廣西梧州市2023屆高三上學期第一次模擬測試數(shù)學（理）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1梧州市2023屆高三第一次模擬測試理科數(shù)學一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗首先列舉全集中的元素，再求.〖詳析〗由題意可知，，，，所以，.故選：A2.若復數(shù)z滿足，則在復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由題知，，進而根據(jù)幾何意義求解即可.〖詳析〗解：因為所以，所以，復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點坐標為，為第四象限的點，所以，在復平面內(nèi)的共軛復數(shù)對應的點位于第四象限.故選：D3.已知向量，滿足，，，則（）A.3 B. C. D.4〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)平面向量模的運算性質(zhì)，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)進行求解即可.〖詳析〗∵向量滿足，，，，，，，故選：D4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長為1，則該多面體的體積為（）A.6 B.8 C.10 D.12〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三視圖判斷出幾何體的結(jié)構(gòu)，進而計算出幾何體的體積.〖詳析〗由三視圖知該幾何體是底面為梯形的直棱柱，其體積為.故選：C5.在中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，，則（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理和三角恒等變換可得，再利用余弦定理即可求得的值.〖詳析〗根據(jù)正弦定理，由得，又因為，可得，即得，，所以，由余弦定理可知，，得.故選：B6.若點為拋物線上一點，為焦點，且，則點到軸的距離為（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)拋物線的定義可求出結(jié)果.〖詳析〗由拋物線方程為，可知準線方程為，因為，所以由拋物線的定義可知點到準線的距離為3，設(shè)，所以，解得,從而可知點到軸距離為2．故選：A．7.某高中從3名男教師和2名女教師中選出3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，要求這3名教師中男女都有，則不同的選派方案共有（）種A.9 B.36 C.54 D.108〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定條件利用排列并結(jié)合排除法列式計算作答.〖詳析〗從含有3名男教師和2名女教師的5名教師中任選3名教師，派到3個不同的鄉(xiāng)村支教，不同的選派方案有種，選出3名教師全是男教師的不同的選派方案有種，所以3名教師中男女都有的不同的選派方案共有種故選：C8.已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗分與兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，奇偶性及，解不等式，求出解集.〖詳析〗偶函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在單調(diào)遞增，因為，則當時，，即，

故或，解得：或，或與取交集得：，則當時，，即故，解得：，與取交集，解集為空集，綜上：不等式的解集為．故選：D．9.在三棱錐中，已知平面，，.若三棱錐的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（）A B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用正弦定理求出底面的外接圓半徑，將三棱錐補成三棱柱，過底面外接圓中心作垂線，則垂線的中點即為外接球球心，進而即可求解.〖詳析〗在中，設(shè)其外接圓半徑為r，由正弦定理可得解得，三棱錐補成三棱柱，如圖設(shè)三棱錐外接球半徑為R，，所以球O的表面積為故選：D10.若函數(shù)的部分圖像如圖所示，直線為函數(shù)圖像的一條對稱軸，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由圖像求出函數(shù)〖解析〗式，再求出減區(qū)間.〖詳析〗令，則可以看出經(jīng)過適當?shù)淖儞Q得到的.由題中圖像知點在函數(shù)的圖像上，所以，即，則結(jié)合圖像可得．①又直線為函數(shù)圖像的一條對稱軸，結(jié)合圖像可得．②②-①解得，再代入①解得：，所以．由，得.故選：B．11.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上的動點，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，．若圓與雙曲線的漸近線相切，則下列結(jié)論正確的有（）個．①；②為定值；③雙曲線的離心率；④當點異于頂點時，△內(nèi)切圓的圓心總在直線上．A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由雙曲線漸近線方程，圓圓心，半徑是1，應用點線距離公式列方程求，設(shè)有，由點線距離公式寫出，直接用離心率定義求雙曲線離心率，根據(jù)圓切線性質(zhì)及雙曲線定義可得，進而確定內(nèi)切圓的圓心的位置.〖詳析〗由題意，雙曲線漸近線方程是，圓的圓心，半徑是1，則，可得（舍去），①錯誤．設(shè)，則，即，漸近線方程是，則，，為常數(shù)，②正確；由，所以，離心率為，③正確；設(shè)△的內(nèi)切圓與三邊切點分別為，，，如圖，由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心在直線，即直線上，④正確；故選：C12.已知，，，其中，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗設(shè)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，可判斷的大小，再構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，可判斷的大小，從而可得結(jié)果.〖詳析〗，設(shè)，，因為，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，即，，所以，而，所以．設(shè)，則，當，，當，，所以，即（當且僅當）等號成立，所以，，綜上，，所以．故選：A〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』：此題考查導數(shù)的應用，考查利用利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小，解題的關(guān)鍵是合理構(gòu)造函數(shù)，然后判斷其單調(diào)性，從而可比較大小，考查計算能力，屬于較難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則_________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由同角三角函數(shù)關(guān)系與三角恒等變換公式求解〖詳析〗由題意得，而，故，，故.故〖答案〗為：14.直線與圓交，兩點，若為等邊三角形，則的值為______．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗結(jié)合幾何關(guān)系和點到直線的距離即可求解.〖詳析〗由條件和幾何關(guān)系可得圓心到直線的距離為，解得．