的長，再由得出點到平面的距離．〖小問1詳析〗連接，平面平面，同理，，，.又平面,平面.平面.取的中點，連接為的中點，，.，，為的中點，.又平面，平面.平面.〖小問2詳析〗.，且四邊形為矩形，即，又由（1），平面，，平面.∴.連接，中，中.為中點，點到平面的距離中，.由（1）知面，在中，，中，∴，.設(shè)點到平面的距離為，則即，解得.所以點到平面的距離為.20.已知是橢圓的一個焦點，過點的直線交于不同兩點.當(dāng)，且經(jīng)過原點時，.（1）求的方程；（2）為的上頂點，當(dāng)，且直線的斜率分別為時，求的值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由直線過原點，關(guān)于原點對稱，結(jié)合橢圓的定義與對稱性求得長半軸長，再由求得，從而得橢圓方程；（2）設(shè)，設(shè)，代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達定理得，然后代入化簡可得．〖小問1詳析〗由題意，當(dāng)，且經(jīng)過原點時，的方程為，且點關(guān)于原點對稱.設(shè)，將代入，并化簡得，即，..設(shè)的另一個焦點為，根據(jù)對稱性，，根據(jù)橢圓定義得.所以的方程為.〖小問2詳析〗由（1）知，點坐標(biāo)為.由題意可設(shè)，即，將該式代入，并化簡得.設(shè)，則...即.〖『點石成金』〗方法『點石成金』：直線與橢圓相交問題的解決方法，設(shè)交點坐標(biāo)為，設(shè)直線方程，代入橢圓方程后應(yīng)用韋達定理得，把此結(jié)果代入題中要求解的式子變形化簡后可得結(jié)論．21.已知函數(shù).（1）若最小值為0，求的值；（2），若，證明.〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)確定單調(diào)性得函數(shù)的最小值，由最小值得參數(shù)值；（2）求出，再對求導(dǎo)，確定的最小值大于0，從而確定的單調(diào)性，然后由，得出，再由（1）得出即可證．〖小問1詳析〗由得，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.所以的極小值也是最小值為.〖小問2詳析〗證明：由得.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.當(dāng)時，，即在區(qū)間單調(diào)遞增.若，則當(dāng)且僅當(dāng)時，.由（1）知，.，即.〖『點石成金』〗用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法：（1）利用導(dǎo)數(shù)求得最小值和的最大值，由證明結(jié)論；（2）引入新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由得證．（二）選考題：共10