故〖答案〗為：.15.若一個正四棱臺的上下底面的邊長分別為2和4，側(cè)棱長為，則這個棱臺的體積為______．〖答案〗28〖解析〗〖祥解〗先根據(jù)側(cè)棱長和上下底面的對角線長算出棱臺的高，再根據(jù)棱臺的體積公式計算即可.〖詳析〗因為上下底面的對角線長分別為和，求得正四棱臺的高為，所以棱臺的體積為．故〖答案〗為：28.16.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將方程有3個不同的實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為必有一正一負兩個根，利用數(shù)形結(jié)合及二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.〖詳析〗當，，則，令，得，當時，，當時，，所以在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的大致圖象，設(shè)，則有兩個不同的實數(shù)根，由可知，與異號，不妨設(shè)，要使方程有3個不同的實數(shù)根，則或，①當時，，得；②當時，設(shè)，則，得，綜上，的取值范圍為．故〖答案〗：．〖『點石成金』〗已知函數(shù)有零點求參數(shù)常用的方法和思路：直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成函數(shù)的值域問題解決；數(shù)形結(jié)合法：先對〖解析〗式變形，在同一個平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知為數(shù)列的前n項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，求前項的和.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題知數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，進而得；（2）結(jié)合（1）得，進而分組求和即可.〖小問1詳析〗解：因為，所以，當時，，解得，當時，，，所以，即，所以，數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項為，所以，數(shù)列的通項公式為.〖小問2詳析〗解：由（1）知，所以，記前項的和為，所以，.18.某班50位學生期中考試數(shù)學成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：，，，，，．（1）求圖中的值和學生成績的中位數(shù)；（2）從成績低于60分的學生中隨機選取2人，該2人中成績在50分以下的人數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學期望．〖答案〗（1），中位數(shù)為；（2）分布列見〖解析〗，數(shù)學期望為.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)頻率之和，即小矩形面積之和為1列出方程，求出，設(shè)出中位數(shù)，利用頻率之和為0.5列出方程，求出中位數(shù)；（2）求出成績低于60分的學生和成績在50分以下的人數(shù)，得到可能的取值及對應的概率，得到分布列，求出數(shù)學期望.〖小問1詳析〗由頻率分布直方圖知，解得：．設(shè)成績的中位數(shù)為，有，解得：．〖小問2詳析〗由頻率分布直方圖知成績低于60分的學生人數(shù)為，成績在50分以下的人數(shù)為．因此可能的取值為0，1，2，，，．所以的分布列為012故的數(shù)學期望為．19.如圖，直三棱柱中，，，，點為的中點，現(xiàn)將繞直線旋轉(zhuǎn)，使得點與平面內(nèi)的點重合.（1）求證：；（2）求二面角的余弦值.〖答案〗（1）證明見〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）取的中點，連接，，證得，，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到，進而得到；（2）以為坐標原點，建立的空間直角坐標系，分別求得平面和平面的一個法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.〖詳析〗（1）如圖所示，取的中點，連接，，由，，可得為等腰直角三角形，所以為等腰直角三角形，所以，.又由，，平面，所以平面.因為平面，所以.又因為，所以.（2）由（1）易知平面，以為坐標原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立的空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則，，，，可得，，.設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以平面的一個法向量為，所以，由二面角為鈍二面角，故二面角的余弦值為.〖『點石成金』〗利用空間向量計算二面角的常用方法：1、法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大??；2、方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小.20.已知函數(shù)，其中．（1）求函數(shù)最小值；（2）證明：．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由導數(shù)法求最小值；（2）由（1）結(jié)論得當時，（當且僅當時，等號成立），即可構(gòu)造，結(jié)合累加法即可證明.〖小問1詳析〗，，因為，所以當時，；當時，，故在上遞減，在上遞增，故．〖小問2詳析〗證明：由（1）知，當時，，即當時，，即（當且僅當時，等號成立），令，則，所以．又，故，從而，，…，，累加可得，即，故21.已知橢圓過點，左、右焦點分別為，，過的直線交于，兩點（，均在軸右側(cè)），的周長為8．（1）求橢圓的方程；（2）直線和分別交橢圓于，兩點，設(shè)與軸交于點，證明：為定值．〖答案〗（1）（2）證明見〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(1)根據(jù)條件求，即可求橢圓方程；（2）首先設(shè)直線與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)點的坐標分別表示直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示點的坐標，并求直線的方程，求得點的坐標，即可證明為定值.〖小問1詳析〗由知，由的周長為8，知，所以，橢圓的方程為：．〖小問2詳析〗過定點．證明：由（1）可得，，，設(shè)直線，與聯(lián)立，消去整理得，①設(shè)，，直線，與聯(lián)立，消去整理得，所以，（注：由①可知，）所以，從而，同理可得，，所以，所以，令可得，，所以為定值．〖『點石成金』〗本題考查直線與橢圓相交的綜合問題，難點是消元化簡，計算繁瑣，尤其是化簡直線與橢圓方程聯(lián)立的式子，以及韋達定理求點的坐標時，加強計算能力.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求的極坐標方程和的直角坐標方程；（2）若與交于，兩點，求的值．〖答案〗（1），（2）〖解析〗〖祥解〗（1）消去參數(shù)得到直線的普通方程，從得到其極坐標方程，根據(jù)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）把代入曲線的極坐標方程，即可求出，從而得解.〖小問1詳析〗解：因為直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以消去直線參數(shù)方程中的參數(shù)得，即，顯然直線過原點，傾斜角為，直線的極坐標方程為．曲線的極坐標方程化為，將代入得：，即，所以的極坐標方程為，的直角坐標方程為．〖小問2詳析〗解：把代